Một số tính chất của nón trong không gian banach

Bộ giáo dục và đào tạo TRờng đại học vinh Nguyễn khánh nam Luận văn thạc sỹ toán học một số tính chất của nón trong không gian banach Chuyên nghành : Hình học - tôpô Mã số : 60 46 10 Vinh - 2004 mục lục Trang phần mở đầu 2 Đ1. Các kiến thức cơ sở 4 1.1. Không gian Banach 4 1.2. Các không gian Banach cụ thể 7 1.3. Không gian Hinbe 8 1.4. Một số khái niệm cơ bản về tập lồi 9 Đ2. Nón và thứ tự trong không gian Banach 11 2.1. Nón 11 2.2. Nón K(F) 11 2.3. Nửa thứ tự 12 2.4. Nón chuẩn tắc 14 2.5. Nón làm trội đợc 16 2.6. Nón cân và nón hoàn toàn cân 20 Đ3. Về mối quan hệ giữa các loại nón trong không gian Banach 23 Đ4. Một số ví dụ về nón 34 kết luận 41 tài liệu tham khảo 42 2 phần mở đầu Trong không gian Banach thì khái niệm nón và các tính chất của nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết toán tử, phơng trình vi phân, bài toán về điểm bất động, các bài toán cực trị .Do đó lý thuyết nón đã thu hút đợc sự quan tâm của nhiều nhà toán học nh M.A.Krasnosel'skill, M.G.Krein, M.A.Ruthman . Để giải quyết đợc các bài toán nói trên ngời ta trang bị trên không gian Banach một quan hệ thứ tự sinh bởi nón, từ đó dẫn tới việc hình thành nhiều loại nón khác nhau : Khối nón, nón tái tạo, nón chuẩn tắc, nón cân, hoàn toàn cân, nón liên hợp, nón làm trội . Bài toán chúng tôi quan tâm ở đây là tiêu chuẩn nhận biết các loại nón, mối quan hệ giữa các loại nón đó nh thế nào? Vấn đề này các nhà toán học kể trên đã thu đợc nhiều kết quả quan trọng. Mục tiêu chúng tôi đặt ra trong luận văn là : 1) Trình bày các khái niệm về nón và thứ tự trong không gian Banach. 2) Tìm thêm mối liên hệ giữa các loại nón trong các không gian Banach, chứng minh đầy đủ các tiêu chuẩn nhận biết nón. Luận văn đợc chia thành 4 mục : Đ1. Các kiến thức cơ sở Đ2. Nón và thứ tự trong không gian Banach Đ3. Về mối liên hệ giữa các nón trong không gian Banach Đ4. Một số ví vụ về nón. Trong Đ1 chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Banach cần thiết cho bài toán, một số không gian Banach cụ thể nh : không gian C[a,b], L p , l p , 3 không gian Hinbe và một số khái niệm về tập lồi. Chứng minh đợc định lý(1.1.18) : Mọi không gian phản xạ E đều là không gian đầu đủ yếu. Trong Đ2 chúng tôi đa ra định nghĩa về các loại nón và các khái niệm liên quan đến chúng. Chứng minh đầy đủ các tiêu chuẩn nhận biết các loại nón này. Nội dung chính đợc trình bày trong Đ3 là mối liên hệ giữa các loại nón đã nêu ở Đ2. Bên cạnh việc chứng minh các kết quả đã biết chúng tôi còn tìm đợc một số kết quả khác, cụ thể là định lý(3.7) và định lý(3.8) từ đó suy ra hệ quả (3.9). Cuối cùng, trong Đ4 chúng tôi trình bày một số ví dụ về các loại nón trong các không gian Banach. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, chỉ bảo hết sức tận tình của Thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngời Thầy hớng dẫn của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học trờng Đại học Vinh, gia đình cùng tất cả bạn bè đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Do thời gian nghiên cứu đề tài ngắn, năng lực bản thân có hạn và do kĩ thuật in ấn nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong đợc sự góp ý chân thành của ngời đọc. Vinh, ngày 20 tháng 11 năm 2004 Tác giả Đ1. các kiến thức cơ sở 4 1.1.Không gian Banach. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K (K là tr- ờng số thực hoặc phức). Hàm số thực . đợc xác định : . : E K xx thoả mãn các điều kiện sau : a) xx = x ,E K, b) yxyx ++ x, yE, c) 00 == xx ,xE. đợc gọi là một chuẩn. 1.1.2. Định nghĩa. Cặp ( E, . ) trong đó E là không gian tuyến tính, . là chuẩn trên E đợc gọi là không gian tuyến tính định chuẩn(có thể nói gọn là không gian định chuẩn). Ta kí hiệu không gian tuyến tính định chuẩn ( E, . ) là E. 1.1.3. Nhận xét. Giả sử . là chuẩn trên E, khi đó xét hàm : d : E ì E R d (x,y) = yx x,y E. Ta sẽ chứng minh đợc d là một mêtric trên E, do đó không gian định chuẩn E là một không gian mêtric. 1.1.4. Định nghĩa. Nếu dãy {x n } là dãy các phần tử của E, x 0 E thì : 0limlim 00 == xxxx n n n n . 1.1.5. Định nghĩa. Dãy {x n } E đợc gọi là dãy cơ bản (dãy Côsi) nếu : 0lim , = mn mn xx . 5 1.1.6. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản {x n } E đều có giới hạn xE tức là: 0lim = xx n n . 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử E là không gian Banach, kí hiệu E* là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên E và gọi là không gian liên hợp của E(không gian đối ngẫu của E). 1.1.8. Nhận xét. Với mọi không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E* luôn là một không gian Banach. 1.1.9. Định nghĩa. Không gian liên hợp của E* đợc gọi là không gian liên hợp thứ 2 của E và kí hiệu là E**. 1.1.10. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E gọi là không gian phản xạ nếu E = E**. 1.1.11. Định nghĩa. Dãy {x n } E đợc gọi là hội tụ yếu nếu với mọi phiếm hàm f E* thì dãy { } )( n xf hội tụ. Dãy {x n } gọi là hội tụ yếu đến x 0 E nếu )()( 0 xfxf n . Khi đó ta kí hiệu x n w x 0 và x 0 gọi là giới hạn yếu của {x n }. 1.1.12. Định nghĩa. Dãy {x n } E đợc gọi là Côsi theo nghĩa yếu nếu mọi f E* thì dãy { } )( n xf là dãy Côsi. 1.1.13. Định nghĩa. Không gian Banach E gọi là đầy đủ yếu nếu mọi dãy Côsi theo nghĩa yếu đều có giới hạn yếu. 1.1.14. Định nghĩa. Tập M E đợc gọi là compact theo nghĩa yếu nếu mọi dãy {x n } M đều có thể trích ra đợc một dãy con hội tụ yếu tới x 0 M. 1.1.15. Định lý (2). Giả sử E là một không gian Banach và { f n } là một dãy phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên E, nếu với mỗi x E, { f n (x) } là một 6 dãy Côsi thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E sao cho với mọi x E : )()(lim xfxf n n = và n n ff lim . 1.1.16. Định lý (5). ( Định lý Han-Banach về suy rộng các phiếm hàm tuyến tính) Giả sử E là không gian vectơ, p là nửa chuẩn xác định trên E và f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian vectơ con M của E thoả mãn điều kiện )()( xpxf với mọi x M. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f 1 trên E sao cho : a) f 1 (x) = f(x) với mọi x M. b) )()( 1 xpxf với mọi x M. 1.1.17. Hệ quả (5). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian vectơ con của một không gian định chuẩn E đều có suy rộng liên tục trên E. 1.1.18. Định lý. Mọi không gian phản xạ E đều là không gian đầy đủ yếu. Chứng minh : Giả sử {x n } E là Côsi theo nghĩa yếu. Do E là không gian phản xạ nên E = E** vì vậy x n E**. Mặt khác )()( nn xffx = với mọi f E*. Lại do {x n } là Côsi yếu nên { } )( n xf là dãy Côsi, suy ra { } )( fx n là dãy Côsi với mọi f E*. Vì E là không gian phản xạ nên theo nhận xét 1.1.8 thì E đầy đủ, áp dụng kết quả của định lý 1.1.15 thì tồn tại x 0 E** sao cho : )()(lim 0 fxfx n n = với f E*. Vì E = E** nên x 0 E. Vậy Exx w n 0 hay E là không gian đầy đủ yếu. Định lý đợc chứng minh. 1.2.Các không gian Banach cụ thể. 7 1.2.1. Không gian C [ a,b ] . Kí hiệu C[a,b] = {hàm liên tục f : [a,b]R} [ ] )(sup , xff bax = khi đó ( C [ a,b ] , . ) là không gian Banach. Chứng minh. Dễ thấy C[a,b] là một không gian vectơ trên R với phép toán tự nhiên và . xác định nh trên thoả mãn các điều kiện của chuẩn nên C[a,b] là không gian định chuẩn. Giả sử { } n f là dãy Côsi trong C[a,b] thì mọi > 0 tồn tại n 0 N sao cho mọi m, n n 0 , x [a,b] thì mn ff . Do đó [ ] )()(sup , xfxf mn bax < suy ra )()( xfxf mn < với mọi x[a,b]. Theo tiêu chuẩn Côsi trong giải tích cổ điển, dãy { } n f hội tụ dến một hàm g nào đó. Vì các hàm n f liên tục nên g liên tục, nghĩa là g C[a,b]. Nói cách khác dãy n f hội tụ trong C[a,b] với chuẩn sup. Vậy C[a,b] là không gian Banach. 1.2.2. Không gian L p (X). Giả sử X là tập đo đợc Lơbe bất kì trong R, ta kí hiệu L p (X) là không gian tất cả các hàm x từ X vào R sao cho p x khả tích Lơbe. Trong không gian này ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi. Với mọi p 1, x = x(t) L p (X) đặt p X p p dttxx 1 )( = (1) Bổ đề (2). (Bất đẳng thức Minkôpxki dạng tích phân) Giả sử p 1, với mọi x(t) L p (X) và y(t) L p (X) ta có x(t) + y(t) L p (X) và ppp yxyx ++ . Theo bổ đề trên ta có thể kiểm tra (L p (X) , p . ) là không gian định chuẩn. Định lý (2). (L p (X), p . ) là không gian Banach. 8 1.2.3. Không gian l p . Với mọi p 1, ta kí hiệu l p là tập hợp tất cả các dãy x = {x n } các phần tử trong R sao cho = p n n x 11 . Khi đó l p là không gian tuyến tính với phép toán cộng các dãy và phép nhân vô hớng. Với mọi p 1 , x l p đặt : p n p n p xx 1 1 = = Định lý (2). ( l p , p . ) là không gian Banach. 1.3. Không gian Hinbe. 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử H là một không gian tuyến tính trên trờng K, ánh xạ < , > đợc xác định : < , > : H ì H K (x , y) <x , y> thoả mãn : a) = yx, yx , x, y H, b) <x + y , z> = <x , z> + <y , z> x, y, z H, c) <x , y> = <x , y> x, y H, K, d) <x , x> 0 x H, <x , x> = 0 x = 0. gọi là tích vô hớng. Khi đó số <x , y> đợc gọi là tích vô hớng của hai phần tử x, y H. 1.3.2. Định nghĩa. Không gian tuyến tính H với tích vô hớng < , > đợc gọi là một không gian Unita (H, < , >). 1.3.3. Nhận xét. Nếu (H, < , >) là không gian Unita thì hàm số xác định bởi: yxx , = x H là một chuẩn trên H. 1.3.4. Định nghĩa. Không gian định chuẩn Unita (H, < , >) đầy đủ đợc gọi là không gian Hinbe. 9 1.3.5. Định nghĩa. Hai phần tử x, y H đợc gọi là trực giao nếu : <x , y> = 0. 1.3.6. Nhận xét. Giả sử M là một tập tuỳ ý trong H. Khi đó { } MxHxM = , là một không gian con đóng trong H và đợc gọi là phần bù trực giao của M. 1.3.7. Định lý (2). Nếu M là không gian con tuyến tính đóng của không gian Hinbe H thì mỗi phần tử bất kì f H đợc biểu diễn duy nhất dới dạng : f = h + h , với h M và h M . 1.4. Một số khái niệm cơ bản về tập lồi. Giả sử E là không gian vectơ, R là tập các số thực. 1.4.1. Định nghĩa. Tập A E đợc gọi là lồi nếu : x 1 , x 2 A, R : 0 1 x 1 + (1 - )x 2 A. 1.4.2. Định nghĩa. Vectơ xE gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 , x 2 , .x n E nếu tồn tại i 0 (i = 1,2 .n); 1 1 = = n i i sao cho x = = n i ii x 1 . 1.4.3. Định nghĩa. Giả sử A E. Tơng giao của tất cả các tập lồi chứa A đ- ợc gọi là bao lồi của tập A, và kí hiệu là coA. 1.4.4. Nhận xét. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A. b) A lồi A = coA. 1.4.5. Định nghĩa. Giả sử A E. Tơng giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A đợc gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là Aco . 1.4.6. Nhận xét. Aco là một tập lồi đóng và nó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A. 10 . 1.1. Không gian Banach 4 1.2. Các không gian Banach cụ thể 7 1.3. Không gian Hinbe 8 1.4. Một số khái niệm cơ bản về tập lồi 9 Đ2. Nón và thứ tự trong không. loại nón trong không gian Banach 23 Đ4. Một số ví dụ về nón 34 kết luận 41 tài liệu tham khảo 42 2 phần mở đầu Trong không gian Banach thì khái niệm nón