Một số tính chất của nón phân thớ

i BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HÀ THỊ YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NÓN PHÂN THỚ Chuyên ngành: Đại số - lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ TUẤN HOA Hà nội, năm 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của GS.TSKH. Lê Tuấn Hoa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Lê Tuấn Hoa. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH. Ngô Việt Trung và GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã tạo điều kiện cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa học tại Viện Toán học, Viện khoa học và công nghệ Việt Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học cao học. Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến ban chủ nhiệm Khoa Khoa học tự nhiên và các đồng nghiệp trong tổ Đại số đã tạo điều kiện về thời gian giúp tác giả ra Hà Nội học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, động viên của các nghiên cứu sinh Lê Xuân Dũng, Đỗ Trọng Hoàng và một số cử nhân khác. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, Chồng và những người thân của mình luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Tác giả Hà Thị Yến. ii Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN 4 1.1 Số bội Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Số bội trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Số bội trộn tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 CHUỖI HILBERT CỦA NÓN PHÂN THỚ 29 2.1 Chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Chuỗi Hilbert của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . 34 3 ĐẶC TRƯNG COHEN-MACAULAY CỦA NÓN PHÂN THỚ 40 3.1 Các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen- Macaulay của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Đặc trưng trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu 49 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 1 MỞ ĐẦU Trong nhiều thập kỉ gần đây, đại số Rees, vành phân bậc liên kết và nón phân thớ của một iđêan đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Trong các đối tượng đó, nón phân thớ F (a) := ⊕ n≥0 a n /ma n thường là khó nghiên cứu nhất. Gần đây, nhờ một khái niệm mới là số bội trộn, một số tác giả đã nhận được kết quả mới về nón phân thớ. Cho (A, m) là một vành địa phương, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Hàm số Bhattacharya của a và b là hàm B a,b (−) : N ∗ × N ∗ → N được xác định bởi B a,b (r, s) = (A/a r b s ) < ∞, với mọi r, s ∈ N ∗ . Bhattacharya chứng minh rằng tồn tại một đa thức p a,b (x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d sao cho B a,b (r, s) = p a,b (r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d với hai biến r, s trong p a,b (r, s) có dạng 1 d!   e 0 (a|b)r d + · · · +   d i   e i (a|b)r d−i s i + · · · + e d (a|b)s d   với e 0 (a|b), · · · , e i (a|b), · · · , e d (a|b) là các số nguyên dương. Các số e 0 (a|b), · · · , e i (a|b), · · · , e d (a|b) được gọi là các số bội trộn của a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14]. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của nón phân thớ thông qua số bội trộn e d−1 (m|a) với cách tiếp cận theo hướng khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ và chuỗi Hilbert của nó. Trong luận văn cũng đưa ra nhiều ví dụ 2 được tính toán cụ thể để minh họa cho các kết quả được phát biểu. Bây giờ, chúng tôi xin giới thiệu cấu trúc của luận văn. Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương. Chương 1 chia làm ba phần. Mục 1.1 trình bày khái niệm và tính chất của số bội Hilbert-Samuel và một số đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay. Mục 1.2 trình bày khái niệm và một số tính chất của số bội trộn, mối quan hệ giữa số bội trộn và số bội Hilbert-Samuel. Mục 1.3 nêu khái niệm và đặc trưng của iđêan có số bội trộn tối tiểu. Chương 2 chia làm hai phần. Mục 2.1 trình bày khái niệm và một số tính chất của chuỗi Hilbert. Mục 2.2 giới thiệu khái niệm nón phân thớ, chuỗi Hilbert của nón phân thớ và trình bày công thức tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu. Chương 3 chia làm hai phần. Mục 3.1 nêu các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ. Ở đây chúng tôi trình bày một đặc trưng của Cruz-Raghavan-Verma về tính Cohen-Macaulay thông qua chuỗi Hilbert. Sử dụng kết quả tổng quát đó và công thức tính chuỗi Hilbert ở Mục 2.2, trong Mục 3.2 chúng tôi trình bày một đặc trưng tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ thông qua số mũ rút gọn trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu. 3 Chương 1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về số bội Hilbert-Samuel, số bội trộn, số bội trộn tối tiểu và các tính chất cần thiết cho chứng minh các định lý chính ở Chương 2 và Chương 3. 1.1 Số bội Hilbert-Samuel Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A 0 và E là Z-môđun phân bậc hữu hạn sinh trên A. Khi đó  A 0 (E n ) < ∞ và hàm số H E (−) : Z → N được xác định bởi H E (n) =  A 0 (E n ), với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert của E. Định lý 1.1.1. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A 0 và E là A-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Khi đó, tồn tại một đa thức p E (x) ∈ Q[X] có bậc d − 1 gọi là đa thức Hilbert của E sao cho H E (n) = p E (n), với mọi n đủ lớn. Hơn nữa, p E (x) luôn 4 viết được duy nhất dưới dạng p E (x) = d−1  i=0 (−1) i e i (E)   x + d − i − 1 d − i − 1   với e 0 (E), , e d−1 (E) là các số nguyên và e 0 (E) > 0. Khi đó số bội của môđun E được định nghĩa là e(E) :=      e 0 (E) nếu d > 0, (E) nếu d = 0. Từ đây cho đến hết Mục 1.1, nếu không nói gì ta luôn giả thiết (A, m) là vành địa phương Noether chiều d, E là A-môđun hữu hạn sinh và a là iđêan m-nguyên sơ của A. Định nghĩa 1.1.2. Hàm H a,E (−) : Z → N được xác định bởi H a,E (n) = (E/a n+1 E) < ∞, với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert-Samuel của E đối với a. Định nghĩa 1.1.3. Cho (A, m) là vành địa phương Noether, E là A- môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan của A. Khi đó, G a (E) := ⊕ n≥0 a n E/a n+1 E được gọi là môđun phân bậc liên kết của E đối với a. Trong trường hợp E = A, ta kí hiệu G a (A) bởi G(a) và được gọi là vành phân bậc liên kết của A đối với a. Bây giờ giả sử a là iđêan m-nguyên sơ. Khi đó G(a) là vành phân bậc chuẩn có G 0 = A/a là vành Artin. Hơn nữa, G a (E) là môđun phân 5 bậc hữu hạn sinh trên G(a). Theo Định lý Hilbert-Serre tồn tại đa thức p G a (E) (x) và số s sao cho (G a (E) n ) = (a n E/a n+1 E) = p G a (E) (n), ∀n ≥ s. Do đó với mọi n ≥ s, ta có H a,E (n) = (E/a n+1 E) = s−1  j=0 (a j E/a j+1 E) + n  j=s (a j E/a j+1 E) = α + n  j=s p G a (E) (j), trong đó α là hằng số. Từ đó suy ra H a,E (n) bằng một đa thức có bậc bằng dim E với mọi n đủ lớn. Do đó ta có hệ quả sau Hệ quả 1.1.4. Tồn tại một đa thức P a,E (x) ∈ Q[X] có bậc bằng dim E gọi là đa thức Hilbert-Samuel sao cho H a,E (n) = P a,E (n), với mọi n đủ lớn. Vì dim E ≤ d nên ta luôn viết được P a,E (n) duy nhất dưới dạng P a,E (n) = e.n d d! + g(n), trong đó g(n) có bậc nhỏ hơn d, e ∈ Z và e > 0. Định nghĩa 1.1.5. e(a, E) := e được gọi là số bội Hilbert-Samuel của E đối với a. Trong trường hợp E = A, khi đó ta đặt e(a, A) = e(a) và định nghĩa là số bội của a. Nói riêng e(m) := e(A). 6 Từ nhận xét trước Hệ quả 1.1.4 ta có e(a, E) = e 0 (G a (E)). Tiếp theo chúng ta nêu một số tính chất cơ bản của số bội Hilbert- Samuel. Những tính chất này được trích từ [10], từ trang 107 đến trang 112. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra bổ đề sau Bổ đề 1.1.6. Với a và E như trên ta có (i) e(a, E) = lim n→∞ d!(E/a n+1 E) n d . Nói riêng nếu d = 0 thì e(a, E) = (E). (ii) e(a s , E) = s d e(a, E), ∀s ≥ 1. (iii) e(a, E) > 0 nếu dim E = d và e(a, E) = 0 nếu dim E < d. (iv) Nếu a và a  là hai iđêan m-nguyên sơ của A và a ⊆ a  thì e(a, E) ≥ e(a  , E) . Tiếp theo chúng tôi nêu một số tính chất được dùng trong tính toán số bội Hilbert-Samuel Bổ đề 1.1.7. Cho 0 −→ E  −→ E −→ E  −→ 0 là dãy khớp các A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, e(a, E) = e(a, E  ) + e(a, E  ). Định lý 1.1.8. (Công thức bội liên kết) Cho {p 1 , · · · , p r } là tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu của A mà dim A/p i = d. Khi đó e(a, E) = r  i=1 e(a i , A/p i ) (E p i ), trong đó a i là ảnh của a trong A/p i và  (E p i ) là độ dài của E p i như A p i −môđun. 7 Ví dụ 1.1.9. Cho A = k[[X 1 , · · · , X n ]] với k là một trường. a = (X n ) ∩ (X 2 1 , X 2 3 ) ∩ (X 2 , X 3 3 ) là phân tích nguyên sơ tối tiểu của a. B = A/a = k[[X 1 , · · · , X n ]]/(X n ) ∩ (X 2 1 , X 2 3 ) ∩ (X 2 , X 3 3 ). Ta có Ass(A/a) = {(X n ), (X 1 , X 3 ), (X 2 , X 3 )} = {p 1 , p 2 , p 3 }, trong đó p 1 = (X n ), p 2 = (X 1 , X 3 ), p 3 = (X 2 , X 3 ). Đặt p  1 = (x n ), p  2 = (x 1 , x 3 ), p  3 = (x 2 , x 3 ) lần lượt là ảnh của p 1 , p 2 , p 3 trong B. Khi đó p  1 , p  2 , p  3 là các iđêan nguyên tố tối tiểu của B. Mặt khác dim B = max { dim A/p 1 , dim A/p 2 , dim A/p 3 } = dim A/p 1 = n − 1. Áp dụng Định lý 1.1.8 trong vành B = A/a ta được, e(B) = e(A/p 1 )(B p 1 ) = 1. Định nghĩa 1.1.10. Iđêan b ⊆ a của A được gọi là một rút gọn của a nếu có một số nguyên không âm r sao cho a r+1 = ba r . Một rút gọn của a được gọi là tối tiểu của a nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của a. Northcott và Rees đã chứng minh rằng rút gọn tối tiểu của một iđêan luôn tồn tại. Nếu b là một rút gọn của a và a r+1 = ba r thì với mọi n > r ta có a n = ba n−1 . 8 [...]... 2.2 Chuỗi Hilbert của nón phân thớ Trước hết ta nhắc lại định nghĩa nón phân thớ Định nghĩa 2.2.1 Cho (A, m) là vành địa phương chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ của A Nón phân thớ của a, kí hiệu F (a), được định nghĩa là vành phân bậc F (a) := ⊕ an /man n≥0 Nhận xét 2.2.2 Nếu a là iđêan m-ngyên sơ thì dim F (a) = dim A = d Theo Định nghĩa 2.1.1, ta suy ra chuỗi Hilbert của nón phân thớ F (a), ∞ an kí... đại số Rees của các iđêan có số bội tối tiểu Trong trường hợp iđêan không có số bội tối tiểu nhưng có số bội trộn tối tiểu, một số tác giả cũng đưa ra được nhiều tính chất đẹp được áp dụng trong nghiên cứu vành phân bậc liên kết, nón phân thớ và đại số Rees của các iđêan có số bội trộn tối tiểu Sử dụng đẳng thức (1.3) trong định nghĩa trên ta có thể nhận biết iđêan có số bội trộn tối tiểu Ví dụ 1.3.3... là iđêan rút gọn tối tiểu của m nên nó là rút gọn chung của (m|a[0] ) Mặt khác ma = (t8 , t9 , t10 , t11 , t12 , t13 ), (t4 )a = (t8 , t9 , t10 ) Vì t11 ∈ ma nhưng t11 ∈ (t4 )a nên suy ra ma = (t4 )a / Theo Bổ đề 1.3.7, a không có số bội trộn tối tiểu 28 Chương 2 CHUỖI HILBERT CỦA NÓN PHÂN THỚ Kết quả chính của chương này là trình bày công thức tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp iđêan... a có số bội trộn tối tiểu nếu ed−1 (m|a) = µ(a) − d + 1 (1.3) J Chuai trong ([4]) đã chứng minh rằng với một iđêan m-ngyên sơ a trong một vành địa phương (A, m) Cohen-Macaulay chiều d, e(a) ≥ µ(a) − d + (A/a) S Goto trong ([8]) định nghĩa một iđêan có số bội tối tiểu nếu e(a) = µ(a) − d + (A/a) Từ đó, S Goto đã nghiên cứu nhiều đặc trưng của vành phân bậc liên kết, nón phân thớ và đại số Rees của các... chung của một tập các iđêan và từ đó chứng minh được công thức tính các số bội trộn ei (a|b), với i = 0, , d thông qua số bội Hilbert-Samuel của một hệ tham số Định nghĩa 1.2.5 [12, Section 1] Cho U = (a1 , · · · , at ) là một tập các iđêan của A, không cần thiết phải khác nhau Kí hiệu R = (r1 , · · · , rt ) là tập các số nguyên dương nào đó, Ri = (r1 , · · · , ri − 1, · · · , rt ) Khi đó ta nói một. .. là một rút gọn của a thì số mũ rút gọn của a đối với b được định nghĩa là rb (a) = min n ≥ 0|an+1 = ban Số mũ rút gọn r(a) của a được định nghĩa là r(a) = min{ rb (a) | b là rút gọn tối tiểu của a } Bổ đề 1.1.12 Giả sử b là một rút gọn của a Khi đó b cũng là m-nguyên sơ và với bất kì A-môđun hữu hạn sinh E ta có e(b, E) = e(a, E) Hệ quả 1.1.13 Giả sử trường thặng dư của A vô hạn Khi đó tồn tại một. .. trường thặng dư của A vô hạn Khi đó tồn tại một hệ tham số x của A mà (x) là một rút gọn tối tiểu của a và e(a, E) = e((x), E) Từ bổ đề trên suy ra nếu A/m vô hạn thì mọi iđêan rút gọn tối tiểu của a đều là iđêan tham số Bổ đề 1.1.14 Cho (A, m) là vành địa phương Noether chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ của A và x1 , · · · , xd là một hệ tham số của A được chứa trong a Giả sử xi ∈ ari , ∀i = 1, · · ·... tiểu của m Theo nhận xét ở Hệ quả 1.1.13 ta được q = (t4 ) là iđêan tham số của A 10 Theo Hệ quả 1.1.13, e(q) = e(m) = 4 Mặt khác, q = t4 + αn tn |αn ∈ k , suy ra (A/q) = 4 n≥8 Từ đó nhận được e(q) = (A/q) Vậy A là vành Cohen-Macaulay Sau đây là một vài tính chất đặc biệt của vành và môđun CohenMacaulay Bổ đề 1.1.19 E là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi (E/qE) = e(q, E) với mọi hệ tham số q của E... Hilbert-Poincare (hay chuỗi n=−∞ Hilbert) của E Ta nhận thấy hàm Hilbert, đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của một A-môđun phân bậc hữu hạn sinh E trên vành Noether N -phân bậc A có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Từ việc tính hàm Hilbert của E ta suy 29 ra đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của nó Ví dụ 2.1.2 Cho A = k[X1 , · · · , Xd ] là vành đa thức d biến trên trường k có dạng phân bậc chuẩn A = ⊕ An , với An... dương, trong đó µ(a) kí ed−1 (m|a) hiệu số phần tử sinh tối tiểu của a Khi đó chính là hệ số (d − 1)! của sd−1 trong biểu thức của µ(mr as ) Nếu tính được cụ thể biểu thức của µ(mr as ) thì ta có thể suy ra tất cả các số bội trộn ei (m|a), với mọi i = 0, · · · , d − 1 Từ đó minh họa đẳng thức (1.2) trong trường hợp r = s = 1 Ví dụ 1.2.13 Cho vành A = k[[x, y]] với k là một trường, m = (x, y) và a = (x4 , . niệm và tính chất của số bội Hilbert-Samuel và một số đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay. Mục 1.2 trình bày khái niệm và một số tính chất của số bội trộn, mối quan hệ giữa số bội trộn và số bội. cứu một số tính chất của nón phân thớ thông qua số bội trộn e d−1 (m|a) với cách tiếp cận theo hướng khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ và chuỗi Hilbert của. Hilbert của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . 34 3 ĐẶC TRƯNG COHEN-MACAULAY CỦA NÓN PHÂN THỚ 40 3.1 Các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen- Macaulay của nón phân thớ . .