MỤC LỤC
Lời nĩi đầu . 225222cc HH H02 2
CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI
Phan 1 Các kiến thức về hinh hoc dai $6.20 cc ccc cee ccc ceeveceeeetsestestestetesersseen
Phần 2 Tổng quan về chương trình đại số sơ cấp trong toan phé théng 24 CHƯƠNG TT : MỘT SỐ YẾU TĨ HÌNH HỌC ĐẠI SĨ TRONG ĐẠI SĨ SƠ CAP
2.1 Các tập đại số trong đại số sơ cấp . - ¿2222222 2222221221112112 112211222 ee 25
2.2 Cau xa, yếu tố ánh xạ liên tục trên Tơpơ Zariski sc2sz>szczvz 28 2.3 Thể hiện idéan của tập đại số trong đại số sơ cấp -c2-55zcccc+: 34
Trang 2Hình học đại số là bộ mơn ra đời từ giữa thế kỷ 19 và vào cuối thế kỷ 19 hình
học đại số đã phát triển mạnh mẽ ở Italy với những tên tuổi như Castelnouvo, Zariski và các học trị của ơng Hình học đại số là mơn tốn học dùng các cơng
cụ đại số để nghiên cứu hình học Đề làm được điều này người ta đã dùng các phương trình đa thức để mơ tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Qua quá trình giảng
dạy và học tập chuyên ngành Hình học đại SỐ, chúng tơi thấy Hình học đại số
cĩ mối liên hệ với tốn phố thơng Với mong muốn được hiểu sâu hơn về mối
quan hệ giữa Hình học đại số và Đại số sơ cấp, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS
Nguyén Huynh Phan , tơi chọn đề tài “MỘT SĨ YẾU TĨ HÌNH HỌC ĐẠI SĨ TRONG ĐẠI SĨ SƠ CÁP” đề làm đề tài luận văn tốt nghiệp
Luận văn được chia làm hai chương:
CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI
Trong chương này, chúng tơi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan đến nội dung của chương sau Cụ thê, chúng tơi trình bày các định nghĩa và các
tính chất cơ bản của vành giao hốn, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tơpơ
Zariski và các nội dung chính của Đại số sơ cấp trong tốn phổ thơng
CHƯƠNG II MỘT SĨ YÊU TĨ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SĨ SƠ CÁP
Trong chương này, chúng tơi trình bày các yếu tố hình học đại số trong đại số sơ cấp gồm các nội dung như: Tập đại số trong đại số sơ cấp, cấu xạ, ánh xạ
liên tục trên Tơpơ ZarIski và thể hiện iđêan của tập đại số trong Đại số sơ cấp Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Vĩnh dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân địp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn các
Trang 3quá trình cơng tác và học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến các thầy cơ giáo trong Khoa Tốn trường Đại học Vĩnh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hồn thành luận văn Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã
động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn này
Mặc dù đã cố gắng nhưng khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt Chúng tơi rất mong nhận được sự gĩp ý của quý thầy cơ và các bạn để luận văn được
hồn thiện hơn
Xin chân thành cảm on !
Trang 4CHUONG I MOT SO KIEN THUC CHUAN BỊ PHAN 1 CAC KIEN THUC VE HiINH HOC DAI SO
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học đại số
như : Tập đại số, idean, idean nguyên tố và tập bất khả quy, cấu xạ và các tính
chất của chúng Nhiều tính chất trong này chúng tơi đã chứng minh chỉ tiết mà trong các tài liệu tham khảo đã chứng minh sơ lược hoặc khơng chứng minh
1.1 VÀNH ĐA THỨC 1.1.1 Định nghĩa
Cho A là một vành giao hốn cĩ đơn vị và n là một số nguyên khơng âm
Vành đa thức A[ Xị, Xa, Xa] của n biến xị, xạ, , xạ trên A được định nghĩa
theo quy nạp như sau:
A[ Xi; Xe, ., Xn} = AP Xi, Xe, ., Xai]|[Xa]
Tức là A[ xị Xo, xạ] là vành đa thức của biến xạ trên vành A[ Xị.X¿ Xạ+]- Ký hiệu: A[X]= A[ Xi Xa Xa]
Khi đĩ A[X] !à vành giao hoứn cĩ đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức thơng thường Các phần tử của A[X] được gọi là các đa fức, mọi đa thức fe A[X] cĩ dạng
'
với m €Đ và €,_„„„ aly € A.Các phan tir Cy uaty = 0 được gọi là các hệ số và các lg
biểu thức x{t++x{" được gọi là các đơn thức của 1.1.2 Bậc của đa thức
Với fe A[X] đặt degf:= max{rt + rạ + + rn | " tn +0} néuf #0
và đặt degf = - nếu f = 0 Khi đĩ đegƒ được gọi là bác của ƒ
Nếu degf= I, ta nĩi f là đa thức bậc nhất, nĩ luơn cĩ dạng f = aiXi † azXa + + anXn + anit
trong đĩ ít nhất phải cĩ một hệ số gắn biến khác khơng
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo
giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi
Trang 5néu ty + T; + Tạ > SỊ È S; + Sụ
hoặc rị + rạ + +rạ — sị + s;+ + sạ và tọa độ khác khơng đầu tiên của vécto (1 — SỊ, Fa — S2 „ Tạ - Sạ ) là dương
1.1.2 Mệnh đề Nếu 4 là miền nguyên thì degfg = degƒ + degg voi moi da thức ƒ g e AIXJ
Chứng minh Mọi đơn thức của fg đều cĩ dang uv voi u là đơn thức của f và v
là đơn thức của g Gọi umax, vmạx lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g theo thứ tự nêu trên Với mọi u # umạy và V # Vmax fA cĨ uV < u0maxVmax do đĩ uv # UmaxVmax Gọi c, d € A la các hệ số tuong tng cla Umax, Vmax Vic, d = 0 nén cd #£ 0 Khi đĩ cdumaxVvmax là hang tu cua fg
Do d6: deguv < degumaxVmax = degumnax + degVinax = degf + degg Vay degfg = degf + degg
1.1.3 Ménh dé Néu A la mién nguyén thi A[X] là mién nguyén va cdc phan tie kha nghich cia A[X] là các phân từ khả nghịch của A
Ching minh Gia su f, g là các đa thức khác 0 trong A[X] Khi đĩ deg£, degg =0 nên degfg > 0 và do đĩ fg £0 Vì vậy A[X] là miền nguyên
Tiếp theo, néu fg = 1 thi degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; đo đĩ £ g là những phần tử khác 0 của A Vì vậy £ g là những phần tử khả nghịch của A
1.1.4 Nhận xét Nếu K là một trường thì 1/ Với mọi Ê ø e K[X] ta luơn cĩ
deg(fg) = degf + degg
2/ K[X] là miền nguyên vì fg # 0 nếu f g £ 0
3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg = 1 néu f £ K hoặc g £ K 1.1.5 Nghiệm của một đa thức
Trang 6nếu fa) = 0 và ta cũng nĩi f #iệt tiêu tại a
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạf: K” -› K; a r> f{a), gọi là ánh xạ da thức
1.1.6 Bỗ đề Giả sử K là một trường cĩ vơ hạn phần tir Néu fla) = 0 với
va e K" thì ƒ= 0 Chứng mình
+) Nếu n= I thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d > 1 thì f chỉ cĩ
hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f{a) = 0 Va e K" +) Nếu n> 1, giả sử fchứa biến xạ khi đĩ ta viết f dưới dang:
f=f) + xf) + Xu + tu,
trong do fo, fi, fn € K[ x1, X2, Xai| và Ên 0 Suy ra ton tai bộ số (ai, 8a, „ 8n.) SaO Cho Í{a, aa, an.) =Ê Ư
Do d6 fo(ar, a2, .5 ân) + Ÿ(Ai, 8, An) Xa + + (ai, a2 Ana)Xn" 1a da thức một biến của xạ cĩ bậc m nên cĩ hữu hạn nghiệm, mà đa thức này triệt
tiêu với mọi a thuộc K với K vơ hạn phân tử (vơ lí) Vậy f= 0 Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh
1.1.7 Nhận xét Bồ đề khơng cịn đúng nếu K là một trường hữu hạn Chăng hạn K = {œi,ơa, œạ } thì đa thức Ÿ= (x-œ¡)(x-œa) (x-ơn) là một đa thức
khác 0 nhưng triệt tiêu trên tồn bộ K
1.1.8 Hệ quả Giả sử K là một trường cĩ vơ hạn phân tử: Cho ƒvà g la hai da thức trong KỊXJ Nếu ƒfa) = g() với mọi a e K” thì ƒ= g
Trong luận văn này, từ đây trở đi, /ø luơn giả thiết trường K là vơ hạn 1.2 TẬP ĐẠI SĨ
1.2.1 Định nghĩa Tập Ve K” được gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một họ các đa thức trong K[X], nghĩa là:
V={xf(4; ,3„) € kh/ § (x) =0 Y § eS CK[X] }
Trang 7
1.2.2 Ví dụ
1/ Tập rỗng Ø là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vơ nghiệm
2/ Mọi điểm a = (ai, 8a, 8n) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của
hệ phương trình: 4 — đ;¿ =Ũ Xzg—a,=0
Xp — hy = 9
3/ Khéng gian K" 1a tap đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm của kK"
4/ Cac m — phang trong khéng gian afin A" la các tập đại số vì đĩ là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính cĩ dang:
Giấy † địaẤz Tên đ đạ„„ = Ơị Qayấ; + Agghg t+" + GayXn = Ủa AgyXyt AygXz $+ GynXy_ = by
Trong đĩ hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và n-m<p<n
5/Tập tất cả các số thue KR? va tat ca cdc số phức ` là các tập đại số
6/ Lấy K= Ï hoặc É và cho tơpơ trên Ïš*,€” là tơpơ thơng thường ( tơpơ sinh
bởi khoảng cách ơcolit d(x,y) = Vlei trong đĩ x = (XỊ,Xa, ,Xn);
y= (yi.v; ya) Thì mỗi tập dai sé V trong R” va C* là những tập đĩng vì các ánh xạ đa thức f: 3? — 3; ar> f(a) là ánh xạ liên tục ( với tơpơ thơng thường) và tập đại số V= Opes f*(9) là giao của các tập đĩng f”(o) nên V đĩng trong KR"
1.2.3 Siêu mặt
a) Định nghĩa Cho f e K[X] Ký hiệu Z(Ð = {a e K”: f(a) = 0}, tức là Z(Ð là tap nghiệm của đa thức f Khi đĩ:
Trang 8Dac biét degf= 1 thì Z() gọi là một siêu phăng Ta chỉ cĩ thể tính Z(Ð trong một số trường hợp cụ thê
b) Ví dụ Trong vành đa thức KỊx, y], cho f = xỶ - y, thì Z(f) = { (a, a*)|a¢ Kỳ
Thật vậy đặt V = { (a.a”) a < K}
*®(a,a) e€V =f{a)= a`—-a`=0 = Vc Z(
* Ngược lại, giả sử (ai, a2) = Z(f) Nếu a: =0 thì a; = 0 nên (ai, a2) = (0, 0°) €V Khia; +0 = a.=0, tacd
a a
Qa a ay
Do do ta cd (a), a2) € V Tr do suy ra Z(Ð) c V Vậy ta cĩ V = Z(f)
1.2.4, Tap Zariski
a) Dinh nghia: Cho S là một tập con của K[XỊ], kí hiệu Z(S) = {a € K": f(a) = 0, Vf © S}; Vay Z(S) = f1;„s;Z(ƒ) thé thi Z(S) là một tập đại số và vì vậy moi tap đại số đều là giao của các tập dạng Z(?), khi này ta cũng nĩi Z(S) là fập
đại số của tập các đa thức S và được gọi là tập Zariski của tập S
b) Nhận xét
1/ Khi n = 1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ cĩ hữu hạn nghiệm nên tập đại số của nĩ trong K là tập hữu hạn Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập nghiệm của đa thức một biến Vì vậy Z(Ð = © hoặc Z(Ð) là tập hữu hạn hoặc
Z(Ð =K Từ đĩ suy ra khi n = 1 các tập đại số trong K là các tập rong, tập hữu
hạn hay K
2/Gia sir Sva Sạ là hai tập đa thức trong K[X] Nếu S¡ c S¿ thì Z(S¡) > Z(S¿)
Trang 9Đặt ŠS = fz |feS, g €S2} Taco: Z(S)) UZ(S2) = ZS) Ching minh
*Z(S)U Z(S2) c Z(S)
At«a‹ TẾ A gon , fae Z(8,)
Thật vậy: Lây phân tử tùy ý a e Z(S¡) U Z(S:) thì l =7(,)
- Nếu a € Z(S,) thi f(a) = 0 véi Vf e S¡ suy ra (fg)(a) = Đ(a)g(a) = 0 với
Vfc€ §¡ và Vg e S; Do đĩ a e Z(S)
- Nếu a e Z{S;) thì g(a) = 0 voi Vg e Sa, suy ra (f>)(a) = Đa)g(a) = 0 với Vfce S¡ và Vgø eS; Do đĩ a e Z(S)
Vay Z(S1) U Z(S2) c Z(S) (1)
+)Z(S1) VU Z(S2) Z(5)
Lấy phần tử tùy ý a e Z(S) Khi đĩ (fg)(a) = f{a)g(a) = 0 với VÝ e S¡ và Vg eS
f(a) = 0 tae Z(Sy)
=> [ea _¢9 do K là trường nên Ê = X(S,)
=a € Z(S,)U Z(Ss)
Vay Z(S1) U Z(S2) > Z(S) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
d) Bỗ đề Cho £Sj}¡.¡ là một họ các tập đa thức trong K[X] Khi do:
fđ1„;Z(5,)= Z(U;:rŠ:)
Chứng mình
Lấy phần tử tùy Ya [1;„Z(Š,) khi đĩ: a € Z(S;) voi Vi e | © f(a)= 0 với Vf e Si, Vie I
=> f(a) =0 voi Vf € U;.:S; ©ac/(U,.;ŠS,)
Vậy Mier 2(5;) = Zier 5s)
Trang 10Ching minh
Giả sử a € K" và b e K”, Khi đĩ (a, b) la nghiém ctia S U T khi và chỉ khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T Điều này chứng tỏ
Z(S)x Z(T) = Z(S © TT)
1.2.5 Nhận xét Từ các kết quả trên ta tĩm tắt lại như sau:
1/ Ø là tập đại số 2/ K" là tập đại số
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại SỐ 5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại SỐ
6/ Tuong img Z: K[X] > K", cho bdi S + Z(S) là một ánh xạ từ họ tat ca các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của khơng gian ađn
kK"
7/NéuS; > Sz thi ZS) < ZS2);
8/Z(0) = K";
9⁄70 =Ư với OF fe K
'Từ nhận xét trên ta cĩ kết quả sau
1.2.6 Dinh li Ho tat ca các tập đại số trong khơng gian qịìn K" lập nên một tơpơ (theo ngơn ngữ tập đĩng)
Chứng mỉnh Ký hiệu Z(K”) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong K” Thế thì họ này chứa rỗng, chứa K" và đĩng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nĩ lập thành một tơpo (theo ngơn ngữ tập đĩng) trên K”
1.2.7 Tơ pơ Zariski
a) Định nghĩa Họ Ø;= {V | V © K"| V là tập đại số} lập thành một tơpơ trên khơng gian ađn K” và gọi là “ơpơ Zariski
b) Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tơpơ Zariski)
Trang 11II
Thật vay, moi tap mo U bat kỳ trong K" đều là phần bù của một tập đại số Z8)
Do Z(S) = yes 2 Cf) nén U = K"\ pes 2) —U pes K"\ 20D) =U =UresDCE) (dpem)
2/ Khi K =R, C (truong sé thuc, trường số phức), các tập đại số trong R", C" với tơpơ thơng thường trên R”, C” là các tập đĩng vì 7(S) =f\;zz ƒ~?(0) trong đĩ f! là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đĩng trong K
3⁄ Hai tập mở (với tơpơ Zariski trong K") khơng rỗng của K" luơn giao nhau; Chứng minh: Mỗi tập mở đều là hợp của các tập mở cơ sở D(?), nên ta chỉ cần chứng minh D(Ðđ\D(g) £ đvới mọi D() và D(g) khơng rỗng Thật vậy,
D@®ND(g) = K" \ Zt) UZ(g) = K* \ Z(fg)
Nhung D(f), D(g) khac réng nén Z(f) va Z(g) khac K", do dé f va g khac 0, vi vay fg +0 Nén Z(fg) + K"
= Dio Dig) = B
4/ Mọi tập mở: Zariski khơng rỗng đều là tập trù mật (đối với tépo Zariski);
3⁄ Khơng gian qfìu K” với tơpơ Zariski khơng phải là khơng gian HausdorƒƑ
Kết luận 4/ và 5/ suy từ 3/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở
khác rỗng khác đều giao với nĩ, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong K”
đều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong K"
1.3 IDEAN
Trong phần này, chúng tơi trình bày tính chất, các phép tốn về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng
1.3 1 Định nghĩa Tập con I của vành A gọi là ¿đan nếu nĩ là vành con của A và cĩ tính chất
hf e Ivới mọi he Ivà f e A 1.3.2 Ví dụ
1/ Tap {0} va A la idean Chung gọi là các iđezn tầm thường Những idean cịn
lại goi la idean thuc sw
2/ Voi moi f « A, tap (f) : = {gf; g = A} la mét idean, goi la idean chinh sinh boi f-
Trang 12Thế thì tập
(S):= { hiđ + haf› + + h,f ; hy, hy, , hy € S: f,
là một idean bé nhất chứa S, gọi là idean sinh boi S
1.3.3 Mệnh đề
Cho I, J là các iđêan trong vành A, ta cĩ:
1⁄1+J := {ƒtglS L,.qe J} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J; 2/TfU := {JE [ tà ƒ j] là một iđêan;
3/ Tập lLJ : = (hự) + hợý; + + hự,, hạ hy h, cl và f, fo,
idéan va dwoc goi la idéan cua tich LJ;
4 IIS 10S va noi chung hai idéan nay khae nhau; Md + J) = MI + MJ voi moi idéan I, J, M Ching minh
1⁄ Giả sử u, v€7+J
= Ệ =đ Tơi te] geƑ,i=L2
v=f,+ 92 =utv=(f +9.) +8 + 92) —CA+A) Hg t+ gel uv = fife tide + 91h +9182 — fia +92) + 912 + G2) Vi f EL gz €Jnén f €A, gz EA => 5 +92,¢A = filh +92) © G g:Œ + 0;)€J =uvEi+/ WheAvaw Elt+/ = w=frg = h(f+g) = hf+ hg €7+J Vay 1+J là iđêan 2/;3/ Chứng minh tương tự l/ fe A}
ven fed } lat
4/ Giả sử u€ /J, khi đĩ u = hịf + hạt; + + h/f: với hị, hạ, h; =l và Ít,
h, f J
fi, el ity € J >uelV => Vc i
5/Ap dung dinh nghia
Trang 13
13
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f € I và g e1 1.3.4 Nhận xét
1/ Phép cộng và phép nhân các iđêan thõa mãn tính chất kết hợp, giao hốn và phân phối;
2/ Phần tử 0 e I vì 0 =0.x với Vx e V; 3/ Phan tử đơn vị 1 e I khi và chỉ khi [ = V; 4/1 # V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;
5/ Cho §c V Kí hiệu: (S)=fgifi + of + +g,f/reN,§ eS,g¡£A,¡= 1,7} Lúc đĩ éŠ) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người fa gọi là iđêan sinh bởi S Đặc biệt khi S cĩ hữu hạn phân tử thì {S)- (fi, fi, ., £.), nếu S cĩ một phần tử thì (S)= {ƒ}= { thịhe V} được gọi là idéan chính
1.3.5 Ví dụ Cho I = (x’, y) va J = (y) la hai idéan trong vành đa thức hai ẩn
K[x, y], ta co:
V1 + J = (x2,y) vil = 6°f+ yg | £ ge Kix y]} J= {yh| h e KỊx y]} nénI+J={xf+yg+yh|f£g, he K[x y]}={xf+ey|fe e K[x y]}
2/ 1) — (x? y,y?) do II = {(x°f + yg)yh| £ g, h € Kfx, y}}
={xyutyv uve Kx, y]} = (x?y,y?)
3/I NI = (t+ yg| fg € K[x y}} M fyh| he KỊx y]}
= (x yf+ ye|£ e KỊx y]}
— 4x? y, 9)
1.3.6 B6 dé Moi tap dai sé déu la tap dai số của một iđêan nào đĩ
Ching minh
Gia str S 1a mét tap cac da thite trong K[X] và IE (S) là iđêan sinh bởi S ‘La sé ching minh Z(S) = Z(1), nghĩa là khi đĩ tập đại số của tập S chính là tập
đại số của iđêan I Thật vậy:
Ta cĩ: S c I nên Z(S) 5 Z(I) (3)
Ta chứng minh Z(S) c Z():
Trang 14Vg elvig=hf,+ hof + + hại; đ;eK[X], đ eS, Vi= 1, và f(a) = 0,
Vi= 1,1 Do đĩ a e S() (4)
Vậy từ (3) và (4) suy ra Z(S) = Z1) (đpem)
1.3.7 Bồ dé Cho I va J la hai iđêan tùy trong KỊXJ Khi đĩ: 1⁄2) tSØ) = Z@đ\J) = Z(M);
2⁄Z@ nZ@) = Z4 + 3) Ching minh
1/ Dat S = {fg| fe lL ge J}
Tac6ScNCINJICLJISZS)D ZI) 5 Z0 NJ) DZD, ZI)
=> Z(S5)5ZJ)5Z1711)5Z@) UZ4) Mặt khác Z(S) = Z(D U Z(J)
Vậy Z{) US()=Zđ1)= Z1)
2/DoL, JCI+ ] nên Z(D) Z1) ¬ Z( + 1) Suy ra Z(I) đ Z1) 5Z⁄ + 1) Mà Z()đ1Z(J)=Z1),IL+1J=(@Uj)
=z7(1+1)=Z4u)]) Vay Z(1 + J)= Z() nZ4)
1.3.8 Dinh li Cho V la tap con ctia K" Khi đĩ tập
y= Of € K[X] | f@) = 0 voi moi a © V} la idéan cia K[X] va la idéan lon
nhát cĩ tập nghiệm chứa L? ly gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X];
Voc Zy) Khi Vo o= fap thi ta viết lý = Ig
Ching minh Đề chứng minh ly là Iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau: 1) Với mọi Ê g e ly thì F+ g e ly:
That vay: Do f, g € ly nén f(a) = 0 va g(a) = 0 voi Va € V, suy ra
(f+ g)(a) = fla) + g(a) = 0 voi Va € V Do dé f+ g e ly (đpem) ii) Voi moi f € ly va h € K[X] thi fh € ly:
Vi f € Ivy nén f(a) = 0 voi Va € V Do dé (fh)(a) = f(a)h(a) = 0 voi Va € V
Vay fh e ly
Trang 1515
Như vậy, cách xác định tập Z{S) và tập ly cảm sinh hai ánh xạ ⁄ và L được
cho trong sơ đồ sau
Zz
PCK[XD_ PEK");
I
trong đĩ Z.: § E>Z(S) và I : V F> ly; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập
con cua X
Về sau ta sẽ thấy, nêu thu hep trén cac tap con nao dé, Z va | là các song ánh ngược nhau
1.3.9 Ví dụ 1/ Ig = K[X];
2/ Fyn — {0}:
3/ Iq =(X1 — 41, Xa — 8a, Xn—An) VOLA=( a4, a, ., An);
4/ Nếu V c K? la tap vé han diém trén dudng cong y = x° thi ly =(x°-y); 5/ Néu V lad- phang trong K" ma ta cĩ thể giả sử nĩ là tập hợp cĩ dạng
V = {(xi,Xx; Xa,0, 0)= K”} thì
ly = (Xe, Xas2 Xa) Chứng mình
1⁄ Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;
2/ Vì chỉ cĩ phương trình 0 = 0 cĩ tập nghiệm là K”
3/ Dé cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, , 0) Mọi đa thức f e K[X] đều viết được dưới dạng
f = hạxị + hạ + + h,x, + b
voi be K Nhung (0, 0, ,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f cĩ dạng
f = hịxi + hạ; + + huxạ,
nghĩa là khi và chỉ khi f s (%xị, xa , Xa ) Vậy lọ = (Xị, Xa , Xa )
Trang 16f= h(xÌ`—y) + g với ge KỊ[|
Do Vc Z(x`—y) ={(a.a);a < K} nên với fe< ly thì Đa, a) = g(a)= 0
với mọi a thuộc tập vơ hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f= h(x’ — y), nghĩa
laf < (x`- y)
5/ Ta cĩ thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f= haaXaa + hạ¿zXa¿¿ È + hpXn + 8
trong dé g © K[x), Xo, , Xa] Thế thì f‹ ly khi và chỉ khi f(aj, ag, , ag, 0, 0, ,0) = g(ai, aa, , aạ) = Ư với mọi ai, a2, , ag = K Điều này cĩ nghĩa là g = 0, nên khi đĩ
f= haan + hasoXarg + † đuXn € Xar, Xatz, Xa).(đpem)
Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu: Ï = { fe A, sao cho 3 số tự nhiên r
sao cho f“ e1 } Khi đĩ ta cĩ bố đề sau:
1.3.10 Hỗ đề Cho I là idéan, thé thi V1 cũng là iđêan và 1 c 2Ï = xϬ[1 Nếu
I =I thil goi la idéan căn
Chứng mình Giả sử £ g = V7 tacdn ching minh Ự ge vi f.geyi
Va WhEA va f € 7 tacé ht € v7
That vay:
Vì £ g c vÏ nên tổn tại r sao cho: Ể, gỀ e x1 Khi đĩ
(fF + 92s Ch Peg
Trong cặp sơ tự nhiên (r + s— k, k), k= I, , r + s luơn cĩ hoặc thành phân đầu lớn hơn r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy gg"tsk f# luơn thuộc I nên (f+ g)"*Š luơn thuộc I, nghĩa là f+ g <I Tiép theo, với mọi f < A thi (fh) = fh’ € I, nghia la fh EVI Cudi cing ta thay fg € VI
1.3.11 B6 dé Cho V CK", khi do ly la idéan can
Ching mình Ta cần chứng mình ly — 1y
Thật vậy: Ta cĩ ly c Viv , bay gid ta sé chitng minh Viv cly
Lay phan tir bay ky f € ^ thì ƒ" e ly với m> 0 nào đĩ Suy ra: f"(a)=0 voi Va € V, m>0
Trang 1717
=fel, => lly cly
Vậy Iy la idéan can (dpem)
1.3.12 Ménh dé Gidi sir I, J la các iđêan trong K[X] Khi do:
VI = (TAT = TnI
Ching minh Tacéd: JCI NJ
= 7c JT] (5)
INJcLINIcI
= Jn] cvi, JIN] cyJ=> YIN cvin J (6)
Từ (5) va (6) suy ra JTF c JT NJ cytn V7
Ta cần chứng minh 77> TMJ >-yTn YJ bằng cách lấy phần tứ tuỳ ý
fexTn J
=tevyl,fe af Khi do ton tai m, ne N” saocho f™e|, fe J Do dé f™" e II, nên f € / Tf Suy ra /T7> YIN 7
Vay Jj = Jinj=yin Jj
1.3.13 Mệnh đề Cho V, W là các khơng gian con của K" Khi đĩ:
1⁄ Nếu V C W thì ly Đ l;
2⁄/I„ni„= lyụw;
3⁄Iy+ lự Chng;
Chứng mình
1⁄ ly ly: Lấy phần tử bất kỳ f € Iy thi f(a) = 0 voi Va e W
= fa)= 0 với Vae VviVcW =fely
=> lw c ly (dpem)
2/ Đề chứng minh Iy f1Iw = iz¿z ta sẽ chứng minh 7„f17„ Ïzụ;y và
Trang 18El,
+) ly Nlw © Lpyqy Lay thy ý f e ly f1 lw suy ra ff _ Ely {fie =0,Va€W £Œ) = 0,Yb € =fc)=0,VceVUW =>fe6 ly Vậy ly f\ lực lyuyy +)ly đlw iyuy:
Tacĩ:VcVUWvàWCVUW Do đĩ ly đzuyy và lụ Đ Ïzugy Vay ly NIw > Ïyujp
3/ Chứng minh: ly + lự C Ïyy
Lấy phần tử bất kỳ f e Iy + lự thì f= g + h với g e Iy, h e lự = g(a)= 0, Va e V và h(b)=0, Vbe W
=> g(c)= 0 và h(e) = 0 với VeeVf\W
= lc) = g(c) + h(c) = 0 với VeeVđ W
=f€ lyny
Vậy ly + lw © Lyayy (dpem)
1.3.14 Định nghĩa Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số nhỏ nhất chứa V và được gọi là bao đĩng của V Kí hiệu là: ¥
1.3.15 Bố đề Cho V là một tập tùy ý trong K" Khi đ6:
1⁄V-74y)
2/ lp =ly Chứng mình
1) Đề chứng minh T - Z(Iv) ta sẽ chứng minh =Z(Iy) và 2 Z(y): +) ƒCZ(y):
Ta cĩ: Vì V=Z(Iy) nên ƒ c Z(IV) - Z(Iy)
+) Chứng minh 5 Z(Iy):
Trang 1919
Z(S) > Z(ly)
Vậy ƒ 27(y)
Kết luận: Ï = #3)
2) Chứng mình lự =Ìy
Do Ve Ƒ nên ly 2 ï.Vì thế dé chứng minh ïz =ly ta cần chứng minh
ly © ?ợ
Thật vậy: Lay phan tir bat ky f € Iy Khi d6 f(a) = 0 voi Va € V va ¥ = Z(ly) nên f{a) =0 với Va e V Suy raf €]y ttre là ly C ï
Kết luận: [7 =ly
1.3.16 Hệ quả Nếu V la tap dai sé thi V = Z(1y) Ching minh
Do V là tập dai sé nén V= V’ Theo bé dé 3.1.13 thì ƒ = Z(Iy)
Từ đĩ suy ra V = Z(Iy) (đpem)
1.3.17 Bé dé Cho V va W là hai tập điểm tùy ý trong K" Khi đĩ
VxIW=Ÿ xử
Ching minh
Ta cĩ: ƒ - Z(Iy) W = Z(Iy) nên ƒ , WY 1a cdc tp dai số Vì thế ƒ +Ïf là tập
đại số, suy ra ƒ x W =Z(Ivxw)
Tương tự ta cũng cĩ: V x W =Z(ly„„w) Bây giờ ta sẽ chứng minh: Ï+„;„— Ee agp
Do ƒ xIJƑ c ƒ x PŸ nên đ+~„;„ lz„;p Ta cần chứng minh ï„.;„ C Ïz.„;p
That vay: Lay phan tir bat ky f E ï„„;„ thì f{(a, b) = 0 với Va e V, Vb e W => fla, Y)=0 trén W
=f, Y) e lự
= fla, b’) voi Vb’ e Zw)
Tuong tu ta duge f(X, b’) € Iv = fa’, b’) =0 voi Va’ eZ(Iy)=F’
Trang 20Kết luan: 7X W= x WV
1.3.18 Nhan xét
1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và tacĩ V =Z(y)
Nghia la tap dai số V được xác định hồn tồn bởi idean ly, Vì vậy, ly cịn gọi
là idéan duoc xdc dinh boi tap dai sé V
2/ Cac anh xa | va Z trong so đồ
7 z
P(K[A]) > PCR) lý =V=Z(v)
thu hẹp trên họ #(K”) tất cả các tập đại số trong K” là hai ánh xạ ngược nhau Nĩi cách khác, trong sơ dé sau,
Zz
P(K[X]) > ImI ` ø(K") -
I
Z I là các song ánh ngược nhau Do đĩ cĩ thể chuyền việc nghiên cứu các tập
đại số sang nghiên cứu các iđêan đạng ly Hơn nữa, họ tất ca các idéan Iy dang
{1y | V SK" la tap đại số } lập nên một tơpơ trong K[X] đồng phơi với tơpơ Zariski trong K" Do đĩ cần nghiên cứu kỹ các idéan dang ly
3/ Trong sơ đồ trên, Im I gồm những idean căn Nhưng cĩ những idean căn của K[X] khơng thuộc Im I.Đề thấy điều này, ta lấy K[X] cĩ iđeanI # K[X] vơ
nghiệm Khi đĩ XI cũng vơ nghiệm Nếu VT = ly là idean của tập đại số V nào đĩ thì phải cĩ V = Z(ly) = ¢ (vì ⁄T vơ nghiệm)
Tw day suy ra VI = Ig =K[X], do dé 1 ¢ I, vi vay I = K[X] Mau thuan voi I
# KIX]
Vidu I = (2+) c R[x] là idean căn với Z(I) = ý vì đa thức x” + l vơ nghiêm trong R Vì thế I khơng là iđean xác định bởi tập đại số nào trong R 4/ Về sau ta sẽ thay, nêu mọi idean trong K[X] đều cĩ nghiệm thì mọi idean căn
của nĩ đều là iđean của một tập đại số nào đĩ
1.3.19 Iđêan nguyên tố
a) Định nghĩa lđêan thực sự I của vành A gọi là idéan nguyén t6 néu fg € |
thì hoặc f€I hoặc g € I
b) Ví dụ
Trang 2121
2/ iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tổ ;
3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Ta chỉ cần chứng minh +/7 c |
Thật vậy:
Giả sử f€ Y1, khi đĩ tồn tại r sao cho: fr el
=f fg yel
fel r-le]
Nếu # € Ita cĩ điều phải chứng minh
Nếu ƒ7~† £ ] tương tự ta cĩ ƒ € I từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh Dưới đây ta cĩ một tiêu chuẩn đề iđêan căn là nguyên tố
c) Bé dé idéan cin I # A la iđêan nguyên tơ khi và chỉ khi I khơng là giao của
2 idéan lon hon thực sự
Ching minh Gia su I la idéan căn Ï £ A, nguyên tố và I =J, Ms voi J, Jo la
hai iđêan căn lớn hơn I Vì J, Jz la idéan nén fe Sỹ = Ii, CI, M2 = 1
Do dé J, va Jy khơng thể chứa những phần tử khơng thuộc I = ]¡ GI và J; CI (mâu thuẫn)
Dao lại, giả sử I là iđêan căn nhưng I khơng nguyên tố, khi đĩ tồn tại £ g €1
mà fgE I Đặt Jị —/(, ƒ) và lạ —/(1, g3 thì rõ ràng I = ý € 1), lạ = 15), No
Lay h €J,NJ, thi tén tai m sao cho h™ (I, f) NA, g)
Từ đây suy ra h”" € (1, f(L g) =P + (HI +(g)I + (fg) cL
= hel SINC!
Vi vay I =J, NJ, voi J, va Jy thue su chita I 1.3.20 Tap bat kha quy
a) Định nghĩa Tập đại số goi la bdt kha quy néu n6 khong phan tich duge
thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự
Trang 221/ Tập I điểm là tập đại số bất khả quy vì nĩ chỉ cĩ I tập đại số nhỏ hơn là tập
rỗng
2/ K" là tập bất quy vì nếu nĩ là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2 tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là khơng thé vi 2
tập mở thực sự ZarIski luơn giao nhau
Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng của tập bất khả quy là idean nguyên tố qua kết quả sau
©) Định lý 74p đại số V là bat khả quy khi và chỉ khi ly là iđean nguyên tĩ Chứng minh Nếu V bat khả quy mà Iy khơng nguyên tố thì theo bố đề
3.1.17.3 ta cĩ ly = lì; với I, và lạ là 2 idean thực sự lớn hơn ly Khi đĩ
V=Z(W) = Z(¡fI:) = Z(¡)UZ(;) Vì vậy
an " suy ra l — i (mâu thuẫn)
Dao lai, giả sử ly là nguyên tố và V khơng bất khả quy Vi V = V\UV2 voi Vj, V2 1a 2 tap đại số thực sự bé hơn V
= lv = Jy,uy, nhưng ly nguyên t6 nén [,7, S1y
ly = ly,
Ly
=Ử, ,„.v ==ÿ (vơ lý)
đ) Ví dụ
1/ lạ là idean cực đại và do đĩ nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy;
2/ K" bất khả quy vì z«= 0 là iđean nguyên tố
e) Chú ý Khơng phải iđean nguyên tố nào trong K[X] cũng là iđean của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi idean nguyên tố mà vơ nghiệm, thì nĩ khơng
là idean của l1 tập đại số nảo
Ð Ví dụ Mọi idean nguyên tố chứa x” + 1 trong R[x] đều vơ nghiệm trong R” ø) Mệnh đề Cho ƒ là đa thức bắt khả quy trong K[X] Néulzy = () thì Z0) là tập bắt khả quy
Chứng mình Vì f bất khả quy nên (†) là iean nguyên tố = iz¿z; là idean nguyên tố
Trang 2323
Trong phần này, chúng tơi trình bày các khái niện cơ bản và các tính chất về
vành toạ độ
1.4.1 Định nghĩa Cho V c K”", hàm F : V —> K gọi là hàm đa hức nếu tồn tại đa thức sao cho F = f„, nghĩa là F(a) = f{a) với mọi a = V
s Chú ý Khái nệm hàm đa thức khơng phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đối tọa độ, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tổn
¢Vi du Vành tọa độ của mọi d - phẳng đẳng cấu với vành đa thức d - biến
1.4.2 Định nghĩa Ký hiệu K[V] là tập hợp tất ca các hàm đa thức trên V Do tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành giao
hốn, cĩ đơn vị là hàm f= 1 Ta gọi K[V] là vành tọa độ của E
«Ví dụ Khi V = {a} la tap 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nĩ là hàm hằng Vì
vậy, vành đa thức của tập | điểm là trường K
Một hàm đa thức cĩ thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy nhiên, do fi = Qjy suy raf—g €L, nên fa cĩ khái niệm sau:
1.4.3 Định nghĩa Cho I là iđêan thực sự của vành A và Ê g < A Ta nĩi ƒ đồng dự với g trên I nếu f— g = 1
Rõ ràng quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương trên A Lớp tương đương chứa f là tập
ft I={fth| he]
Định nghĩa trên tập thương A/I theo quan hệ này hai phép tốn
(+lI)+(g+D = (fg) +1 (f+I)(g+D = fg +I
thì A/1 lập thành một vành
Ký hiệu Z:A > AI;f z(ÐĐ=f+]I
gọi là ánh xạ chính tắc Ta thấy Zz là một tồn cấu vành vakerz =I Với mọi Iđêan J chứa I, ky hiéu
J1I = {f+lI;f e1}
Thế thì J/1 là iđêan của A/ Ngược lại, mọi iđêan Q trong A/I đều cĩ dạng
Trang 24J ={f eA; f+I <Q}
Vì vậy tương ứng: J —> 1/I cho tương ứng 1 — 1 giữa các iđêan chứa [ với các iđêan trong A/I, nên cĩ thê quy việc nghiên cứu các iđêan trong A chứa iđêan I về việc nghiên cứu các idéan trong AI
1.4.4 Bồ đề AT = (1/9 Ciưng mình Ký hiệu
(Nn
go A—25 A125
thì @=Z'eZ là tồn cau (viz, 7’ 1a cdc toan cau) va kerp = J nên A/T = (A) = (ATIV(I/D
PHAN 2 TONG QUAN VE CHUONG TRINH DAI SO SO CAP TRONG
TOAN PHO THONG
Trong phần này chúng tơi nêu tổng quan một số kiến thức trong sách giáo khoa mơn tốn lớp 2,3.4,5,6 và sách giáo khoa mơn đại số lớp 7 đến lớp 12 do nhà xuất bản Giáo dục ban hành từ năm 2007, nĩ bao gồm 4 phần chính sau đây:
1.TAP HOP
Mỗi một tập đại số là một tập hợp trong khéng gian afin R" nén mét cach hién nhién nhiéu yếu tố hình học đại số cĩ mặt trong khái niệm tập hợp của tốn phơ
thơng
+) Khái niệm tập hợp được trình bày trong sách giáo khoa tốn lớp 6 và lớp 10 2 HÀM SĨ VÀ ĐỊ THỊ HÀM SĨ
Hàm số và đồ thị hàm số được trình bày trong sách giáo khoa tốn 4,5,6 đưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 7, 9, 10, 11, 12
3 BIEU THUC DAI SO, PHAN THUC DAI SO, DA THUC
Biểu thức đại số và đa thức được trình bày trong sách giáo khoa tốn 3,4,5 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 7, 8,9, 10
Trang 2525
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình được trình bày trong sách giáo
khoa tốn 2,3,4,5,6,7 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 8, 9, 10, 11, 12
Trên cơ sở chương trình Đại số sơ cấp trong tốn phơ thơng vừa nêu trên, dưới đây chúng tơi sẽ khảo sát các yếu tơ về tập đại số và iđêan của chúng, ánh xạ liên tục trên tơpơ Zariski được thê hiện trong tốn phổ thơng
CHƯƠNG IL MOT SO YEU TO HINH HOC DAI SO TRONG DAI SO SO CAP
2.1 Các tập đại số trong đại số sơ cấp
21.1 Mệnh đề Đường thẳng cĩ phương trình ax + by + e = Ú với a, b, e
c R và äˆ + b #0 là một tập đại SỐ về nĩ đẳng cấu trong tơpơ ZarIski với trục
Ox: y =0 hoặc trục Oy: x=0
Chứng minh Đặt A) = ax+ by + ¢ voi A(x, y) e RẺ Khi đĩ: V = Z() = {A(x y) e R?| A)= ax + by + c= 0}
+) Nếu a =0, b £0 thi Z(f) = {A(a, ~;) ja e R} +) Néu a £0, b=0 thi Z(f) = {A(_—“,ø ) |œ e R}
a
+) Néu ab #0 thi Z(f) = {A(a, _ ja e R}
Vậy đường thẳng cĩ phương trình ax + by + e = 0 với a b,e œR và aˆ + bŸ
0 là một tập đại số
+) Ta biết cĩ một phép bién déi afin
ERR
(axes La] *
Trang 26ay 4d
với det D42 +0 biên đường thăng d thành trục Ox, hoặc trục Oy
#21222
Phép biến đổi afin là là một ánh xạ đa thức và mọi ánh xạ afin cũng là ánh xạ
đa thức nên phép biến đổi này là một đẳng cấu tơpơ Zariski, do đĩ đường thẳng d đồng phơi Zariski với trục Ox, hoặc trục Oy
21.2 Mệnh đề Đơ thị của hàm số bậc hai y = ax’ + bx + c với a b,e eRĐ và
a =0 là tập dai số trong RỶ và nĩ động phơi với tập IŸ = {ứnm) me R} Chứng minh.+) Dat f(x, y) = ax” + bx - y + c Khi đĩ:
V =Z(f) = {AC y) e RỶ| fx, y) =ax” + bx-y + e =0}
= ((œ, ad? + bœ + e) la e R}
Vậy đồ thị của hàm số bậc hai y = ax’ + bx + c với a, b, c e R và a 0 là tập
đại số trong RẺ +) Xét ánh xạ: ợ: R?—R? x =x +2 (xy)F>(X.V): v3 _—- 3ae-t y= a a2
# Ta chứng minh ¢ 1a song anh (don anh, toan anh) * @ don anh:
That vay, voi x = (X1,X2) #y = (yi y2) (XI # VI,X2# V2)
& &
3+; =y¡t—
Giả sit 90) =P) gncdt yp coat
a 4a? x = 4a?
X, = ¥V
ol = va X2 = Y2
© x—y (Trái với giả thiết) = @ don anh * @ toan anh aac—b? sa Á À : &
Lay y(y1,y2) € R? tổn tại X(X+,X2) ! XỊ — Py TC: X— ayy +
Trang 2727 Khi đĩ #(%ị.Xa) = (yi.V2)
= ¢ la toan anh => @ song anh
* Vi @ song anh nén ton tai f7: R? > R?
xi=x—=
oy 2
Œœy)F>*(X.V): 4 w =ữy+——— ‘aoe?
4a
Cuối cùng ta nhận thấy cả @ va @7! Ja anh xa da thite nén duong bậc hai y=ax? + bx+c đẳng cấu trong tơpơ Zariski với đường bậc hai y = x’
Do đĩ Z( ax? + bx + c -y) đồng phơi voi Z(x”-y) Mặt khác: Z(x7-y) ={ (m,nr’) | me Rỳ nên ta cĩ điều phải chứng mình
21.3 Mệnh đề Đơ thị của hàm số bậc y = ax” +bà2 + cx + đvới q, b, é, deR và a =0 là tập đại số trong RẺ
Chứng minh +)Đặt f{x, y)= ax” +bx” + ex- y + d Khi đĩ:
V=Z(Ð= {Œ y) e R?| Đx, y)= ax” +bx” + ox-y +d =0}
= {(a, ao + ba? + ca +d) |œ e R}
21.4 Mệnh đề Đồ thị của hàm số bậc y= ax’ +bx?+ cvdia, b,c, deRva
a + 0 là tập dai số trong RẺ
Chứng minh Đặt f(x, y) = ax’ +bx” - y + e Khi đĩ ta cĩ:
V = Z(f) = {A(x y) € RỶ| fx y)= ax” +bx”- y + e = 0}
= {(a, aa’ + ba? +c) \a € R}
ax+b cxtrd
21.5 Mệnh đề Đơ thị của hàm số phân thức y = với a, b,c, de R và ad-bc + 0, khơng phải là tập đại số trong R, vì nĩ khơng phải là nghiệm của đa thức
21.6 Nhận xét Một tập hợp số là tập đại số khi nĩ là tập rỗng hoặc tập R, hoặc là một tập hữu hạn
Trang 28Chứng minh Tap W = ( A(x.y) e RỊ Đx y)= sinx - y }khơng là nghiệm của bất
x3 xế -1}*, „n+a
ky da thire nao ca vi y= sinx = Xx- — †—- + alt (2nt4)i a + 0(x?")
Tương tự với hàm số y=cosx va y = tanx, y=cotx „
2.1.8 Mệnh đề Đơ thị các hàm y= lnx khơng là tập đại số
Chứng minh.Tập W =( A(xy) e RỊ fx y)= Inx - y }khơng là nghiệm của bất
x *
kỳ đa thức nào cả vi y= In(x+1) = x- > +2 40% a 0x?)
2.1.9 Mệnh đề Đồ thị cdc ham y= ể khong là tập đại SO
Chứng minh lập W =( A(xy) e RỊ fx y)= =_e* y )khơng là nghiệm của bất kỳ đa thức nào ca vi y= e= 1+ ae +e 0œ")
2.2 Cấu xạ, yếu tố ánh xạ liên tục trên Tơpơ Zariski trong tốn phố thơng
2.2.1 Cầu xa trong t6p6 Zariski Cho anh xa F:
K" 5V-Ÿ,w cm
thì F luơn c6 dang F(a) = (Fi(a), F2(a), Fm(a)); a e V
mánh xạ Fị, F;, ,EFm: V—> K duoc goi la ham tọa độ Chú ý rằng, Fj
=pi.F; p¡ là phép chiếu lên toa độ thứ ¡
2.2.1.1 Định nghĩa Cho V và W là hai tập đại số Ánh xạ F nĩi trên gọi là
ánh xạ ẩa thức nếu F\, Fạ Em là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu K là trường đĩng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xa
2.2.1.2 Vidu
1/ Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào KÌ = K;
2/ Ánh xạ đồng nhất ldy trên V là ánh xạ đa thức vì idy : V — V cho bởi
Idy (a) = (pi(a), p2(a), - , Pa(a)),
6 day pj: V > K la phép chiéu lén toa dé thir i
3/ Nếu F: V —> K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đĩng T c V, ánh xạ F thu hẹp
trên T cũng là ánh xạ đa thức
4/ Với mọi hàmG:W —> K ta gọi hợp thành GeF:V —> K là hàm lùi của
Trang 2929
2.2.1.3 Mệnh đề “: V — W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi GeF = K[V] voi moiG « K[W]
Chimg minh Gia sit F là ánh xạ đa thức và G ¢ K[W] Lay da thie m bién g sao cho G = g„ Khi đĩ
(GeFXa) — G(F(a)) = g(Fi(a), Fa(a) Fm(4)) — g(Fl F¿, Fm)(4)
VỚI mọi a c V, suy ra
Vì Fl, Fạ, Em ¢ K[V] nén g(Fj, Es, Em) ¢ K[X] va do dé GoF < KỊVỊ
Đảo lại, giả sử GeF e KỊV] với mọi G < K[W] Khi đĩ F¡ = pị¡ 9F e KỊV] với
mọi I =1], 2, ., mnén F là ánh xạ đa thức
2.2.1.4 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F:V —> W cảm sinh ánh xạ
F :K[W| -> KỊVỊ chobởiF(G): = GoF Rõ ràng F” là một đồng cấu vành vì mọi G, H < KỊW] ta cĩ
F(G+H) =(G+ H)eF =GeF+ HsF =F(G) +F(H) và F(G.H) =(G.H)eF =(GeF).(HsF)=F†(G) F1)
2.2.1.5 Ví dụ
1/ Với mọi hàm đa thức F : V—>K thì FÏ: K[x] —> K[VỊ cho bởi F(g) =
sŒ')
2 Id"y =Idxpy vì Iđ(G) = Geld =Gvới mọi G < K[V]
2.2.1.6 Chú ý Ánh xạ đa thức F được xác định hồn tồn bởi đồng cấu F” vì F được xác định bởi hàm toa do F;, nhung Fj = pjoF = F' (pp
2.2.1.7 Ménh dé Voi moi tap diém U < V trong tập đại số V ta cĩ Inny = ©)" Uv v
Ching minh
Mọi G c K[W] ta thấy G e lw, rq khi va chi khi G(F(a)) = 0 với mọi a < U
Nhung F'(G)(a) = G(F(a)) nên điều này cĩ nghĩa là F(G) e Iy,+ = Ir/lv Theo các kết quả trên, nĩi riêng ta cĩ
Trang 30Mối quan hệ F và F” cho tương ứng l — I giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào KỊV] qua định lý sau
2.2.1.8 Định lý Với zọi đồng cấu vành @: K[W] —> K[V] thi ton tai duy
nhát ánh xạ đa thức F: V —> IW sao choẩF” = 9
Chứng mình Cho ánh xạ đa thức F: V — K” với E¡ = @(p¡) Với mọi đa thức m biến g ta cĩ : geF = g(Œi, Fo, , Fm) = (2(P1 Pa.» Pm) = @(g„,)- Nếu g ¢ Iw thì Siw = 0 và do đĩ geF = @(0) = 0 Từ đây suy ra
g(F(a)) = (gsF)(a) = 0 với mọi a < V Vi vay F(a) = Z(Iw) = W nén do đĩ F(V) c W
Bay gio coi F là ánh xạ từ V vào W Với mọi hàm g„„ của K[W| ta cĩ
F(gy) = Sw eF =geF = Ø(gy)
Vì vậy F =Ọ
Ta cĩ thể coi ánh xạ F : V —> W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đĩ F khơng phải là ánh xạ đa thức vì cĩ thể F(V) khơng phải là tập đại số Tuy nhiên, lấy bao đĩng (theo tơpơ ⁄ariski) của F(V) thì cĩ thể coi F là ánh xạ đa
thức từ V lên F(V)
2.2.1.9 Mệnh đề Cho 2 ánh xạ đa thức
v-F,w_È,T
thì hợp thành EeF là ánh xạ đa thức và (EeF)” = FÌs E”
Chứng mình Mọi H = KỊT] ta cĩ
(EcF) (H) =HeEeF =E (H)eF = F(E(H)) =(F cE XH)
Do F'(E (H)) < K[V] nén EoF la anh xa da thite va (EoF) = F'eE’
2.2.1.10 Định nghĩa Ánh xạ đa thức F: V —> W gọi là đẳng cấu đa thức
nếu F cĩ ánh xạ nghịch đảo FlvàF1 cũng là ánh xạ đa thức Khi đĩ ta nĩi tập
đại số V đăng cẩu đa thức với tập đại số W và ký hiệu V z W Nếu K là trường đĩng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cẩn
Trang 3131
1/ Mọi phép biến đổi an hay cịn gọi phép biến đổi tọa độ trên K" (K là R hoặc C) là dang cau đa thức
2/ Cho F : V = Z((x-1)? — y) > K' la phép chiéu lên trục Ox, thì F là đẳng cấu da thie vi F~ '(a) = (a, (a-1)’) và F” là ánh xạ đa thức Vì vậy parabol y = (x-
1} đồng phơi với đường thăng (với tư cách là hai khơng gian tơpơ Zariski) Tương tự ta cũng cĩ đường thắng (đ) : ax +by +c =0 và Parabol (P) y = ax+bx+c đồng phơi với nhau
2.2.1.12 Chú ý Cĩ những ánh xạ đa thức tổn tại ánh xạ ngược nhưng ánh xạ
ngược khơng phải là ánh xạ đa thức
2.2.1.13 Ví dụ Ánh xạ đa thức F: KÌ —> W =Z(@ - y”) cho bởi F(a) = (aÌ, a?) cĩ ánh xạ ngược là FÌ: W = Z(x2- v) —> KỈ cho bởi F (4Ÿ, a”) = a
Nhưng E1 khơng phải là ánh xạ đa thức Bởi vì nếu trái lại thì tồn tại đa thức
g< KỊx y] sao cho g(a”, a”) = a với mọi a = K Khi đĩ da thie g(t’, ) —t cĩ vơ số nghiệm trong K nên g(Ẻ, 1) —t =0 Điều này vơ lý vì đa thức g(Ẻ, t? khơng chứa biến t
Mối quan hệ F_ —> FÏ cũng cho fa tương ứng 1 - 1 giữa các đẳng cầu đa thức từ V đến W với các đẳng cấu vành K[W] vào KỊV] qua định lý sau
2.2.1.14 Định lý Ảnh xạ đa thức F: V —>W là đăng cấu đa thức khi và chỉ khi F” là đẳng cấu vành
Chứng mình Nếu F là đẳng cầu đa thức, ta cĩ
F(F)) = (Fle FY = (dy) - ldem
và tương tự (FĐÏsF”= Idervị Vì vậy F” là đẳng cấu
Đảo lại, nếu F” là đẳng cấu, khi đĩ cĩ ánh xạ đa thức E:W_ —> V sao cho
E” =(FY1 Do (EoF) =FÏs Ẹ =Idey = dy)”
nén EoF = Idy Tuong tu, FoE = Idy nên E là ánh xạ ngược của F Vậy F là
đăng cấu đa thức
2.2.1.15 Hệ quả Với mọi đẳng cấu vành pp: K[W] — K[V] luén ton tai duy nhát đăng cấu đa thức F`: V —y ]Ÿ sao cho F” = @
Trang 321/ Cho F là phép chiếu từ V = Z(x”- y) lên trục Ox Do F = x„ nên F(g) = a(x, ) với mọi g < K[x] Ta da biét K[V] = K[x] béi Xy x Do đĩ cĩ thê coi F” là ánh xạ đồng nhất của K[x] nên F là đẳng cấu đa thức 2/ Dudng cong V = Z(x* — y’) - K” khơng đẳng cấu đa thức với KÌ Thật vậy, nếu V = K' thi tén tai ding cấu vành ø : KỊẺ, ] —> K[x] do
KỊV| z KỊP ỨỊ.Tacĩ(@Œ)) - (@(2) So sánh thành phần bất khả quy của hai đa thức này với nhau sẽ tìm thấy đa thức f - K[x] sao cho @() - ; @() = Ÿ Do ø là tồn cấu nên x = g(F, f°) voi g 1a mét da thức 2 biến nào đĩ Ta cĩ thể viết g(Ể, P) = a + hvwớia e K, h< K[x] Mặt khác x -a = fh suy raf < K và do đĩ x = g(Ể Ể) < K là điều vơ lý
2.2.1.17 Đinh nghĩa Ánh xạ F: V —> W gọi là phép nhúng nếu ánh xạ cảm
sinh của F từ V vào F(V) là đăng cấu đa thức Chú ý rằng khi đĩ T(V) =
F(V) là tập đại số và V= F(V)
2.2.1.18 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K-> KỶ; F(a) = (a, (a-LŸ) là một phép nhúng Thật vậy, F(K) = Z((-1)” - y) là parabol Ánh xạ cảm sinh từ K vào F(K) là đẳng cấu đa thức vì cĩ ánh xạ ngược (a, (a-1)”) —> a cũng là ánh xạ đa thức
2.2.1.19 Định lý #' /à phép nhúng khi và chỉ khi F ” là tồn cầu
Chứng mỉnh Ký hiệu @: V > F(V) :@(a); =F(a) Giả sử F là phép nhúng, thì @ là đẳng cấu đa thức Do @` là đẳng cấu nên với mọi F KỊVỊ, tồn tại G e K[W] sao cho E = ø'(G,„„)' Từ đây suy ra
F(G) = GeF= G,„s@ = @ (Gr) = F
Điều này chứng tỏ F” là tồn cấu
Đảo lại, giả sử F” là tồn cấu Với F e K[VỊ, tồn tại G € K[W] sao cho FÏ(G)
Trang 3333
Điều này chứng tỏ @` là tồn cấu Nhưng ø là cấu xạ trội nên œ' là đơn cấu và do đĩ @'` là đẳng cấu vành, cho nên œ là đẳng cấu đa thức, nghĩa là F là phép nhúng
2.2.2 Ánh xạ liên tục với tơpơ Zariski
2.2.2.1 Dinh ly Cho V va W là các tập đại số thì mọi ánh xạ đa thức F
K" 5 V_È;wc km
là liên tục với tơpơ Zariski
Chứng mình: Ánh xạ đa thức F là liên tục với tơpơ Zariski vì ngược ảnh của tập đĩng T là tap déng Z(F (Iw, 1)
Từ định lý trên, ta xét các ánh xạ ở trong tốn học phơ thơng : 22.22 Mệnh đà Mọi hàm đa thức liên tục với tơpơ Zariski Chứng minh Xétánhxạ: f: fš — BK
XE v= Í(X) = anX "+ +aiX ao
vì R là tập đại số nên f là ánh xạ đa thức và liên tục với tơpơ Zariski Suy ra ta cĩ
điều phải chứng minh
22.23 Mệnh đề Mọi hàm lượng giác khơng liên tục với topo Zariski Chứng minh Xét anh xa: f: R— R
X > y= sinx f khơng liên tục với tơpơ Zariski vi :
Ta biết {0} là tap dong Zariski trong BR vi né là nghiệm của đa thức f(x) = x Nhung f1({0})= kit; k€ Z là tập vơ hạn nên khéng la tap déng Zariski trong R Tương tự với các hàm số lượng giác cịn lại
22.24 Mệnh dé Ham sof: R— BR
x +> y= Inx khong lién tuc voi top6 Zariski
Chứng minh Ta biét B la tap dong Zariski trong K vi né là nghiệm của đa thức
0 =0 Nhưng f(8) = (0; +zo)€ KR 1a tap v6 han nén khéng la tap dong Zariski trong IK Do do f khéng lién tuc véi t6pé Zariski
Trang 34Ta cĩ iđêan của tập đại số trong đại SỐ Sơ cấp
23.1 Mệnh đề Đường thăng cĩ phương trình ax + by + e = 0 với a, b, e eR và aˆ + bˆ 0 Khi đĩ iđêan của tập đại số V— Z0) = {(a, -sø-„)e#Ÿ,
œe R} là ly = (ax+by+e)={(ax+by+ce)ƒ| ƒ < R[x,y]
Chứng minh f{x, y) = ax + by +c=0,
+) Ta cĩ V là tập vơ hạn điểm trong Z( ax+by+c)
ly = {Đx.y) e R[x.y] Đv) = 0,v ve V}, ta cần chứng minh ly = ( axtby+c)
That vay:+) ta c6 f(x,y) = (axt+bytc) e ly vì Vae R => v=(a, Fee)
=> fỆv)= az+(-àz-c)+c = 0 —f e ly © fh e ly, vh e RỊxy]
= axtbyte cl, (1)
+) Với h(x.y) e R[x.v] ta cĩ h(x.y) là đa thức biến y với hệ tử lấy trong k[x] vì h(x.y) cĩ dạng h(x.y)= 5 ø„„x'y? =k[x] và h viết được dưới đạng
inn
h = (axtby+c)g+v , vek[x] vi V = Z(f) = {(œ, ~Fa-F Je R[x y] ae R} nên nếu hcl, thi f(a, Fae) v(z)=0 =v(z)=0, vek[x] với v @ thudc tập vơ hạn điểm trong Z, (ax+by+e)
=>v=0
= h(xy) = (axtby+e)g
=l¿c (axtby+c) (2)
Từ (1) và (2) ta cĩ ly = (ax+ð#y+e)={(ax+ðy+e)ƒ| ƒ < R[x, y]}
2.3.2 Dinh lý /đêzn của mọi đường thăng d trong RỶ đều đẳng cấu với iđêan chính sinh bởi y hoặc x lạ “ (vy) = yR[xy] = xRỊx, y}
Chứng mỉnh: Cho d là đường thắng bất kỳ trong R” Theo Mệnh đề 2.1.1, d đồng phơi tơpo Zariski với trục Ox và cũng đồng phơi Zariski với trục Oy, cho nên ba idean sau là đăng cấu (trong vành đa thức hai ân RỊx, y])
Trang 3535
Trục Ox cĩ phương trình y = 0 Nên đa thức hai ấn f(x, y) triét tiéu trên Ox khi va chi khi f(x, y) c6 dang f(x, y) = y h(x, y) voi h(x, y) là đa thức hai biến nào đĩ trong R[x y] Cho nên loy = yR[x.y] Tương tự, ta cĩ lọy = xR[x.v]
23.3 Mệnh đề Dường Parabol (P) cĩ phương trình y` = 2px với p > 0
Khi đĩ iđêan của tap dai sé V- Zi) — (Kae RẺ, aeR) là ly —
(°~2m)={(y°~2px) 7 |7 < Rx, v]}
Chứng minh Tương tự 2.3.1 với cách chọn
V=Z(y? -2px) = (Sa ye R?, aeR}
2.3.4 Định lý Idean của mọi parabol trong R? déu dang cấu (trong vành đa thức hai ân RỊx y]) với idean chính (xŸ — y) R[x y] sinh bở đa thức x - y
Chứng mỉnh: Vì mọi parabol (P) đều đẳng cấu topo Zariski với parabol (H) cĩ phương trình y = x” Cho nên ta cĩ hai idean sau là đẳng cấu trong vành đa thức hai
ân RỊx y]
Ie = In
Mat khacIy = (x7- y) RỊx, y] nên ta cĩ điều phải chứng minh
23.5 Mệnh đề Đường Parabol (P) cĩ phương trình y = a3) + bx + ¢ voi a,
„ 2
b,c €Rvaa = 0 Khi đĩ iđêan của tập đại sơ V— Zƒ) — (wer,
P
ø eR} là ly = (y°~2px)= {(y°~2px)7 |7 e Re vÌÌ
Chứng minh I¿ là iđêan tương tự 2.3.1 với cách chọn
V= Z(ax?+bx-y+c) = {(a, aa? + ba +c) € R? ae R}
23.6 Mệnh đè Đơ thị hàm số bậc ba cĩ phương trình y = ax’ +bx’ + cx + d
với a b, c, de Rvà a £ 0 Khi đĩ iđêan của tập đại sd V- Zip — (a, ad +
ba+c) ER’ \aeR} la
ly ~(ax’ +5x° + ox-y+d) = {(ax’ + bx? +ex-y+d) f| fe Rb vÌÌ
Chứng minh I, là idéan trong tu 2.3.1 voi cach chon
Trang 3623.7 Mệnh đề Đơ thị hàm số bậc bồn cĩ phương trình y = ax’ +bx’ + ¢ vi a,
b, c ER vaa = 0 Khi do idéan cia tap dai s6 V — Z() = {&, y) € R’ | fx, y) = ax’ +bx’-y + c = 0} = {(a, aa’ + bo? +c) € R? awe R} là
Ty = (ax* +5x° -y+e)={(ax* +ðx?~y+e) ƒ | ƒ e RỊx, vÌŸ-
Chứng minh I, là iđêan tương tự 2.3.1 với cách chọn
Trang 3737
KÉT LUẬN
Luận văn đạt được những kết quả sau:
1 Trinh bày và cĩ chứng minh chi tiết những kiến thức về tập đại SỐ, tập đại số bất khả quy, về iđêan trên tập đại số, cầu xạ (ánh xạ liên tục trên tơ pơ
Zariski) Các chứng minh này chúng tơi đã cụ thế hĩa mà trong các tài liệu tham khảo nêu vắn tắt hoặc khơng chứng minh
2 Trình bày sơ lược các nội dung chính của đại số sơ cấp trong tốn phổ thơng
3 Nêu và chứng minh một số tập đại số trong tốn học phơ thơng và iđêan
của nĩ Qua đĩ chúng tơi cĩ thêm một cách mới (hình học đại số) để nhìn nhận tốn phơ thơng một cách sâu sắc hơn(Từ mệnh đề 2.1.1 đến 2.1.9: mệnh đề
2.3.1: mệnh đề 2.3.3: mệnh đề 2.3.5: mệnh đề 2.3.6: mệnh đề 2.3.7)
4 Nêu và chứng minh được các hàm số liên tục với tơpơ Zariski, sự đồng phơi giữa các tập đại số và đẳng cấu giữa một số idean(Định lý 2.3.2; Dinh ly 2.3.4) 5.Hướng phát triên: Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của hình học đại số dé cĩ thể giải một số bài tập trong tốn học phơ thơng
Trang 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIENG VIET
[1] \Van Nhu Cuong (2006), Hinh học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội
[2] Ngơ Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội
[3] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng - Nhập mơn hình học đại sé, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Cơng Nghệ Mới
[4] Hồng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội
[5] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006): Chương trình giáo dục phơ thơng Nhà XBGD, Hà Nội
[6] Sách giáo khoa, sách tham khảo số học, đại số từ lớp 6 đến lớp 12 Bộ Giáo dục và Đào tạo
[7] TIENG ANH
[8] LR.Shafarevich(1994), Basic in Algebraric Geometry, Springer
Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry, New York Haidelborg Berlin
[9] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK COMPANY, Professor of Mathematics University of California, Berkely
TIENG PHAP
[10] Bertrand HAUCHECORNE — Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A a
Z, Ellipses Paris