CHƯƠNG II KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSK
1.2.2. Định lý (Xem [4])
2 2 1 2 2 2 1 n n n b c b a a a + + + − − − = ( ... 2 ) 2 0 1 2 2 2 1 + + + − ≥ n n b c a a a Nếu 2 1 2 2 2 1 +a +...+an− a = 0 => 2 n a = 0 => a = 0, vô lý. Vậy 2 2 1 2 2 2 1 a ... an an
a + + + − − > 0 hay a,a > 0, mệnh đề được chứng minh.
Chú ý: Một vectơ trực giao với một vectơ tựa không gian thì chưa hẳn là vectơ tựa thời gian.
1.2. Không gian con trong không gian Lorentz – Minkowski. 1.2.1. Định nghĩa 1.2.1. Định nghĩa
Cho W là không gian vectơ con của Ln.
(+) W được gọi là tựa không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ tựa không gian hoặc vectơ 0.
(+) W được gọi là tựa thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ tựa thời gian. (+) W được gọi là tựa ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ tựa ánh sáng và không chứa vectơ tựa thời gian nào.
1.2.2. Định lý (Xem [4])
Cho W là không gian vectơ con của Ln.
(i) W được gọi là tựa không gian nếu và chỉ nếu <,>/W là xác định dương. (ii) W được gọi là tựa thời gian nếu và chỉ nếu <,>/W là không suy biến có
chỉ số 1.
Chứng minh:
(i) W ⊂ Ln là tựa không gian ⇒∀x∈W thì x = 0 hoặc <x,x> > 0
0
, ≠
∈∀ ∀
⇒ x W x thì <x,x> > 0 hay <,>/w là xác định dương.
Ngược lại, <,>/w là xác định dương ⇒ <x,x> > 0 ∀x ≠0, x∈W ⇒ W chỉ chứa các vectơ tựa không gian hay W là tựa không gian.
(ii) Không gian 0 của <,> trên W W0 = {x∈W<x,y >=0,∀y∈W}
W là tựa ánh sáng nên ∃x≠0,x∈W sao cho <x,x> = 0
Mặt khác, W là tựa ánh áng nên ∀y∈W thì <x + ty, x + ty> ≥0,∀t∈R
⇒ <x,y> = 0, ∀y∈W
⇒ <,>/W suy biến.
Ngược lại, <,>/W suy biến ⇒ ∃x≠0,x∈W sao cho <x,y> = 0, ∀y∈W
⇒ <x,x> = 0, 0 ≠ x ∈ W => x là vectơ tựa ánh sáng thuộc W.
Giả sử W chứa ít nhất một vectơ tựa thời gian, nghĩa là ∃0≠ y∈W :< x,y> < 0
⇒ <x,x> > 0 (mâu thuẫn với x là vectơ tựa ánh sáng)
⇒ W không chứa vectơ tựa thời gian nào. Vậy W là tựa ánh sáng.
(iii) W là tựa thời gian. Giả sử <,>/W là suy biến ⇒ W là tựa không gian (vô lý)
⇒ <,>/W là không suy biến chỉ số 1.
Ngược lại, <,>/W là không suy biến chỉ số 1.
⇒ Tồn tại không gian {0} ≠ A⊂ W sao cho <,>/A là xác định âm.
⇒ W là tựa thời gian.
1.2.3. Định nghĩa
Cho Π là m - phẳng trong Ln. Π được gọi là m - phẳng tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương W của Π tương ứng là tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng.
1.2.4. Định nghĩa
Với q ∈ Ln và c ∈ IR, siêu phẳng trực giao với q là: HP(q,c) = {x∈ Ln : <x,q> = c}
Khi đó q được gọi là giả pháp vectơ của siêu phẳng HP(q,c)
1.2.5. Định lý (Xem [4])
Cho HP(q,c) là một siêu phẳng trong Ln. Khi đó, HP(q,c) lần lượt là siêu phẳng tựa không gian, siêu phẳng tựa thời gian, siêu phẳng tựa ánh sáng nếu và chỉ nếu q tương ứng lần lượt là vectơ tựa thời gian, tựa không gian, tựa ánh sáng.
Chứng minh:
Phương trình của siêu phẳng HP(q,c) trong Ln là: <q,c> = c <=> q1x1 + q2x2 + … + qn-1xn-1 - qnxn = C Với q = (q1, q2, …, qn), x = (x1, x2, …, xn)
=> Không gian chỉ phương W của siêu phẳng HP(q,c) có phương trình là: q1x1 + q2x2 + … + qn-1xn-1 - qnxn = 0
(+) HP(q,c) là siêu phẳng tựa không gian: => W là tựa không gian.
Giả sử q ∈ W => ... 2 2 0 1 2 2 2 1 +q + +qn− −qn = q
=> q2 là vectơ tựa ánh sáng (mâu thuẫn với W chỉ chứa các vectơ tựa không gian). => q ∈ W => ... 2 2 0 1 2 2 2 1 +q + +qn− −qn < q
=> q,q <0 => q là vectơ tựa thời gian. Ngược lại, q là vectơ tựa thời gian.
Giả sử 0≠ x∈W ta có x,q =0 => x là vectơ tựa không gian => W chỉ chứa các vectơ tựa không gian => W tựa không gian => HP(q,c) là siêu phẳng tựa không gian.
(+) HP(q,c) là siêu phẳng tựa thời gian. => W tựa thời gian.
=> ∃0≠x∈W sao cho x,x <0.
Mà (q,x) = 0 => q là vectơ tựa không gian. Ngược lại, q là vectơ tựa không gian.
(+) HP(q,c) là siêu phẳng tựa ánh sáng. => W là tựa ánh sáng
Giả sử, q là vectơ tựa ánh sáng => q,q =0=>q∈W .
Giả sử W chứa vectơ tựa thời gian => ∃ x ≠ 0, x ∈W : x,x <0.
Mà q,x =0 => q là vectơ tựa không gian, mâu thuẫn. Vậy, W không chứa vectơ tựa thời gian nào.
=> W là tựa ánh sáng.
Giả sử f là phép đẳng cấu trực giao trên Ln. Khi đó, qua f, các không gian tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng tương ứng biến thành không gian tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng.
Chứng minh:
Giả sử f là phép đẳng cự trên Ln. W1; W2; W3 lần lượt là các không gian con tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng của Ln. W1’; W2’; W3’ lần lượt là ảnh của các không gian con W1; W2; W3 qua f.
(+) 1 { 1}
'