1 BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN: GIỚI THIỆU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MA TRẬN TRONG MỘT SỐ NGÀNH HỌC 1.. Những yếu tố mới và sáng tạo của sáng kiến: Sáng kiến hoàn toàn
Trang 11
BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN:
GIỚI THIỆU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MA TRẬN TRONG MỘT SỐ NGÀNH HỌC
1 Những yếu tố mới và sáng tạo của sáng kiến:
Sáng kiến hoàn toàn mới được áp dụng lần đầu tiên:
+ Giới thiệu các ứng dụng của Phươg trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học
là đề tài lần đầu tiên được áp dụng trong nội bộ trường cao đẳn KTKT Kiên Giang + Tác giả đã kết hợp dạy lý thuyết và giới thiệu ứng dụng theo ngành ngay trên lớp + Sáng kiến là một quyển tài liệu tham khảo hoàn toán mới trong trường
2 Hiệu quả và phạm vi áp dụng của sáng kiến
- Sáng kiến đã đạt được những hiệu quả như sau:
+ Năm trước, tôi cũng có một đề tài nghiên cứu về ứng dụng của Phương trình vi phân
và Ma trận, nhưng không phải các ứng dụng trong các ngành nghề mà là trong đời sống, hay nói cách khác, đó là những ứng dụng vui trong đời sống để tạo sự vui nhộn
và phấn khởi trong giờ dạy Riêng đối với đề tài này, giới thiệu trực tiếp, chuyên sâu vào trong các ngành nghề, điều này không những giúp tạo sự thú vị cho các em mà còn góp phần làm cho các em tin và yêu môn học hơn, từ đó học tốt hơn
+ Việc giới thiệu các ứng dụng rõ ràng là quá cần thiết và cấp bách Thế nhưng chương trình giáo dục đại học ở nước ta đã không chú trọng nhiều đến việc này Riêng với trường ta, tôi nghĩ, phải khác biệt, nghĩa là dạy lý thuyết phải kết hợp ngay với thực hành, ứng dụng Và điều này phải được thực hiện ở bất cứ môn học nào từ môn chung đến môn chuyên ngành Với ý nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn tiên phong thực hiện đề tài này cho môn Toán cao cấp A2, với 2 chương chính là Phương trình vi phân và Ma trận + Ở thư viện trường ta, chỉ có các giáo trình toán cao cấp rất hàn lâm, ít hoặc không có những giáo trình có ứng dụng Trên internet cũng rất hiếm tài liệu tiếng Việt viết về ứng dụng Cho nên, sáng kiến này sẽ là một quyển tài liệu mới mẻ, bổ ích cho các anh chị em đồng nghiệp trong và ngoài trường, cũng như là một quyển tài liệu hiếm hoi để sinh viên tự tham khảo
- Sáng kiến có thể áp dụng trong cơ quan, đơn vị và có thể nhân rộng ra ở một số đơn
vị trong tỉnh: làm tài liệu hổ trợ cho các đồng nghiệp trong và ngoài trường ; làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ở ngành điện, kinh tế, nông nghiệp
Trang 22
NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1 Dẫn nhập
- Để trả lời câu hỏi tại sao tôi lại chọn đề tài này, tôi sẽ kể một câu chuyện nhỏ: Trong một buổi lên lớp ở lớp Điện tử truyền thông CĐ9, có một em đã hỏi tôi về ứng dụng của phương trình vi phân Hôm đó tôi dạy bài Phương trình biến số phân ly Cuối buổi học, tôi trả lời câu hỏi của em bằng việc nêu ra ứng dụng Xác định thời gian tử vong của nạn nhân bằng phương trình làm lạnh của Newton ( đã được giới thiệu trong sáng kiến năm trước ) Sau đó, em vẫn chưa thỏa mãn, em ấy bày tỏ rằng muốn biết những ứng dụng trong ngành nghề của em hơn là những ứng dụng ngoài ngành như vậy, em
ấy nói rằng: “cái này có liên quan gì ngành nghề của em đâu!” Thế là tôi ấp úng và chưa trả lời em trên lớp được Điều ấy thúc đây tôi trở về bắt đầu nghiên cứu những ứng dụng của Phương trình vi phân trong ngành điện
- Thiết nghĩ, mong muốn biết được những ứng dụng của những điều mình học vào ngành học của mình là một mong muốn của bất cứ ai Và như vậy thì, sinh viên ở các lớp khác cũng sẽ cần đến những ứng dụng của phương trình vi phân Từ đó tôi tiếp tục nghiên cứu những ứng dụng của phương trình vi phân vào các ngành học khác Song song với chương Phương trình vi phân, chương Ma trận cũng khá khó nhưng cũng có rất nhiều ứng dụng bổ ích Trên đà tìm những ứng dụng của Phương trình vi phân, tôi nghiên cứu thêm những ứng dụng của Ma trận để góp phần hoàn thiện cho học phần Toán cao cấp A2, một môn học được cho là khó khăn và là “sát thủ” của sinh viên
- Thêm một động lực rất lớn để tôi thực hiện tiếp đề tài, đó là sắp tới đây, khoa Khoa học cơ bản sẽ soạn lại giáo trình Toán cao cấp thành Toán ứng dụng cho tất cả các ngành ( xin lưu ý, ý tưởng về đề tài xuất hiện trước khi có kế hoạch về giáo trình Toán ứng dụng, và trong khoảng thời gian tác giả đang viết đề tài thì kế hoạch về giáo trình Toán ứng dụng mới được đưa ra ) Do đó, tôi hi vọng việc nghiên cứu đề tài này sẽ cống hiến được nhiều ứng dụng cho cuốn giáo trình Toán ứng dụng trong tương lai Như vậy, việc đi tìm những ứng dụng của các nội dung trong học phần Toán cao cấp nói chung, Phương trình vi phân và Ma trận nói riêng, đang là vấn đề quan trọng và cấp bách Việc này, không những góp phần tạo sinh động cho từng bài học trên lớp với những ứng dụng thú vị cho từng nội dung, làm sinh viên hứng thú với từng vấn đề mà các em được học, mà còn góp phần làm thay đổi sắc diện của một môn học khô khó trở thành một môn học gần gũi và đáng yêu hơn bao giờ hết trong một tương lai tươi sáng không xa
2 Những khó khăn
- Như trên, tôi đã nêu ra một số những vấn đề khó khăn thúc đẩy tôi viết đề tài này
Trang 33
- Thêm nữa, trong quá trình tìm kiếm tài liệu phục vụ cho đề tài, tôi nhận thấy có ít tài liệu tiếngViệt viết về ứng dụng của phương trình vi phân, nếu có cũng còn nhiều tài liệu sơ xài Do đó cần thiết phải có một tài liệu tham khảo tiếng Việt đầy đủ và chi tiết hơn Để trước hết là làm tài liệu hỗ trợ trong quá trình lên lớp của GV toán trong và ngoài trường Sau đó sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên tự nghiên cứu
- Bước đầu tiên trong kế hoạch viết sáng kiến của tôi là giao đề tài làm việc nhóm về nhà cho sinh viên, với yêu cầu tìm các ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong ngành nghề các em đang học Sau đó trong buổi thảo luận đề tài trên lớp ( buổi này là sắp xếp riêng với lớp, không có trong lịch trình ) sẽ chỉnh sữa và bổ sung cho các em thêm các ứng dụng trong sáng kiến của tôi Đồng thời có thể thu nạp thêm những ứng dụng hay của sinh viên vào sáng kiến của mình Tuy nhiên hầu hết các bài làm của nhóm đều viết sơ xài và chưa chi tiết (chỉ đề cập đến những vấn đề chung chung, được giới thiệu đôi nét trên trang wikipedia, xem hình bên dưới ) Một trong những nguyên nhân chính các em cho biết là do không tìm được tài liệu thấu đáo để tự nghiên cứu
Nói tóm lại, với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học” Với 3 mục tiêu: Thứ nhất, bản thân có thể sử dụng các ứng dụng đã được trình bày trong sáng kiến để giới thiệu cho sinh viên từng ngành trong quá trình lên lớp, góp phần tạo bài giảng sinh động hơn, giúp các em yêu môn Toán A2 hơn, yêu ngành nghề của mình hơn Thứ 2, hi vọng sáng kiến có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho anh chị em đồng nghiệp trong và
Trang 44
ngoài trường Thứ 3, đề tài sẽ góp phần vào công cuộc xây dựng giáo trình Toán ứng dụng cho Khoa Khoa học cơ bản, trường cao đẳng kinh tế kỹ thuật Kiên Giang, mà nếu thành công thì đối với tôi, tôi xem như đây là một cuốn giáo trình tuyệt vời nhất về Toán cao cấp ở Việt Nam
3 Những giải pháp khắc phục khó khăn
3.1 Các bước thực hiện: Để thực hiện đề tài này, các công đoạn tôi sẽ tiến hành như
sau:
+ Đầu tiên, tôi tìm kiếm tài liệu trên Internet, sách, báo và tham khảo ý kiến từ các người thầy, là các tiến sĩ dạy cao học của tôi; đồng thời tham khảo một số kiến thức chuyên môn của các giáo viên khác (tương ứng với từng ngành tôi nghiên cứu) ở trong
và ngoài trường
+ Đọc và dịch những tài liệu đã thu thập được Sau đó phân tích, tổng hợp và viết lại cho hoàn chỉnh (gồm có hai file: file word cho sáng kiến và file trình chiếu powerpoint dùng để giới thiệu cho sinh viên khi lên lớp)
+ Giao đề tài cho các nhóm về tự nghiên cứu và viết thành bài báo cáo
+ Tổ chức một buổi để chỉnh sửa các bài làm của nhóm, đồng thời giới thiệu (bằng việc trình chiếu và diễn giải) một số ứng dụng tiêu biểu của sáng kiến đến sinh viên
3.2 Nội dung hoàn chỉnh của các ứng dụng:
I Một số ứng dụng trong ngành Điện, Điện tử truyền thông:
1 Ứng dụng của phương trình vi phân
Phương trình vi phân được ứng dụng bên ngành điện trong việc giải mạch điện,
nghĩa là tìm các đại lượng dòng điện i và điện áp u trong một mạch Với dòng điện và
điện áp là những hàm số biến thiên theo ẩn số thời gian t Sau đây là một số bài toán minh họa:
Bài toán 1: Cho mạch điện gồm điện trở R = 12 , cuộn cảm L = 4H, một nguồn điện
với hiệu điện thế E = 60V và một khóa K Khóa K đóng khi t = 0, dòng điện trong mạch bằng 0, nghĩa là i(0) = 0 Tìm:
a) Hàm dòng điện theo thời gian i(t)
b) Dòng điện sau khi đóng mạch được 1s
c) Giá trị giới hạn của dòng điện này
L 4
R 12
E 60
K
Trang 55
d) Thay nguồn điện bằng máy phát điện với hiệu điện thế E 60 sin 30tV Tìm i(t)
Giải:
a) Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ
Theo định luật Kirchhoff 2 ta có:
E Ri Li E
U
U L R ' (*)
4i' 12i 60 i' 3i 15 ( với i là hàm số theo t )
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ( cách giải phương trình này sinh viên khối ngành kỹ thuật đã được học trong học phần Toán cao cấp A2) Bây giờ chúng ta
đi tìm nghiệm, nghĩa là tìm hàm i(t), cho phương trình vi phân này
Ta biết, công thức nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 là:
dt
Ce C
e e C dt e e
Vì i( 0 ) 0 nên ta có: 0 5 Ce0 C 5
Vậy: i(t) 5 ( 1 e3t)
b) Sau khi đóng mạch 1s thì dòng điện trong mạch là:
A e
i( 1 ) 5 ( 1 3) 4 , 75
c) Giới hạn của dòng điện là:
A e
t
t
tlim ( ) lim 5 ( 1 3 ) 5
d) Khi E 60 sin 30t(V), ta có: (*) 4i' 12i 60 sin 30ti' 3i 15 sin 30t
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 này là:
C dt e t e
C dt e t e
i 3dt 15 sin 30 3dt 3t 15 sin 30 3t (1)
Ta giải tích phân J 15 sin 30t.e3t dtbằng phương pháp tích phân từng phần:
Đặt
t v
dt e du tdt
dv
e
u
t t
30 cos 2 1
3 30
sin 15
3 3
3 3
3
30 cos 2
1
30 cos 2
3
30 cos 2
1
J e t dt
e t e
t
Trang 66
Tiếp tục từng phần một lần nữa cho tích phân J1 cos 30t.e3t dt
2 3
Đặt
t v
dt e du tdt
dv
e
30 sin 20 1
3 30
cos
2
3
1
3 1
1
3
1
Suy ra
100
30 sin 20
1 30
sin 20
3
30 sin 20
1
J e t dt
te e
t
t t
t t
t t
e t e
t
e t e
t J
J e t e
t J
3 3
3 3
3 3
30 sin 101
5
30 cos 101
50 101
30 sin 20
1 30 cos 2
1 100
100
30 sin 20
1 30
cos
2
1
Thay J vào (1) ta được:
t
t t
t
Ce t t
Ce t t
C e t e
t e
i
3 3
3 3
3
30 cos 10 30 sin 101
5
30 sin 101
5 30 cos 101
50
30 sin 101
5
30 cos 101 50
Vì i( 0 ) 0 nên ta có:
101
10 )
0 cos 10 0 (sin 101
5
e t
t
101
50 30 cos 10 30 sin 101
Nguồn tham khảo:
1) Trang web:
khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%205.p
2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008
Bài toán 2: Cho mạch điện gồm một điện trở R = 40
, cuộn cảm L = 1H, tụ điện C = 16.10 -4 F, một
nguồn điện E = 100cos10t V, và một khóa K
L
E
R
Trang 77
Ta biết điện dung và dòng điện trong mạch là những hàm số theo thời gian t, nghĩa là
i(t) và q(t) Trong đó, dòng điện i(t) là tốc độ thay đổi của q(t): i = q’
Cho biết thêm, khi K đóng ( thời điểm t = 0 ) thì dòng điện và điện dung trong mạch bằng 0, nghĩa là i(0) = 0 và q(0) = 0
Hãy tìm các hàm số i(t) và q(t)?
Giải:
Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ
Theo định luật Kirchhoff 2 ta có:
E C
q Ri Li E U
U
U L R C '
C Rq
Lq" ' 1 " 40 ' 625 100 cos 10 (*)
Phương trình (*) là phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất hệ số không đổi ( cách giải phương trình này sinh viên khối ngành kỹ thuật đã được học
trong học phần Toán cao cấp A2 ) Giờ ta giải phương trình tìm nghiệm q(t)
Phương trình đặc trưng:
i r
i r
r r
15 20
15 20 0
625 40
2
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 20 ( 1cos 15 2sin 15 )
Giờ ta đi tìm nghiệm riêng Q của phương trình (*):
Do vế phải f(t) = 100cos10t và 15i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (*) có dạng: QAcos 10tBsin 10t
Suy ra Q' 10Asin 10t 10Bcos 10tQ" 100Acos 10t 100Bsin 10t Thay vào (*), ta được:
697 / 64
697 / 84 0
400
525
100 400
525
10 cos 100 10 sin ) 400 525
( 10 cos ) 400
525
(
10 cos 100 ) 10 sin 10
cos ( 625 ) 10 cos 10 10 sin 10 ( 40 10 sin 100 10
cos
100
B
A A
B
B A
t t
A B
t B
A
t t
B t A t
B t A t
B t
A
Suy ra: Q t sin 10t
697
64 10 cos 697
Vậy nghiệm tổng quát của (*):
Trang 88
t t
t C
t C
e Q
q
t
697
64 10 cos 697
84 ) 15 sin 15
cos ( )
Suy ra:
e
t
q
t
i
t
10 cos 697
640 10
sin 697
840 15
sin ) 20 15
( 15 cos ) 15 2
(
)
(
'
)
(
2 1
2 1
Vì q(0) = 0 và i(0) = 0 nên ta tìm được
2091
464
; 697
84
2
C
Tóm lại ta tìm được:
t t
t t
e
t
697
64 10 cos 697
84 ) 15 sin 2091
464 15
cos 697
84 (
)
t t
t t
e
t
i
t
10 cos 697
640 10
sin 697
840 15
sin 2091
13060 15
cos 697
640
)
(
20
Nguồn tham khảo:
1) Trang web:
khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%206.p 2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill
Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008
2 Ứng dụng của ma trận
Ma trận cũng được ứng dụng trong việc giải mạch điện, khi trong mạch có nhiều phần tử Khi đó ta cần tìm dòng điện đi qua nhiều nhánh Ta xét các bài toán sau:
Bài toán 3: Xét mạch điện gồm hai nguồn E 1 = 70V; E 2 = 45V và sáu điện trở
, 15 ,
30 ,
Cho chiều các dòng điện như hình vẽ
Hãy tìm i1,i2,i3,i4,i5,i6?
Giải:
Trong mạch điện trên, ta thấy có 6 nhánh
(tương ứng cho 6 dòng điện i được kí hiệu
R1
E1
R6
R2
E2
R5
R4
D
1
3
i
4
i
5
i
6
i
A
B C
III
Trang 99
trong hình); 4 nút được kí hiệu là A, B, C, D như hình
Theo phương pháp dòng điện nhánh, ta có thể lập được 3 phương trình ( tại 3 nút nào
đó ) theo định luật Kirchhoff 1, và 3 phương trình ( cho 3 vòng nào đó ) theo Kirchhoff
2 Cụ thể:
Tại nút A: i1i2 i3 0 (1)
Tại nút B: i3i6 i5 0 (2)
Tại nút C: i1i4i6 0 i1i4 i6 0 (3)
Vòng I: u1u3u6 E1 R i1R3i3R6i6 E1 10i1 15i3 35i6 70 (4)
Vòng II: u2u3u5 E2 R2i2 R3i3 R5i5 E2 30i2 15i3 25i5 45 (5)
Vòng III: u4u5 u6 0 R4i4R5i5R6i6 0 20i4 25i5 35i6 0 (6)
Từ các phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có hệ phương trình tuyến tính:
0 35 25 20
45 25 15 30
70 35 15 10
0 0 0
6 5 4
5 3 2
6 3 1
6 4 1
5 6 3
3 2 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
Để giải hệ phương trình này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng công cụ ma trận
và phương pháp khử Gauss ( cách giải này sinh viên các khối ngành kỹ thuật được học trong học phần Toán cao cấp A2 ) Công việc được tiến hành như sau:
Ma trận bổ sung:
0 35 25 20 0
0 0
45 0 25 0
15 30 0
70 35 0
0 25 10 0
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1
0 35 25 20 0
0
0
45 0 25 0
15
30
0
70 35 0
0 15
0
10
0 1 0 1 0
0
1
0 1 1 0 1
0
0
0 0 0 0 1 1
1
1 4 4 1 3 3
10 : :
d d d d d d
Trang 1010
0 35 25 20 0
0 0
45 30 25 30
45 0 0
70 45 0
10 15 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 35 25 20 0
0 0
45 0 25 0
15 30 0
70 35 0
0 25 10 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1
2 5 5 2 4 4 3
10 :
d d d d d d d
d
140 155
5 0 0 0 0
255 195 115
0 0 0 0
70 60 15
10 0
0 0
0 1
1 0 1 0 0
0 1
0 1 1 1 0
0 0
0 0 1 1 1
0 35 25 20 0
0 0
45 15 70 30
0 0 0
70 60 15 10 0
0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1
4 6 6 4 5 5 3
5
5
3
4
4
2 : 3 : 45
:
15
:
d d d d d d d
d
d
d
d
d
2965 3370
0 0 0 0 0
255 195
115 0
0 0 0
70 60
15 10 0
0 0
0 1
1 0 1 0 0
0 1
0 1
1 1 0
0 0
0 0 1 1 1
5 6
6 : 23d d d
Từ ma trận cuối cùng ta thu được hệ:
A i
A i
A i
A i
A i
A i
i
i i
i i i
i i i
i i i i
i i i
i
i i
i i i
i i i
i i i i
i i i
88 , 0 674 593
73 , 0 674 489
63 , 0 1348 853
61 , 1 337 541
3 , 0 1348 395
31 , 1 1348 1769
674 593 115
255 195
10
70 60 15
2965 3370
255 195
115
70 60 15 10
0 0 0
6 5 4 3 2 1
6
6 5
6 5 4
6 5 3
6 4 3 2
3 2 1
6
6 5
6 5 4
6 5 3
6 4 3 2
3 2 1
Nguồn thàm khảo: Giáo trình Mạch điện của Khoa điện, bộ môn cung cấp điện của
trường cao đẳng nghề Quy Nhơn
Bài toán 4: Cho mạch điện gồm: