Về một phương pháp số giải phương trình vi phân cấp một và cấp hai

Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn.. Trong mục 1.2 của Chương, chú

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M

V Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này

Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo

các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008)

Luận văn gồm ba Chương

Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương

trình vi phân Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số

cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính, theo các tài liệu [9]-[11]

Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M V Bulatov và G V Berghe ([4], 2009)

Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M

V Bulatov và G V Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất

Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và tính toán trên máy các ví dụ của M V Bulatov và G V Berghe

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học) Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Học viện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học

Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã thông cảm, sẻ chia, hy sinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luận văn

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009

Tác giả

Vũ Thị Thanh Bình

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải số phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau

1.1 Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân

Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình

[ ]

( ) ( ( ), ), 0,1

x t′ = f x t t t∈ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

0(0)

x =x , (1.2) trong đó f x t( ) ( ), , x t là các hàm vectơ n- chiều, hàm f xác định trên hình hộp vô

Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận B t( ), của các vectơ f x t( ), , g t( ) là

đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán) Khi ấy theo định lí Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm x t( ) trên toàn đoạn [ ]0,1 (nghiệm có

Picard-thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem

[8], trang 467) Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2)

1.2 Giải số bài toán Cauchy

Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước,

Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta, xuất phát từ qui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2])

1.2.1 Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân

Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp

quan trọng để tính tích phân Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân

0

0

( ) ( ( ), )

t t

x t = +x ∫ f x s s ds (1.4) nên ta cũng có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản trong việc giải số phương

trình vi phân Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải

số phương trình vi phân có thể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ bản Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [1])

Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ( )

b a

s

j j j

ϕ

=

( ) ( ) ( ( ), )

x t+ −h x t =h f x t t (1.7) Gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập t (h có thể dương hoặc âm, khi hdương thì nghiệm được xây dựng về bên phải của điểm t0 và ngược lại, khi h âm

thì nghiệm được xây dựng về bên trái của t0) Dưới đây ta coi h> 0, trường hợp

Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc Hình 1.1

• Nếu chọn s= 1 và c1=b thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2):

f x s s ds

+

thang ABED, Hình 1.4) thì ta được:

Phương pháp điểm giữa và phương pháp

1 2

2 2

Đây là công thức ẩn của phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical

fourth-order Runge-Kutta method)

1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta

1.2.2.1 Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta

Vì phương pháp ẩn đòi hỏi tại mỗi bước phải giải một phương trình phi tuyến, điều này không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng các công thức Runge-Kutta hiển từ công thức hình thang ẩn, công thức điểm giữa ẩn và công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn ẩn tương ứng như sau

• Trong công thức hình thang ẩn:

ta nhận được phương pháp trung điểm hiển (explicit midpoint method):

1

1 2

2 3

1.2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát

Nội dung cơ bản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát như sau

Chia đoạn [ ]0,1 thành một lưới đều

=

s j

i i j j i

X

1

, (1.9) Các tham số a ij, c i, b i xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn s được gọi là số

nấc Nếu a ij = 0 với mọi j≥i thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển Khi ấy tính

toán khá đơn giản (X i được tính theo công thức truy hồi) Nếu a ij ≠ 0 với j≥i nào

đó thì ta có phương pháp Runge-Kutta ẩn Khi ấy tại mỗi bước ta phải giải một hệ

ns phương trình phi tuyến (tuyến tính nếu f x t( , )=B t x( ) +g t( )) để tìm s vectơ X i

(mỗi vectơ X i có n tọa độ)

Thường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher (Butcher table)

1.2.2.3 Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai

Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của x tại t n là x n Phương pháp Runge-Kutta hiển hai nấc cấp hai sử dụng điểm (x t n, )n để xấp xỉ giá trị của x tại điểm tiếp theo bằng công thức

1 ( 1 1 2 2 ),

x + = +x h b k +b k (1.10) trong đó

k1= f x y( n, n); k2 = f x( n+c h y2 , n+ha k21 1).

Khái niệm s-nấc (s-stage) thể hiện rằng số lần tính các giá trị của hàm f (tại các điểm khác nhau trong công thức Runge-Kutta) là s

Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2])

Khai triển Taylor hàm f x t( , ) theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi

Đây là một hệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn Ta có thể chọn một hệ số, thí

dụ, b2 ≠0 tự do Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua b2 ≠0 bởi các công thức:

1 1 2

b = −b , 2

2

1 2

c b

2

1 2

a b

Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy

1.2.3 Phương pháp cổ điển đa bước

Phương pháp cổ điển k-bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7])

1.3 Mô hình thử và ổn định của phương pháp số

Giả sử bước h> 0 cố định Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm t n =nh

sẽ là x n =eλt n x0 =eλnh x0 =σn x0, trong đó h

eλ

σ = Nếu nghiệm chính xác bị chặn thì = h ≤1

Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu σ ≤ 1 và ổn định tương

Phương trình thử thường được sử dụng như một mô hình để dự đoán tính ổn định của phương pháp số giải hệ dạng tổng quát (1.1)-(1.2)

Để thuận tiện, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm ổn định tương tự như sau

Kí hiệu z=λh, mọi phương pháp Runge-Kutta (1.8)-(1.9) đều có thể viết dưới dạng

1 ( )

x+ =R z x , trong đó R z( ) được gọi là hàm ổn định

Định nghĩa 3.1

Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà R z( ) ≤ 1 được gọi là miền ổn định

của phương pháp (1.8)-(1.9) Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì

z R z

được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận)

1.3.2 Sự ổn định của phương pháp Euler

Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng

n n n n n

Phương pháp số là ổn định nếu σ ≤ 1

Xét các trường hợp sau

1) λ là số thực Khi ấy σ = 1 +λh ≤ 1, hay − 2 ≤λh≤ 0

2) λ là thuần ảo (λ =iω, trong đó ω là số thực khác 0) Khi ấy

1 1

nghĩa là λh nằm trong hình tròn đơn vị tâm là (− 1 ; 0) (Hình1.5) Hình tròn này tiếp xúc với trục ảo

Phương pháp số này được gọi là ổn định có điều kiện

Để nhận được nghiệm số ổn định, bước h phải được chọn sao cho λh nằm trong hình tròn Nếu λ là số thực âm thì từ điều kiện − 2 <λh< 0 suy ra −2 ≤h≤ 0

Nếu λ là thực và nghiệm số không ổn định thì 1 +λh > 1, nghĩa là 1 +λh là một số

âm và có trị tuyệt đối lớn hơn 1 Vì x n =(1 +λh)n x0 nên nghiệm số sẽ đổi dấu qua mỗi bước Sự thay đổi của nghiệm số mô tả khá rõ tính không ổn định

Tương tự, ta có thể xét tính ổn định của các phương pháp Euler cải tiến Ta đi đến kết luận sau

Phương pháp Euler ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là

ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn phương pháp Euler hiển không phải là ổn định-A

và hội tụ cấp 1

1 z− ,

1 2 1 2

1.3.3 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta

1.3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13) Ta có

n n

+ +

= + +

=

+

2 1

1 2

1 2

2 1 1

λλλ

λ

Để phương pháp ổn định thì σ ≤ 1, trong đó

21

2 2

2 2

≤+

+λh λ h

hay − 2 ≤λh≤ 0 Trường hơp 2 λ =iω thuần ảo, ω≠ 0

2 2 2

2

2

1 2 1

2 2

và tìm nghiệm phức λh của phương trình bậc hai theo các giá trị của θ Nhận xét rằng σ = 1 với mọi giá trị của θ

Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6

1.3.3.2 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử (1.13) Ta có

n n

1 2

λλλ

λ

n n

1 2

1 2

1 2

2 2 2

3

λλλλ

λλ

= +

=

4 2

1 4

2 1

3 3 2 2 2

2 3

4

λλ

λλλ

λλλ

+

= + + + +

=

+

! 4

! 3 2 1

2 2 6

4 3 2 1 1

λλλ

Để phương pháp ổn định thì σ ≤ 1, trong đó

!4

!321

4 4 3 3 2 2

h h h

λ

Trường hợp 1 λ là số thực Khi ấy − 2 785 ≤λh≤ 0

Trường hơp 2 λ =iω thuần ảo, ω ≠ 0 Khi ấy 0 ≤ λh ≤ 2 2

e h h h

+

! 4

! 3 2 1

4 4 3 3 2 2

và tìm nghiệm phức λh của phương trình bậc bốn theo các giá trị của θ Nhận xét rằng

1

=

σ với mọi giá trị của θ

Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6

Hình 1.6

1.3.4 Sự ổn định của phương pháp đa bước

Áp dụng các phương pháp (1.11) và (1.12) cho bài toán (1.13) ta được

Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà ν( )z ≤ 1 với mọi nghiệm của (1.15)

và ν( )z < 1 đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp

(1.14) Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi

3) Phương pháp (1.11) ổn định – A không thể có cấp chính xác vượt quá 2 (chắn Dahlquist thứ hai)

Trong Chương sau ta sẽ trình bày phương pháp do Bulatov đề nghị cải tiến được những hạn chế nêu trên

1.3.5 Sự ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn

Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

0

=

′ +

trong đó k là hằng số và đủ lớn so với 1

Phương trình có nghiệm là kx

Be A t

x( ) = + − , trong đó A và B là các hằng số bất kì được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng

Nếu k> 0 và x→∞ thì nghiệm bị chặn Đại lượng kx

e− là nghịch biến khi k > 0 và đồng biến khi k< 0

Xấp xỉ sai phân trung tâm cho hệ là

22

1

1 1 1

1

2 i+ − i+ i− + x i+ −x i− =

h

k x x x

Phương trình sai phân này có nghiệm là

i i

kh

kh B

− +

có phương pháp là L-ổn định Nội dung của Chương gồm hai mục Trong 2.1 chúng tôi trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2 Để làm sáng tỏ phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích các hàm nhiều biến dưới dạng chuỗi Taylor, ) mà trong [9]-[11] trình bày không tường minh

2.1 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một

0(0)

x =x , (2.2) trong đó f x t( ) ( ), , x t là các hàm vectơ n- chiều, hàm f xác định trên hình hộp chữ nhật vô tận := n×[ ]0,1

R

Để giải bài toán (2.1)-(2.2), ta bắt đầu đi từ phương phápθ- và phương pháp một tựa của nó (hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một):

Mỗi công thức truy hồi (2.3) (hoặc (2.4)) cho một dãy các giá trị xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân (2.1)-(2.2) Dưới đây ta cố gắng kết hợp hai phương pháp (2.3) và (2.4) để được một phương pháp số mới giải hệ phương trình vi phân (2.1)-(2.2)

Khai triển Taylor tại điểm x=x i ta được:

Theo [11]lược đồ sai phân (2.6) là ổn định với mọi bộ hệ số c c1, 2,c3 và có bậc hội

tụ tối thiểu là bậc một Ta có ba tham số tự do, vì vậy có thể chọn được bộ ba số

1, 2, 3

c c c sao cho họ lược đồ sai phân (2.6) hội tụ cấp hai

Khai triển Taylor theo t tại điểm (x t i, i) ta được:

2

2 1

Do x t′ =( ) f x t t( ( ), ) (phương trình (1.1)) nên hệ thức trên đúng với mọi c3

Như vậy nếu chọn c c1, 2,c3 thỏa mãn (2.7) thì ta được công thức (2.6) có cấp hai, bởi vì lúc này công thức (2.6) có sai số địa phương bậc 3

tìm được theo công thức (2.6)

Định lý này được chứng minh nhờ nhận xét là sai số địa phương có bậc ba, và ma trận chuyển sang bước tiếp theo có chuẩn là 1 hK+ với 0 < < ∞K

2 2

1 2 3

1 1 3 2 2 3 3

0,

0, 1.

c c c

c c c c c c c

R z

z z

Như vậy (2.11) là công thức có tính chất ổn định-L

Trường hợp đặc biệt này đã được xét độc lập trong [9]

Công thức (2.11) trùng với một phương pháp Runge-Kutta, đó là phương pháp Lobatto III C với bảng Butcher

n n× đòi hỏi khoảng

3 3

n

toán Như vậy, để thực hiện phương pháp (2.6), ta cần 16

n

phép toán

Bởi vì chúng ta đã thực hiện tuyến tính hóa trong θ-phương pháp, nên lược đồ (2.6) không thể có bậc hội tụ vượt quá 2 Điều này có thể được cải tiến đáng kể khi hệ (2.1) là hệ phương trình tuyến tính

Dùng phương pháp của công thức (2.6) để giải số phương trình trên

Gọi e r80-là chuẩn Euclid của sai số tại t=1 với bước lưới 1

10 10 10 10

10 7 1

10 7 1

10 7 1

10 7 1

−

−

−

−

2.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Xét trường hợp khi hàm f x t( , )≡B t x( ) +g t( ), tức là khi (1.1) trở thành hệ phương trình vi phân tuyến tính

x t′ = ( ) B t x t( ) ( ) +g t( ), t∈[ ]0,1 , x(0) =x0 , (2.12) trong đó B t( ) là ma trận cỡ n n× , g t( ) là hàm vectơ n chiều có các phần tử khả vi liên tục đến bậc hai (thuộc lớpC2[ ]0,1)

− + +

− +

) (

) 1 ( )

( ) 1 (

) 1 ( )

1 1

1 2

2

1 1

2 2

1 1

h c t g

g c g

c h x h c t B c h E

B c h E x h c t B

i i

i i

())1()(

(

}))(

()(

2 2

2 3

1 1

1 1 1

2 2

2 2

3 1

1 1

1 2 2 2

3 2 1 1

h c t g h c t B hc E hc g c g

c B hc

E

h

x h c t B c h E h c t B hc E c B c h E B

hc

E

x h c t B hc E c B

hc

E

i i

i i

i

i i

i i

i

i i

i

++

−+

−+

−

+

+

−++

−+

−+

−

=

=+

−+

−

+ + +

+ +

(2.14)

h với mọi giá trị của c c c1, 2, 3

( ) ( ) ( ) ( )

6 2

; 2

; 2

; 2

; 2

4 3

2 1

1

3 2

2 2 2

2 3

2 1

1

3 2

2 2 2

2 3

2 1

1

h O x

h x

h x x t

x

x

h O g h c g c g h c t g h O g

h g g t

g

g

h O B h c B h c B h c t B h O B

h B h B t

B

B

i i

i i i

i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i

= + +

′′

+

′ +

= + +

′′

+

′ +

t

x

′ + +

+

′

=

′ + + +

′

=

′ +

′ +

2

2 3

Từ (2.16) suy ra

′ +

′ +

′

+

+ + +

′ + +

′ +

′ +

′ +

′ +

′

′ +

′′

=

′′

2 3

2 2

2 3

2 2

2 3 1

3

2 3 2 2 3 2 1 2 3 1

3

i i i i

i i i i

i i i i i i

x B B c c c c

c g

g B x B c c c

c

g B g B x B c c c c c c

Với điều kiện (2.16) thì hệ số của 3

h được viết lại như sau

=++

−

−

0

33

2

3

23

2

0

02

13

161

03

232

1 2 1

1 2 3 2 2 3

2 1 1 2 3 2 2 3

1 2 1

2 2 3 2 3 1

2 2 3 2 1 2 3 1

c c

c c c c c

c

c c c c c

c c

c c c c c

c c c c c c

3

2,

( )

2 1

2 4 )

( 4 ) ( 3

3 / 1

6 / 1 )

2

z z

z z

có nghĩa là công thức (2.14) là phương pháp một bước, một nấc, có chứa phương pháp là ổn định -A và chính xác bậc ba

Nhận xét rằng, nếu các tham số c c c1, 2, 3 được chọn thỏa mãn điều kiện (2.7) thì ta

có lược đồ sai phân chính xác cấp hai

1 2

1 )(

2

1 ( ) 2

1 )(

2

1 ( )

Đây chính là phương pháp hình thang

Có thể kiểm tra được rằng, phương pháp (2.14) cho phương trình thử và phương pháp Runge-Kutta với bảng Butcher

n

phép toán giải hệ phương trình tuyến tính) Để thực hiện

phương pháp Runge-Kutta hai nấc cần

383

n

phép toán và

323

n

phép toán cho

phương pháp đường chéo hiển Như vậy, trong trường hợp tổng quát, phương pháp hai nấc

501 500

500 501

025 0

05 0

1 0

6 5 2

10 33 0

10 26 0

10 1 0

Mục này trình bày cách xây dựng các lược đồ sai phân đa bước không cổ điển giải

số hệ (2.12) do Bulatov đề xuất (xem [11]) Phương pháp này cho phép xây dựng các lược đồ sai phân với ưu thể hơn các phương pháp cổ điển Thí dụ, từ phương pháp này có thể xây dựng được các lược đồ sai phân cấp ba hoặc cấp bốn, tương ứng hai hoặc ba bước là ổn định - A

Để giải bài toán (2.12) theo phương pháp đa bước ta bắt đầu đi từ m phương pháp khác nhau có cùng k bước theo công thức sau:

− +

−

− +

=

− +

− +

− +

+ +

+ +

j i m j

j i j

j i j

j i k

j

j i m j m

j

j i j j

j i j j

i i m m

i i

g

g g

h x

B h E

B h E

B h E

x

B h E

B h E

B h E

0

1

1 2 1 1

1 1

1

2 2 2

1 1 1

1

1 0 0

1 2 0 2

0

1 1 0 1

σρ

σρ

σρ

σρ

σρ

σρ

(2.19)

Hệ (2.19) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển

Để giải (2.19) ta nhân cả hai vế của nó với ma trận:

1 ( 0 0 1 1 1 )

L+ = ρ −hσ B+ c E c −E (2.20) cấp n mn× , trong đó c c1, 2, ,c m−1 là những hằng số tùy ý Sau khi nhân với ma trận

,

1 0 0

1 2 0 2

0

1 1 0 1

+

i m m

i i

i

i

B h E

B h E

B h E

L

M

σρ

σρ

σρ

1

2 2 2

1 1 1

1 1

− + +

−

j i m j m

j

j i j j

j i j j

i j i

B h E

B h E

B h E

L M

σρ

σρ

σρ

0 1

0 1 2 0 1 1

1 1

k j

j i m j

k j

j i j

k j

j i j

i i

g

g g

hL

σ

σσ

Vì mỗi lược đồ trong (2.19) có cấp chính xác l nên lược đồ (2.21)cũng có cấp chính xác l với mọi c c1, 2, ,c m−1

Phương pháp chung để xây dựng và khảo sát công thức (2.21) dùng để giải số bài toán (2.12) là:

1 Bắt đầu đi từ công thức (2.18)

2 Xây dựng công thức dạng (2.21)

3 Phân tích (2.21) thành chuỗi Taylor và chọn các hệ số c c1, 2, ,c m−1 sao cho lược

đồ (2.21) có bậc l+ p, trong đó p< −m 1, ngoài ra còn r= − −m 1 p tham số tự do

4 Chọn r tham số còn lại để được lược đồ ổn định và trong trường hợp lý tưởng, là

ổn định - A

Nhận xét

Nếu nhân hai vế của hệ (2.19) với ma trận

)

( 1 2

1 d E d E d E

L i+ = m (2.20a) cấp n×mn, trong đó d1,d2, ,d m là các hằng số tùy ý, thì một lần nữa ta lại nhận được một lược đồ sai phân k bước cổ điển có dạng:

),(

1 1 1

=

k j

k j

j i j i j j

Dưới đây sẽ minh họa phương pháp nêu trên qua các lược đồ cụ thể