Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và

bậc hai

MỤC LỤC

1.1 Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân 3

1.2 Giải số bài toán Cauchy 4

1.2.1 Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân 4

1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 9

1.2.3 Phương pháp cổ điển đa bước 12

1.3 Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 13

1.3.1 Mô hình thử 13

1.3.2 Ổn định của phương pháp Euler 14

1.3.3 Ổn định của phương pháp Runge-Kutta 16

1.3.4 Ổn định của phương pháp đa bước 18

1.3.5 Ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn 18

2.Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp một 20 2.1 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một 20

2.1.1 Phương pháp tổng quát 20

2.1.2 Phương trình thử 24

2.1.3 Trường hợp đặc biệt 25

2.1.4 Thử nghiệm số 26

2.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 27

2.2.1 Phương pháp một bước 27

2.2.2 Phương pháp đa bước 34

i

3 Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp hai 50

3.1 Phương pháp không cổ điển giải số cấp hai 50

3.1.1 Phương pháp cổ điển 50

3.1.2 Lược đồ sai phân mới 51

3.1.3 Tính chất ổn định 63

3.1.4 Thử nghiệm số 66

3.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình phi tuyến cấp hai 68

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M

V Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này

Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc

nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo

các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008)

Luận văn gồm ba Chương

Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương

trình vi phân Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số

cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản.Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vàonhững năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyếntính, theo các tài liệu [9]-[11]

Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình viphân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M V Bulatov và G V.Berghe ([4], 2009)

Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗiTaylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M

V Bulatov và G V Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất

Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB vàtính toán trên máy các ví dụ của M V Bulatov và G V Berghe

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ DuyPhượng (Viện Toán học) Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy

Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoaToán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Họcviện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học

Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã thông cảm, sẻ chia, hysinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luậnvăn

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009

Tác giả

Vũ Thị Thanh Bình

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải sốphương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau

1.1 Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân

Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình

( ) ( ( ), ), 0,1

x t f x t t t (1.1)thỏa mãn điều kiện ban đầu

0(0)

x x , (1.2)trong đó f x t , , x t  là các hàm vectơ n- chiều, hàm f xác định trên hình hộp vôhạnD: 0 , 1R n

Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.2) là một hàm khả vi x t( ) trên 0,,   1 sao cho x t( )f x t t( ( ), ) trên 0, và

Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận B t( ), của các vectơ f x t , , g t( ) là

đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán) Khi ấy theo định lí Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm x t( ) trên toàn đoạn 0,1 (nghiệm có

Picard-thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem

[8], trang 467) Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2)

1.2 Giải số bài toán Cauchy

Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình viphân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bàitoán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm Có hai phương pháp xây dựng dãynghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dướidạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đabước,

Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta, xuất phát từqui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2])

1.2.1 Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân

Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp

quan trọng để tính tích phân Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điềukiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân

trình vi phân Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải

số phương trình vi phân có thể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ bản Trước tiên tanhắc lại quy tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [1])

Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ( )

( ) ( ) ( ( ), )

x t h  x t h f x t t (1.7)Gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập t (h có thể dương hoặc âm, khi hdương thì nghiệm được xây dựng về bên phải của điểm t0 và ngược lại, khi h âm

thì nghiệm được xây dựng về bên trái của t0) Dưới đây ta coi h 0, trường hợp

Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc Hình 1.1

· Nếu chọn s 1 và c1b thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hìnhchữ nhật ABEF (Hình 1.2):

b B

a A

E

b B

a A

b B

a A O

f

x

thang ABED, Hình 1.4) thì ta được:

Phương pháp điểm giữa và phương pháp

b B

a A O

f

x

Đây là công thức ẩn của phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical

fourth-order Runge-Kutta method)

1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta

1.2.2.1 Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta

Vì phương pháp ẩn đòi hỏi tại mỗi bước phải giải một phương trình phi tuyến, điềunày không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng các công thức Runge-Kutta hiển từcông thức hình thang ẩn, công thức điểm giữa ẩn và công thức Runge-Kutta kinhđiển cấp bốn ẩn tương ứng như sau

· Trong công thức hình thang ẩn:

ta nhận được phương pháp trung điểm hiển (explicit midpoint method):

2 3

1.2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát

Nội dung cơ bản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát như sau

Chia đoạn 0,1 thành một lưới đều

i f x h a X t c h X

1

, (1.9)Các tham số a ij, c i, b i xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn s được gọi là số

nấc Nếu a  ij 0 với mọi j i thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển Khi ấy tính

toán khá đơn giản (X i được tính theo công thức truy hồi) Nếu a  ij 0 với j i nào

đó thì ta có phương pháp Runge-Kutta ẩn Khi ấy tại mỗi bước ta phải giải một hệ

ns phương trình phi tuyến (tuyến tính nếu f x t( , )B t x g t( )  ( )) để tìm s vectơ X i

(mỗi vectơ X i có n tọa độ)

Th ường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng ph ương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher c vi t d ết dưới dạng bảng Butcher ưới dạng bảng Butcher i d ng b ng Butcher ạng bảng Butcher ảng Butcher (Butcher table)

1.2.2.3 Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai

Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của x tại t n là x n Phương pháp Runge-Kutta hiểnhai nấc cấp hai sử dụng điểm ( , )x t n n để xấp xỉ giá trị của x tại điểm tiếp theo bằngcông thức

1 ( 1 1 2 2),

x  x h b k b k (1.10)trong đó

k1f x y( , );n n k2 f x( nc h y2 , nha k21 1)

Khái niệm s-nấc (s-stage) thể hiện rằng số lần tính các giá trị của hàm f (tại cácđiểm khác nhau trong công thức Runge-Kutta) là s

Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2])

Khai triển Taylor hàm f x t( , ) theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi

Đây là một hệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn Ta có thể chọn một hệ số, thí

dụ, b 2 0 tự do Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua b 2 0 bởi các công thức:

1 1 2

b   b , 2

2

12

c b

 , 21

2

12

a b

b  và a21c21 Khi ấy ta có một phương pháp Runge-Kutta

cấp hai cho phép tính x n1 dựa trên công thức:

a  , b 1 0 và 2

12

c  Khi ấy ta có công thức

Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy.

1.2.3 Phương pháp cổ điển đa bước

Phương pháp cổ điển k-bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7])

Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G.Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử)

x x x x R t , (1.13)trong đó  là một hằng số (thực hoặc phức) Nghiệm của phương trình này là

n   Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi   1

Giả sử bước h 0 cố định Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm t n nh

sẽ là x e t x0 e nh x0 n x0

  Nếu nghiệm chính xác bị chặn thì  eh  1 Điều này chỉ có thể xảy ra nếu

0

Re h R h Điều này có nghĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành Re( h ) vàtrục tung Im( h ), miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mởbên trái

Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu   1 và ổn định tương

Để thuận tiện, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm ổn định tương tự như sau

Kí hiệu zh, mọi phương pháp Runge-Kutta (1.8)-(1.9) đều có thể viết dưới dạng

1 ( )

x R z x ,trong đó R z( ) được gọi là hàm ổn định

Định nghĩa 3.1

Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà R z ( ) 1 được gọi là miền ổn định

của phương pháp (1.8)-(1.9) Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì

phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra lim ( ) 0z R z  thì phương pháp

được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận).

1.3.2 Sự ổn định của phương pháp Euler

Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng

n n n n n

x 1   ( , )     1   Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là

n n

trong đó   1  h

Phương pháp số là ổn định nếu   1

Xét các trường hợp sau

1)  là số thực Khi ấy   1  h  1, hay  2  h 0

2)  là thuần ảo ( i, trong đó  là số thực khác 0) Khi ấy

1 1

Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu  là thuần ảo

3)  là số phức (  Ri I) Khi ấy

1    1 1

1

Phương pháp số này được gọi là ổn định có điều kiện.

Để nhận được nghiệm số ổn định, bước h phải được chọn sao cho h nằm trong

hình tròn Nếu  là số thực âm thì từ điều kiện  2  h 0 suy ra  2h 0

Nếu  là thực và nghiệm số không ổn định thì 1  h  1, nghĩa là 1  h là một số

âm và có trị tuyệt đối lớn hơn 1 Vì x 1 hn x0

mỗi bước Sự thay đổi của nghiệm số mô tả khá rõ tính không ổn định

Tương tự, ta có thể xét tính ổn định của các phương pháp Euler cải tiến Ta đi đếnkết luận sau

Phương pháp Euler ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là

ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn phương pháp Euler hiển không phải là ổn định-A

và hội tụ cấp 1

Hàm ổn định của các phương pháp này tương ứng là 1

1 z ,

1212

z z





và 1 z

1.3.3 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta

1.3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13) Ta có

n n

1 2

1 2

1

2 1 1

2

2

1 2 1

h h e i



2

theo các giá trị của  Nhận xét rằng   1 với mọi giá trị của 

Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6

1.3.3.2 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử (1.13) Ta có

n n

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 2

1 4

! 3 2

1 h 2h2 3h3 4h4

Trường hợp 1  là số thực Khi ấy  2 785  h 0

Trường hơp 2  i thuần ảo,   0 Khi ấy 0  h  2 2

Trường hợp 3   R i I là số phức Đặt    

h h  h h e i



! 4

! 3 2 1

4 4 3 3 2 2

và tìmnghiệm phức h của phương trình bậc bốn theo các giá trị của  Nhận xét rằng

1



 với mọi giá trị của 

Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6

Hình 1.6

1.3.4 Sự ổn định của phương pháp đa bước

Áp dụng các phương pháp (1.11) và (1.12) cho bài toán (1.13) ta được

Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà ( ) 1z  với mọi nghiệm của (1.15)

và ( ) 1z  đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp

(1.14) Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi

3) Phương pháp (1.11) ổn định – A không thể có cấp chính xác vượt quá 2 (chắnDahlquist thứ hai)

Trong Chương sau ta sẽ trình bày phương pháp do Bulatov đề nghị cải tiến đượcnhững hạn chế nêu trên

1.3.5 Sự ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn

Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng

Nếu k  0 và x   thì nghiệm bị chặn Đại lượng ekx là nghịch biến khi k 0 vàđồng biến khi k  0

Xấp xỉ sai phân trung tâm cho hệ là

2 2

1

1 1 1

1

2 i  i  i  x i  x i 

h

k x

x x

Phương trình sai phân này có nghiệm là

i i

kh

kh B

Nếu k 0 đại lượng 1

nếu h k2 Đây chính là điều kiện ổn định cho hệ sai phân

có phương pháp là L-ổn định Nội dung của Chương gồm hai mục Trong 2.1 chúngtôi trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phươngtrình vi phân phi tuyến cấp một Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuấtgiải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2 Để làmsáng tỏ phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích cáchàm nhiều biến dưới dạng chuỗi Taylor, ) mà trong [9]-[11] trình bày không tườngminh.

2.1 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một

0(0)

x x , (2.2)trong đó f x t , , x t  là các hàm vectơ n- chiều, hàm f xác định trên hình hộpchữ nhật vô tậnD: R n0 , 1

Để giải bài toán (2.1)-(2.2), ta bắt đầu đi từ phương pháp- và phương pháp một tựacủa nó (hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một):

 

1 1 ( 1, 1) (1 1) ( ,

x  x h c f x t   c f x t (2.3)và

x  x hf c x   c x t c h (1.4)với c c1, 2 là các hằng số tùy ý, 0c c1, 21

Mỗi công thức truy hồi (2.3) (hoặc (2.4)) cho một dãy các giá trị xấp xỉ nghiệm củaphương trình vi phân (2.1)-(2.2) Dưới đây ta cố gắng kết hợp hai phương pháp(2.3) và (2.4) để được một phương pháp số mới giải hệ phương trình vi phân (2.1)-(2.2)

Khai triển Taylor tại điểm x x i ta được:

Theo [11]lược đồ sai phân (2.6) là ổn định với mọi bộ hệ số c c c1, 2, 3 và có bậc hội

tụ tối thiểu là bậc một Ta có ba tham số tự do, vì vậy có thể chọn được bộ ba số

1, 2, 3

c c c sao cho họ lược đồ sai phân (2.6) hội tụ cấp hai

Khai triển Taylor theo t tại điểm x t i, i ta được:

2

2 1

1 ( c3 x i f x i t i c3f x i t i

Do x t( )f x t t( ( ), ) (phương trình (1.1)) nên hệ thức trên đúng với mọi c3

Như vậy nếu chọn c c c1, 2, 3 thỏa mãn (2.7) thì ta được công thức (2.6) có cấp hai,bởi vì lúc này công thức (2.6) có sai số địa phương bậc h3 Ta đi đến định lý sau.

c c c

c c c c c c c

1

2

R z

z z



  có lim ( ) 0z R z  Như vậy (2.11) là công thức có tính chất ổn định-L

Trường hợp đặc biệt này đã được xét độc lập trong [9]

Công thức (2.11) trùng với một phương pháp Runge-Kutta, đó là phương phápLobatto III C với bảng Butcher

n n đòi hỏi khoảng 3

3

n

phép toán số học và phép nhân ma trận đòi hỏi 2n3 phép

toán Như vậy, để thực hiện phương pháp (2.6), ta cần 16 3

Dùng phương pháp của công thức (2.6) để giải số phương trình trên

Gọi e r80-là chuẩn Euclid của sai số tại t 1 với bước lưới 1

80

h 

Mã ngu n v Ch ồn và Chương trình tính toán trên MATLAB được cho trong phần à Chương trình tính toán trên MATLAB được cho trong phần ương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng trình tính toán trên MATLAB được viết dưới dạng bảng Butcher c cho trong ph n ần

Ph l c K t qu tính toán ụ lục Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây ụ lục Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây ết dưới dạng bảng Butcher ảng Butcher được viết dưới dạng bảng Butcher c cho trong b ng d ảng Butcher ưới dạng bảng Butcher đ i ây.

 e r80

8 7 6 5

10 10 10 10

10 7 1

10 7 1

10 7 1

10 7 1









2.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân

tuyến tính cấp một

Xét trường hợp khi hàm f x t( , )B t x g t( )  ( ), tức là khi (1.1) trở thành hệ phương

trình vi phân tuyến tính

x t( )B t x t( ) ( )g t( ), t0,1 , x(0)x0, (2.12)

trong đó B t  là ma trận cỡ n n , g t  là hàm vectơ n chiều có các phần tử khả vi

liên tục đến bậc hai (thuộc lớpC20 , 1)

2.2.1 Phương pháp một bước

2.2.1.1 Phương pháp một bước

Để giải (2.12), ta cũng bắt đầu đi từ phương pháp- và phương án một tựa của nó

(hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một):

) () 1(

) 1(

)

1 1

2 2

1 1 2 2

1

hc tg g gc h hc tB c h E B c h E x hc tB hc E B hc E

i i i i i

i i i i

(2.13)Nhận thấy rằng hệ (2.13) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển Để giải

(2.13) ta nhân cả hai vế của (2.13) với ma trận E hc B 1 i1c E hc B t3  2  i c h2    cấp

) 1

( (

) (

( )

) 1

( )(

(

} )) (

( )

(

2 2

2 3

1 1

1 1

1

2 2

2 2

3 1

1 1

1 2

2 2

3 2

1 1

h c t

g h c t

B hc E

hc g

c g

c B

hc E

h

x h

c t

B c

h E

h c t

B hc E

c B

c h

E B

hc E

x h

c t

B hc E

c B

hc

E

i i

i i

i

i i

i i

i

i i

x1    ,trong đó

Bổ đề được chứng minh

Nhận xét

Hệ (2.14) chứa ba hệ số tự do c c c1, ,2 3, ta tìm c1 , c2 , c3 để công thức (2.14) đạtđược độ chính xác cao hơn

Viết lại hệ (2.14) như sau:

       

   .

6 2

; 2

; 2

; 2

; 2

4 3

2 1

1

3 2

2 2 2

2 3

2 1

1

3 2

2 2 2

2 3

2 1

1

h O x

h x

h x h x t

x

x

h O g h c g c g h c t g h O g

h g g t

g

g

h O B h c B h c B h c t B h O B

h B h B t

B

B

i i

i i i

i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i

1 3 2 2

2 3

g

t

B

t g t x t B t B t x t B t B t g t x t B t B t

x

t

B

t g t g t B t g t B t x t B t x t B t B t x t B t

2 2

2 3

2 2

(2.16’)

nên hệ số của h3 được viết lại như sau

2 2

2 1 3

2 2 3 1

3

2 3 2 2 3

2 1 2 3 1

3

i i i i

i i i i

i i i i i i

x B B c c c c

c g

g B x B c c c

c

g B g B x B c c c c c c

3 3

0

0 2

3 6

0 3

3

1 2

1 2

3 2 3

2 1 2 3 2 3

1 2

2 3 2 3 1

2 3 2 2 3 1

c c

c c

c c

c

c c c c c

c c

c

c c c c c

c c c c c c

3

2 ,

Vậy (2.14) chính xác bậc ba và có dạng

2 1

( 4 ) ( 3

3 / 1

6 / 1 )

2

z z

z z

Nhận xét rằng, nếu các tham số c c c1, ,2 3 được chọn thỏa mãn điều kiện (2.7) thì ta

có lược đồ sai phân chính xác cấp hai

) 2

1 2

1 )(

2

1 ( ) 2

1 )(

2

1 ( )

Đây chính là phương pháp hình thang

Có thể kiểm tra được rằng, phương pháp (2.14) cho phương trình thử và phươngpháp Runge-Kutta với bảng Butcher

phép toán giải hệ phương trình tuyến tính) Để thực hiện

phương pháp Runge-Kutta hai nấc cần 8 3

ph ương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng pháp đường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng chéo hi n Nh v y, trong tr ển Như vậy, trong trường hợp tổng quát, ư ậy, trong trường hợp tổng quát, ường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng h p t ng quát, ợc viết dưới dạng bảng Butcher ổng quát,

ph ương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng pháp hai n c ấc

   có cấp chính xác bậc ba, đòi hỏi số phép toán số học ít hơn phương

pháp (2.14) Tuy nhiên, nếu có thể tính ma trận B t2( ) một cách giải tích (dễ dànglàm được khi các phần tử của B t( ) là các đa thức và ghi vào ô nhớ, thì phương pháp

(2.14) có lợi thế hơn so với phương pháp Runge-Kutta hai nấc: Phương pháp (2.14)

v Ch à Chương trình tính toán trên MATLAB được cho trong phần ương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher ng trình được viết dưới dạng bảng Butcher c cho trong ph n Ph l c K t qu tính toán ần ụ lục Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây ụ lục Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây ết dưới dạng bảng Butcher ảng Butcher được viết dưới dạng bảng Butcher c cho trong b ng d ảng Butcher ưới dạng bảng Butcher đ i ây.

025 0

05 0

1 0

6 5 2

10 33 0

10 26 0

10 1 0







2.2.2 Phương pháp đa bước

Mục này trình bày cách xây dựng các lược đồ sai phân đa bước không cổ điển giải

số hệ (2.12) do Bulatov đề xuất (xem [11]) Phương pháp này cho phép xây dựngcác lược đồ sai phân với ưu thể hơn các phương pháp cổ điển Thí dụ, từ phươngpháp này có thể xây dựng được các lược đồ sai phân cấp ba hoặc cấp bốn, tươngứng hai hoặc ba bước là ổn định - A

Để giải bài toán (2.12) theo phương pháp đa bước ta bắt đầu đi từ m phương phápkhác nhau có cùng k bước theo công thức sau:

Viết lại (2.18) thành hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là x i 1 như sau:

j i m j

j i j j i j j

i k

j

j i m j m j

j i j j

j i j j i

i m m

i i

g g g h x B h E

B h E B h E x

B h E B h E B h E

0 1 1 2 1 1

1 1

1 2 2 2

1 1 1

1

1 0 0

1 2 2

1 1 1

Hệ (2.19) nói chung không có nghiệm theo nghĩa cổ điển

Để giải (2.19) ta nhân cả hai vế của nó với ma trận:

1 ( 0 0 1 1 1 )

L    h B  c E c  E (2.20)cấp n mn , trong đó c c1, , ,2 c m1 là những hằng số tùy ý Sau khi nhân với ma trận

,

1 0

0

1 2

2

1 1

1 1

i i i

i

B h

E

B h

E

B h

E L

1 2 2

2

1 1

1

1 1

j

j i j j

j i j j

i j

i

B h

E

B h

E

B h

E L

0

1 0

1 2

1

1 1

j i m j

k j

j i j

k

i i

g g g hL

3 Phân tích (2.21) thành chuỗi Taylor và chọn các hệ số c c1, , ,2 c m1 sao cho lược

đồ (2.21) có bậc l p , trong đó p m 1, ngoài ra còn r m  1 p tham số tự do

4 Chọn r tham số còn lại để được lược đồ ổn định và trong trường hợp lý tưởng, là

ổn định - A