Một số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễMột số vấn đề chọn lọc về hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP BỘ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CĨ TRỄ Mã số: B2017-TNA-54 Chủ nhiệm đề tài: TS Mai Viết Thuận Thái Nguyên – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ Mã số: B2017-TNA-54 Xác nhận tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) Mai Viết Thuận Thái Nguyên – 2018 i Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài đơn vị phối hợp Danh sách viên tham gia nghiên cứu đề tài TT Họ tên TS Mai Viết Thuận ThS Nguyễn Thị Thanh Huyền ThS Trần Nguyên Bình TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Đơn vị công tác lĩnh vực chun mơn Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHKH, ĐHTN; Tốn Giải tích Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHKH, ĐHTN; Tốn Giải tích Trường Đại học kinh tế quản trị kinh doanh; Toán Ứng dụng Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH, ĐHTN; Toán Ứng dụng Trường ĐHKH, ĐHTN; Toán Ứng dụng Nội dung nghiên cứu cụ thể giao Chủ nhiệm đề tài; Nghiên cứu biên tập đạt cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch có trễ biến thiên Thành viên nghiên cứu chính; Thư ký khoa học; Nghiên cứu biên tập đạt cho lớp hệ nơ ron thần kinh tổng quát có trễ biến thiên Thành viên nghiên cứu đề tài; Nghiên cứu tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên Thành viên nghiên cứu đề tài; Nghiên cứu biên tập đạt cho lớp hệ chuyển mạch nơ ron thần kinh có trễ hỗn hợp Thành viên nghiên cứu đề tài; Lập trình giải ví dụ số phần mềm MATLAB ii Đơn vị phối hợp Tên đơn vị ngồi nước Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Trường Đại học tổng hợp Deakin, Australia Nội dung phối hợp nghiên cứu Tư vấn, định hướng nghiên cứu Họ tên người đại diện đơn vị GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viết chung nghiên cứu GS Hiếu Trịnh cơng trình iii Mục lục Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài đơn vị phối hợp i Mở đầu Chương Bài tốn tìm bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ 1.1 Một số bổ đề bổ trợ 1.2 Bài tốn tìm bao tập đạt lớp hệ tuyến tính chuyển mạch có trễ 1.3 Bài tốn tìm bao tập đạt mạng nơ ron tổng qt có trễ 1.4 Bài tốn tìm bao tập đạt mạng nơ ron chuyển mạch có trễ hỗn hợp 4 6 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ 2.1 Phát biểu toán số kiến thức chuẩn bị 2.2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ Chương Tính ổn định mũ tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên 10 3.1 Phát biểu toán 10 3.2 Tính ổn định mũ lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên 11 3.3 Tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên 12 Chương Tính ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến 13 4.1 Một số kiến thức giải tích phân thứ 13 4.2 Một số tiêu chuẩn ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến 13 Kết luận 15 iv BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung Tên đề tài: Một số vấn đề chọn lọc hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ Mã số: B2017-TNA-54 Chủ nhiệm đề tài: TS Mai Viết Thuận Email: thuanmv@tnus.edu.vn Điện thoại: 0396661128 Cơ quan chủ trì: Đại học Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 2017-2018 Mục tiêu - Đưa số tiêu chuẩn cho toán nghiên cứu bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ lớp hệ chuyển mạch có trễ biến thiên, lớp hệ nơ ron thần kinh tổng quát có trễ, lớp hệ nơ ron thần kinh chuyển mạch có trễ hỗn hợp - Đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn, tính thụ động cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ lớp hệ nơ ron thần kinh có trễ tổng quát, lớp hệ chuyển mạch có trễ, lớp hệ dương có trễ Tính tính sáng tạo Các kết nghiên cứu đề tài cơng bố tạp chí quốc tế uy tin (nằm danh sách ISI Clarivate Analytics) Điều đảm bảo tính tính sáng tạo đề tài Kết nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ; - Đề tài nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ; - Đề tài nghiên cứu tính ổn định mũ tính thụ động cho lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên; - Đề tài nghiên cứu tính ổn định hóa lớp hệ phi tuyến phân thứ Caputo Sản phẩm 5.1 Sản phẩm khoa học Huong D.C., Thuan M.V (2017) “State transformations of time-varying delay systems and their applications to state observer design”, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S, 10(3), pp 413–444 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Thu N.T.H (2017), “New results on reachable sets bounding for switched neural networks systems with discrete, distributed delays and dounded dis- v turbances”, Neural Processing Letters, 46(1), pp 355–378 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Trinh H., Huong D.C (2018), “Reachable sets bounding for switched systems with time-varying delay and bounded disturbances”, International Journal of Systems Science, 48(3), pp 494–504 (SCIE, Q1) Thuan M.V., Tran H.M, Trinh H (2018), “Reachable sets bounding for generalized neural networks with interval time-varying delay and bounded disturbances”, Neural Computing and Applications, 29(10), pp 783–794 (SCIE, Q1) Thuan M.V (2018), “Robust finite-time guaranteed cost control for positive systems with multiple time delays”, Journal of Systems Science and Complexity, 31, pp 1–14 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Huong D.C (2018), “New results on stabilization of fractional-order nonlinear systems via an LMI approach”, Asian Journal of Control, 20(4), pp 1541– 1550 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Huong D.C (2018), “New results on exponential stability and passivity analysis of delayed switched systems with nonlinear perturbations”, Circuits, Systems, and Signal Processing, 37(2), pp 569–592 (SCIE, Q2) 5.2 Sản phẩm đào tạo - Hướng dẫn 05 luận văn cao học: Nguyễn Thị Cúc (2017), Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Thúy (2017), Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Quang Huân (2017), Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào - đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Văn Cường (2018), Về tính ổn định số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Đình Sự (2018), Tính ổn định hóa số lớp hệ dương phân thứ, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại - Về khoa học: Công bố số kết mới, có ý nghĩa khoa học tạp chí quốc tế có uy tín ISI (thuộc chủ đề nghiên cứu đề tài) - Về giáo dục đào tạo: Hướng dẫn thạc sĩ, phục vụ hiệu cho công tác giảng dạy sau đại học chuyên ngành Toán trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thành viên nhóm thực đề tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu vi Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) Mai Viết Thuận vii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General Information Project title: Selected problems on differential equations and control system with delays Code number: B2017-TNA-54 Coordinator: Dr Mai Viet Thuan Email: thuanmv@tnus.edu.vn Phone: 0396661128 Implementing institution: Thai Nguyen University Duration: From 1/2017 to 12/2018 Objectives - Study the problem of reachable sets bounding for some classes of differential equation systems with time delays such as switched systems with time-varying delay, generalized neural networks with time-varying delays and switched neural networks systems with mixed time delays; - Study the problems of finite-time stability, passivity analysis for some classes of differential equation systems with time delays such as generalized neural networks with time-varying delays, switched systems with time-varying delay and positive systems with time delays Novelty and creativity The results of the study are published in qualified international scientific journals Research results - The project studied the problem of reachable sets bounding for some classes of differential equation systems with time delays; - The project studied the problem of finite-time guaranteed cost control for positive systems with multiple time delays; - The project studied exponential stability and passivity analysis of delayed switched systems with nonlinear perturbations; - The project studied the problem of stabilization of fractional-order nonlinear systems Products 5.1 Scientific publications Huong D.C., Thuan M.V (2017) “State transformations of time-varying delay systems and their applications to state observer design”, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S, 10(3), pp 413–444 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Thu N.T.H (2017), “New results on reachable sets bounding for switched neural networks systems with discrete, distributed delays and dounded disturbances”, Neural Processing Letters, 46(1), pp 355–378 (SCIE, Q2) viii Thuan M.V., Trinh H., Huong D.C (2018), “Reachable sets bounding for switched systems with time-varying delay and bounded disturbances”, International Journal of Systems Science, 48(3), pp 494–504 (SCIE, Q1) Thuan M.V., Tran H.M, Trinh H (2018), “Reachable sets bounding for generalized neural networks with interval time-varying delay and bounded disturbances”, Neural Computing and Applications, 29(10), pp 783–794 (SCIE, Q1) Thuan M.V (2018), “Robust finite-time guaranteed cost control for positive systems with multiple time delays”, Journal of Systems Science and Complexity, 31, pp 1–14 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Huong D.C (2018), “New results on stabilization of fractional-order nonlinear systems via an LMI approach”, Asian Journal of Control, 20(4), pp 1541– 1550 (SCIE, Q2) Thuan M.V., Huong D.C (2018), “New results on exponential stability and passivity analysis of delayed switched systems with nonlinear perturbations”, Circuits, Systems, and Signal Processing, 37(2), pp 569–592 (SCIE, Q2) 5.2 Training results: 05 master of theses Nguyen Thi Cuc (2017), On finite-time stability analysis of positive dynamical symtems, Thai Nguyen University of Sciences Nguyen Thi Thuy (2017), On stabilization of linear positive systems with bounded controls, Thai Nguyen University of Sciences Nguyen Quang Huan (2017), On input-output finite time stability of fractional order systems, Thai Nguyen University of Sciences Nguyen Van Cuong (2018), On stability analysis of fractional-oder neural networks systems, Thai Nguyen University of Sciences Nguyen Dinh Su (2018), Stabilization of fractional order positive systems, Thai Nguyen University of Sciences Applications and effectiveness - On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project) - On educational aspect: Instructing 04 master theses, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences - Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening the cooperation in scientific research with domestic and international research institution 1 Mở đầu Trong năm gần đây, hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới (xem [11, 19, 24] tài liệu tham khảo đó) Trong đó, tính ổn định theo nghĩa Lyapunov [11, 19, 24], tính ổn định hữu hạn [1, 49], tính thụ động (passivity analysis) [12], tính chất định tính quan trọng hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ Do tính chất nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Ngồi ra, tốn nghiên cứu bao tập đạt cho hệ phương trình vi phân có trễ nhận quan tâm nghiên cứu đông đảo nhà khoa học năm gần (xem [10, 13, 28, 47, 48, 58, 60, 80] tài liệu tham khảo đó) Bài tốn nghiên cứu bao tập đạt cho hệ phương trình vi phân có trễ nghiên cứu vào năm 2003 Fridman E [13] cho lớp hệ tuyến tính có trễ Sau đó, toán nhiều nhà khoa học nghiên cứu mở rộng cho nhiều lớp hệ động lực có trễ khác nhau, chẳng hạn hệ tuyến tính có trễ [47], lớp hệ có trễ dạng tích phân [80], lớp hệ trung tính có trễ [58], lớp hệ phi tuyến có trễ [48], lớp hệ sai phân có trễ [28, 60], lớp hệ phương trình vi phân đại số có trễ [10], mạng nơ ron có trễ [81] Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, toán nghiên cứu bao tập đạt cho lớp hệ chuyển mạch có trễ biến thiên, tốn nghiên cứu bao tập đạt cho mạng nơ ron tổng quát có trễ biến thiên dạng khoảng chưa nghiên cứu cách đầy đủ Bằng cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii, có sử dụng số bất đẳng thức tích phân đề xuất [53], Chương đề tài, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ Đó lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính chuyển mạch có trễ biến thiên, mạng nơ ron tổng quát có trễ biến thiên mạng nơ ron chuyển mạch có trễ hỗn hợp biến thiên Các kết trình bày Chương viết dựa ba báo khoa học chủ nhiệm đề tài đồng nghiệp (xem [64, 65, 66]) Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) nghiên cứu [8, 70] đóng vai trò quan trọng lý thuyết ổn định hệ động lực Mặt khác, toán kỹ thuật, ngồi việc tìm cách thiết kế điều khiển làm cho hệ thống ổn định hữu hạn thời gian mà đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Bài toán gọi toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn hệ động lực Nội dung tốn ngồi việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển ổn định hữu hạn thời gian, ta phải dựa điều khiển tìm cận hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng Bằng cách tiếp cận sửu dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [50] nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên với điều khiển bị chặn Một vài tiêu chuẩn cho toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn mạng nơ ron có trễ biến thiên nghiên cứu [49] Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ ngẫu nhiên Itô nghiên cứu [73, 74] Theo hiểu biết chúng tơi có cơng trình nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho lớp hệ dương có trễ Trong [3], tác giả giải toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính dương chuyển mạch có trễ biến thiên cách sử dụng phương pháp tiếp cận thời gian trung bình phụ thuộc tham số Chú ý rằng, kết [3] thu cách sử dụng định nghĩa ổn định hữu hạn tương ứng với hệ dương chuyển mạch Khái niệm khác với khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) đưa [8, 70] Vì vậy, việc nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho lớp hệ dương đa trễ sử dụng định nghĩa phổ biến đưa [8, 70] vấn đề mở, cần quan tâm nghiên cứu Trong Chương đề tài, tập trung giải tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho lớp hệ dương đa trễ cách tiếp cận sửu dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính với cách chọn hàm Lyapunov–Krasovskii phù hợp Bài tốn nghiên cứu tính thụ động tính thụ động hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính có trễ nghiên cứu nghiên cứu Fridman E Shaked U [12], Niculescu S.I Lozano R [51] Sau đó, tốn nghiên cứu tính thụ động thụ động hóa nhà khoa học nghiên cứu cho nhiều lớp hệ phương trình vi phân có trễ khác mạng nơ ron có trễ (xem [27, 30, 32] tài liệu tham khảo đó), hệ phương trình vi phân mờ có trễ [31], hệ phương trình vi phân đại số có trễ [34] Đối với lớp hệ chuyển mạch, có số kết thú vi cơng bố cho tốn nghiên cứu tính thụ động thụ động hóa cho lớp hệ phương trình vi phân chuyển mạch khơng có trễ (xem [15, 79]) Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, tốn nghiên cứu tính thụ động cho lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên chưa có kết công bố Bằng cách sử dụng vài bất đẳng thức tích phân đề xuất [53], kết hợp kỹ thuật tổ hợp lồi [52] ước lượng đạo hàm hàm Lyapunov-Krasovskii sử dụng cách tiếp cận thời gian dừng trung bình (the average dwell time), Chương đề tài chúng tơi nghiên cứu tốn nghiên cứu tính thụ động tính ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Trong năm gần đây, tốn nghiên cứu tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo phi tuyến nhận nhiều quan tâm nghiên cứu có nhiều kết thú vị tốn cơng bố tạp chí quốc tế uy tín (xem [4, 5, 29, 69, 75]) Tuy nhiên, kết [4, 5, 29, 69, 75] nghiên cứu tính ổn định hóa địa phương điểm cân gốc hệ thành phần phi tuyến kết = Vì vậy, việc tìm tiêu chuẩn thỏa mãn điều kiện lim f (x(t)) x(t) x→0 cho tính ổn định hóa tồn cục hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo phi tuyến cần thiết có ý nghĩa khoa học Trong Chương đề tài, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phân thứ Nội dung đề tài chia làm bốn chương: Chương Bài tốn tìm bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ Chương Tính ổn định mũ tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên Chương Tính ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến Chương Bài tốn tìm bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ 1.1 Một số bổ đề bổ trợ 1.2 Bài tốn tìm bao tập đạt lớp hệ tuyến tính chuyển mạch có trễ Xét hệ tuyến tính chuyển mạch có trễ biến thiên nhiễu bị chặn x(t) ˙ = Aσ x(t) + Dσ x(t − τ (t)) + Bσ ω(t), x(s) ≡ ϕ(s), s ∈ [−τ2 , 0], (1.1) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, σ(.) quy tắc chuyển mạch hệ hệ (1.1), σ(.) hàm phụ thuộc vào x(t), σ(.) lấy giá trị tập hữu hạn N := {1, 2, , N }; Ai ∈ Rn×n , Di ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×m , i = 1, , N, ma trận thực, số cho trước có số chiều thích hợp cho phép toán đại số ma trận thực Hàm trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 (1.2) Hàm ϕ(s) ∈ C ([−τ2 , 0], Rn ) điều kiện ban đầu thỏa mãn max ϕ˙ T (s)ϕ(s) ˙ ≤ µ2 (1.3) s∈[−τ2 ,0] Véc tơ nhiễu ω(t) ∈ Rm , giả thiết thỏa mãn điều kiện ω T (t)ω(t) ≤ ω , ∀t ≥ 0, (1.4) τ1 , τ2 , µ, ω số khơng âm Trước trình bày kết mục này, nhắc lại số định nghĩa bổ đề dùng để chứng minh kết 5 Định nghĩa 1.1 (xem [67]) (i) Cho trước Ω0 ⊂ Rn tập lồi đóng, bị chặn chứa điểm gốc Một tập Ω ⊂ Rn gọi tập đạt tiến (forwards reachable set) tương ứng với tập ban đầu cho trước Ω0 hệ (1.1) với điều kiện (1.2), (1.3) (1.4) quy tắc chuyển mạch σ(.) với điều kiện ban đầu ϕ(s) ∈ Ω0 , ∀s ∈ [−τ2 , 0], nghiệm hệ thỏa mãn x(t, ϕ(t), ω(t)) ∈ Ω, ∀t ≥ (ii) Cho trước Λ0 ⊂ Rn tập lồi đóng, bị chặn chứa điểm gốc Tập Λ ⊂ Rn gọi tập đạt lùi (backwards reachable set) tương ứng với tập mục tiêu Λ0 hệ (1.1) với điều kiện (1.2), (1.3) (1.4) quy tắc chuyển mạch σ(.) với hàm điều kiện ban đầu ϕ(s) ∈ Λ, ∀s ∈ [−τ2 , 0], nghiệm hệ thỏa mãn x(t, ϕ(t), ω(t)) ∈ Λ0 , ∀t ≥ Định lý 1.1 Giả sử tồn bảy số dương α, β0 , β1 , q1 , q2 , r1 , r2 , năm ma n×n (i = 1, , N ), ma trận trận P, Q1 , Q2 , R1 , R2 ∈ S+ n , ma trận Ui , Wi ∈ R 3n×3n X∈R cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) Hệ thống ma trận {Li (Ui )}, (i = 1, 2, , N ) đầy đủ chặt, tức tồn số N i ≥ 0, i = 1, 2, , N, i > cho i=1 N i Li (Ui ) < 0, (1.5) i=1 (ii) For i = 1, 2, , N, P ≤ β1 In , Q1 ≤ q1 In , Q2 ≤ q2 In , R1 ≤ r1 In , R2 ≤ r2 In , P ≥ In , β0 Φ= µ0 = (1.6a) (1.6b) R2 X ≥ 0, X T R2 (1.6c) Ωi = Ξi − GT1 F T R1 F G1 − ΓT ΦΓ < 0, (1.6d) κ1 µ0 + κ2 µ2 ≤ 1, (1.6e) , λmin (E) Ξi = eT1 (P Ai + ATi P + αP + Q1 )e1 + eT2 −e−ατ1 Q1 + e−ατ1 Q2 e2 − e−ατ2 eT4 Q2 e4 + eT11 τ12 R1 + τ12 R2 − Wi − WiT e11 + eT1 P Di e3 + eT3 DiT P e1 + eT1 P Bi e12 + eT12 BiT P e1 − eT1 Ui e11 − eT11 UiT e1 + eT1 Ui Di e3 + eT3 DiT UiT e1 + eT1 Ui Bi e12 + eT12 BiT UiT e1 + eT11 Wi Ai e1 + eT1 ATi WiT e11 α + eT11 Wi Di e3 + eT3 DiT WiT e11 + eT11 Wi Bi e12 + eT12 BiT WiT e11 − eT12 e12 , ω q1 (1 − e−ατ1 ) + q2 (e−ατ1 − e−ατ2 ) κ1 = β1 + , α τ12 τ1 1 κ2 = r1 τ1 + e−ατ1 − + r2 τ12 + e−ατ2 − e−ατ1 α α α α Khi tập đạt tiến hệ (1.1) bao hình cầu B(0, β0 ) := {x ∈ Rn : x ≤ β0 } quy luật chuyển mạch chọn sau σ(x(t)) = i ∈ N mà x(t) ∈ S i 1.3 Bài tốn tìm bao tập đạt mạng nơ ron tổng quát có trễ 1.4 Bài tốn tìm bao tập đạt mạng nơ ron chuyển mạch có trễ hỗn hợp Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ 2.1 Phát biểu toán số kiến thức chuẩn bị Xét hệ điều khiển đa trễ hỗn hợp N x(t) ˙ = Ax(t) + Di x(t − τi ) + W ω(t) + Bu(t), t ∈ [0, Tf ], i=1 (2.1) s ∈ [−τ, 0], τ = max {τi }, x(s) = φ(s), 1≤i≤N x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, ω(t) ∈ Rp véc tơ nhiễu; A ∈ Rn×n , Di ∈ Rn×n , W ∈ Rn×p , B ∈ Rn×m ma trận thực cho trước; τi > 0(i = 1, , N ) độ trễ thời gian Hàm φ(s) ∈ C([−τ, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định φ = supt∈[−τ,0] φ(t) Véc tơ nhiễu ω(t) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện sau Tf ω T (t)ω(t)dt ≤ d ∃d > : (2.2) Khi khơng có tác động véc tơ điều khiển, hệ (2.1) trở thành N x(t) ˙ = Ax(t) + Di x(t − τi ) + W ω(t), t ∈ [0, Tf ], i=1 x(s) = φ(s), (2.3) s ∈ [−τ, 0], τ = max {τi } 1≤i≤N Tương ứng với hệ (2.1), ta xét hàm chi phí tồn phương Tf xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t) dt, J= (2.4) Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m ma trận thực, đối xứng, xác định dương cho trước Định nghĩa 2.1 Hệ (2.3) gọi hệ dương với điều kiện ban đầu φ(t) ∈ Rn+ ω(t) ∈ Rp+ , ta có véc tơ trạng thái x(t) ∈ Rn+ với t ≥ 8 Định nghĩa 2.2 ([56]) Cho trước số Tf > 0, c2 > c1 > Hệ (2.3) gọi ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T ) điều kiện sau thỏa mãn với véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (2.2): sup φT (s)φ(s) ≤ c1 ⇒ xT (t)x(t) < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] −τ ≤s≤0 Định nghĩa 2.3 Cho số Tf > 0, c2 > c1 > Nếu tồn luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t) số dương J ∗ cho hệ đóng sau N x(t) ˙ = (A + BK) x(t) + Di x(t − τi ) + W ω(t), t ∈ [0, Tf ], i=1 (2.5) x(s) = φ(s), s ∈ [−τ, 0], τ = max {τi }, 1≤i≤N hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) giá trị hàm chi phí tồn phương (2.4) thỏa mãn J ≤ J ∗ giá trị J ∗ gọi giá trị đảm bảo chi phí điều khiển điều khiển u∗ (t) luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) thời gian hữu hạn 2.2 Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính dương đa trễ Định lý 2.1 Cho trước số dương Tf , c1 , c2 Giả sử W 0, Di 0, (i = n×n 1, , N ) tồn ma trận đường chéo xác định dương P ∈ R , ma trận Y ∈ Rm×n số dương α cho điều kiện sau thỏa mãn: T Ξ P D1T P D2T P DN PQ Y TR ∗ −P 0 ∗ ∗ −P 0 (2.6a) < 0, ∗ ∗ −P 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Q ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −R d + λ c1 < c2 e−αTf , (2.6b) λ1 [A + BY P −1 ]ij ≥ 0, ∀i = j, i = 1, , n, j = 1, , n, (2.6c) where Ξ = AP + P AT + BY + Y T B T + N P + W W T , λ1 = λmin (P −1 ), N λ2 = λmax (P −1 τi λmax (DiT P −1 Di ) )+ i=1 Khi u(t) = Y P −1 x(t), t ∈ [0, Tf ] luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) thời gian hữu hạn giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho J ∗ = d + λ2 φ 10 Chương Tính ổn định mũ tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên 3.1 Phát biểu tốn Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên ˙ = Aσ(t) x(t) + Dσ(t) x(t − τ (t)) + Eσ(t) ω(t) + fσ(t) (t, x(t), x(t − τ (t)), ω(t)), x(t) xt0 (s) = x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−τ2 , 0], z(t) = Mσ(t) x(t) + Uσ(t) x(t − τ (t)) + Wσ(t) ω(t), (3.1) x(t) ∈ R véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ R véc tơ nhiễu, z(t) ∈ Rm véc tơ quan sát hệ; σ(t) : [0, ∞) → N := {1, 2, , N } luật chuyển mạch; Ai , Di , Ei , Mi , Ui , Wi , i = 1, , N, ma trận số cho trước; φ(s) điều kiện ban đầu Nhiễu phi tuyến fi (.), i = 1, , N, thỏa mãn fi (t, 0, 0, 0) = 0, n m fiT (t, x(t), x(t − τ (t)), ω(t))fi (t, x(t), x(t − τ (t)), ω(t)) ≤ xT (t)LTi Li x(t) + xT (t − τ (t))GTi Gi x(t − τ (t)) + ω T (t)HiT Hi ω(t), (3.2) Li , Gi , Hi , i = 1, , N, ma trận số cho trước Chú ý giả thiết (3.2) đặt lên nhiễu phi tuyến fi (.), i = 1, , N, áp dụng rộng rãi thực tế nhiều nhà nghiên cứu xem xét (xem [7, 26, 39, 40, 41, 76]) Độ trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 , (3.3) τ1 , τ2 số khơng âm cho trước Tương ứng với tín hiệu chuyển mạch σ(t), ta có trình tự chuyển mạch sau {xt0 ; (i0 , t0 ), , (ik , tk ) : ik ∈ N , k = 0, 1, }, điều có nghĩa hệ thứ ik kích hoạt t ∈ [tk , tk+1 ) 11 Định nghĩa 3.1 Cho hai số T2 > T1 ≥ 0, ký hiệu Nσ (T1 , T2 ) số lần chuyển đổi luật chuyển mạch σ(t) khoảng (T1 , T2 ) Nếu Nσ (T1 , T2 ) ≤ N0 + T2T−T a với Ta > 0, N0 ≥ 0, Ta gọi thời gian dừng trung bình (the average dwell time) Như thường lệ, ta chọn N0 = Định nghĩa 3.2 Hệ (3.1), với ω(t) ≡ 0, gọi ổn định mũ luật chuyển mạch σ(t) nghiệm x(t, φ) hệ (3.1) thỏa mãn x(t, φ) ≤ βe−α(t−t0 ) xt0 , ∀t ≥ t0 với số β ≥ 1, α > Định nghĩa 3.3 Hệ phương trình vi phân phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên (3.1) gọi thụ động tồn số γ ≥ cho với điều kiện ban đầu không, bất đẳng thức với tf ≥ t0 tf tf t0 3.2 ω T (s)ω(s)ds z T (s)ω(s)ds ≥ −γ (3.4) t0 Tính ổn định mũ lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên Xét hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên x(t) ˙ = Aσ(t) x(t) + Dσ(t) x(t − τ (t)) + fσ(t) (t, x(t), x(t − τ (t))), xt = x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−τ2 , 0] (3.5) Định lý đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ trường hợp đạo hàm độ trễ độ trễ hàm không khả vi i i i P11 P12 P13 P i P i P i 22 23 Định lý 3.1 Cho trước số α > Giả sử tồn ma trận Pi = 21 i i i P31 P32 P33 i i i P41 P42 P43 + 3n×3n S+ , (i = 1, , N ), số i > 0, (i = 4n , Qi , Ri , Si , Zi ∈ Sn , Xi ∈ R 1, , N ) cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau với τ ∈ {τ1 , τ2 } Φi = Z i Xi ≥ 0, , XiT Z i i = 1, , N, Ωi (τ ) = Ξi1 (τ ) − Ξi2 − ΓT Φi Γ < 0, i = 1, , N (3.6a) (3.6b) i P14 i P24 ∈ i P34 i P44 12 Khi hệ (3.5) ổn định mũ với luật chuyển mạch mà thời gian dừng trung bình (average dwell time) thỏa mãn Ta > Ta∗ = ln µ α (3.7) Ngồi ra, nghiệm hệ thỏa mãn đánh giá x(t, φ) ≤ b −λ(t−t0 ) e xt0 , a (3.8) µ ≥ thỏa mãn Pi ≤ µPj , Qi ≤ µQj , Ri ≤ µRj , Si ≤ µSj , Zi ≤ µZj , ∀i, j ∈ N , Ai = Ai e1 + Di e3 + e11 , S i = diag{e−ατ1 Si , 3e−ατ1 Si , 5e−ατ1 Si }, Z i = diag{e−ατ2 Zi , 3e−ατ2 Zi , 5e−ατ2 Zi }, (3.9) i = 1, , N, i = 1, , N, Ξi1 (τ ) = G1T (τ )Pi G2 + G2T Pi G1 (τ ) + αG1T (τ )Pi G1 (τ ) + eT1 (Qi + i LTi Li )e1 + eT2 e−ατ1 Ri − e−ατ1 Qi e2 − e−ατ2 eT4 Ri e4 + i eT3 GTi Gi e3 − i eT11 e11 + ATi τ12 Si + τ12 Zi Ai , Ξi2 = G3T F T S i F G3 , λ= α− ln µ Ta i = 1, , N, i = 1, , N, i , a = λmin (P11 ), i∈N b = max λmax (Pi ) + τ1 max λmax (Qi ) + τ12 max λmax (Ri ) + i∈N i∈N i∈N max τ λmax (Si ) i∈N 1 (τ1 + τ2 ) max λmax (Zi ) + τ12 i∈N 3.3 Tính thụ động lớp hệ phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên 13 Chương Tính ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến 4.1 Một số kiến thức giải tích phân thứ 4.2 Một số tiêu chuẩn ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến Xết hệ điều khiển phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C α t0 Dt x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + f (x(t)) + [B + ∆B(t)] u(t), t ≥ t0 ≥ 0, (4.1) x(t0 ) = x0 ∈ Rn , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, ∆A(t) = Ga Fa (t)Ha , ∆B(t) = Gb Fb (t)Hb , A, B, Ga , Gb , Ha , Hb ma trận thực, số cho trước có số chiều thích hợp; Fa (t) Fb (t) ma trận thỏa mãn điều kiện FaT (t)Fa (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I, ∀t ≥ t0 ≥ 0; nhiễu phi tuyến f (x(t)) ∈ Rn , f (0) = 0, hàm liên tục Lipschitz, tức tồn số κ > cho với x(t), y(t) ∈ Rn , ta có f (x(t)) − f (y(t)) ≤ κ x(t) − y(t) , ∀t ≥ t0 ≥ (4.2) Đặc biệt, y(t) = 0, ta có f (x(t)) ≤ κ x(t) , ∀x(t) ∈ Rn , ∀t ≥ t0 ≥ Khi véc tơ điều khiển u(t) ≡ 0, hệ (4.1) trở thành C α t0 Dt x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + f (x(t)), t ≥ t0 ≥ 0, x(t0 ) = x0 ∈ Rn (4.3) (4.4) 14 Mục đích ta mục ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau C Dα x(t) = A + Ga Fa (t)Ha + BK + Gb Fb (t)Hb K x(t) t0 t (4.5) +f (x(t)), ∀t ≥ t0 ≥ 0, x(t0 ) = x0 ∈ Rn , ∀α ∈ (0, 1) ổn định Mittag-Leffler ổn định tiệm cận theo Nhận xét 4.3 Định lý cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ điều khiển phân thứ (4.1) Định lý 4.1 Hệ đóng (4.5) ổn định Mittag-Leffler tồn cục tồn ma trận đối xứng, xác định dương P, ma trận Y có số chiều thích hợp cho phép toán đại số ma trận thực ba số dương , , cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn: M11 P HaT Y T HbT κP ∗ − I 0 (4.6) < 0, ∗ ∗ − 2I ∗ ∗ ∗ − 3I M11 = AP + P AT + BY + Y T B T + + T Gb Gb + T Ga Ga I Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (4.1) xác định bởi: u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ t0 ≥ 15 Kết luận Trong đề tài, đạt số kết sau: • Trình bày tốn nghiên cứu bao tập đạt cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ lớp hệ tuyến tính chuyển mạch có trễ biến thiên, mạng nơ ron tổng quát có trễ biến thiên, mạng nơ ron chuyển mạch có trễ hỗn hợp biến thiên; • Trình bày tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính dương đa trễ; • Trình bày tính ổn định mũ tính thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến chuyển mạch có trễ biến thiên; • Giới thiệu giải tích phân thứ đưa số tiêu chuẩn cho tốn ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo ... nhiều lớp hệ phương trình vi phân có trễ khác mạng nơ ron có trễ (xem [27, 30, 32] tài liệu tham khảo đó), hệ phương trình vi phân mờ có trễ [31], hệ phương trình vi phân đại số có trễ [34] Đối... hạn hệ tuyến tính có trễ [47], lớp hệ có trễ dạng tích phân [80], lớp hệ trung tính có trễ [58], lớp hệ phi tuyến có trễ [48], lớp hệ sai phân có trễ [28, 60], lớp hệ phương trình vi phân đại số. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP BỘ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CĨ TRỄ Mã số: B2017-TNA-54