Bài toán điều khiển ℋ∞ cho một số lớp hệ phương trình có trễ tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÊ ANH TUẤN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Hữu Dư, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Phản biện 2: PGS TS Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học Phản biện 3: PGS TS Trần Đình Kế, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết ổn định nhánh quan trọng lý thuyết định tính hệ phương trình vi phân mà nhà toán học người Nga A.M Lyapunov khởi xướng từ năm cuối kỷ XIX Với bề dày lịch sử kỷ đến thời điểm lý thuyết ổn định Lyapunov lĩnh vực nghiên cứu có sức lơi lớn toán học với ngày nhiều ứng dụng quan trọng tìm thấy học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin, sinh thái, mơi trường, v.v (xem Gu et al (2003), Hinrichsen Pritchard (2010), Kolmanovskii Myshkis (1999), Krasovskii (1963)) Cùng với tính ổn định nghiệm, người ta quan tâm đến tốn ổn định hóa hệ điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hóa hệ điều khiển từ năm 1960 Mặt khác, mơ hình tốn học (được xây dựng từ toán kỹ thuật thực tiễn) thường xuất độ trễ thời gian Các đại lượng trễ hình thành cách tự nhiên, tránh khỏi trình truyền tải, xử lý liệu người ta diện nhiều ảnh hưởng đến dáng điệu tính chất hệ, có tính ổn định (xem Gu et al (2003), Niculescu (2001)) Chính vậy, việc nghiên cứu tính ổn định điều khiển cho hệ có trễ tốn có ý nghĩa thực tế, nhiều học giả quan tâm năm gần (xem Boyd et al (1994), Duan Yu (2013), Fridman (2014), Michiels Niculescu (2014)) Bên cạnh đó, q trình thực tiễn thường xảy cách khơng chắn (có xuất đại lượng “nhiễu” hệ thống) Các nhiễu xuất sai số vận hành, ảnh hưởng lẫn thành tố hệ thống hệ thống khác Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết xác tất tham số hệ mơ hình điều khơng tưởng khó vận dụng thực tế Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng nhiễu đầu hệ thống (bài tốn H∞ ) tốn có tính thời sự, nhiều nhà toán học kỹ sư quan tâm nghiên cứu Các cách tiếp cận khác phát triển số lượng lớn kết quan trọng điều khiển H∞ cho nhiều lớp hệ có trễ cơng bố thời gian qua (Petersen et al (2000), Wu et al (2010), Xu Lam (2006), Zhou et al (1995)) Tuy nhiều vấn đề mở thú vị quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng chưa giải quyết, đặc biệt kết có tốn H∞ cho lớp hệ điều khiển có trễ tổng quát khiêm tốn cần tiếp tục nghiên cứu sâu Đó động lực để thực đề tài TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU Hệ nơ-ron có trễ lớp hệ phương trình vi phân hàm đặc biệt, nghiên cứu cách rộng rãi hai thập kỷ qua ứng dụng thành cơng nhiều lĩnh vực như: nhớ kết hợp (associative memory), nhận dạng phân loại mẫu, xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, giải tốn tối ưu, v.v Do đó, lớp hệ đề cập luận án toán điều khiển H∞ hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp: t x(t) ˙ = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) + W2 c(x(s))ds t−k(t) + Bu(t) + Cω(t) z(t) = Ex(t) + M x(t − h(t)) + N u(t), x(t) = ϕ(t), t ∈ [−d, 0], t (1) 0, d = max{h2 , k}, h(t), k(t) hàm trễ hệ thỏa mãn điều kiện h2 , k(t) k h1 h(t) Năm 2009, toán ổn định mũ cho hệ nơ-ron x(t) ˙ = −(A+∆A(t))x(t)+(W0 +∆W0 (t))f (x(t))+(W1 +∆W1 (t))f (x(t−h(t))) với hàm trễ h(t) biến thiên liên tục dạng khoảng có đạo hàm bị chặn xét Kwon Park Còn tốn ổn định hóa dạng mũ tác giả Phat, Trinh đề xuất vào năm 2010 cho hệ nơ-ron với trễ hỗn hợp t x(t) ˙ = −Ax(t)+W0 f (x(t))+W1 g(x(t−h(t)))+W2 c(x(s))ds+Bu(t), t−k(t) hàm trễ h(t), k(t) giả thiết thỏa mãn điều kiện: ˙ h(t) h, h(t) δ < 1, k(t) k ∀t Không lâu sau đó, kết mở rộng sang trường hợp trễ rời rạc h(t) hàm liên tục, nhận giá trị khoảng hai tác giả Thuan, Phat (2012) Năm 2012, Sakthivel et al xét tốn điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron có trễ hỗn hợp (và khơng có trễ hàm quan sát) x(t) ˙ = −(A + ∆A)x(t) + (W0 + ∆W0 )f (x(t)) + (W1 + ∆W1 )g(x(t − h(t))) t + (W2 + ∆W2 ) c(x(s))ds + u(t) + (C + ∆C)ω(t), t−k(t) z(t) = Ex(t), ˙ với hàm trễ h(t), k(t) thỏa mãn: h(t) h, h(t) δ, k(t) k ∀t Trong cơng trình này, tác giả thu tính ổn định hóa dạng tiệm cận điều kiện H∞ Sang năm 2013, tác giả Phat, Trinh tiếp tục nghiên cứu tốn điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron có trễ x(t) ˙ = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − τ1 (t))) + Bu(t) + Cω(t), z(t) = Ex(t) + M h(x(t − τ2 (t))) + N u(t), với hai trường hợp xét: hàm trễ τ1 (t), τ2 (t) khả vi có đạo hàm bị chặn số thực dương bé hàm trễ bị chặn khơng thiết khả vi Từ đó, tác giả thu tính ổn định hóa dạng mũ điều kiện H∞ ứng với trường hợp Như vậy, kết nêu tính ổn định điều khiển H∞ phần lớn bị hạn chế giả thiết độ trễ hàm khả vi có đạo hàm bị chặn đơn giản hàm bị chặn Hiện việc nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ phương trình (1) với độ trễ h(t) liên tục, khơng đòi hỏi tính khả vi nhận giá trị khoảng nêu chưa nhận quan tâm thích đáng nhà nghiên cứu Trong bối cảnh đó, chúng tơi đề xuất tốn điều khiển H∞ cho hệ (1) Bài toán thứ hai chúng tơi quan tâm luận án tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên dạng khoảng: x(k + 1) = Ax(k) + Ad x(k − d(k)) + Bu(k) + Gω(k), z(k) = Cx(k) + Cd x(k − d(k)), x(k) = ϕ(k), k ∈ Z+ , (2) k ∈ {−d2 , −d2 + 1, , 0}, hàm trễ d(k) thỏa mãn điều kiện < d1 d(k) d2 ∀k ∈ Z+ Năm 2010, toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ rời rạc tuyến tính khơng có trễ x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Gω(k), z(k) = Cx(k) + D1 u(k) + D2 ω(k), đề xuất Wang et al Cũng toán cho hệ rời rạc phi tuyến chuyển mạch khơng có trễ Xiang Xiao nghiên cứu vào năm 2011 Đến năm 2012, Song et al tiến thêm bước giải toán cho hệ rời rạc tuyến tính chuyển mạch với trễ x(k + 1) = Aσ(k) x(k) + Ad,σ(k) x(k − d) + Bσ(k) u(k) + Gσ(k) ω(k), z(k) = Cσ(k) x(k) + Cd,σ(k) x(k − d) + Dσ(k) u(k) + Fσ(k) ω(k) Khơng lâu sau đó, kết mở rộng cho hệ rời rạc phi tuyến chuyển mạch có trễ Zong et al (2015) Về tính ổn định ổn định hóa thời gian hữu hạn cho hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên dạng khoảng x(k + 1) = Ax(k) + Ad x(k − d(k)) + Bu(k), có hai cơng trình tiêu biểu mà hai nhóm tác giả Zuo et al Zhang et al công bố tương ứng năm 2013 2014 Rõ ràng kết nêu điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính phi tuyến bị hạn chế giả thiết khơng có diện độ trễ có diện độ trễ đơn giản hàm Hiện việc nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình (2) với độ trễ d(k) thỏa điều kiện biến thiên dạng khoảng nêu chưa nhận quan tâm nhà nghiên cứu Trong bối cảnh đó, chúng tơi đề xuất tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (2) Bài toán thứ ba hướng đến luận án toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ: Ex(k + 1) = Ax(k) + W f (x(k)) + W1 g(x(k − d(k))) + Bu(k) + Cω(k), z(k) = A1 x(k) + Dx(k − d(k)) + B1 u(k), k ∈ Z+ , (3) x(k) = ϕ(k), k ∈ {−d2 , −d2 + 1, , 0}, trễ thời gian d(k) giả thiết biến thiên dạng khoảng hệ (2) Việc nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron rời rạc có trễ biến thiên dạng khoảng xuất từ sớm với hai báo Lu et al (2009) Sakthivel et al (2012) Tuy nhiên, tính ổn định thời gian hữu hạn cho lớp hệ vài nhà nghiên cứu quan tâm gần Cụ thể là, tính bị chặn thời gian hữu hạn cho hệ nơ-ron rời rạc với trễ biến thiên Zhang et al khảo sát vào năm 2014, tính ổn định thời gian hữu hạn cho hệ nơ-ron mờ rời rạc khơng có trễ Bai et al thu vào năm 2015 Hiện nay, việc nghiên cứu tính ổn định điều khiển hệ suy biến phát triển mạnh theo hai hướng lý thuyết ứng dụng Chúng tơi xin điểm qua tình hình nghiên cứu dành cho lớp hệ sau Tính ổn định ổn định hóa cho hệ (với bước nhảy Markov) suy biến rời rạc phi tuyến trễ Song et al xét đến năm 2012 Rất nhanh sau đó, kết phát triển tiếp cho hệ có trễ biến thiên Wang Ma (2013) Về toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn loạt báo Zhang et al (2014), Ma et al (2015) Ma et al (2016) theo thứ tự xét tốn cho hệ suy biến rời rạc tuyến tính khơng có trễ, có trễ có trễ biến thiên cách tương ứng Một mơ hình cho hệ nơ-ron suy biến rời rạc tìm thấy Hahanov Rutkas (2009) tính ổn định hệ nơ-ron suy biến rời rạc với bước nhảy Markov Ma Zheng đề cập năm 2016 Theo hiểu biết chúng tơi thì, thời điểm tại, việc nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình (3) với độ trễ d(k) biến thiên dạng khoảng chưa nhận quan tâm nhà nghiên cứu Trong bối cảnh đó, chúng tơi đề xuất tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (3) MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận án tập trung vào việc nghiên cứu xây dựng phiếm hàm kiểu Lyapunov–Krasovskii để thu tiêu chuẩn có ý nghĩa giải tốn điều khiển H∞ cho lớp hệ phương trình vi/sai phân hàm biết có cấu trúc trễ mở rộng lớp hệ phương trình vi/sai phân hàm có cấu trúc tổng quát Cụ thể sau: • Nội dung 1: Nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp • Nội dung 2: Nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng • Nội dung 3: Nghiên cứu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Luận án phát triển kỹ thuật sử dụng phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii, kết hợp với số cơng cụ có giải tích, đại số tuyến tính, phương trình vi phân thường phương trình vi phân suy biến để thực nội dung nghiên cứu nêu KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt kết sau đây: • Thiết kế hàm điều khiển phản hồi giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp • Đề xuất điều kiện đủ đảm bảo tính H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Từ thiết kế hàm điều khiển phản hồi giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ • Thiết lập kết tương ứng cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Hơn nữa, với lớp hệ này, chúng tơi đồng thời chứng minh tính quy, tính nhân tồn nghiệm hệ lân cận gốc BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN Luận án có bố cục sau Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình cơng bố danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương tóm tắt cách có hệ thống kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kết tính điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp Chương trình bày kết tính H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Chương trình bày lời giải tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng kết liên quan Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhằm giới thiệu tóm tắt số kết kinh điển lý thuyết hệ có trễ Bài tốn ổn định, ổn định hóa tốn điều khiển H∞ trình bày số kiến thức bổ trợ khác cần dùng cho chương sau Nội dung chủ yếu chương trích/dịch từ nguồn tài liệu Hien (2010), Thanh (2015), Gu et al (2003), Hale et al (1993), Kharitonov (2013), Kolmanovskii Myshkis (1999), Wu et al (2010), Zhang Chen (1998), Zhou et al (1995) 1.1 1.1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình có trễ Bài tốn ổn định Trong mục này, trước hết chúng tơi trình bày định lý tồn nghiệm địa phương tồn nghiệm toàn cục hệ phương trình vi phân có trễ; sau phát biểu khái niệm: ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, v.v tiêu chuẩn Lyapunov–Krasovskii đảm bảo tính ổn định tương ứng Tiếp theo, chúng tơi cung cấp định nghĩa tính ổn định tính ổn định tiệm cận cho hệ phương trình sai phân có trễ 1.1.2 Bài tốn ổn định hóa Trong mục này, trước hết chúng tơi trình bày định nghĩa tính ổn định hóa tính α−ổn định hóa dạng mũ hệ điều khiển có trễ Tiếp theo phần trình bày định nghĩa tính ổn định hóa hệ điều khiển rời rạc có trễ 1.2 1.2.1 Bài tốn điều khiển H∞ Không gian H∞ Mục nhằm giới thiệu định nghĩa không gian H∞ công thức xác định chuẩn H∞ ma trận chuyển từ ω tới z 1.2.2 Bài toán điều khiển H∞ Mục dành để bàn toán điều khiển H∞ tối ưu toán điều khiển H∞ tối ưu (suboptimal) 1.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Phần lớn mục chúng tơi dành để giới thiệu khái niệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) tốn LMI tiêu chuẩn Mục khép lại với Bổ đề phần bù Schur tiếng, mà thường sử dụng công cụ hữu hiệu để biến đổi bất đẳng thức ma trận phi tuyến dạng LMI supremum lấy hàm điều kiện ban đầu ϕ(t) ∈ C ([−d, 0], Rn ) biến nhiễu ω(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rr ), ω ≡ Trong trường hợp này, ta nói điều khiển phản hồi u(t) = Kx(t) ổn định hóa dạng mũ hệ (2.1) Nhận xét 2.2 Nhắc lại hệ thống thực (bao gồm hệ thống điều khiển nơ-ron) phải chịu tác động nhiễu loạn bên số trường hợp điều làm giảm hiệu suất hệ thống hiệu ứng chúng không xem xét giai đoạn thiết kế Nhiều phương pháp đề xuất để đối phó với vấn đề số kỹ thuật điều khiển H∞ với giả định nhiễu bên ngồi thuộc khơng gian L2 [0, ∞) Như giới thiệu Mục 1.2, Chương 1, ý tưởng thiết kế điều khiển tối ưu để giảm thiểu tác động nhiễu bên lên đầu Cụ thể thiết kế điều khiển nhằm đảm bảo chuẩn H∞ hàm chuyển đầu kiểm soát z(t) nhiễu bên ngồi ω(t) khơng vượt q mức γ > cho trước Từ đó, ràng buộc đầu vào đầu z γ ω ∀ω ∈ L2 ([0, ∞), Rq ) thiết lập cuối Mục 1.2.2, Chương bối cảnh hệ khơng có trễ điều kiện ban đầu x(0) = Ở đây, (2.2) đề xuất mở rộng ràng buộc thành z 2 γ(c0 ϕ C1 + ω 22 ) ∀ϕ(·) ∈ C ([−d, 0], Rn ), ∀ω(·) ∈ L2 ([0, ∞), Rr ), với mục đích đánh giá biến lỗi đầu z phụ thuộc vào nhiễu ngoại sinh ω điều kiện ban đầu ϕ trạng thái x 2.2 KẾT QUẢ CHÍNH Trước phát biểu điều kiện đủ cho tồn điều khiển H∞ cho hệ (2.1), ta ký hiệu: F = diag{a1 , , an }, G = diag{b1 , , bn }, H = diag{c1 , , cn }, c2 = max{c21 , , c2n }, P1 = P −1 , Q1 = P −1 QP −1 , R1 = P −1 RP −1 , S1 = P −1 SP −1 , α1 = λmin (P1 ), 11 α2 = λmax (P1 ) + h1 λmax (Q1 ) + h32 λmax (R1 ) 1 + (h2 − h1 )2 (h2 + h1 )λmax (S1 ) + c2 k λmax (D2−1 ), 2 Ω11 = −(AP + P A) + Q + 2αP + CC T + 2ke2αk W2 D2 W2T − BB T γ Ω12 − e−2αh2 R + W0 D0 W0T + W1 D1 W1T , = −P A − BB T , Ω22 = −2P + h22 R + (h2 − h1 )2 S + 2ke2αk W2 D2 W2T + CC T γ + W0 D0 W0T + W1 D1 W1T , Ω33 = −e−2αh1 Q − e−2αh2 S, Ω44 = −e−2αh2 R − e−2αh2 S Như Petersen et al (2000), ta giả sử ma trận E, M, N hệ (2.1) thỏa mãn N T [E M ] = 0, N T N = I Định lý 2.1 Cho α > 0, γ > Giả sử ma trận hệ số hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R, S ba ma trận đường chéo xác định dương D0 , D1 , D2 cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng:   Ω11 Ω12 e−2αh2 R P E T P F PH 0  ∗ Ω 0 0 0    22   −2αh  ∗  ∗ Ω e S 0 0 33   T  ∗ ∗ ∗ Ω44 0 PM PG      Ω= ∗ ∗ ∗ ∗ −2I 0 0  <    ∗  D 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − k D2 0       ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2I  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 12 D1 (2.3) Khi đó, tốn điều khiển H∞ ứng với hệ số α, γ cho hệ (2.1) giải với hàm điều khiển phản hồi ổn định hóa dạng mũ hệ thống u(t) = − B T P −1 x(t), 12 t 0, nghiệm hệ, nhiễu ω ≡ 0, thỏa mãn x(t, ϕ) α2 ϕ α1 C1 e −αt ∀t Nhận xét 2.3 Trong tài liệu He et al (2007), Kwon Park (2009), Sakthivel et al (2012), ẩn số bổ sung ma trận trọng số tự giới thiệu để tạo tính linh hoạt việc giải LMI thu Tuy nhiên, nhiều ẩn số ma trận trọng số tự sử dụng phương pháp có khiến việc phân tích hệ thống trở nên phức tạp làm tăng đáng kể nhu cầu tính tốn Để tránh nhược điểm đó, Định lý 2.1 chúng tơi hồn tồn khơng đưa vào ma trận trọng số tự Nhận xét 2.4 Kết mà đề xuất khắc phục mặt hạn chế kết có (xem He et al (2007), Phat Trinh (2010), Phat Trinh (2013), Sakthivel et al (2012)) tính khả vi độ trễ; nữa, trễ rời rạc h(t) mở rộng thành công sang trường hợp nhận giá trị khoảng, nghĩa cận h(t) số thực dương Ngồi ra, hàm điều khiển phản hồi ổn định hóa thiết kế dựa việc tìm nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Vì lý đó, tiêu chuẩn mở rộng đáng kể tiêu chuẩn đề xuất Phat Trinh (2013), Sakthivel et al (2012) Nhận xét 2.5 Rõ ràng số hạng ma trận khối Ω phụ thuộc đơn điệu theo độ trễ nên tính khả thi LMI (2.3) tăng đại lượng h1 , h2 , k bé Đặc biệt, (2.3) có nghiệm với độ trễ h1 , h2 , k ¯ 1, h ¯ , k¯ bé h1 , h2 , k dương có nghiệm với h theo thứ tự 2.3 VÍ DỤ MINH HỌA Trong mục này, chúng tơi cung cấp ví dụ số để minh họa tính hiệu điều kiện thu Định lý 2.1 13 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN DẠNG KHOẢNG Chương nhằm trình bày điều kiện đủ giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng, kết thứ hai mà chúng tơi nhận q trình thực đề tài Nội dung chương trích từ báo [2] danh mục cơng trình cơng bố tác giả có liên quan đến luận án 3.1 KHÁI NIỆM ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm ổn định thời gian hữu hạn khẳng định độc lập với khái niệm ổn định Lyapunov 3.2 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN Xét lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng: x(k + 1) = Ax(k) + Ad x(k − h(k)) + Bu(k) + Gω(k), z(k) = Cx(k) + Cd x(k − h(k)), k ∈ Z+ , (3.1) k ∈ {−h2 , −h2 + 1, , 0}, x(k) = ϕ(k), x(k) ∈ Rn véc tơ trạng thái; u(k) ∈ Rm biến điều khiển đầu vào; z(k) ∈ Rp hàm quan sát đầu ra; A, Ad ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , G ∈ Rn×q , C, Cd ∈ Rp×n ma trận thực cho trước; h(k) hàm trễ thỏa mãn điều kiện < h1 h(k) h2 ∀k ∈ Z+ , h1 , h2 số nguyên dương cho trước; ϕ(k) hàm điều kiện ban đầu; ω(k) ∈ Rq biến nhiễu thỏa mãn điều kiện N ω T (k)ω(k) < d, k=0 với d số thực dương cho trước 14 (3.2) Định nghĩa 3.1 Cho trước số dương N, c1 , c2 , c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R, hệ (3.1) với u(k) = gọi bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) max k∈{−h2 ,−h2 +1, ,0} ϕT (k)Rϕ(k) c1 =⇒ xT (k)Rx(k) < c2 ∀k = 1, N , với nhiễu ω(k) thỏa (3.2) Định nghĩa 3.2 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 , c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R, hệ (3.1) với u(k) = gọi H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) hai điều kiện sau đúng: (i) Hệ (3.1) với u(k) = bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) (ii) Dưới điều kiện đầu không (nghĩa ϕ(k) = ∀k ∈ {−h2 , −h2 + 1, , 0}), đầu z(k) thỏa mãn N N T z (k)z(k) k=0 ω T (k)ω(k), γ (3.3) k=0 với nhiễu ω(k) thỏa (3.2) Định nghĩa 3.3 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 , c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (3.1) gọi giải tồn hàm điều khiển phản hồi u(k) = Kx(k) cho hệ đóng thu H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) 3.3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Định lý 3.1 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 với c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R Giả sử ma trận hệ số hệ (3.1) thỏa mãn điều kiện sau: tồn ma trận xác định dương đối xứng P, Q, vô hướng dương λ1 , λ2 , λ3 số thực δ cho bất đẳng thức sau đúng: λ1 R < P < λ2 R, Q < λ3 R, (3.4) 15  −δP + (h2 − h1 + 1)Q 0   ∗ −δ h1 Q   ∗ ∗ − δγN I   ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗   γd − c2 δλ1 c1 δ N +1 λ2 ρλ3   ∗ −c1 δ N +1 λ2  <  ∗ ∗ −ρλ3 AT P AT dP GT P −P ∗  CT  CdT     < 0,   −I (3.5) (3.6) Khi hệ (3.1) với u(k) = H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng (h1 −1) với (c1 , c2 , R, N ) Ở ρ := c1 δ N +h2 −1 h2 δ + h2 (h2 −1)−h Định lý 3.2 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 với c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R Giả sử ma trận hệ số hệ (3.1) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận xác định dương đối xứng U, V, W1 , W2 , W3 , ma trận Y số thực δ cho bất đẳng thức sau đúng: U < W2 ,  V < W3 , −δU + (h2 − h1 + 1)V  ∗   ∗    ∗ ∗  −W1   ∗ ∗ c1 δ N +1 W2 −c1 δ N +1 W2 ∗ W1 − c2 δU ∗ −δ h1 V ∗ ∗ ∗  U AT + Y T B T U C T U ATd U CdT    γ T G  < 0, − δN I  ∗ −U  ∗ ∗ −I 0  ρW3   < 0, −ρW3 (3.7) (3.8) (3.9) γdU R < −γdR (3.10) Khi đó, tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (3.1) giải Hơn nữa, hàm điều khiển phản hồi cho u(k) = Y U −1 x(k), k ∈ Z+ Nhận xét 3.1 Như cơng trình Zong et al (2015) Zuo et al (2013), để chứng minh Định lý 3.1 (và sau Định lý 3.2), chúng tơi tìm cách xây dựng phiếm hàm kiểu Lyapunov–Krasovskii 16 có tham gia hệ số δ k−1−s δ k−1−t Bằng cách đó, chúng tơi tránh việc phải biến đổi hệ gốc thành hai hệ liên kết tác giả tiến hành Zhang et al (2014) mà điều kiện thu (3.4)-(3.6) Định lý 3.1 (3.7)-(3.10) Định lý 3.2 có dạng bất đẳng thức ma trận Zhang et al (2014) Ở đây, tham số δ đóng vai trò tham số hiệu chỉnh (3.5)-(3.6), (3.8)-(3.10) trở thành LMI ta cố định tham số δ lại, chúng lập trình tính tốn cách dễ dàng hộp công cụ LMI MATLAB Đây ưu điểm đáng ghi nhận hai định lý so sánh với: điều kiện (29), (39) Song et al (2012), điều kiện (45), (56) Zong et al (2015) điều kiện (5) Zuo et al (2013) Nhận xét 3.2 Trong báo: He et al (2008), Liu et al (2011), Song et al (2012) Xiang and Xiao (2011), ẩn số bổ sung ma trận trọng số tự đưa vào để tạo tính linh hoạt việc giải LMI thu Tuy nhiên, nhiều ẩn số ma trận trọng số tự sử dụng phương pháp có khiến cho việc phân tích hệ thống trở nên phức tạp làm tăng đáng kể nhu cầu tính tốn So với phương pháp ma trận tự tác giả sử dụng, phương pháp chúng tơi sử dụng biến hơn, chẳng hạn, LMI (3.5) khơng có ma trận tự nào, LMI (3.8) có ma trận trọng số tự Vì thế, điều kiện mà chúng tơi đề xuất bảo thủ so với cơng trình nêu 3.4 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Trong mục này, chúng tơi cung cấp ba ví dụ số để minh họa tính hiệu điều kiện thu Định lý 3.1 Định lý 3.2, tương ứng 17 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ NƠ-RON RỜI RẠC SUY BIẾN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN DẠNG KHOẢNG Kết thứ ba luận án trình bày chương Cụ thể, đề cập đến điều kiện đủ giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Nội dung chương trích từ báo [3] danh mục cơng trình khoa học cơng bố tác giả có liên quan đến luận án 4.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ RỜI RẠC SUY BIẾN TUYẾN TÍNH Trong mục chúng tơi trình bày sơ lược tính quy nhân hệ rời rạc suy biến tuyến tính với trễ hằng: Ex(k + 1) = A0 x(k) + A1 x(k − τ ) + Bu(k), x(k) = ϕ(k), k ∈ Z+ , k ∈ {−τ, −τ + 1, , 0} (4.1) Một kết đáng ý với hàm giá trị ban đầu ϕ(k) tương thích bất kỳ, từ tính quy nhân hệ tuyến tính (4.1) ta khẳng định hệ tồn nghiệm 4.2 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN Xét lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng: Ex(k + 1) = Ax(k) + W f (x(k)) + W1 g(x(k − h(k))) + Bu(k) + Cω(k), z(k) = A1 x(k) + Dx(k − h(k)) + B1 u(k), x(k) = ϕ(k), k ∈ Z+ , (4.2) k ∈ {−h2 , −h2 + 1, , 0}, x(k) = [x1 (k), x2 (k), , xn (k)]T ∈ Rn véc tơ trạng thái hệ nơ-ron; n số nơ-ron; u(k) ∈ Rm biến điều khiển đầu vào; z(k) ∈ Rp hàm quan sát đầu hệ nơ-ron; f (x(k)) = [f1 (x1 (k)), f2 (x2 (k)), , fn (xn (k))]T , g(x(k − h(k))) = [g1 (x1 (k − h(k))), g2 (x2 (k − h(k))), , gn (xn (k − h(k)))]T 18 hàm kích hoạt khác nhau, fi , gi , i = 1, n, hàm khả vi liên tục lân cận gốc thỏa mãn điều kiện tăng trưởng: với i ∈ {1, , n}, tồn số dương , bi cho: |fi (ξ)| |ξ|, |gi (ξ)| bi |ξ| ∀ξ ∈ R E ∈ Rn×n ma trận suy biến với rank(E) = r n Ma trận đường chéo A = diag{a1 , a2 , , an }, |ai | < ∀i = 1, n biểu thị tự hoàn ngược nơron; ma trận W, W1 ∈ Rn×n tương ứng ma trận liên kết trọng số ma trận liên kết trọng số với trễ; B ∈ Rn×m , B1 ∈ Rp×m ma trận điều khiển đầu vào; C ∈ Rn×q ma trận nhiễu đầu vào; A1 , D ∈ Rp×n ma trận quan sát đầu ra; h(k) hàm trễ biến thiên theo thời gian thỏa mãn điều kiện < h1 h(k) h2 ∀k ∈ Z+ , h1 , h2 số nguyên dương cho trước; ϕ(k) hàm điều kiện ban đầu; ω(k) ∈ Rq biến nhiễu thỏa mãn điều kiện N ω T (k)ω(k) < d, k=0 với d số thực dương cho trước Định nghĩa 4.1 Cặp ma trận (E, A) gọi quy đa thức đặc trưng det(sE − A), s ∈ C, không đồng không Cặp ma trận (E, A) gọi nhân deg(det(sE − A)) = rank(E) = r Hệ (4.2) với u(k) = gọi quy nhân cặp ma trận (E, A) quy nhân Nhận xét 4.1 Nếu cặp (E, A) quy nhân quả, hệ suy biến phân rã thành hai phần, cụ thể hệ động lực (phương trình) ràng buộc đại số (xem Dai (1989), Sau (2018)) Nếu điều kiện ban đầu thỏa mãn ràng buộc đại số, điều kiện ban đầu gọi điều kiện ban đầu tương thích Trái ngược với kết phát biểu mục trước cho hệ suy biến tuyến tính, Ví dụ Lu et al (2011) cho thấy cặp ma trận (E, A) quy nhân quả, nghiệm hệ suy biến phi tuyến khơng tồn với điều kiện ban đầu tương thích x(0) Tóm lại, tồn nghiệm vấn đề hệ suy biến phi tuyến nói chung hệ nơ-ron suy 19 biến nói riêng, hồn tồn độc lập với tính quy tính nhân Vì lý đó, tiến hành nghiên cứu lớp hệ này, tồn nghiệm, tính quy nhân nên xem xét cách đồng thời Nhận xét 4.2 Các khái niệm bị chặn thời gian hữu hạn H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) cho trước hệ (4.2) với u(k) = định nghĩa hoàn toàn tương tự phát biểu cho hệ (3.1) với u(k) = (xem Định nghĩa 3.1 Định nghĩa 3.2) Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (4.2) định nghĩa hoàn toàn tương tự tiến hành cho hệ (3.1) (xem Định nghĩa 3.3) 4.3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Xét hệ nơ-ron rời rạc suy biến (4.2) với u(k) = 0, rank(E) = r tồn hai ma trận khơng suy biến M, G ∈ Rn×n n nên Ir cho M EG = 0 Ta ký hiệu M= M1 ¯ = , M M2 M −T P M −1 = P11 P21 In−r M, M AG = A11 A21 A12 , A22 P12 , F = diag{a1 , , an }, H = diag{b1 , , bn }, P22 ¯ ¯T Φ11 = −δE T P E + (h2 − h1 + 1)Q + S1 + AT A1 + F − P M A − AM P, Φ22 = δ h1 (−S1 + S2 ), Φ44 = −δ h1 Q + DT D + H Từ đó, tính quy, tính nhân tồn nghiệm hệ (4.2) đảm bảo định lý sau Định lý 4.1 Cho trước số dương γ, N Giả sử ma trận hệ số hệ (4.2) thỏa mãn điều kiện sau: tồn ma trận xác định dương đối xứng P, Q, S1 , S2 số thực δ cho bất đẳng thức ma trận sau đúng: 20   ¯ W −P M ¯ W1 −P M ¯ C AP Φ11 0 AT1 D −P M  ∗ Φ22 0 0 0     ∗ h2 ∗ −δ S2 0 0      ∗ ∗ Φ44 0 0   ∗ Φ=  <  ∗ ∗ ∗ ∗ −I 0 W TP     ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I W1T P     ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − δγN I C T P  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −P (4.3) Khi hệ (4.2) với u(k) = quy, nhân có nghiệm lân cận gốc Nhận xét 4.3 Trong Lu et al (2011) (tương ứng, Song et al (2012)), tác giả đề nghị điều kiện đủ cho tồn tính nghiệm hệ rời rạc suy biến với nhiễu phi tuyến cách sử dụng nguyên lý điểm bất động (tương ứng, định lý hàm ẩn) Trong Định lý 4.1, cách vận dụng định lý hàm ẩn Song et al (2012), thu điều kiện đủ cho không tồn tính nghiệm, mà tính quy nhân hệ (4.2) Do điều kiện thu có dạng bất đẳng thức ma trận nên giải cách hiệu cách sử dụng hộp công cụ LMI Matlab (xem Gahinet et al (1995)) Tiếp theo phát biểu điều kiện đủ đảm bảo hệ (4.2) với u(k) = H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) Định lý 4.2 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 với c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R Giả sử ma trận hệ số hệ (4.2) thỏa mãn điều kiện sau: tồn ma trận xác định dương đối xứng P, Q, S1 , S2 , vô hướng dương λi , i = 1, số thực δ cho bất đẳng thức ma trận sau đúng: Ψ = Ψij 11×11 E T P E < λ1 R, (4.4) < 0, Q < λ2 R, λ3 R < S1 < λ4 R, S2 < λ5 R, (4.5) 21   γd − c2 λ3 c1 δ N +1 λ1 ρλ2 c1 δ N +h1 h1 λ4 c1 δ N +h2 (h2 − h1 )λ5     ∗ −c1 δ N +1 λ1 0    <  ∗ ∗ −ρλ 0     N +h1 ∗ ∗ ∗ −c1 δ h1 λ4   N +h2 ∗ ∗ ∗ ∗ −c1 δ (h2 − h1 )λ5 (4.6) Khi hệ (4.2) với u(k) = H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , R, N ) Ở ¯ A − AM ¯ T P, Ψ11 = − δE T P E + (h2 − h1 + 1)Q + S1 − P M ¯ W, Ψ16 = −P M ¯ W1 , Ψ17 = −P M ¯ C, Ψ18 = AP, Ψ15 = − P M h1 h2 Ψ19 = AT , Ψ1,10 = F, Ψ22 = Φ22 , Ψ33 = −δ S2 , Ψ44 = −δ Q, Ψ49 = DT , Ψ4,11 = H, Ψ55 = Ψ66 = Ψ99 = Ψ10,10 = Ψ11,11 = −I, γ Ψ58 = W T P, Ψ68 = W1T P, Ψ77 = − N I, Ψ78 = C T P, Ψ88 = −P, δ Ψij = với i, j khác: j > i, Ψij = ΨT ji ∀i, j : i > j, (h1 −1) N +h2 δ ρ = c1 h2 (h2 +1)−h Định lý 4.3 Cho trước số dương γ, N, c1 , c2 với c1 < c2 ma trận xác định dương đối xứng R Giả sử ma trận hệ số hệ (4.2) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận xác định dương đối xứng Ui , Vj với i = 1, 4, j = 1, 5, ma trận Y số thực δ cho bất đẳng thức ma trận sau đúng: Ω = Ωij −V1 ∗ 11×11 < 0, U1 E T < 0, −U1 (4.7) (4.8) U2 < V2 , U3 < V4 , U4 < V5 , (4.9)   −V3 c1 δ N +1 V1 ρV2 c1 δ N +h1 h1 V4 c1 δ N +h2 (h2 − h1 )V5    ∗ −c1 δ N +1 V1  0    ∗  < 0, ∗ −ρV 0     N +h1 ∗ ∗ −c1 δ h1 V4   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −c1 δ N +h2 (h2 − h1 )V5 (4.10) V3 − c2 U3 ∗ 22 γdU1 R < −γdR (4.11) Khi đó, tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (4.2) giải Hơn nữa, hàm điều khiển phản hồi xác định u(k) = Y U1−1 x(k), k ∈ Z+ , ¯ (AU1 + BY ) Ω11 = δU1 + (h2 − h1 + 1)U2 + U3 + δ(U1 E T + EU1 ) − M ¯ T, − (U1 A + Y T B T )M ¯ W, Ω16 = −M ¯ W1 , Ω17 = −M ¯ C, Ω18 = U1 A + Y T B T , Ω15 = −M T T h1 Ω19 = U1 AT + Y B1 , Ω1,10 = U1 F, Ω22 = δ (−U3 + U4 ), Ω33 = −δ h2 U4 , Ω44 = −δ h1 U2 , Ω49 = U1 DT , Ω4,11 = U1 H, Ω55 = Ω66 = Ω99 = Ω10,10 = Ω11,11 = −I, Ω58 = W T , Ω68 = W1T , γ Ω77 = − N I, Ω78 = C T , Ω88 = −U1 , Ωij = với i, j khác: j > i, δ T (h1 −1) N +h2 Ωij = Ωji ∀i, j : i > j, ρ = c1 h2 (h2 +1)−h δ Nhận xét 4.4 Các kết mà nhận Định lý 4.2 Định lý 4.3 coi mở rộng kết Lu et al (2009) Ma and Zheng (2018) sang trường hợp điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron rời rạc suy biến (4.2) Theo hiểu biết chúng tôi, lần toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ nơ-ron rời rạc suy biến với trễ biến thiên theo thời gian đề cập Tuy vậy, lưu ý khơng giống với phần lớn cơng trình thuộc dạng “lần đầu tiên” khác, tiêu chuẩn phụ thuộc vào độ trễ, cụ thể phụ thuộc vào cận cận độ trễ Nhận xét 4.5 Trong Định lý 4.1 - 4.3, δ giữ vai trò tham số hiệu chỉnh (4.3), (4.4), (4.6), (4.7) & (4.10) trở thành LMI ta cố định tham số δ lại; thế, chúng xử lý cách dễ dàng hộp công cụ LMI MATLAB Đây ưu điểm đáng ghi nhận định lý so sánh với: điều kiện (31) Ma et al (2015), điều kiện (31), (40) & (49) Ma et al (2016) điều kiện (22b) Zhang et al (2014) 4.4 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Trong mục này, chúng tơi cung cấp hai ví dụ số để minh họa tính hiệu điều kiện thu Định lý 4.2 Định lý 4.3 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Trong luận án này, nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho số lớp hệ phương trình vi/sai phân có trễ biến thiên theo thời gian nhận giá trị khoảng Các kết đạt là: • Thiết kế hàm điều khiển phản hồi giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp • Đề xuất điều kiện đủ đảm bảo tính H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Từ thiết kế hàm điều khiển phản hồi giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ • Thiết lập kết tương ứng cho lớp hệ nơ-ron rời rạc suy biến có trễ biến thiên theo thời gian dạng khoảng Hơn nữa, với lớp hệ này, chúng tơi đồng thời chứng minh tính quy, tính nhân tồn nghiệm hệ lân cận gốc Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu như: • Nghiên cứu tính ổn định tốn điều khiển H∞ (trong thời gian hữu hạn) cho lớp hệ phương trình vi/sai phân điều khiển khác như: hệ phi tuyến, hệ chuyển mạch, hệ với bước nhảy Markov, v.v có trễ biến thiên theo thời gian nhận giá trị khoảng • Nghiên cứu tính ổn định (trong thời gian hữu hạn) thiết kế điều khiển có dạng khác, chẳng hạn điều khiển phụ thuộc hàm quan sát, cho lớp hệ phương trình vi/sai phân điều khiển có trễ biến thiên theo thời gian nhận giá trị khoảng 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Le A Tuan, Phan T Nam and Vu N Phat (2013), New H∞ controller design for neural networks with interval time-varying delays in state and observation, Neural Processing Letters, Volume 37, Issue 3, 235249 (SCIE) [2] Le A Tuan and Vu N Phat (2016), Finite-time stability and H∞ control of linear discrete-time delay systems with norm-bounded disturbances, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 41, Number 3, 481493 (SCOPUS) [3] Le A Tuan and Vu N Phat (2018), Existence of solutions and finitetime stability for nonlinear singular discrete-time neural networks, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, Published Online: 13 February 2018, DOI: https://doi.org/10.1007/s40840-0180608-y (SCIE) Các kết luận án báo cáo tại: • Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013 • Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 2325/04/2015 • Xê-mi-na Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Xê-mi-na Phòng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam ... Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ NƠ-RON CÓ TRỄ BIẾN THIÊN HỖN HỢP Chương nhằm trình bày kết nhận luận án Cụ thể đề xuất điều kiện đủ giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến... cho lớp hệ phương trình vi/sai phân hàm biết có cấu trúc trễ mở rộng lớp hệ phương trình vi/sai phân hàm có cấu trúc tổng quát Cụ thể sau: • Nội dung 1: Nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ. .. hàm điều khiển phản hồi giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp • Đề xuất điều kiện đủ đảm bảo tính H∞ −bị chặn thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ