Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC XN HỊA, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN XN HỊA, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện Luận án sử dụng số kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố luận văn, luận án khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án thực trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, PGS.TS Lê Văn Hiện, người định hướng, dẫn sát tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc nghiên cứu định hướng đắn thầy tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày luận án Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Trần Đình Kế, người ln đồng hành, ủng hộ giúp đỡ tơi q trình học tập làm nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian học tập làm nghiên cứu Khoa Đồng thời, chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên xemina Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, xemina Phương trình vi phân tích phân, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, quan tâm, trao đổi góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, thầy giáo, cô giáo trường THPT Ngơ Quyền, Ba Vì, Hà Nội, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho q trình làm nghiên cứu sinh Đặc biệt, tơi thực hạnh phúc tự hào đại gia đình ln bên, chia sẻ động viên, động lực để tơi cố gắng hồn thành luận án Tác giả MỤC LỤC Lời cam đoan Trang Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 M-ma trận 16 1.2 Một số không gian hàm 17 1.3 Lý thuyết nửa nhóm 18 1.4 Giải tích bậc phân số 19 1.5 Ánh xạ đa trị số định lí điểm bất động 21 SỰ ĐỒNG BỘ CỦA MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ 26 2.1 Mơ hình mạng nơron Hopfield bậc phân số 26 2.2 Sự đồng nghiệm 28 2.3 Ví dụ minh họa 33 2.4 Kết luận chương 35 NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36 3.1 Sự tồn nghiệm khoảng thời gian hữu hạn 3.2 Tập nghiệm hút toàn cục 36 49 3.3 Ứng dụng 57 3.4 Kết luận chương 62 ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN 63 4.1 Hệ dương bậc phân số dạng kết nối 63 4.1.1 Mô tả hệ 63 4.1.2 Tính ổn định 65 4.1.3 Thiết kế điều khiển 67 4.1.4 Ví dụ minh họa 69 4.2 Tính ổn định ổn định hóa vững hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng trễ không đồng 71 4.2.1 Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ 71 4.2.2 Điều kiện hệ dương 72 4.2.3 Phân tích tính ổn định 75 4.2.4 Thiết kế điều khiển 77 4.2.5 Một số ví dụ minh họa 80 4.3 Kết luận chương 83 Kết luận chung 85 Danh mục cơng trình cơng bố 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 KÍ HIỆU [n] Tập n số nguyên dương {1, 2, , n} R+ Tập số thực không âm Tập số thực dương R+ R ∗ n Không gian Euclide n chiều kxk∞ Rm×n A ⊤ maxi∈[n] |xi|, chuẩn max vectơ x ∈ R Tập hợp ma trận cấp m × n n Ma trận chuyển vị ma trận A [A]ij A Phần tử dòng i cột j ma trận A A≻0 x y Ma trận dương, tức [A]ij > với i, j n λmax(A), λmin(A) Orthant dương {x ∈ R : x 0} Tập hợp giá trị riêng ma trận A max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} LMIs MNC Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính Độ đo khơng compact LP Bài tốn quy hoạch tuyến tính R+ Ma trận khơng âm, tức [A]ij ≥ với i, j n n xi ≥ yi, ∀i ∈ [n], với x = (xi) ∈ R y = (yi) ∈ R n λ(A) k Không gian hàm khả vi liên tục cấp k miền Ω p Không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue ∞ miền Ω Không gian hàm đo bị chặn hầu khắp Ω C (Ω) L (Ω) L (Ω) p Lloc (Ω), ≤ p < ∞ Không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích địa phương PC([0, T ]; X) Ω Không gian hàm liên tục khúc [0, T ] PC0 Không gian hàm liên tục khúc [0, ∞) α D f (t) RL α D f (t) dần tới t → ∞ Đạo hàm Caputo bậc α hàm f (t) Đạo hàm Riemann-Liouville bậc α hàm f (t) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích bậc phân số với lịch sử lâu dài lĩnh vực toán học túy Trong vài thập kỉ trở lại đây, phương trình vi-tích phân bậc phân số thu hút quan tâm nhiều tác giả ứng dụng chúng việc mô tả nhiều tốn từ mơ hình thực tiễn [32, 38, 42, 54, 61] Có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo đạo hàm Riemann-Liouville sử dụng rộng rãi tính chất đặc thù chúng Chẳng hạn, đạo hàm Caputo có nhiều tính chất quen thuộc, thích nghi với phép biến đổi Laplace thuận lợi việc biểu diễn nghiệm phương trình vi phân bậc phân số biết điều kiện đầu Gần đây, phép tính giải tích bậc phân số nhiều tác giả phát triển vận dụng nghiên cứu định tính hệ phương trình vi phân điều khiển bậc phân số [29, 37, 83] Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn ứng dụng từ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến mơ hình sinh thái học quần thể, kinh tế môi trường Đối với hệ vi phân bậc nguyên, hướng nghiên cứu ổn định nghiệm ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng lý thuyết ứng dụng Tuy nhiên, hệ vi phân bậc phân số, kết nghiên cứu tính ổn định khiêm tốn Khó khăn phương pháp cách tiếp cận phát triển cho lớp hệ vi phân bậc ngun thường khơng hiệu lực, đặc biệt hệ vi-tích phân bậc phân số không gian vô hạn chiều Chính vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng toán điều khiển lớp hệ vi phân bậc phân số chủ đề thu hút quan tâm lớn từ cộng đồng nhà nghiên cứu nước Một số kết nghiên cứu định tính phương trình vi phân bậc phân số công bố gần tồn nghiệm nghiệm phân rã kiểu tích phân [2, 40, 41] hay tính điều khiển được, điều khiển xấp xỉ [44, 70, 71] Các nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa phát triển cho hệ vi phân điều khiển bậc phân số không gian hữu hạn chiều [5, 15, 46, 49–51, 74] Trong kết nói trên, phương pháp hàm Lyapunov phát triển thích ứng với nhiều lớp hệ vi phân bậc phân số [14, 33, 50] Nói riêng, lớp hệ tuyến tính dừng (hệ số hằng) có trễ số biến thể hệ tuyến tính có nhiễu dạng cấu trúc nhiễu phi tuyến, cách tiếp cận phổ biến nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii để thiết lập điều kiện ổn định ổn định hóa thơng qua điều kiện đại số dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) [10] Tuy nhiên, cách tiếp cận nói phù hợp hiệu hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân bậc nguyên không gian hữu hạn chiều Việc phát triển kết nghiên cứu tương tự cho hệ vi phân bậc phân số không gian vô hạn chiều gặp nhiều khó khăn, đặc biệt việc ước lượng đạo hàm bậc phân số Chính vậy, kết nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, trường hợp hệ vô hạn chiều, khiêm tốn Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định ổn định hóa nói riêng, hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, trường hợp hữu hạn vô hạn chiều, cần tiếp tục nghiên cứu hồn thiện Đó lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa phương trình vi phân điều khiển bậc phân số Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Sự đồng mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Nhiều mơ hình thực tiễn đời sống mô tả hệ phương trình vi phân có trễ Các ví dụ tiêu biểu cho mơ tìm thấy học, điều khiển tự động, mạng viễn thơng, q trình vật lí, hóa học hay sinh học Một mặt, xuất độ trễ làm thay đổi đáng kể dáng điệu nghiệm hệ so với mơ hình hệ khơng có trễ tương ứng, chí làm tính ổn định hệ [65] Mặt khác, vấn đề nghiên cứu tính chất định tính hệ có trễ khó khăn nhiều so với hệ vi phân thường tính vơ hạn chiều khơng gian pha Chính vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ có trễ tốn có ý nghĩa thực tiễn, nhiều tác giả quan tâm năm gần (xem [19, 31, 48, 59, 75] tài liệu trích dẫn đó) Trong hai thập kỷ gần đây, hệ động lực có cấu trúc mạng nơron nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số đặc biệt lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [27,56,68] Trong mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định mạng nơron thiết kế quan trọng [79] Mặt khác, mơ hình hệ nơron, yếu tố trễ truyền tải khơng tránh khỏi q trình xử lý truyền tín hiệu qua kênh với băng thơng hạn chế Sự xuất trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất nguy làm tính ổn định mạng [6] Trong vài năm gần đây, vấn đề nghiên cứu tính ổn định hay tổng quát tính chất đồng mơ hình mạng nơron có trễ mơ tả hệ vi phân bậc nguyên bậc phân số thu hút quan tâm nhiều tác giả Để liệt kê số kết quả, giới thiệu độc giả cơng trình cơng bố gần [17, 18, 67, 69, 76] tài liệu trích dẫn Trong cơng trình cơng bố, tính ổn định hay đồng nghiên cứu cho số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối nơron trễ bị chặn Mặt khác, mơ hình mạng nơron có trễ, mơ hình với trễ tỉ lệ sử dụng phổ biến [81] Chẳng hạn, với cấu trúc mạng nơron có nhiều tầng (layers), q trình xử lý truyền tín hiệu tầng thường mơ tả tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thời gian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mơ hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn [30] Đến nay, chúng tơi chưa tìm thấy kết nghiên cứu đề cập đến tính ổn định hay tính đồng Khi đó, ma trận hệ (4.15) thỏa mãn điều kiện (4.16), A A 11 −1.4 1.25 −1.6 1.25 −2.35 1.12 0.25 # ,A 11 = " 0.87 0.45# , A22 = " 1.45 0.5 0.87 − − − #, −2.55 1.12 0.3 0.1 " #,G =" G 12 = "0.15 0.2 # , 1.45 12 22 = 0.7 0.15 0.4 − 0.25 0.05 G , # #, B = " G =" =" 21 21 0.6 # , 0.25 0.35 0.25 0.15 =" B 1= " # 0.4 , B2 = " B # 0.7 , #, 2= " # 0.5 Rõ ràng, ma trận Aii Metzler Aij , Gij , i 6= j, Bi không âm Theo Mệnh đề 4.2.1, hệ (4.22) hệ dương với trễ bị chặn τ12(t), τ21(t) Do đó, hệ (4.15) hệ dương với ma trận khơng chắn (4.16) Mặt khác, 12 A 11 " A12 + G # M= A 22 A + G 21 21 ma trận không ổn định (không Hurwitz), hệ mở (4.22) khơng ổn định Vì vậy, Bổ đề 4.2.2, hệ mở (4.15) hệ khơng ổn định Kết mơ cho Hình 4.4 với α = 0.8, δa = 0.1, δg = −0.1, τ12(t) = 3| sin(4πt)|, τ21(t) = 3| cos(4πt)| điều kiện đầu (0.25, 0.5, 0.75, 1) Hình 4.4 hệ mở (4.15) không ổn định 400 300 x11 (t) x12 (t) x21 (t) 200 x(t) x22 (t) 100 0 t 10 Hình 4.4: Một quỹ đạo trạng thái hệ mở (4.15) với α = 0.8 hàm trễ τ 12(t) = 3| SIN(4πt)|, τ21(t) = 3| COS(4πt)| 81 Giải điều kiện (4.30a) (4.30b) với ràng buộc 0.11 vi 12 −212 Zi 0, ta thu nghiệm tối ưu h 0.604 v1 = 0.1078 i⊤ , v2 = h 0.2171 Z1 = h −0.8473 Thay vào (4.37) ta K1 = h −1.4028 −1.4191 i h i⊤ , Z2 = −1.0071 i i 0.5627 −13.1639 , K2 = h , −1.4258 i −1.79 −6.5683 (4.38) Theo Định lí 4.2.5, hệ đóng (4.18) hệ dương ổn định tiệm cận vững Kết mô với α = 0.8, δa = 0.1, δg = −0.1, δb = 0.1, hàm trễ τ12(t) = 3| sin(4πt)|, τ21(t) = 3| cos(4πt)| điều kiện đầu (0.25, 0.5, 0.75, 1), đưa Hình 4.5 Kết mô rằng, với ma trận đạt (4.38), hệ đóng ổn định tiệm cận bền vững x(t) t Hình 4.5: Một quỹ đạo trạng thái hệ đóng với α = 0.8 trễ τ 12(t) = 3| SIN(4πt)|, τ21(t) = 3| COS(4πt)| 4.3 Kết luận chương Nội dung chương trình bày kết nghiên cứu chúng tơi tốn thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền ổn định hóa số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối Các kết đạt bao gồm: Đưa điều kiện cần đủ để đảm bảo lớp hệ xét hệ dương 82 Thiết lập điều kiện cần đủ thông qua tốn quy hoạch tuyến tính cho tính ổn định, ổn định bền vững hệ đóng Tìm biểu thức thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đảm bảo hệ đóng tương ứng hệ dương ổn định tiệm cận toàn cục 83 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số không gian hữu hạn vô hạn chiều Cụ thể, luận án nghiên cứu ba vấn đề sau: (1) Tính đồng đánh giá tốc độ hội tụ lớp mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ mơ tả hệ phương trình vi phân bậc phân số không dừng; (2) tồn nghiệm nghiệm hút toàn cục bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev khơng gian Banach vơ hạn chiều; (3) tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối Các kết đạt Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đảm bảo tính đồng toàn cục với tốc độ lũy thừa cho lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mơ tả mơ hình mạng nơron có trễ tỉ lệ Chứng minh tồn nghiệm tích phân đoạn compact tồn nghiệm hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định, ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối có trễ khơng có trễ Các điều kiện ổn định ổn định hóa thiết lập thơng qua tốn quy hoạch tuyến tính Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu như: 84 • Tính đồng mạng nơron khuếch tán có trễ mơ tả hệ phương trình vi phân bậc phân số • Phát triển số toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống toán thiết kế điều khiển phản hồi theo đầu ra, điều khiển H∞, thiết kế lọc, quan sát v.v hệ điều khiển mô tả phương trình vi phân bậc phân số 85 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] C.T Kinh, L.V Hien, T.D Ke, Power-rate synchronization of fractionalorder nonautonomous neural networks with heterogeneous proportional de-lays, Neural Processing Letters 47 (2018) 139–151 (SCIE) [2] Van Hien LE, Dinh Ke TRAN, Trong Kinh CHU, Globally attracting solutions to impulsive fractional differential inclusions of Sobolev type, Acta Mathematica Scientia 37 (2017) 1295–1318 (SCIE) [3] Le Van Hien, Chu Trong Kinh, Decentralised stabilization of positive fractional-order interconnected systems, IET Control Theory and Applications 11 (2017) 2391–2395 (SCI) [4] Le Van Hien and Chu Trong Kinh, Robust control of positive fractionalorder interconnected systems with heterogeneous delays, Asian Journal of Control (2018) Doi: 10.1002/asjc.1739 (SCIE) 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston, 1992 [2] N.T Anh, T.D Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Method Appl Sci 38 (2015) 1601–1622 [3] J.P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1984 [4] L Bakule, Decentralized control: An overview, Ann Review Control 32 (2008) 87–98 [5] K Balachandran, V Govindaraj, L.R Germá, J.J Trujillo, Stabilizability of fractional dynamical systems, Fract Calc Appl Anal 17 (2014) 511–531 [6] P Baldi, A.F Atiya, How delays affect neural dynamics and learning IEEE Trans Neural Netw (1995) 612–621 [7] G Barenblat, J Zheltor, I Kochiva, Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks, J Appl Math Mech 24 (1960) 1286–1303 [8] A Berman, R.J Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sci-ences, SIAM, Philadelphia, 1994 [9] D Bothe, Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J Math 108 (1998) 109–138 [10] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [11] T.A Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, 2006 87 [12] T.A Burton, T Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn Syst Appl 10 (2001) 89–116 [13] L Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J Math Anal Appl 162 (1991) 494–505 [14] N.A Camacho, M.D Mermoud, J.A Gallegos, Lyapunov functions for frac-tional order systems, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 19 (2014) 2951–2957 [15] R Caponetto, G Dongola, L Fortuna, I Petrás, Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications, World Scientific, Singapore, 2010 [16] [17] A.N Carvalho, J.A Langa, J.C Robinson, Attractors for InfiniteDimensional Non- Dynamical Systems, Springer, New York, Autonomous 2013 B Chen, J Chen, Global O(t−α ) stability and global asymptotical periodicity for a non-autonomous fractional-order neural networks with timevarying delays, Neural Netw 73 (2016) 47–57 [18] J Chen, Z Zeng, P Jiang, Global Mittag-Leffler stability and synchroniza-tion of memristor-based fractional-order neural networks, Neural Netw 51 (2014) 1–8 [19] Y.Chen, S Fei, Y Li, Robust stabilization for uncertain saturated timedelay systems: A distributed-delay-dependent polytopic approach, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 3455–3460 [20] N.M Chuong, T.D Ke, Generalized Cauchy problems involving nonlocal and impulsive conditions, J Evol Equ 12 (2012) 367–392 [21] K Deimling, Multivalued Differential Equations, de Gruyter, Berlin, 1992 [22] J Diestel, W.M Ruess, W Schachermayer, Weak compactness in Ll(µ, X), Proc Amer Math Soc 118 (1993) 447–453 [23] I Ekeland, R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, Philadelphia, PA, 1999 [24] K.J Engel, R Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer-Verlag, New York, 2000 88 [25] M Feckan, J.R Wang, Y Zhou, Controllability of factional functional evo-lution equations of Sobolev type via characteristic solution operators, J Optim Theory Appl 156 (2013) 79–95 [26] A F Filippov, Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988 [27] M Gong, J Zhao, J Liu, Q Miao, J Jiao, Change detection in synthesis aperture radar images based on deep neural networks, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst 27 (2016) 125–138 [28] R Gorenflo, A.A Kilbas, F Mainardi, S.V Rogosin, Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2014 [29] G.M N’Guérékata, A Cauchy problem for some fractional abstract differen-tial equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009) 1873–1876 [30] L.V Hien, D.T Son, H Trinh, On global dissipativity of nonautonomous neural networks with multiple proportional delays, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst 27 (2018) 225–231 [31] L.V Hien, H Trinh, New finite-sum inequalities with applications to stability of discrete time-delay systems, Automatica 71 (2016) 197–201 [32] R Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000 [33] J.B Hu, G.P Lu, S.B Zhang, L.D Zhao, Lyapunov stability theorem about fractional system without and with delay, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 20 (2015) 905–913 [34] L Hu, Y Ren, R Sakthivel, Existence and uniqueness of mild solutions for semilinear integro-differential equations of fractional order with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009) 507–514 [35] S Ji, S Wen, Nonlocal Cauchy problem for impulsive differential equations in Banach spaces, Int J Nonlinear Sci 10 (2010) 88–95 [36] T Kaczorek, Necessary and sufficient stability conditions of fractional positive continuous-time linear systems, Acta Mech Autom (2011) 52–54 [37] T Kaczorek, Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer-Verlag, Berlin, 2011 [38] T Kacrozek, K Rogowski, Fractional Linear Systems and Electrical Circuits, Springer, Switzerland, 2015 89 [39] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, de Gruyter, Berlin, 2001 [40] T.D Ke, D Lan, Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract Calc Appl Anal 17 (2014) 96–121 [41] T.D Ke, N.V Loi, V Obukhovskii, P Zecca, Topological methods for some classes of differential variational inequalities, J Nonlinear Convex Anal 17 (2016) 403–419 [42] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo, Theory and Applications of Frac-tional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006 [43] A.W Knapp, Basic Real Analysis, Birkhăauser, Berlin, 2005 [44] S Kumar, N Sukavanam, Approximate controllability of fractional order semilinear systems with bounded delay, J Differ Equ 252 (2012) 6163– 6174 [45] V Lakshmikantham, D.D Bainov, P S Simeonov, Theory of Impulsive Differential Equations, World Scientific Publishing Co Inc., Teaneck, NJ, 1989 [46] C.P Li, F.R Zhang, A survey on the stability of fractional differential equations, Eur Phys J 193 (2011) 27–47 [47] J Li, J.G Lu, Y.Q Chen, Robust decentralized control of perturbed fractional-order linear interconnected systems, Comput Math Appl 66 (2013) 844–859 [48] X.G Li, S.-I Niculescu, A Céla, L Zhang, X Li, A frequency-sweeping framework for stability analysis of time-delay systems, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 3701–3716 [49] Y Li, Y.Q Chen, I Podlubny, Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems, Automatica 45 (2009) 1965–1969 [50] Y Li, Y.Q Chen, I Podlubny, Stability of fractional-order non linear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler sta-bility, Comput Math Appl 59 (2010) 1810–1821 [51] J Lin, Robust resilient controllers synthesis for uncertain fractional-order large-scale interconnected system, J Frankl Inst 351 (2014) 1630–1643 90 [52] H Liu, J.C Chang, Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009) 3076–3083 [53] J.G Lu, Y.A Zhao, Decentralised robust H∞ control of fractional-order interconnected systems with uncertainties, Int J Control 90 (2017) 1221– 1229 [54] K S Miller, B Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1993 [55] K.S Miller, S Samko, A note on the complete monotonicity of the generalized Mittag–Leffler function, Real Anal Exchange, 23 (1999) 753–756 [56] C Modi, D Patel, B Borisaniya, H Patel, A Patel, M Rajarajan, A survey of intrusion detection techniques in Cloud, J Netw Comput Appl 36 (2013) 42–57 [57] J.S Pang, D.E Stewart, Differential variational inequalities, Math Program Ser A 113 (2008) 345–424 [58] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983 [59] T.N Pham, S Nahavandi, L.V Hien, H Trinh, K.P Wong, Static output feedback frequency stabilization of time-delay power systems with coordi-nated electric vehicles state of charge control, IEEE Trans Power Syst 32 (2017) 3862–3874 [60] T.N Pham, H Trinh, L.V Hien, Load frequency control of power systems ưith electric vehicles and diverse transmission links using distributed func-tional observers, IEEE Trans Smart Grid (2016) 2238–252 [61] I Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999 [62] A.M Samoilenko, N.A Perestyuk, Impulsive Differential Equations, World Scientific, Singapore, 1995 [63] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (1987) 1173–1191 [64] J Shen, J Lam, Stability and performance analysis for positive fractional-order systems with time-varying delays, IEEE Trans Autom Control 61 (2016) 2676–2681 91 [65] R Sipahi, S.-I Niculescu, C.T Abdallah, W Michiels, K Gu, Stability and stabilization of systems with time delay: Limitations and opportunities, IEEE Control Syst Magaz 31 (2011) 38–65 [66] A Tolstonogov, Differential Inclusions in a Banach Space, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000 [67] G Velmurugan, R Rakkiyappan, Hybrid projective synchronization of fractional-order memristor- based neural networks with time delays, Non-linear Dyn 83 (2016) 419–432 [68] P Venketesh, R Venkatesan, A survey on applications of neural networks and evolutionary techniques in web caching, IETE Tech Rev 26 (2009) 171–180 [69] H Wang, Y Yu, G Wen, S Zhang, J Yu, Global stability analysis of fractional-order Hopfield neural networks with time delay, Neurocomputing 154 (2015) 15–23 [70] J Wang, Y Zhou, Complete controllability of fractional evolution systems, Commun Nonlinear Sci Numer Simul 17 (2012) 4346–4355 [71] J Wang, Y Zhou, Existence and controllability results for fractional semilinear differential inclusions, Nonlinear Anal RWA 12 (2011) 3642–3653 [72] J.R Wang, M Feckan, Y Zhou, On the new concept of solutions and exis-tence results for impulsive fractional evolution equations, Dyn Partial Diff Equ (2011) 345–361 [73] R.N Wang, D.H Chena, T.J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Diff Equ 252 (2012) 202–235 [74] Z Wang, D Yang, T Ma, N Sun, Stability analysis for nonlinear fractional-order systems based on comparison principle, Nonlinear Dyn 75 (2014) 387–402 [75] E Witrant, E Fridman, O Sename, L Dugard (Eds.), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel, 2016 [76] A Wu, Z Zeng, X Song, Global Mittag-Leffler stabilization of fractionalorder bidirectional associative memory neural networks, Neurocomputing 177 (2016) 489–496 92 [77] Z Yang, J Cao, Initial value problems for arbitrary order fractional equa-tions with delay, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 18 (2013) 2993– 3005 [78] L Ying, G Dullerud, R Srikant, Global stability of internet congestion controllers with heterogeneous delays, IEEE Trans Netw 14 (2006) 579– 591 [79] H Zhang, Z Wang, and D Liu, A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst 25 (2014) 1229–1262 [80] L Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett 38 (2013) 347–359 [81] L Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with proportional delays, Nonlinear Dyn 77 (2014) 41–47 [82] Y Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp Math Appl 59 (2010) 1063–1077 [83] Y Zhou, F Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations, Nonlinear Anal RWA 11 (2010) 4465–4475 [84] T Zhu, C Song, G Li, Existence of mild solutions for abstract semilinear evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Anal 75 (2012) 177–181 93 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: ... cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục Đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định ổn định hóa điều khiển phân quyền hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng... ổn định ổn định hóa phương trình vi phân điều khiển bậc phân số Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Sự đồng mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Nhiều mô hình thực tiễn đời sống