Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

p L (0, T ; Y ) H H gV g AB V C([0, T ]; Y ) A B g C g g g g H, V Hg , V g g ′ ′ V , Vg V Vg (·, ·), | · | H ((·, ·)), k · k V (·, ·)g, | · |g Hg ((·, ·))g, k · kg Vg V k · kV ′ , k · k∗ V ′ ′ ′ V Vg Vg ′ Vg h·, ·i h·, ·ig p | · |p A, B L (O) 1≤p≤∞ g Ag, Bg, Cg D(A), D(Ag) A, Ag ⇀ u t (A, B) (Ω, F , P) h.c.c ut(·) ut(s) = u(t + s) A, B ut − α u=0 ut − ν u + (u · ∇)u + ∇p = f + O×R , ∇· + O× R , u(x, t) = + ∂O × R , u(x, 0) = u0(x) O, u = u(x, t) = (u1, u2, u3) p = p(x, t) ν>0 α u0 α α =0 ν =0 α nt0 Z t ∗ ∗ hBg(u(s)) − Bg(u ), u(s) − u igds − nt0 t Z ∗ ∗ − 2(νCg(u(s) − u ), u(s) − u )g ds nt0 t Z ∗ ∗ + 2(F (u(s − ρ(s))) − F (u ), u(s) − u )gds Zt + nt0 kG(u(s − ρ(s)))k ds L2 nt0 Z t ∗ + 2(u(s) − u , G(u(s − ρ(s)))dW (s))g nt0 " 2E sup "Z ∗ (u(s) − u , G(u(s − ρ(s))))gdW (s) nt0≤t≤(n+1)t0 ≤ n1E # Zt nt0 ∗ |u(s) − u |g kG(u(s − ρ(s)))kL nt0 20 ds # 1/2 (n+1)t0 " ≤ n1 |u(s) − u |g Z nt0≤s≤(n+1)t0 E ≤2 (n+1)t0 ∗2 sup nt0≤s≤(n+1)t0 E |u(s) − u |g sup (n+1)t0 nt0 ! ∗2 Z + n2 kG(u(s − ρ(s)))kL2 ds nt0 # 1/2 E kG(u(s − ρ(s)))k L20 ds, n1, n2 Z (n+1)t0 ∗2 ατ E|u(s − ρ(s)) − u | gds ≤ C1e e −α nt 0 nt0 sup|u(s) − u∗|2g E nt0≤s≤(n+1)t0 ∗2 ≤ E|u(nt0) − u | g |∇g|∞ + 2ν 1− 1/2 m0η1 h− + 2c1 η11/2 u k∗ k g+ LF (n+1)t0 iZ nt0 η1 E u(s) − u∗ k g2ds k + LF + (1 + n2)LG + E (n+1)t0 ∗ nt0 E|u(s − ρ(s)) − u | g ! nt0≤s≤(n+1)t0 Z ds |u(s) − u |g sup ∗2 ∗2 ≤ E|u(nt0) − u | g |∇g|∞ − η1 2ν − 1/2 m 0η1 2c1 − k u kg − η11/2 ∗ h + LF i Z 2 L + (1 + n )L G nt ≤s≤(n+1)t0 ατ nt0≤s≤(n+1)t0 E ! |u(s) − u |g sup 1E C eα0 τ e−α0 nt0 + ≤ E|u(nt0) − u | g + LF + (1 + n2)L G C1e +2 | nt0 ∗2 ds Eu(s) − u | g ∗ η1 F (n+1)t0 e −α nt ∗2 ! |u(s) − u |g sup ∗2 sup|u(s) − u∗|2g E nt0≤s≤(n+1)t0 ∗2 ≤ 2E|u(nt0) − u | g + LF + (1 + n2)L G C1e ≤ 2C0e−α0 nt0 + LF + (1 + n2)L2G C1eα0 τ e−α0 nt0 α τ −α nt e 0 = M e−α nt , 0 h i α0 τ M = C0 + LF + (1 + n2)L G C1e ω: P M nt0≤t≤(n+1)t0 sup |u(t) − u |g > e ∗ ′ >0 (α0 −ǫ)nt0 − n, t, t0) α0 ≤Me ′ − ǫ ∈ (0, α0 ) n0 = n0(ω) ǫnt0 , sup ∗ |u(t) − u nt0≤t≤(n+1)t0 | − g ≤e (α0 −ǫ)nt0 , , n ≥ n0 lim logu(t) − t→+∞ t | u∗ ≤ − α0 , |g F ′ Hg ρ(·) G≡0 G≡0 g ′ Vg F : Vg → Vg F≡0 g= >0 g g g • • g g g g g g g H m g g R g g g g g g g g g R