Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 HÀ NỘI, 2020 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Đoàn Thái Sơn Viện Toán học Phản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận Trường ĐHBK Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc nghiên cứu tốn đồng hóa liệu (data assimilation), tức dự đoán dáng điệu nghiệm tương lai từ phép đo thu được, quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ tương lai; điều đặc biệt quan trọng toán dự báo, chẳng hạn tốn dự báo khí tượng Đây hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ năm gần Ta phát biểu cách tốn học tốn đồng hóa liệu sau Giả sử trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) mơ tả phương trình tiến hóa (nói chung phức tạp) có dạng dY = F (Y ) dt Y vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêu tìm xấp xỉ “tốt” Y đoạn thời gian có độ dài T (dự đốn) Chúng ta đối mặt với tốn sau đây: Chúng ta khơng biết “dữ kiện ban đầu” Y thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm mơ hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, nhiên biết “phép đo” Y miền không gian khoảng thời gian [t0 , T ] dãy thời điểm {tn }n∈N Bài toán đồng hóa liệu xác định nghiệm xấp xỉ W (t) Y (t) từ “phép đo” biết, cho W (t) hội tụ Y (t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vơ Phương pháp cổ điển đồng hóa liệu liên tục chèn phép đo quan sát trực tiếp vào mơ hình sau lấy tích phân theo thời gian Một cách để khai thác điều chèn quan sát chế độ thấp Fourier từ chuỗi thời gian vào phương trình cho tiến hóa chế độ cao Về mặt toán học, cách tiếp cận dựa tồn tập hút toàn cục hữu hạn chiều tính chất mode xác định (determining modes) hệ Navier-Stokes (D.A Jones and E.S Titi (1993)), có nhược điểm khơng áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo không gian, khơng thể lấy đạo hàm theo biến khơng gian điểm rời rạc Một cách tiếp cận hiệu khác áp dụng cho hệ tiến hóa tuyến tính đề xuất J.P Puel (J.P Puel (2009)) Cách tiếp cận dựa bất đẳng thức kiểu Carleman, có hạn chế áp dụng cho tốn tuyến tính Năm 2014, Titi cộng đề xuất phương pháp (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014)) khắc phục nhược điểm phương pháp nói Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi chứa liệu quan sát đưa vào hệ gốc để hệ gọi hệ phương trình đồng hóa liệu Sau ta thiết lập điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa liệu có nghiệm tồn cục hội tụ nghiệm khảo sát hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết nghiên cứu phương pháp có tốn đồng hóa liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014)) vài α-mơ hình ba chiều (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016), D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018)) Trường hợp rời rạc có kết hệ Navier-Stokes hai chiều (C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016)) Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng học chất lỏng Tuy nhiên, trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) tính đặt tồn cục việc tính tốn số nghiệm hệ vấn đề mở lớn tỏ khó Một cách tiếp cận để vượt qua khó khăn sử dụng hệ chỉnh hóa hệ Navier-Stokes Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến thường sử dụng α-mơ hình học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α (C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001)), hệ Leray-α (A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005)), hệ Leray-α cải biên (A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006)) hệ Bardina đơn giản hóa (W Layton and R Lewandowski (2006)), Về mặt hình thức, cho α = α-mơ hình ta thu lại hệ Navier-Stokes cổ điển Trong vài năm gần đây, có số kết tốn đồng hóa liệu liên tục cho α-mơ hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018)), hệ Leray-α (A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019)), Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có kết tốn đồng hóa liệu rời rạc α-mơ hình học chất lỏng Từ phân tích ta thấy có vài kết ban đầu kết tốn đồng hóa liệu α-mơ hình học chất lỏng, đặc biệt trường hợp đồng hóa liệu rời rạc sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc, vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học thực tiễn, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề "Bài tốn đồng hóa liệu số phương trình tiến hóa học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ Tổng quan vấn đề nghiên cứu Từ cuối năm 1960, vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu liệu thời tiết gần liên tục theo thời gian Charney, Halem Jastrow (J Charney, M Halem, and R Jastrow (1969)) số phương trình khí dùng để xử lý liệu thu đánh giá tiên tiến trạng thái khí Phương pháp họ, gọi đồng hóa liệu liên tục Một tổng hợp việc sử dụng đồng hóa liệu liên tục thực tế dự báo thời tiết nêu Daley (R Daley (1991)) Bằng việc sử dụng số determining modes, Titi cộng nghiên cứu tốn đồng hóa liệu cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều, trường hợp liệu thu thập liên tục khoảng thời gian (E Olson and E.S Titi (2003)) trường hợp liệu thu thập rời rạc theo thời gian (K Hayden, E Olson and E.S Titi (2011)), có nhược điểm không áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo không gian, khơng thể lấy đạo hàm theo biến khơng gian điểm rời rạc Nhằm khắc phục nhược điểm trên, năm 2014, Titi cộng đề xuất phương pháp (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014)) Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi Ih (a feedback control term) đưa vào phương trình Cách làm gọi phương pháp nudging Newtonian hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) (J Hoke and R Anthes (1976)) Toán tử Ih , với điều kiện thích hợp, toán tử tổng quát, bao hàm cho toán tử dùng trường hợp determining modes nêu trên, toán tử dùng để nghiên cứu determining nodes phần tử thể tích (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016)) Nội dung phương pháp sau: Giả sử hệ phương trình có dạng dY = F (Y ) (1) dt (với điều kiện biên biết), điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 Bằng cách sử dụng thiết bị đo đạc, ta biết phần nghiệm khoảng thời gian [t0 , T ] (bài tốn đồng hóa liệu liên tục) thời điểm tn với n = 1, 2, , ti ≤ tj , ∀i ≤ j tn → ∞ n → ∞ (bài toán đồng hóa liệu rời rạc) Vì khơng biết điều kiện ban đầu nên ta khơng thể tính Y (t) Do đó, thay tính Y (t), ta tìm W (t), cho W (t) hội tụ Y (t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vơ Khi đó, W (t) gọi nghiệm xấp xỉ, nghiệm Y (t) gọi nghiệm khảo sát Ký hiệu Ih (Y (t)) phần nghiệm mà ta đo đạc thời điểm t Ở đây, h đặc trưng cho độ thô phép đo Đối với tốn đồng hóa liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) nghiệm thu [t0 , T ], ta xét hệ phương trình dW = F (W ) − µIh (W ) + µIh (Y ) dt (2) với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 ta dự đoán trước (lấy tùy ý) Ở đây, số dương µ gọi tham số giãn Ta tìm điều kiện đủ tham số µ h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm tồn cục W (t) W (t) hội tụ tới Y (t) thời gian t tiến tới vơ Theo quan điểm vật lí, độ phân giải không gian h phép đo thường khó tốn để thay đổi, tham số giãn µ tham số tốn học dễ dàng thay đổi, ta tập trung vào việc tìm điều kiện h để tồn giá trị µ đảm bảo cho thành cơng thuật toán Sau khoảng thời gian T > đủ lớn, nghiệm W (T ) sử dụng làm điều kiện ban đầu hệ (1) để đưa dự đoán tương lai nghiệm tham chiếu Y (t) t > T ta tiếp tục với hệ đồng hóa liệu (2), liệu đo tiếp tục cung cấp Đối với tốn đồng hóa liệu rời rạc, lúc gần với thực tiễn hơn, mà phần đo đạc Ih (Y (t)) nghiệm thu thời điểm rời rạc tn với n = 1, 2, , ti ≤ tj , ∀i ≤ j tn → ∞ n → ∞ (đồng hóa liệu rời rạc), thay cho hệ (2), ta xét hệ phương trình đồng hóa liệu sau ∞ dW = F (W ) − µ Ih (W (tn ) − Y (tn ))χn dt n=0 (3) với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 ta dự đoán trước (lấy tùy ý) Gọi κ khoảng cách lớn hai lần đo: |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N Cũng hệ (2), ta tìm điều kiện đủ h, µ κ cho hệ (3) có nghiệm toàn cục W (t) W (t) hội tụ tới Y (t) thời gian t tiến tới vơ Phương pháp đồng hóa liệu áp dụng cho mơ hình đặt đúng, tức chứng minh tồn nghiệm Chính lý đó, kết đồng hóa liệu hệ phương trình Navier-Stokes có trường hợp hai chiều (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016)), trường hợp ba chiều ta chưa chứng minh kết tương tự Để nghiên cứu tính chất nói chung tốn đồng hóa liệu nói riêng hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều, cách làm phổ biến nghiên cứu α-mơ hình, coi xấp xỉ hệ Navier-Stokes tham số α nhỏ Gần có số kết có tốn đồng hóa liệu cho α-mơ hình: hệ Navier-Stokes-α (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018)), Rất gần hướng nghiên cứu mới, giảm số chiều phép đo xuống thấp số chiều không gian, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học (A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), A.Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2017)) Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích luận án: Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu, trường hợp liên tục trường hợp rời rạc, số α-mơ hình học chất lỏng • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tồn toàn cục đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm hệ đồng hóa liệu (gọi nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát hệ gốc (nói riêng hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát thời gian vơ phép đo khơng có sai số), số α-mơ hình học chất lỏng • Phạm vi nghiên cứu: Trong mơ hình v = u − α2 ∆u Các mơ hình xét khoảng [t0 , ∞), với điều kiện biên tuần hồn hình hộp Ω = [0, L]3 điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết – Nội dung 1: Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ Leray-α ba chiều:   ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t ∇ · u = ∇ · v = – Nội dung 2: Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ Navier-Stokesα ba chiều:   ∂v − ν∆v − u × (∇ × v) + ∇p = f, ∂t  div u = – Nội dung 3: Bài tốn đồng hóa liệu liên tục sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều:   ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t ∇ · u = ∇ · v = – Nội dung 4: Bài tốn đồng hóa liệu liên tục/rời rạc sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc hệ Leray-α cải biên ba chiều:   ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f, ∂t ∇ · u = ∇ · v = Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu rời rạc: sử dụng phương pháp đề xuất (C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016)) E Titi cộng • Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu liên tục: sử dụng phương pháp đề xuất (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), A.Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019)) E Titi cộng Kết luận án • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát cho tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ Leray-α ba chiều hệ Navier-Stokes-α ba chiều trường hợp phép đo có sai số Đặc biệt, khơng có sai số ta thu hội tụ theo tốc độ mũ nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát thời gian tiến tới vơ • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ theo tốc độ mũ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ theo tốc độ mũ nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát cho tốn đồng hóa liệu liên tục rời rạc hệ Leray-α cải biên ba chiều mà sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc Cấu trúc luận án • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ phương trình Lerayα • Chương Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ phương trình NavierStokes-α • Chương Bài tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn hệ Bardina đơn giản hóa • Chương Bài tốn đồng hóa liệu rút gọn hệ Leray-α cải biên Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số α-mơ hình học chất lỏng 1.2 Toán tử nội suy Ih 1.3 Tập hút tồn cục 1.4 Các khơng gian hàm 1.5 Các toán tử 1.6 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng riêng toán tử Stokes A ηn sai số số liệu đo lường thời điểm tn Ta giả sử {ηn }n∈N bị chặn H E0 Chú ý Pm u(tn ) chưa biết ta biết u˜(tn ) Cho trước số liệu ban đầu dự đoán z0 ∈ V , ta tìm hàm z thỏa mãn z(t0 ) = z0 , với điều kiện biên v, thỏa mãn hệ sau:  ∞ ∂z   − ν∆z + (w · ∇)z + ∇q = f − µ (Pm (z(tn )) − v˜(tn )) ,   ∂t n=0 (2.3) ∇ · w = ∇ · z = 0,     z = w − α2 ∆w χn hàm đặc trưng cho khoảng [tn , tn+1 ), µ > tham số giãn (hệ số nudging) Viết lại hệ (2.3) dạng tương đương sau:  ∞ ∞   dz + νAz + B(w, z) = Pf − µ P (Pm (z(tn ) − v(tn ))) χn + µ Pηn χn , dt n=0 n=0  z = w + α2 Aw (2.4) 2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Ta viết lại hệ Leray-α ba chiều dạng dv + νAv + B(u, v) = Pf, dt (2.5) với v = u + α2 Au, điều kiện ban đầu v(0) = v0 ∈ H Định lí 2.1 (A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005)) Giả sử f ∈ H v0 ∈ H Khi hệ (2.5) có nghiệm tồn cục v thỏa mãn dv (2.6) v ∈ C([t0 , ∞); H) ∩ L2loc (t0 , ∞; V ), ∈ L2loc (t0 , ∞; V ) dt Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H → H có tập hút toàn cục A H Hơn nữa, với v ∈ A, ta có √ 2νGr |v| ≤ M0 := , (2.7) 1/4 λ1 −3/4 với Gr = ν −2 λ1 |f | số Grashoff 10 Định lí 2.2 Giả sử z0 ∈ H, f ∈ H v quỹ đạo nằm tập hút tồn cục A hệ Leray-α ba chiều Khi đó, tồn nghiệm z hệ phương trình (2.4) khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn z(t0 ) = z0 z ∈ C([t0 , ∞); H) ∩ L2loc (t0 , ∞; V ), dz ∈ L2loc (t0 , ∞; V ) dt (2.8) Đặt BV (M0 ) := {v ∈ H : |v| ≤ M0 } Định lí 2.3 Giả sử v quỹ đạo nằm tập hút toàn cục A hệ Leray-α ba chiều giả sử M0 số dương đánh giá nghiệm v cho (2.7) Xét z0 ∈ BH (M0 ) giả sử z nghiệm (2.4) khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn z(t0 ) = z0 Giả sử {ηn }n∈N dãy bị chặn H, tức tồn số E0 ≥ cho |ηn | ≤ E0 , ∀n ∈ N (2.9) 25/2 c20 M02 , µ≥ να3 (2.10) Nếu µ m đủ lớn cho λm+1 ≥ 8µ , ν (2.11) κ đủ nhỏ cho c κ ≤ 1, µ (νµ)1/2 νλ1 , µ −3 (E + M ) µ2 λ−1 + c0 α 0 1/2 , (2.12) νλ1 (2νλ1 + µ) , −3 (E + M ) + µ2 µ ν λ1 + µ2 λ−1 + c0 α 0 lim sup |z(t) − v(t)| ≤ cE0 t→∞ Hơn nữa, E0 = z(t) → v(t) H, với tốc độ mũ, t → ∞ 11 Chương BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES-α 3.1 Đặt tốn Giả sử tiến hóa u mô tả hệ Navier-Stokes-α ba chiều, với điều kiện biên tuần hoàn miền Ω = [0, L]3 :   ∂ (u − α2 ∆u) − ν∆(u − α2 ∆u) − u × ∇ × (u − α2 ∆u) + ∇p = f, ∂t ∇ · u = 0, (3.1) khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết Cho trước số liệu ban đầu dự đoán w0 ∈ V , ta tìm hàm w thỏa mãn w(t0 ) = w0 , với điều kiện biên u, thỏa mãn hệ sau:  ∂   (w − α2 ∆w) −ν∆(w − α2 ∆w) − w × ∇ × (w − α2 ∆w) + ∇q    ∂t ∞ (3.2) = f − µ(I − α2 ∆) (Pm w(tn ) − u˜(tn )) χn ,   n=0   ∇ · w = Viết lại hệ (3.2) dạng tương đương sau: d (w + α2 Aw) + νA(w + α2 Aw) + B(w, w + α2 Aw) dt ∞ = f − µ(I + α A) P(Pm (w(tn ) − u(tn )))χn n=0 ∞ + µ(I + α2 A) Pηn χn n=0 12 (3.3) 3.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Ta viết lại hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều dạng d (u + α2 Au) + νA(u + α2 Au) + B(u, u + α2 Au) = Pf dt (3.4) với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 ∈ V Định lí 3.1 Giả sử f ∈ V u0 ∈ V Khi hệ (3.4) có nghiệm toàn cục u thỏa mãn u(t0 ) = u0 u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc (t0 , ∞; D(A)), du ∈ L2loc (t0 , ∞; H) dt (3.5) Hơn nữa, nửa nhóm S(t) : V → V sinh nghiệm hệ (3.4) có tập hút tồn cục A V ta có 2 |u| + α u với Gr = f V 3/4 ν λ1 ≤ M0 := 2Gr2 ν 1/2 , ∀u ∈ A, (3.6) λ1 số Grashoff khơng gian ba chiều Định lí 3.2 Giả sử w0 ∈ V, f ∈ V u quỹ đạo nằm tập hút toàn cục A hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều Khi đó, tồn nghiệm w hệ phương trình đồng hóa liệu (3.3) khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn w(t0 ) = w0 w ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc (t0 , ∞; D(A)), dw ∈ L2loc (t0 , ∞; H) dt (3.7) Đặt BV (M0 ) := u ∈ V : |u|2 + α2 u ≤ M0 Định lí 3.3 Giả sử u quỹ đạo nằm tập hút tồn cục A hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều giả sử M0 số dương đánh giá nghiệm u cho (3.6) Xét w0 ∈ BV (M0 ), giả sử w nghiệm (3.3) khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn w(t0 ) = w0 Giả sử {ηn }n∈N dãy bị chặn V , tức tồn số E0 ≥ cho |ηn |2 + α2 ηn ≤ E02 , 13 ∀n ∈ N (3.8) Nếu µ m đủ lớn cho c20 M0 c0 M0 max λ1 , µ≥c να4 ν λm+1 ≥ , (3.9) 8µ , ν (3.10) κ đủ nhỏ cho αλ1 c κ ≤ 1, µ (1 + α2 λ1 ) 1/2 1/2 ν ν , αν , µ ψµ α2 ν (2νλ1 + µ) −1 2 −1 2 µ ψ + µ2 (λ−1 + α ) λ1 + µ ν(λ1 + α ) (3.11) , với −1/2 −2 ψ = ν + c20 λ1 α M0 + E02 −1/2 2 (λ−1 + α ) + c0 λ1 M0 , lim sup |w(t) − u(t)|2 + α2 w(t) − u(t) t→∞ ≤ cE02 Hơn nữa, E0 = w(t) → u(t) V , với tốc độ mũ, t → ∞ 14 Chương BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HĨA 4.1 Đặt tốn Giả sử tiến hóa u mơ tả hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều, với điều kiện biên tuần hoàn miền Ω = [0, L]3 :   ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t (4.1) ∇ · u = ∇ · v = 0, khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết Với điều kiện ban đầu đoán trước tùy ý u∗0 , ta tìm hàm u∗ thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 , với điều kiện biên u, thỏa mãn hệ sau: ∂v1∗ − ν∆v1∗ + u∗1 ∂x u∗1 + u∗2 ∂y u∗1 + u∗3 ∂z u∗1 + ∂x p∗ ∂t = f1 − µ (Ih (u∗1 ) − Ih (u1 )) , ∂v2∗ − ν∆v2∗ + u∗1 ∂x u∗2 + u∗2 ∂y u∗2 + u∗3 ∂z u∗2 + ∂y p∗ ∂t = f2 − µ (Ih (u∗2 ) − Ih (u2 )) , (4.2a) (4.2b) ∂v3∗ − ν∆v3∗ + u∗1 ∂x u∗3 + u∗2 ∂y u∗3 + u∗3 ∂z u∗3 + ∂z p∗ = f3 , ∂t ∂x u∗1 + ∂y u∗2 + ∂z u∗3 = ∂x v1∗ + ∂y v2∗ + ∂z v3∗ = 0, (4.2d) v1∗ = u∗1 − α2 ∆u∗1 , v2∗ = u∗2 − α2 ∆u∗2 , v3∗ = u∗3 − α2 ∆u∗3 (4.2e) (4.2c) Ta xét tốn tử tuyến tính Ih : H (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn ϕ − Ih (ϕ) L2 (Ω) 15 ≤ γ0 h ϕ H (Ω) , (4.3) với ϕ ∈ H (Ω), Ih : H (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn ϕ − Ih (ϕ) L2 (Ω) ≤ γ1 h ϕ H (Ω) + γ2 h2 ϕ H (Ω) , (4.4) với ϕ thuộc không gian Sobolev H (Ω) Hơn nữa, bất đẳng thức (4.3) suy |u − Ih (u)|2 ≤ c20 h2 u , (4.5) với u ∈ V , c0 = γ0 , bất đẳng thức (4.4) suy |u − Ih (u)|2 ≤ c20 h2 u 2 + c40 h4 |Au|2 , (4.6) với u ∈ D(A), với c0 phụ thuộc vào γ0 , γ1 γ2 4.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại I Với hàm ngoại lực f ∈ H, ta định nghĩa số Grashof không gian ba −3/4 chiều sau: Gr = |f |ν −2 λ1 Định lí 4.1 Giả sử f ∈ H Nếu u0 ∈ V hệ (4.1) có nghiệm yếu u thỏa mãn u(t0 ) = u0 u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), du ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt Hơn nữa, u0 ∈ D(A) hệ (4.1) có nghiệm mạnh u thỏa mãn u(t0 ) = u0 u ∈ C([t0 , ∞); D(A)) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A3/2 )), du ∈ L2loc ([t0 , ∞); V ) dt Hơn nữa, nửa nhóm S(t) : V → V sinh nghiệm hệ (4.1) có tập hút tồn cục A V Thêm vào đó, với u ∈ A, ta có 2 |u| + α u ≤ 2ν Gr2 1/2 , (4.7) λ1 u 2 + α |Au| ≤ 2ν Gr2 1/2 λ1 λ1 νλ1 + + α ν 16 54c45 νGr4 exp α4 λ1 (4.8) Định lí 4.2 (Dữ liệu phép đo thuộc loại I) Giả sử Ih thỏa mãn (4.3) Giả sử u nghiệm tập hút tồn cục hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) chọn µ > đủ lớn cho µ≥ cνGr2 λ1 α2 λ1 νλ1 + + α ν exp 54c45 νGr4 α4 λ1 , (4.9) h > đủ nhỏ cho µc20 h2 ≤ ν Nếu u∗0 ∈ V f ∈ H tồn nghiệm yếu u∗ hệ phương trình đồng hóa liệu (4.2) [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 du∗ ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 thỏa mãn u∗ ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 u∗ (t) − u(t) → 0, với tốc độ mũ, t → ∞ Định lí 4.3 (Dữ liệu phép đo thuộc loại II) Giả sử Ih thỏa mãn (4.4) Giả sử u nghiệm tập hút toàn cục hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) chọn µ > đủ lớn cho (4.9) thỏa mãn h > đủ nhỏ cho µc20 h2 ≤ 2ν µc40 h4 ≤ 4να2 Nếu u∗0 ∈ V f ∈ H tồn nghiệm yếu u∗ hệ phương trình đồng hóa liệu (4.2) [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 du∗ ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 thỏa mãn u∗ ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 u∗ (t) − u(t) → 0, với tốc độ mũ, t → ∞ 4.3 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại II Định lí 4.4 Giả sử Ih thỏa mãn (4.4) Giả sử u nghiệm tập hút toàn cục hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) chọn µ > đủ lớn cho 54c45 νGr4 cνGr6 cνGr2 λ1 νλ1 µ ≥ max + + exp + , νλ1 , (4.10) λ1 α2 α ν α4 λ1 λ1 α 17 h > đủ nhỏ cho µc20 h2 ≤ ν µc40 h4 ≤ 4να2 Nếu u∗0 ∈ D(A) với |u∗0 |2 +α u∗0 ≤ 2ν Gr2 1/2 , (4.11) λ1 u∗0 +α |Au∗0 |2 ≤ 2ν Gr2 λ1 νλ1 + + α ν 1/2 λ1 54c45 νGr4 exp α4 λ1 , (4.12) f ∈ H, tồn nghiệm mạnh u∗ hệ phương trình đồng hóa liệu (4.2) [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 ∗ u ∈ C([t0 , ∞); D(A)) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A3/2 )), du∗ ∈ L2loc ([t0 , ∞); V ), dt cho u∗ (t) + α2 |Au∗ (t)|2 ≤ 22ν Gr2 1/2 λ1 λ1 νλ1 + + α ν 384000(16e + 2)c43 c44 + ν λ1 α6 exp 2ν Gr2 1/2 54c45 νGr4 α4 λ1 , λ1 với t > t0 Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 thỏa mãn u∗ (t) − u(t) + α2 |Au∗ (t) − Au(t)|2 → 0, với tốc độ mũ, t → ∞ 18 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α CẢI BIÊN 5.1 Bài tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn hệ Leray-α cải biên 5.1.1 Đặt toán Giả sử tiến hóa u mơ tả hệ Leray-α cải biên ba chiều, với điều kiện biên tuần hoàn miền Ω = [0, L]3 :   ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f, ∂t (5.1) ∇ · u = ∇ · v = 0, khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết Ta xét toán tử phép đo interpolant cho tốn tử tuyến tính Ih : H (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn ϕ − Ih (ϕ) L2 (Ω) ≤ γ0 h ϕ H (Ω) , (5.2) với ϕ thuộc không gian Sobolev H (Ω).Bất đẳng thức (5.2) suy |u − Ih (u)|2 ≤ c20 h2 u , (5.3) với u ∈ V , c0 = γ0 Với điều kiện ban đầu đoán trước tùy ý u∗0 , ta tìm hàm u∗ thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 , với điều kiện biên u, thỏa mãn hệ sau: ∂v1∗ − ν∆v1∗ + v1∗ ∂x u∗1 + v2∗ ∂y u∗1 + v3∗ ∂z u∗1 + ∂x p∗ ∂t 19 = f1 − µ(I − α2 ∆) (Ih (u∗1 ) − Ih (u1 )) , (5.4a) ∂v2∗ − ν∆v2∗ + v1∗ ∂x u∗2 + v2∗ ∂y u∗2 + v3∗ ∂z u∗2 + ∂y p∗ ∂t = f2 − µ(I − α2 ∆) (Ih (u∗2 ) − Ih (u2 )) , (5.4b) ∂v3∗ − ν∆v3∗ + v1∗ ∂x u∗3 + v2∗ ∂y u∗3 + v3∗ ∂z u∗3 + ∂z p∗ = f3 , ∂t ∂x u∗1 + ∂y u∗2 + ∂z u∗3 = ∂x v1∗ + ∂y v2∗ + ∂z v3∗ = 0, (5.4d) v1∗ = u∗1 − α2 ∆u∗1 , v2∗ = u∗2 − α2 ∆u∗2 , v3∗ = u∗3 − α2 ∆u∗3 (5.4e) (5.4c) 5.1.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Với hàm ngoại lực f ∈ H, ta định nghĩa số Grashof không gian ba chiều sau: |f | Gr = (5.5) 3/4 ν λ1 Định lí 5.1 (A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006)) Giả sử f ∈ H u0 ∈ V Khi hệ (5.1) có nghiệm yếu u thỏa mãn u(t0 ) = u0 u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), du ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt (5.6) Hơn nữa, nửa nhóm S(t) : V → V sinh nghiệm hệ (5.1) có tập hút toàn cục A V Thêm vào đó, với u ∈ A, ta có 2 |u| + α u u 2 ≤ M0 := 2ν Gr2 1/2 , (5.7) λ1 + α2 |Au|2 ≤ M1 := 2ν Gr2 1/2 λ1 λ1 νλ1 + + α ν 4 54c43 ν(λ−1 + α ) Gr exp α12 λ1 (5.8) Định lí 5.2 Giả sử Ih thỏa mãn (5.2) Giả sử u nghiệm tập hút toàn cục hệ Leray-α cải biên ba chiều (5.1) chọn µ > đủ lớn cho µ≥ 2 c(λ−1 + α ) M1 1/2 νλ1 α6 h > đủ nhỏ cho µc20 h2 ≤ ν 20 , (5.9) Nếu u∗0 ∈ V f ∈ H tồn nghiệm yếu u∗ hệ phương trình đồng hóa liệu (5.4) [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 ∗ u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), du∗ ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 thỏa mãn |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 u∗ (t) − u(t) → 0, với tốc độ mũ, t → ∞ 5.2 Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc rút gọn hệ Leray-α cải biên 5.2.1 Đặt toán Cho trước số liệu ban đầu dự đốn u∗0 , ta tìm hàm u∗ thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 , với điều kiện biên u, thỏa mãn hệ sau: ∂v1∗ − ν∆v1∗ + v1∗ ∂x u∗1 + v2∗ ∂y u∗1 + v3∗ ∂z u∗1 + ∂x p∗ ∂t ∞ (I − α2 ∆) (Pm (u∗1 (tn )) − Pm (u1 (tn ))) χn , = f1 − µ (5.10a) n=0 ∂v2∗ ∂t − ν∆v2∗ + v1∗ ∂x u∗2 + v2∗ ∂y u∗2 + v3∗ ∂z u∗2 + ∂y p∗ ∞ (I − α2 ∆) (Pm (u∗2 (tn )) − Pm (u2 (tn ))) χn , (5.10b) − ν∆v3∗ + v1∗ ∂x u∗3 + v2∗ ∂y u∗3 + v3∗ ∂z u∗3 + ∂z p∗ = f3 , (5.10c) ∂x u∗1 + ∂y u∗2 + ∂z u∗3 = ∂x v1∗ + ∂y v2∗ + ∂z v3∗ = 0, (5.10d) v1∗ = u∗1 − α2 ∆u∗1 , v2∗ = u∗2 − α2 ∆u∗2 , v3∗ = u∗3 − α2 ∆u∗3 (5.10e) = f2 − µ n=0 ∂v3∗ ∂t 5.2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Định lí 5.3 Giả sử u nghiệm yếu nằm tập hút toàn cục hệ Leray-α cải biên ba chiều (5.1) chọn µ > đủ lớn cho µ≥ 2 c(λ−1 + α ) M1 1/2 νλ1 α6 21 , (5.11) κ > đủ nhỏ cho c κ ≤ 1, µ να2 (νµ)1/2 α , −1/2 + 5λ1 α−2 M0 (λ−1 + +α ) ν α2 λ1 −1/2 −4 2 −2 2 µ(λ−1 α M0 + λ−1 + α ) (α ν + 5λ1 µ + (λ−1 α2 ) ν2 m > đủ lớn cho λm+1 ≥ µ2 + , −1/2 λ1 α−4 M1 −3/2 λ1 α−4 M1 ) 4µ ν , (5.12) (5.13) Nếu u∗0 ∈ V f ∈ H tồn nghiệm yếu u∗ hệ phương trình đồng hóa liệu (5.10) khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 u∗ ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), du∗ ∈ L2loc ([t0 , ∞); H) dt (5.14) Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 thỏa mãn |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 u∗ (t) − u(t) với tốc độ mũ, t → ∞ 22 → 0, KẾT LUẬN Kết đạt • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát, tốn đồng hóa liệu rời rạc cho hệ Leray-α ba chiều hệ Navier-Stokes-α ba chiều trường hợp phép đo có sai số • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát, tốn đồng hóa liệu liên tục với phép đo rút gọn cho hệ Bardina ba chiều hai trường hợp toán tử phép đo loại I loại II • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát, toán đồng hóa liệu liên tục/rời rạc với phép đo rút gọn cho hệ Leray-α cải biên ba chiều Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu • Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu rời rạc/liên tục cho trường hợp toán tử phép đo Ih loại II chứa sai số phép đo • Nghiên cứu việc xấp xỉ số thuật tốn đồng hóa liệu cho α-mơ hình 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Cơng trình công bố [CT1] C.T Anh and B.H Bach (2018), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Leray-α model, Bull Pol Acad Sci Math 66, 143156 [CT2] C.T Anh, B.H Bach and V.M Toi (2019), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Ann Polon Math 122, 201-219 Cơng trình gửi đăng [CT3] C.T Anh and B.H Bach (2019), Continuous data assimilation for the three-dimensional simplified Bardina model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted [CT4] C.T Anh and B.H Bach (2019), Data assimilation for the three-dimensional modified Leray-α model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted Các kết luận án báo cáo tại: • Hội nghị tốn học tồn quốc lần thứ 8, Nha Trang, tháng 8/2018; • Hội nghị nghiên cứu khoa học nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, năm 2017 2018; • Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 24 ... hệ phương trình Lerayα • Chương Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc hệ phương trình NavierStokes-α • Chương Bài tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn hệ Bardina đơn giản hóa • Chương Bài tốn đồng hóa liệu. .. nghĩa khoa học thực tiễn, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề "Bài tốn đồng hóa liệu số phương trình tiến hóa học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ... 1.1 Một số α-mơ hình học chất lỏng 1.2 Toán tử nội suy Ih 1.3 Tập hút tồn cục 1.4 Các khơng gian hàm 1.5 Các toán tử 1.6 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU