Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI _* BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐốI VỚI MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HỌC CHAT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Hà Nôi 2020 _* BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỬ LIỆU ĐốI VỚI MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HỌC CHAT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Cung Thế Anh Hà Nôi 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS.TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Bùi Huy Bách LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo GS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Cung Thế Anh, người Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ ngày học cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, thầy cô anh chị đồng nghiệp công tác trường THPT Chúc Động tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi đến anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án a Mục lục Lời cam đoan l Lời cảm ơn Mục lục a dùng luận án MỞ ĐẦU Một số kí hiệu Lí chọn đề tài Tổng quan vấn đề nghiên cứu а Mục đích, đối tượng phạm vi Phương pháp nghiên cứu l5 Kết luận án l5 б Cấu trúc luận án l6 nghiên cứu la Chương l KIẾN THỨC CHUAN BỊ lĩ 1.1 Một số a-mơ hình học chất lỏng lĩ 1.2 Toán tử nội suy Ih l8 l a Tập hút toàn cục 20 1.4 Các không gian hàm 22 1.5 Các toán tử 22 1.6 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng 26 Chương BÀI TỐN ĐồNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐOI VỚI HỆ LERAY-a 27 2.1 Đặt toán 27 2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 30 Chương BÀI TỐN ĐồNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC Đốĩ VỚI HỆ NAVIERSTOKES-a 41 3.1 Đặt toán 41 3.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 44 Chương BÀI TỐN ĐồNG HĨA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐốI VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA 58 4.1 Đặt toán 58 4.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại I 4.3 62 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại II 71 Chương BÀI TỐN ĐồNG HĨA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐốI VỚI HỆ LERAY-a CẢI BIÊN 87 5.1 5.2 Bài tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn hệ Leray-a cải biên 87 5.1.1 Đặt toán 87 5.1.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc rút gọn hệ Leray-a cải 90 biên 104 5.2.1 Đặt toán 104 5.2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát l05 KẾT LUẬN 118 ĩ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc nghiên cứu tốn đồng hóa liệu (data assimilation), tức dự đoán dáng điệu nghiệm tương lai từ phép đo thu được, quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ tương lai; điều đặc biệt quan trọng tốn dự báo, chẳng hạn tốn dự báo khí tượng Đây hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ năm gần Về mặt toán học, ta phát biểu tốn đồng hóa liệu sau Giả sử trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) mơ tả phương trình tiến hóa (nói chung phức tạp) có dạng f = F (Y )' Y vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêu tìm "xấp xỉ tốt” Y thời gian đủ lớn Ở đây, “dữ kiện ban đầu” Y thời điểm trước thời điểm t để tính nghiệm mơ hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, nhiên biết “phép đo” (một phần) Y khoảng thời gian [t0, t0 + T] dãy thời điểm {t n}neN Bài tốn đồng hóa liệu xác định xấp xỉ W(t) Y(t) từ “phép đo” biết, cho W(t) dần tới Y(t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vô Một phương pháp cổ điển đồng hóa liệu liên tục, xem ví dụ [18], thay phép đo quan sát trực tiếp vào mơ hình sau lấy tích phân theo thời gian Chẳng hạn, ta thay quan sát chế độ thấp Fourier vào phương trình cho tiến hóa chế độ cao Khi giá trị chế độ thấp chế độ cao kết hợp để tạo xấp xỉ đầy đủ cho trạng thái hệ Cách tiếp cận thực cho hệ Navier-Stokes hai chiều [31, 46] số hệ khác học chất lỏng [2, 21, 22, 28, 40] Về mặt toán học, cách tiếp cận dựa tồn tập hút toàn cục hữu hạn chiều tính chất mode xác định (determining modes) hệ Navier-Stokes [38], tính chất phổ biến cho hệ tiêu hao mạnh, có nhược điểm khơng áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo khơng gian, ta khơng thể lấy đạo hàm theo biến không gian điểm rời rạc Một cách tiếp cận hiệu khác áp dụng cho hệ tiến hóa tuyến tính đề xuất J.P Puel [48] Cách tiếp cận dựa bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ hứa hẹn hiệu quả, phương diện lí thuyết tính tốn số, có hạn chế áp dụng cho toán tuyến tính Năm 2014, Titi cộng đề xuất phương pháp [5] khắc phục nhược điểm phương pháp nói Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi chứa liệu quan sát đưa vào hệ ban đầu để hệ gọi hệ phương trình đồng hóa liệu Sau ta thiết lập điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa liệu có nghiệm tồn cục hội tụ nghiệm khảo sát hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết nghiên cứu phương pháp có tốn đồng hóa liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều [5] vài a-mô hình ba chiều [ 2, 1]; trường hợp rời rạc có kết hệ Navier-Stokes hai chiều [27] Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng học chất lỏng Tuy nhiên, trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) tính đặt tồn cục việc tính tốn số nghiệm hệ vấn đề mở lớn tỏ khó Một cách tiếp cận để vượt qua khó khăn sử dụng hệ chỉnh hóa hệ Navier-Stokes Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến thường sử dụng a-mơ hình học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-a [25], hệ Leray-a [15], hệ Leray-a cải biên [34] hệ Bardina đơn giản hóa [42], Về mặt hình thức, cho a = a-mơ hình ta thu lại hệ Navier-Stokes cổ điển Trong vài năm gần đây, có số kết tốn đồng hóa liệu liên tục cho a-mơ hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-a [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-a [24], Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có kết tốn đồng hóa liệu rời rạc a-mơ hình học chất lỏng Ngồi ra, tốn đồng hóa liệu liên tục mà sử dụng phép đo hai số ba thành phần vectơ vận tốc (mà ta gọi phép đo rút gọn) a-mơ hình kết quả; có kết gần [24] hệ Leray-a Từ phân tích ta thấy có số kết ban đầu kết tốn đồng hóa liệu a-mơ hình học chất lỏng, đặc biệt trường hợp đồng hóa liệu rời rạc sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc, vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học thực tiễn, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề "Bài tốn đồng hóa liệu số phương trình tiến hóa học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ Tổng quan vấn đề nghiên cứu Từ cuối năm 1960s, vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu liệu thời tiết gần liên tục theo thời gian Charney, Halem Jastrow [12] số phương trình khí dùng để xử lí liệu thu đánh giá trước trạng thái khí Phương pháp họ, gọi đồng hóa liệu liên tục, đưa liệu đo đạc thu thập cách trực tiếp vào mơ hình sau tích phân lại theo thời gian Một tổng hợp việc sử dụng đồng hóa liệu liên tục thực tế dự báo thời tiết nêu Daley [18] Bằng việc sử dụng cách tiếp cận cổ điển số mode xác định, Titi cộng nghiên cứu tốn đồng hóa liệu cho hệ Navier-Stokes hai chiều, hai trường hợp liệu thu thập liên tục theo thời gian [46] rời rạc theo thời gian [31] Phương pháp có ưu điểm đơn giản mặt khái niệm, có nhược điểm khơng áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo khơng gian, khơng thể lấy đạo hàm theo biến khơng gian điểm rời rạc Nhằm khắc phục nhược điểm trên, năm 2014 Titi cộng đề xuất phương pháp để nghiên cứu tốn đồng hóa liệu [5] Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi đưa vào phương trình để phương trình mới, gọi phương trình đồng hóa liệu Phương pháp gọi phương pháp nudging Newton hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) [32] 24 Với u, v, w G V, (b (u,v),w V',V ^ ^ = - ^ É(w,v),u^) (1.7) đó, với u, v V, l^B(u, v), u^) — V ' ,V (1.8) Hơn (xem [26]), ( B(u, v), w ) D(A)',D(A) ( B(u, v), w ) V',V < co||u|| Ml|w||1/2|Aw|1/2,Vu G V,v G H,w G D(A), (1.9) < co|u|1/2|u|1/2||v|| IIw|, Vu,v,w G V, (1.10) < co||u|| IlvI lwl1/2 IIw11/2, Vu,v,w G V (1.11) (É (u, v), w } \ /V ' ,V (b(u, Av), w^ D(A)' ,D(A) 25 < co(||u||1/21Au|1/2IIv| |Aw| (1.12) Sử dụng phép nhúng Sobolev H1 (^) ^ L6(Œ), bất đẳng thức Ladyzenskya bất đẳng thức Agmon không gian ba chiều, ta thu (1.12) từ (1.13) Từ (1.9) (1.12) ta có I B (u, v)IId(A)' < coA- 1/4||u|| |v|, Vu G V, v G H, (1.14) ||£>(u, Av)||D(A)/ < 2c0A-1/4|Au| ||v||, 26 Vu G D(A),v G V (1-15) Cuối mục ta nhắc lại số bất đẳng thức không gian hàm, thường xuyên sử dụng luận án Ta có phiên sau bất đẳng thức Poincaré (xem [50, 51]): ||v||y/ < A-1 |v|2, Vv G H, (1.16) |v|2 < A-1 IIv|2, Vv G V, (1.17) IIv|2 < A-1 |Av|2 Vv G D(A) (1.18) Với v = u + a2Au, v G H, ta có |v|2 = (u + a2 Au, u + a2 Au) = (u, u) + 2a2 (u, Au) + a4 (Au, Au) = |u|2 + 2a2 ||u||2 + a4 |Au|2 Do |u| < |v|, ||u|| < 1/2a |v|, |Au| < a 2|v| (1.19) II(I + a2A)u||D(A)/ < (A-1 + a2)|u|, Vu G H (1.20) Trong khơng gian ba chiều, ta có bất đẳng thức Agmon (xem [50, 51]): I|u||l~(fi) < C1||u||1/21Au|1/2, Vu G D(A), (1.21) bất đẳng thức Ladyzhenskaya (xem [50, 51]): IMIl*(fi) < C2|u|1/4||u||3/4, Vu G V, (1.22) I|u||l3(fi) < C3|u|1/2|u|1/2, Vu G V, (1.23) bất đẳng thức Sobolev (xem [50, 51]): I|u||l8(fi) < C4||u||, Vu G V (1.24) 27 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng 1.6 Dưới số bất đẳng thức sơ cấp thường xuyên sử dụng luận án • Bất đẳng thức Cauchy với e: b2 ab < ea + 4e , • Bất đẳng thức Youngvới e: Cho , (e > 0) 11 < p, ợ < TO,—I— = pq -ap I 777TT moi a, b, £ > 01./( -1) p Ợ£ p ab < Khi £ bq, với • Bất đẳng thức Holder: Giả thiết < p, ợ < TO,—I— =1 Khi đó, _ pợ u E L p(^), v £ L q(^) uv £ L1 (^) _ / |u(x)v(x)|dx < ||u||LP(Q)|M|L,(Q) • Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) hàm liên tục tuyệt đối [0,T] thỏa mãn dx(t) / X / X / X! — < g(t)x(t) + h(t), với hau khap t, g(t) h(t) hàm khả tích [0,T] Khi x(t) < x(0)eG(t) + I eG(t)-G(s)h(s)ds, Jo với moi < t < T, G(t) = [ g(r)dr J0 Nói riêng, a b số dx(t) < ax(t) + b, bb x(t) < (x(0) + b)eat - b aa - 11 28 Chương BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIÊU RỜI RẠC ĐốI VỚI HÊ LERAY- a Trong chương này, nghiên cứu toán đồng hóa liệu cho hệ Leray-a ba chiều, phép đo thu dạng rời rạc theo thời gian chứa sai số Dưới điều kiện thích hợp hệ số giãn, độ phân giải khơng gian phép đo khoảng cách lần đo, ta thu đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát tương ứng với liệu phép đo thu thập được, theo chuẩn thích hợp Nói riêng, trường hợp sai số o, ta có hội tụ với tốc độ mũ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Nội dung chương dựa cơng trình [CT1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 Đạt toán Trong năm gần đây, vấn đề toán học liên quan tới hệ Leray- a, bao gồm tồn tại, tính quy nghiệm, hội tụ dáng điệu nghiệm theo thời gian thu hút ý nhiều nhà toán học [a, 11, 14, 15, 19, 29, 49, 5a] Bài tốn đồng hóa liệu cho hệ Leray-a ba chiều nghiên cứu trường hợp liệu thu thập liên tục theo thời gian khơng có sai số [24] Trong chương này, ta nghiên cứu trường hợp mang tính thực tế hơn, mà liệu thu thập rời rạc theo biến thời gian chứa sai số Dưới đây, ta giải thích rõ vấn đề nghiên cứu 29 Giả sử tiến hóa u mơ tả hệ Leray-a ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn miền ^ = [0, L]3: VAv + (u • V)v + Vp = f, (2.1) V • u = V • v = 0, khoảng [t0, ro), với điều kiện ban đầu u(t 0) = Uo chưa biết u = u(x, t) biểu diễn cho vận tốc dòng chảy, v = u — a 2Au, V > hệ số nhớt a > tham số cho trước, p hàm vô hướng biểu thị cho áp suất f hàm ngoại lực, với giả thiết f không phụ thuộc thời gian Ta giả sử {tn|„eN dãy tăng thời điểm [t0, ro) mà số liệu thu thập Ta giả thiết t n < tn+1, Vn E N tn ^ ro n ^ ro Hơn nữa, ta kí hiệu khoảng cách lớn hai lần đo liên tiếp tham số dương K, tức |tn+1 — tn | < K, Vn e N Ta kí hiệu nn sai số phép đo thời điểm tn Do số liệu đo đạc thời điểm tn biểu diễn v(tn) = Pm (v(tn )) + Vn , (2.2) v nghiệm khảo sát chưa biết hệ Leray-a ba chiều (2.1), P m : H ^ span{w1, , wm} phép chiếu trực giao H lên không gian H m = span{w1, , wm} sinh m vectơ riêng toán tử Stokes A n n sai số phép đo thời điểm t n Ta giả sử {nn }neN bị chặn H số E Chú ý Pmu(tn) chưa biết ta biết u(tn) Bây giờ, dựa cách tiếp cận [27] ta giới thiệu thuật toán đồng hóa liệu rời rạc nhằm tìm nghiệm xấp xỉ z nghiệm khảo sát v: 30 Cho trước liệu ban đau tùy ý z0 E V, ta tìm hàm z thỏa mãn z(t 0) = z0, với điều kiện biên v, thỏa mãn hệ sau: dz oo - VAz + (w • V)z + Vq = f - ! ^ (Pm(z(tn)) - -ỹ(tn)) Xn, n =0 V • w = V • z = 0, (2.3) z = w - a2Aw, V f tương ứng hệ số nhớt hàm ngoại lực lấy từ (2.1), q hàm áp suất mới, -ữ(tn) biểu thị cho số liệu đo lường thu thập thời điểm t n cho (2.2), x n hàm đặc trưng khoảng [t n,tn+), ! > tham số giãn (hệ số nudging) Như đề cập đến [27], ưu điểm thuật toán kiện ban đau z nghiệm xấp xỉ chon cách tùy ý Sử dụng định nghĩa -ữ(tn) cho (2.2) tốn tử định nghĩa Chương 1, ta viết lại hệ (2.3) dạng tương đương sau d o° + vAz + B(w, z) = P f - ! ^ P (Pm(z(tn ) - v(tn ))) Xn + ^ ^ P nn Xn, tn =0 n =0 z = w + a Aw o° (2.4) Ta với moi giá trị ban đau z E H , hệ phương trình đồng hóa liệu (2.4) có nghiệm z xác định toàn khoảng [t 0, to), điều kiện thích hợp !, K, E0 m, ta tiệm cận theo thời gian giới hạn hiệu nghiệm xấp xỉ z nghiệm khảo sát v thỏa mãn (2.1) bị chặn tích giá trị cực đại sai số với số dương Nói riêng, kết thu khơng có tích lũy sai số theo thời gian Đồng thời, trường hợp khơng có sai số, ta thu hội tụ mũ z tới v, tương tự kết thu trường hợp đồng hóa liệu liên tục [24] Vì mục tiêu nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, 31 nên chương ta giả thiết nghiệm khảo sát v quỹ đạo nằm tập hút toàn cục A hệ Leray-a ba chiều Tuy vậy, kết ta giả thiết v nghiệm hệ Leray-a ba chiều xuất phát từ v(t 0) — v0 G H với t0 đủ lớn cho đánh giá v (2.7) thỏa mãn, sai khác số dương Tất kết ta giả thiết ngoại lực f G LTO(t0, to; h) Trong chương này, nghiên cứu vấn đề sau hệ đồng hóa liệu rời rạc (2.4): • Sự tồn tính nghiệm xấp xỉ (tức nghiệm hệ đồng hóa liệu (2.4)); • Đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát; nói riêng hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát phép đo khơng có sai số 2.2 Sự tồn hôi tụ nghiêm xấp xỉ tới nghiêm khảo sát Ta viết lại hệ Leray-a ba chiều dạng dt + vAv + B(u, v) — P f, (2.5) với v — u + a2Au, điều kiện ban đầu v(0) — v0 G H Trước tiên ta nhắc lại kết tính đặt hệ Leray-a ba chiều chứng minh [15] Đinh lí 2.1 ([15]) Giả sử f G H v0 G H Khi hệ Leray-a (2.5) có mọt nghiệm tồn cục v thỏa mãn v G C([to, TO ); H) n ¿L(fo, TO ; V), dv G ¿foc(to, TO ; V') (2.(5) Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H ^ H có tập hút toàn cục A H Hơn nữa, với v G A, ta có (2.7) al với Gr = V 2A- 3/4if i số Grashof Sự tồn nghiệm tồn cục tốn giá trị ban đầu hệ đồng hóa liệu (2.4) cho định lí sau Đinh lí 2.2 Giả sử zo e H, f e H v quỹ đạo nằm tập hút tồn cục A hệ Leray-a ba chiều Khi đó, tồn nghiệm z hệ đồng hóa liệu (2.4) khoảng [to, to) thỏa mãn z(to) = zo dz z e C([to, TO); H) n LL(ío, to; V), ^ e LL(to, to; V') (2.8) Chứng minh Xét ho = f — ^(Pm(zo) — 'ũ(to)) Vì zo e H ho e H, theo Định lí 2.1, tồn nghiệm zo hệ Leray-a ba chiều khoảng [t o, to) tương ứng với hàm ngoại lực ho thỏa mãn zo (to) = zo Khi đó, xét h1 = f — ^(Pm(zo(t1)) — 'ữ(t1 )) e H lại áp dụng Định lí 2.1 lần nữa, ta có nghiệm z1 hệ Leray-a khoảng [t1, to) tương ứng với hàm ngoại lực h1 thỏa mãn z1 (t1) = vo(t1 ) e H Tiếp tục thực theo quy nạp, ta có với n e N tồn nghiệm z n hệ Leray-a ba chiều khoảng [tn, to) tương ứng với hàm ngoại lực hn = f — ^(Pmzn-1 (tn) — -ü(tn)) e H thỏa mãn zn(tn) = zn-1(tn) e H Giả sử z hàm xác định khoảng [to, TO ) sau: z(t) = zn(t), Vt e [tn,tn+1 ), Vn e N Từ cách xác định trên, ta có z nghiệm (2.4) thỏa mãn z(t o) = zo (2.8) Thật vậy, đẳng thức zn(tn) = zn-1(tn), thỏa mãn với n e N, đảm bảo z hàm liên tục khoảng [to, to) H Hơn nữa, với n e N ta có dz n n z e L2oc(tn, TO ; V), e L2oc(tn, TO ; V'), dãy {tn}nỄN tập hợp đếm được, ta suy dz z e LÍO,,(V, TO ; V), dt e LL(to,TO ; V') 33 Đinh lí 2.3 Giả sử v quỹ đạo nằm tập hút toàn cục A hệ Leray-a ba chiều giả sử Mo số dương đánh (giá nghiệm v cho (2.7) Xét zo E BH(Mo) giả sử z nghiệm hệ đồng hóa liệu (2.4) khoảng [to, ro) thỏa mãn z(to) = zo Giả sử IneN dãy bị chăn H, tức tồn số Eo > cho (2.9) -^ỏ + vAỏ + B (ơ, ỏ ) +34B (ơ, v) + B (u, ỏ) dt (2.13) < — mIỏ'|2 + T^-l^l < —Mi^i2 + 8yỏll2 a4 A m+1 (2.16) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết (2.9), ta có Mi(nn ,