Các toán tử - Tổng quan vấn đề nghiên cứu- 123docz.net

2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu

1.5. Các toán tử

Kí hiệu P : (-L2 (0))3 ^ H là phép chiếu Leray, trong đó (L2(0))3 là tập hợp các hàm thuộc (L2(0))3 với trung bình bằng 0 và A = —PA là toán tử Stokes, với miền xác định D(A) = (H2(0))3 n V. Trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn, A = — A|d(a). Toán tử Stokes A là toán tử tuyến tính dương tự

liên hợp với nghịch đảo compact. Do đó tồn tại một tập hợp các hàm riêng lập thành một cơ sở trực chuẩn đầy đủ |wj }°=1 C H, sao cho Awj = Aj wj và

o < A1 ^ A2 < • • • , Aj —y 00 khi j —y 00.

Với mỗi m e N, kí hiệu Pm là phép chiếu trực giao từ H lên không gian con

Hm — span|wl, . . . , wm} và Qm — I Pm.

Với mỗi u,v e V, kí hiệu B(u,v) = P[(u • V)v]. Khi đó B làmột toán tử

3-tuyến tính liên tục từ V x V vào V'.

Ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của B(u,v). Các kếtquả này có

thể được tìm thấy trong [ÖO, Öi]. Với u, v, w e V, ta có

(B(uw)VZ,V = — (B(u, w^ v)VZ,V ,

và hệ quả là

(B (u, v), v) V Z V = o. (i.i)

Hơn nữa (xem [ÖO, Öi]), I(B(u,v),w)V, V I < c011u\1/21Au11/21vI\w\, Vu e D(A),v e H, w e V, (i.2)

I(B(u,v),w)V, V I < c3IuI1/2||u||1/2I I v w \ , Vu,v,w e V, (i.a) I(B(u,v),w)D(A), D(A) I < c4Ịuị\v\\w\1/2IAwI1/2, Vu e H,v e V,w e D(A).

(i.4) Từ (i.2), ta có

\B(u,v)||V/ < c01u11/21Au11/21vI, Vu e D(A),v e H. (i.Ö) Từ (i.4), ta có

l|B(u,v)\D(A)z < c4A- 1/4IuI||v||, Vu e H,v e V. (i.6) Tương tự, với mỗi u, v e V, kí hiệu B(u, v) = —P[u x (V x v)]. Toán tử B là một toán tử 3-tuyến tính liên tục từ V x V vào V' , và từ H x V vào D(Aỵ. Nói riêng B thỏa mãn đẳng thức sau (xem [26]):

Với mọi u, v, w G V,

(b(u,v),w^ ^ = - ^ É(w,v),u^) và do đó, với mọi u, v V,

l^B(u, v), u^) V ' ,V Hơn nữa (xem [26]),

( B(u, v), w )

D(A)',D(A)

(É(u, v), w }

\ /V ' ,V

( B(u, v), w )

V',V < co||u|| Ml|w||1/2|Aw|1/2,Vu G V,v G H,w G D(A), (1.9) < co|u|1/2|u|1/2||v|| IIw|, Vu,v,w G V,

(1.10) < co||u|| IlvI lwl1/2 IIw11/2, Vu,v,w G V.

(1.11) (1.7) V',V 24 (1.8) — 0.

Sử dụng phép nhúng Sobolev H1 (^) ^ L6(Œ), bất đẳng thức Ladyzenskya và bất đẳng thức Agmon trong không gian ba chiều, ta thu được (1.12) từ (1.13). Từ (1.9) và (1.12) ta có

IB(u, v)IId(A)' < coA- 1/4||u|| |v|, Vu G V, v G H, 25

(b(u, Av), w^ <

D(A)' ,D(A) co(||u|| (1.12)

1/21Au|1/2IIv| |Aw|

||£>(u, Av)||D(A)/ < 2c0A-1/4|Au| ||v||, Vu G D(A),v G V. (1-15) Cuối mục này ta nhắc lại một số bất đẳng thức giữa các không gian hàm, thường xuyên được sử dụng trong luận án.

Ta có các phiên bản sau của bất đẳng thức Poincaré (xem [50, 51]):

||v||y/ < A-1 |v|2, Vv G H, (1.16)

|v|2 < A-1 IIv|2, Vv G V, (1.17)

IIv|2 < A-1 |Av|2 Vv G D(A). (1.18)

Với v = u + a2Au, v G H, ta có

|v|2 = (u + a2 Au, u + a2 Au)

= (u, u) + 2a2 (u, Au) + a4 (Au, Au) = |u|2 + 2a2 ||u||2 + a4 |Au|2.

Do đó

|u| < |v|, ||u|| < 21/2a 1 |v|, |Au| < a 2|v| (1.19) và

II(I + a2A)u||D(A)/ < (A-1 + a2)|u|, Vu G H. (1.20) Trong không gian ba chiều, ta có bất đẳng thức Agmon (xem [50, 51]):

I|u||l~(fi) < C1||u||1/21Au|1/2, Vu G D(A), (1.21) bất đẳng thức Ladyzhenskaya (xem [50, 51]):

IMIl*(fi) < C2|u|1/4||u||3/4, Vu G V, (1.22)

I|u||l3(fi) < C3|u|1/2|u|1/2, Vu G V, (1.23)

và bất đẳng thức Sobolev (xem [50, 51]):

I|u||l8(fi) < C4||u||, Vu G V. (1.24)

1.6. Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng

Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp thường xuyên được sử dụng trong luận án. • Bất đẳng thức Cauchy với e:

ab < ea2 + , (e > 0). 4e

. , 11

• Bất đẳng thức Youngvới e: Cho 1 < p, ợ < TO,—I— = 1. Khi đó

p q £ 1 ab < -ap I 777- TT bq, với moi a, b, £ > 0. p Ợ£1/(p-1)

• Bất đẳng thức Holder: Giả thiết 1 < p, ợ < TO,—I— =1. Khi đó, nếu

_ _ p ợ

u E Lp(^), v £ Lq(^) thì uv £ L1 (^) và

/ |u(x)v(x)|dx < ||u||LP(Q)|M|L,(Q).

• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0,T] và thỏa mãn

dx(t)— < g(t)x(t) + h(t), với hau khap t,/ X / X 7 / X! - 11

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0,T]. Khi đó x(t) < x(0)eG(t) + I eG(t)-G(s)h(s)ds, Jo

với moi 0 < t < T, ở đó

G(t) = [ g(r)dr. J0

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và dx(t) < ax(t) + b, bb x(t) < (x(0) + b)eat - b. aa 27 thì

Chương 2

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIÊU RỜI RẠC ĐốI VỚI HÊ LERAY-a

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ Leray-a ba chiều, khi phép đo thu được dưới dạng rời rạc theo thời gian và có thể chứa sai số. Dưới những điều kiện thích hợp của hệ số giãn, độ phân giải không gian của phép đo và khoảng cách giữa các lần đo, ta thu được một đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát tương ứng với các dữ liệu phép đo thu thập được, theo một chuẩn thích hợp. Nói riêng, trong trường hợp sai số bằng o, ta có sự hội tụ với tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát.

Nội dung của chương này dựa trên công trình [CT1] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

2.1. Đạt bài toán

Trong những năm gần đây, những vấn đề toán học liên quan tới hệ Leray- a, bao gồm sự tồn tại, tính chính quy của nghiệm, sự hội tụ và dáng điệu của nghiệm theo thời gian đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học [a, 11, 14, 15, 19, 29, 49, 5a]. Bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ Leray-a ba chiều mới đây đã được nghiên cứu trong trường hợp dữ liệu thu thập là liên tục theo thời gian và không có sai số [24].

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một trường hợp mang tính thực tế hơn, khi mà các dữ liệu thu thập được là rời rạc theo biến thời gian và có thể chứa sai số. Dưới đây, ta sẽ giải thích rõ về vấn đề sẽ được nghiên cứu.

Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Leray-a ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn trên miền ^ = [0, L]3:

(2.1)

trên khoảng [t0, ro), với điều kiện ban đầu u(t0) = Uo chưa biết. ở đây u = u(x, t) biểu diễn cho vận tốc của dòng chảy, v = u — a2Au, V > 0 là hệ số nhớt và a > 0 là một tham số cho trước, p là một hàm vô hướng biểu thị cho áp suất và f là hàm ngoại lực, với giả thiết f không phụ thuộc thời gian.

Ta giả sử {tn|„eN là một dãy tăng các thời điểm trong [t0, ro) mà tại đó các số liệu được thu thập. Ta giả thiết rằng

tn < tn+1, Vn E N và tn ^ ro khi n ^ ro.

Hơn nữa, ta kí hiệu khoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo liên tiếp bởi tham số dương K, tức là

|tn+1 — tn | < K, Vn e N.

Ta kí hiệu nn là sai số của phép đo tại thời điểm tn. Do đó các số liệu đo đạc tại thời điểm tn

được biểu diễn bởi

v(tn) = Pm (v(tn )) + Vn,

trong đó v là nghiệm khảo sát chưa biết của hệ Leray-a ba chiều (2.1), Pm : H ^ span{w1,..., wm} là phép chiếu trực giao của H lên không gian con Hm = span{w1,..., wm} sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên của toán tử Stokes A và nn là sai số của phép đo tại thời điểm tn. Ta giả sử {nn }neN bị chặn trong H bởi hằng số E0. Chú ý rằng Pmu(tn) là chưa biết và ta chỉ biết u(tn).

Bây giờ, dựa trên cách tiếp cận trong [27] ta giới thiệu thuật toán đồng hóa dữ liệu rời rạc nhằm đi tìm một nghiệm xấp xỉ z của nghiệm khảo sát v:

VAv + (u • V)v + Vp = f, V • u = V • v = 0,

Cho trước một dữ liệu ban đau tùy ý z0E V, ta đi tìm một hàm z thỏa mãn z(t0) = z0, với cùng điều kiện biên như của v, và thỏa mãn hệ sau:

dz oo - VAz + (w • V)z + Vq = f - ! ^ (Pm(z(tn)) - -ỹ(tn)) Xn, n=0 V • w = V • z = 0, z = w - a2Aw,

trong đó V và f tương ứng là hệ số nhớt và hàm ngoại lực lấy từ (2.1), q là hàm áp suất mới, -ữ(tn) biểu thị cho số liệu đo lường thu thập được tại thời điểm tn cho ở (2.2), xn là hàm đặc trưng của khoảng [tn,tn+), và ! > 0 là tham số giãn (hệ số nudging). Như đã được đề cập đến trong [27], một ưu điểm của thuật toán này là dữ kiện ban đau z0 của nghiệm xấp xỉ có thể được chon một cách tùy ý.

Sử dụng định nghĩa của -ữ(tn) cho ở (2.2) và các toán tử định nghĩa ở Chương 1, ta có thể viết lại hệ (2.3) dưới dạng tương đương sau

d o° o°

+ vAz + B(w, z) = P f - ! ^ P (Pm(z(tn ) - v(tn ))) Xn + ^ ^ P nn Xn,

tn=0 n=0

z = w + a2 Aw.

(2.4) Ta sẽ chỉ ra rằng với moi giá trị ban đau z0E H, hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (2.4) có duy nhất một nghiệm z xác định trên toàn khoảng [t0, to), và dưới các điều kiện thích hợp của !, K, E0 và m, ta sẽ chỉ ra rằng tiệm cận theo thời gian của giới hạn của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ z và nghiệm khảo sát v thỏa mãn (2.1) là bị chặn trên bởi tích của giá trị cực đại của các sai số với một hằng số dương. Nói riêng, kết quả thu được chỉ ra rằng sẽ không có sự tích lũy của các sai số theo thời gian. Đồng thời, trong trường hợp không có sai số, ta thu được sự hội tụ mũ của z tới v, tương tự như kết quả thu được trong trường hợp đồng hóa dữ liệu liên tục trong [24].

Vì mục tiêu của chúng ta là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, 30

nên trong chương này ta giả thiết nghiệm khảo sát v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-a ba chiều. Tuy vậy, các kết quả này vẫn đúng nếu ta giả thiết rằng v là một nghiệm của hệ Leray-a ba chiều xuất phát từ v(t0) — v0 G H với t0 đủ lớn sao cho đánh giá của v ở (2.7) dưới đây được thỏa mãn, sai khác một hằng số dương. Tất cả các kết quả này vẫn đúng nếu ta giả thiết ngoại lực f G LTO(t0, to; h).

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau đối với hệ đồng hóa dữ liệu rời rạc (2.4):

• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm xấp xỉ (tức là nghiệm của hệ đồng hóa dữ liệu (2.4));

• Đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát; nói riêng là sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát khi phép đo không có sai số.

2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hôi tụ của nghiêm xấp xỉ tới nghiêm khảo sát Ta viết lại hệ Leray-a ba chiều dưới dạng

dt + vAv + B(u, v) — P f,

với v — u + a2Au, và điều kiện ban đầu v(0) — v0 G H.

Trước tiên ta nhắc lại kết quả về tính đặt đúng của hệ Leray-a ba chiều đã được chứng minh trong [15].

Đinh lí 2.1. ([15]) Giả sử f G H và v0 G H. Khi đó hệ Leray-a (2.5) có duy nhất mọt nghiệm toàn cục v thỏa mãn

v G C([to, TO); H) n ¿L(fo, TO; V), dv G ¿foc(to, TO; V'). (2.(5)

Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H ^ H có một tập hút toàn cục A trong H. Hơn nữa, với mọi v G A, ta có

(2.7)

với Gr = V 2A- 3/4if i là số Grashof.

Sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán giá trị ban đầu đối với hệ đồng hóa dữ liệu (2.4) được cho bởi định lí sau đây.

Đinh lí 2.2. Giả sử zo e H, f e H và v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-a ba chiều. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm z của hệ đồng hóa dữ liệu (2.4) trên khoảng [to, to) thỏa mãn z(to) = zo và

z e C([to, TO); H) n LL(ío, to; V), ^ e LL(to, to; V'). (2.8)

Chứng minh. Xét ho = f — ^(Pm(zo) — 'ũ(to)). Vì zo e H và ho e H, theo Định lí 2.1, tồn tại duy nhất một nghiệm zo của hệ Leray-a ba chiều trên khoảng [to, to) tương ứng với hàm ngoại lực ho và thỏa mãn zo (to) = zo.

Khi đó, xét h1 = f — ^(Pm(zo(t1)) — 'ữ(t1 )) e H và lại áp dụng Định lí

2.1 một lần nữa, ta có một nghiệm duy nhất z1 của hệ Leray-a trên khoảng

[t1, to) tương ứng với hàm ngoại lực h1 và thỏa mãn z1 (t1) = vo(t1 ) e H.

Tiếp tục thực hiện theo quy nạp, ta có với mọi n e N tồn tại duy nhất một nghiệm zn

của hệ Leray-a ba chiều trên khoảng [tn, to) tương ứng với hàm ngoại lực hn = f — ^(Pmzn-1 (tn) — -ü(tn)) e H và thỏa mãn zn(tn) = zn-1(tn) e H.

Giả sử z là hàm xác định trên khoảng [to, TO) như sau: z(t) = zn(t), Vt e [tn,tn+1 ), Vn e N.

Từ cách xác định như trên, ta có z là một nghiệm của (2.4) thỏa mãn z(to) = zo và (2.8). Thật vậy, đẳng thức zn(tn) = zn-1(tn), thỏa mãn với mọi n e N, đảm bảo rằng z là một hàm liên tục trên khoảng [to, to) trong H. Hơn nữa, vì với mọi n e N ta có

dzn

zn e L2oc(tn, TO; V), e L2oc(tn, TO; V'), và dãy {tn}nỄN là tập hợp đếm được, ta suy ra

Đinh lí 2.3. Giả sử v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-a ba chiều và giả sử Mo là hằng số dương trong đánh (giá nghiệm v cho ở (2.7). Xét zo E BH(Mo) và giả sử z là nghiệm duy nhất của hệ đồng hóa dữ liệu (2.4) trên khoảng [to, ro) thỏa mãn z(to) = zo. Giả sử rằng IneN là một dãy bị chăn trong H, tức là tồn tại một hằng số Eo > 0 sao cho

(2.9) 33

-^ỏ + vAỏ + B (ơ, ỏ ) + B (ơ, v) + B (u, ỏ) dt

(2.13) 34

< — mIỏ'|2 + T^-l^l2 < —Mi^i2 + 8yỏll2.

Am+1 8 (2.16)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết (2.9), ta có

Mi(nn ,<S)| < Minn ||ỉ i < MEo |<S| < M Eo2 + M |á|2. (2.17) Hơn nữa, Mi(Pm(^(tn) — ố(t)),ố(t))| < Mi(^(tn) — ¿(t),PmÆ(t))| dố (s)ds,Pmố(t) = M < M < M V VẲ ds 'n I0 H í' i M. ỉií(t)ii v ' ds ||ố(t)|| 2 ds) + 4 !l^(t)H2. (2.18) dố, dĩ(s) r I

Từ (2.la) ta thu được

< V||ố(s)|| + ||B(ơ-,ố)||v' + l|B(ơ,v)||v' + l|B(u,ố)||v' dố, dĩ(s) (2.19) v ' + Ml|Pm (^(tn ) — ^(s))||v1 + M1 Pm (^(s))||v1 + MỈnn ||v1. Sử dụng (1.5) và (1.19), ta có

ỉ|B(M)|v. < co|Mi1/2|A<j|1/2 |í| < 2-1/4coa-3/2|í|2. (2.20) Từ (1.5), (1.19) và đánh giá (2.7), ta có

(ơ,v)|v' < coÜCT|1/2|Aơ|1/2|v| < 2 1/4coa 3/2Mo|(5|, (2.21) và

||B(u,ố)||v' < co ||u|1/21 Au|1/2 |ố |< 21/4 co a 3/2 |v| |ố| < 21/4co a 3/2Mo |ố|. (2.22) a4

Hdn ntfa, stf dung bat dang thtfc Poincare (1.16) va (2.9), ta co ^||Pm (i(tn ) — i(s))||v' + ^||Pm (i(s))||v' + ^ll^n ||V ' di

r()d l dT(T)dT t,n + ^lli ( s )llv' + ^ll^n IIV' V' '>s di, x dT(T) dT + ^A- 1/2 |i(s)| + ^A- 1/2 Eq . V' n

Thay cac danh gia tti (2.20) den (2.23) vao trong (2.19), ta suy ra di.

dS(s) < v||S(s)|| + ^A-1/2|i(s)| + 2-1/4Cqa-3/2 (|S(s)| + 2Mq) |i(s)|

+ ^ (t) dT + ^A-1/2Eq .

JtndT V'

Lay tich phan theo s tti tn tdi t E [tn, tn+1), ta co

fdi(s) ds < i (v||i(s)H + M-1/2 +2-1/4Cqa-3/2 (|i| + 2Mq) |5(s)|^ ds Jin ds V' Jtn ^

1 J '

ft di 1/2 _

+ — (s) ds + A- ; ^kEq. An dT v '

0 day ta da stf dung danh gia sau

r»t /»t dTds < t /‘S di t dT(T) di dT(T) di dT(s) dTds < K V' tn ds. V' V'

Tti dieu kien (2.12) cua K, vdi c < 1/2, suy ra < 1/2. B6i vay, ta co

r t di,

di(s) ds

^A“1/2 + 2-1/4cqa-3/2 (|i| + 2Mq) |5(s)|) ds + 2A-1/2^kEq. < 2 v||i(s)H +

Stf dung bat dang thtfc Holder, ta co

\2 ft c^2 / ds < CK ^(s)ds +- - -— tn A1 t c^2 /2 E2 AT Eq ’ di, di(s) (2.24) V' n trong do

^(s) = v2|i(s)|2 + [^2A-+ cQa 3 (|i(s)|2 + mq2)] |i(s)|2.

(2.23) 35

Do điều kiện (2.10), từ (2.25) suy ra

dt |ỏ|2 + VllỏN2 < — ß |ỏ|2 + eß-K : Xn Í ^(s)ds + ß í1 + eßAK-) 'o

■K,—n tn V 1 /

Kí hiệu

R = 2( M0 + E0 ) . Vì ỏ G C([t0, to); h) và

|ỏ(to)| < |z(to)| + |v(to)| < 2Mo < R, tồn tại T G (t0, to) sao cho

|ỏ(t)| < 2R, Vt G [t0,t]. Định nghĩa

Í = sup < T G [t0, to) : sup |ỏ(t)| < 2R Ị- .

{ te [to ,T]

Giả sử rằng t < t1. Khi đó, lấy tích phân (2.26) từ t0 tới t < ĩ, ta được |ỏ(t)|2 — |ỏ(to)|2 + V f ||ỏ(s)||2ds

í )

<—2 / |ỏ(s)|2ds + eß_K~ / ^(s)ds + ßK í1 + eßÄK_) '0. Vì |ỏ(t)| < 2R với mọi t G [to, Î], ta suy ra rằng

^(s) < v2||ỏ(s)||2 +e [ß2A-1 + e0a-3 ('0 + M02)] |ỏ(s)|2. (2.26)

(2.27)

(2.28)

Do đó, (2.28) trở thành

|í(t)|2 - |í(Í0)|2 + V (1 - cụ2K2) J ||í(s)||2ds < - ^ụ

- ục 2^2 ụ [ 2Ạ -1 + C2 ~a 3

(E02 + M02)] j £ |ố(s)|2ds

+ ^K(1 + ^VạT" ) E°2 •

Với điều kiện (2.12) trên K, từ (2.30) ta suy ra

|2 ịĩU m2 , V / II í/„\l|2 7 / „172

||í(s)||2ds < cEo2, hay nói riêng, ta có