Tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Hà nội - 2011 đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại häc khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Hµ néi - 2011 Möc löc Danh möc c¡c k‰ hi»u, chœ vi‚t t›t Líi c£m ìn Líi mð ƒu Khỉng gian h m v 1.1 Khæng gian h m v to¡n tß 1.2 T“p hót lịi (Pullback attracto 1.3 Mºt sŁ b ã, nh lỵ 1.3.1 1.3.2 Sỹ tỗn ti nghiằm yu 2.1 t b i to¡n 2.1.1 2.1.2 2.2 Sü tỗn ti nghiằm yu ca b i 3.1 Sỹ tỗn t⁄i cıa C¡c bŒ • 3.2 ành lỵ D K‚t lu“n chung T i li»u tham kh£o Danh möc c¡c k‰ hi»u, chœ vi‚t t›t Trong khâa lu“n n y, ” cho ng›n gån, ta dòng k‰ hi»u: j:j2, (.,.), kuk ; ((:; :)) , l m chu'n v tch vổ hữợng L ( ) v H ( ); t÷ìng tü, ta dịng p j:jp l m chu'n L ( ) Ta cụng thữớng sò dửng kỵ hiằu sau: M = (u(t) M) = fx : u(x; t) Mg : Líi mð ƒu Vi»c nghi¶n cøu d¡ng i»u ti»m c“n cıa c¡c h» ºng lỹc l mt cĂc vĐn ã quan trồng nhĐt ca vt lỵ toĂn hiằn i Mt cĂch tip cn b i to¡n n y Łi vỵi mºt h» ºng lỹc tĂn x l phƠn tch sỹ tỗn ti v c§u tróc cıa t“p hót to n cưc (global attractor) cıa nâ â l mºt t“p âng, bà ch°n, b§t bi‚n v hót t§t c£ c¡c t“p bà ch°n T“p hót to n cưc chøa üng nhi•u thỉng tin v• d¡ng i»u ti»m c“n cıa h» ºng lüc ang x†t Tuy nhi¶n, t“p hót to n cưc ch¿ ¡p dưng ữổc cho cĂc trữớng hổp ổtổnổm, rĐt nhiãu qu¡ tr…nh câ ngo⁄i lüc phư thuºc v o thíi gian Do â, cƒn ph£i mð rºng kh¡i ni»m t“p hót cho c¡c h» ºng lüc khỉng ỉtỉnỉm Vi»c mð rng nghiản cứu vã hút  dÔn n khĂi niằm hút ãu (uniform attractor) cho trữớng hổp qu ⁄o nghi»m bà ch°n thíi gian t ti‚n vỉ h⁄n, v sau â l kh¡i ni»m t“p hót lũi (pullback attractor) cho trữớng hổp qu o nghiằm bĐt ký thíi gian t ti‚n vỉ h⁄n Trong lun vôn n y, tĂc giÊ nghiản cứu sỹ tỗn ti hút lũi i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic suy bi‚n: utu ;t> ; > (0.1) > > > < > > > > : ; N vợi l mt miãn b chn R (N 3) câ chøa gŁc tåa º, u L ( ) l h m N 2 cho trữợc, < l tham sŁ, = ( ) l h‹ng s lợn nhĐt thọa mÂn bĐt flng thức Hardy: Z Trong tr÷íng hỉp g v h m f câ mºt sŁ d⁄ng °c bi»t, b i to¡n (0.1)  ữổc nghiản cứu cĂc b i bĂo [2,3,5,6,12], hay tr÷íng hỉp h m ngo⁄i lüc l g(t; x) phư thuºc v o thíi gian t v h m phi tuy‚n f = f(u): ut u b i toĂn (0.1)  ữổc nghiản cứu b i bĂo [1] Trong õ, cĂc tĂc giÊ Â nghiản cứu vã sỹ tỗn ti to n cửc v sỹ phử thuc cıa d¡ng i»u nghi»m cıa c¡c ph÷ìng tr…nh v o tham sŁ Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ tip tửc nghiản cứu b i toĂn (0.1) trữớng hæp h m ngo⁄i lüc l g(t; x) v h m phi tuy‚n f = f(u; t) H m phi tuyn f v ngoi lỹc g thọa mÂn cĂc iãu ki»n sau: (F) H m f C (R C1juj [ ; 1]) v thäa m¢n: p k1(t) f(u; t)u p C2juj + k2(t); p 2; k1 (t) ; k2 (t) L (R) ; k1 (t) > 0; 8t R; k2 (t) > 0; 8t R; C(juj F (u) = R u p p Z 1) F (u) C(jujpp + 1); f(r)dr; (trong tr÷íng hæp f(r; t) = f(r)), C; C1; C2; l l c¡c h‹ng sŁ d÷ìng 1;2 (G) g Wloc (R; L ( )) thọa mÂn Ơy h1; l giĂ tr riảng thứ nhĐt ca toĂn tò A = iãu kiằn thun nhĐt Dirichlet nghiản cứu b i to¡n (0.1), ta s‡ sß dưng khỉng gian H ( ); , ữổc nh nghắa nhữ l bao âng cıa C 0( ) vỵi chu'n Z kuk = ( (jruj Möc ‰ch cıa khâa lu“n n y l chứng minh rng luổn cõ sỹ tỗn ti phö T p thuºc v o tham sŁ cıa mºt D- t“p hót lịi khỉng gian H ( ) L ( ) cho qu¡ tr…nh ÷ỉc mỉ t£ b i toĂn (0.1) Phữỡng phĂp ữổc sò dửng khõa lun n y ữổc mổ tÊ nhữ sau: Trữợc tiản ta sò dửng phữỡng phĂp compact hõa [9] chứng minh sỹ tỗn ti to n cửc ca mt nghiằm yu v sò dửng Ănh giĂ tiản nghiằm ch sỹ tỗn ti ca mt hồ cĂc D- t“p h§p thư lịi B = fB(t) : t Rg Lp H () T ( ! L ( ), qu¡ tr… H() , i•u n y ko theo sỹ tỗn ti ca mt D- hút lòi L ( ) Trong p qu¡ tr…nh chøng minh sỹ tỗn ti ca D- hút lũi L ( ) v H T p ( ) L ( ), ” kh›c phưc c¡c khâ kh«n thiu cĂc kt quÊ vã php nhúng, ta sò dửng phữỡng phĂp tiằm cn Ănh giĂ tiản nghiằm  ữổc u [11] cho cĂc phữỡng trnh ổtổnổm CĐu trúc ca khõa lun gỗm ba chữỡng: - Chữỡng 1: Tr…nh b y c¡c ki‚n thøc cì sð v• kh¡i niằm cụng nhữ cĂc kt quÊ vã khổng gian v hút lũi i vợi phữỡng trnh parabolic phi tuyn B ã 3.1.4 Dữợi cĂc iãu kiằn (F) - (G), qu¡ tr…nh U (t; ) l D ti»m c“n p compact lòi L ( ) Chøng minh X†t i•u ki»n (2) BŒ • 2.2 Tł i•u ki»n (F), ta câ th” ~ chån h‹ng sŁ M ı lỵn cho f (u) C1juj 2M = (u (t) 2M) = fx : u (x; t) 2Mg : Trong phn n y, ta k hiằu (u Trữợc ti¶n g (t) (u M) 2M ta + M) = < u M; u M :0 ; u < M thu ÷ỉc + (3.13) v C ~ (u M) (3.14) f (u) (u M) Ta nhƠn phữỡng trnh u (0.1) vợi th… Z Z t1+r Z +p (u (t1 + r) M) dx Ce t +p CMp r (u (s) 2M 2M 33 M) dxds +Ce CMp B¥y gií ta (t1+r) Z ¡nh gi¡ c¡c sŁ hng v phÊi ca (3.15) Trữợc tiản, ta cõ Z t +r t1 (sß dưng (3.3)) C +e 1; t1 Z vỵi ı nhä (do (2.1)) Do õ, tỗn ti N0 phử thuc v o ; M v cho Z â vỵi M t +r t1 ı lỵn, ta câ Ce Ta bi‚t r‹ng vỵi mºt h m h kh£ t‰ch tr¶n o⁄n [a; b] v trữợc, th eMb Z a 34 vợi M lỵn K‚t hỉp (3.15), (3.18), (3.19), chån r = t Z vỵi < v M M1 Ti‚p theo, ta °t (u + M) v l°p l⁄i t÷ìng tü c¡c bữợc trản, : rng tỗn ti M2 > v ta cõ (u(t) 2M) BƠy giớ, giÊ sò M0 = max fM1; M2g v = f 1; 2g Tł (3.20) v (3.22) suy r‹ng Z p (juj M) dx " (3.23) (ju(t)j 2M) vỵi måi 0v R (ju(t)j 2M) M p juj dx = M0 Ta câ R p [(juj M) + M] dx (ju(t)j 2M) p ( j p (ju(t)j 2M) p " Z ) (ju(t)j 2M) 35 p p juj dx " B (ju(t)j 2M) V“y ta câ i•u phÊi chứng minh B ã 3.1.5 GiÊ sò cõ cĂc iãu kiằn (F) - (G) Khi õ vợi mồi s R v vỵi måi t“p bà ch°n B L ( ) tỗn ti mt hng s = (B; s) s cho ut j vỵi mồi0 v Chứng minh LĐy tch phƠn (3.9) theo bin s tł r ‚n r + 1, r [ ; t ta câ R r+1 r + 1; R s e 1; jut (s)j2 ds e 1; s ku (s)k r r+1 (do (3.7) v s e 1; , ta câ d e 1; s jutj + e 1; s ku (s)k + e 1; s (f0 (u) ut; ut) ds Sò dửng iãu kiằn (F) v bĐt flng thức Cauchy, ta thu ữổc d dr 36 r e 1; jut (s)j2 C e 1; s jg Tł (3.25), (3.26) v b§t s e 1; jut (s)j2 C e 1; ) jut (s)j2 s +e flng thøc Gronwall, ta câ ju j2 + 1; C +e 1; Z sZ ( iãu phÊi chứng minh) 3.2 nh lỵ nh lỵ 3.2.1 GiÊ sò cĂc iãu kiằn (F) v (G) thọa mÂn Khi õ vợi mỉi [0; ], qu¡ tr…nh U (t; ) cıa b i to¡n (1.1) câ mºt D t“p hót lịi ^ A = A (t) : t f R H ( ) T Lp( ) g Chøng minh Theo bŒ • 3.1.1, qu¡ tr…nh U (t; ) câ mºt hå c¡c D h§p thư lịi H ( ) T t“p p L ( ) Câ th” ch¿ r‹ng fU (t; )g l D ti»m ^ c“n compact lòi, tøc l vỵi måi t R, vỵi måi B D, v vợi mồi dÂy mồi dÂy u n B ( n), d¢y fU (t; n) u n g l ti•n compact H ( ) Theo bŒ • 3.1.4, ta ch¿ cƒn ch¿ d¢y fU (t; n) u n n T um (t)k = h f (un (t)) dtun (t) d 37 p L ( ) g l ti•n compact H ( ) K‰ hi»u un (t) = fU (t; n) u n g, ta câ kun (t) ! , vợi Theo cĂc b ã 3.1.4 v 3.1.5, ta câ ku n (t) um (t)k ! n; m ! ( i•u ph£i chøng minh) 38 K‚t lu“n chung Nºi dung ch‰nh cıa lun vôn l nghiản cứu sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm yu v sỹ tỗn ti hút lũi ca b i toĂn biản ban u i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic Nhng kt quÊ chnh  t ữổc qu¡ tr… nh nghi¶n cøu b i to¡n (0.1) l : Sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm yu ca b i toĂn Sỹ tỗn ti ca D t“p hót lịi H ( ) f (u; t) khỉng phư thuºc v o t) Chóng tỉi câ mºt s hữợng tip tửc phĂt trin cĂc kt quÊ Â nghiản cứu sang cĂc lợp phữỡng trnh khĂc v nghiản cứu thảm cĂc tnh chĐt ca hút lũi mØi b i to¡n cư th” T¡c gi£ r§t mong nhn ữổc cĂc ỵ kin õng gõp quỵ bĂu ca cĂc thy cổ v bn b ỗng nghiằp 39 T i li»u tham kh£o C T Anh and T T H Yen (2011), "Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with hardy type potentials", Ann Polon Math, 102, pp 161-186 P Baras and J Goldstein (1984), " The heat equation with asingular potential", Trans Amer Math Soc, 284, pp 121-134 X Cabre and Y Martel (1999), " Exitence versus eplosion instantane pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier", C R Acad Sci Paris, 329, pp 973-978 A.N Carvalho (2009), "J.A Langla and J.C Robinson, On the conti-nuity of pullback attractors for evolution processes", Nonlinear Anal, 71, pp 1812-1814 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2008), "A sharp estimate on the dimension of the attractor for singular semilinear parabolic equations", Arch Math, 91, pp 564-576 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2009), "The semiflow of a reaction diffusion equation with a singular potential", Manuscr Math, 130, pp 63-81 Y Li and C.K Zhong (2007), "Pullback attractors for the norm-toweak continuous process and application to the nonautonomous reaction-diffusion equations", Appl Math Comp, 190, pp 1020-1029 40 Y Li, S Wang and H Wu (2009), "Pullback attractors for nonautonomous reaction-diffusion equations in L Comp, 207, pp 373-379 p ", Appl Math J L Lions (1969), Quelques M†thodes de R†solution des Probl–mes aux Limites Non Lin†aires, Dunod, Paris p 10 G Lukaszewicz (2010), "On pullback attractors in L for nonautonomous reaction-diffusion equations", Nonlinear Analysis 11 Q.F Ma, S.H Wang and C.K Zhong (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications", Indian University Math J, 51 (6) , pp 1541-1559 12 J.L Vazquez and E Zuazua (2000), "The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an inversesquare po-tential", J Functional Analysis, 173, pp 103-153 13 E Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Vol II, Springer-Verlag 14 C K Zhong, M H Yang and C Y Sun (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and ap-plication to the nonlinear reaction-diffusion equations", J Differential Equations, 15 , pp 367-399 41 ... gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyờn ngnh: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01... ký thíi gian t ti‚n vỉ h⁄n Trong lu“n v«n n y, tĂc giÊ nghiản cứu sỹ tỗn ti hút lũi i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic suy bi‚n: utu ;t> ; > (0.1) > > > < > > > > : ; N vỵi l mºt mi•n bà ch°n R... quÊ vã khổng gian v hút lũi i vợi phữỡng trnh parabolic phi tuyn tnh - Chữỡng 2: Chứng minh sỹ tỗn ti nhĐt nghi»m y‚u cıa b i to¡n (0.1) - Ch÷ìng 3: Chứng minh sỹ tỗn ti ca D hút lũi H ( ) (trong