Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BáGI ODệCV OT O TRìNG I HC Sì PH M H N¸I * BỊI HUY B CH B ITO N NGHADLI U ăIVI MáT Să PHìèNG TR NH TI N H´A TRONG CÌ H¯C CH T L˜NG LU N NTI NS TO NH¯C H Nºi - 2020 B¸GI ODƯCV OT O TRìNG I HC Sì PH M H NáI * BềI HUY B CH B ITO N NGHADLI U ăIVI MáT Să PHìèNG TR NH TI N HA TRONG Cè HC CH T LNG Chuyản ng nh: Phữỡng trnh vi phƠn v tch phƠn M s: 46 01 03 LU N NTI NS TO NH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C GS.TS Cung Th‚ Anh H Nºi - 2020 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cổng trnh nghiản cứu ca tổi dữợi sỹ hữợng dÔn cıa GS.TS Cung Th‚ Anh C¡c k‚t qu£ ÷ỉc ph¡t bi”u lu“n ¡n l ho n to n trung thỹc v chữa tng ữổc cổng b bĐt cø mºt cỉng tr…nh n o kh¡c Nghi¶n cøu sinh Bòi Huy B¡ch L˝IC MÌN Lu“n ¡n ÷ỉc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn nghiảm khc, tn t…nh, chu ¡o cıa GS.TS Cung Th‚ Anh T¡c gi£ xin b y tä lỈng k‰nh trång v bi‚t ìn sƠu sc tợi GS.TS Cung Th Anh, ngữới Thy  dÔn dt tĂc giÊ l m quen vợi nghiản cứu khoa håc tł nhœng ng y håc cao håc Ngo i nhng ch dÔn v mt khoa hồc, sỹ ng viản v lặng tin tững ca Thy d nh cho t¡c gi£ ln l ºng lüc lỵn gióp t¡c gi£ say mả nghiản cứu TĂc giÊ xin trƠn trồng gòi lới cÊm ỡn n Ban GiĂm hiằu, Phặng Sau ⁄i håc, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi, °c bi»t l PGS.TS Trƒn …nh K‚ v c¡c thƒy gi¡o, cæ gi¡o Bº mæn Gi£i t‰ch, Khoa To¡nTin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Ni  luổn giúp ù, ng viản, to mổi trữớng håc t“p v nghi¶n cøu thu“n lỉi cho t¡c gi£ TĂc giÊ xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn ‚n Sð Gi¡o döc v o t⁄o H Nºi, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng THPT Chóc ºng, c¡c thƒy cỉ v cĂc anh ch ỗng nghiằp cổng tĂc ti trữớng THPT Chúc ng  luổn to iu kiằn thun lổi, giúp ï v ºng vi¶n t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh hồc v nghiản cứu TĂc giÊ xin gòi n cĂc anh ch em NCS chuyản ng nh Phữỡng trnh vi phƠn v tch phƠn ca Khoa ToĂn-Tin, Trữớng i håc S÷ ph⁄m H Nºi, c¡c b⁄n b– gƒn xa, lới cÊm ỡn chƠn th nh v tĐt cÊ nhng giúp ù, ng viản m tĂc giÊ Â nhn ữổc suŁt thíi gian qua Líi c£m ìn sau còng, t¡c gi£ xin d nh cho gia …nh, nhœng ng÷íi luổn yảu thữỡng, chia sã, ng viản tĂc giÊ vữổt qua khâ kh«n ” ho n th nh lu“n ¡n Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Möc löc Mºt sŁ k‰ hi»u dòng lu“n ¡n M— U L‰ chån • t i Tng quan vĐn nghiản cứu Mửc ch, i tữổng v phm vi nghiản cứu 13 Phữỡng phĂp nghiản cứu 15 K‚t qu£ cıa lu“n ¡n 15 C§u tróc cıa lu“n ¡n 16 Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 17 1.1 Mºt sŁ -mỉ h…nh cì håc ch§t läng 17 1.2 To¡n tß nºi suy Ih 18 1.3 T“p hót to n cưc 20 1.4 C¡c khæng gian h m 22 1.5 C¡c to¡n tß 22 1.6 Mt s bĐt 26 Chữỡng B I TO N flng thức sỡ cĐp thữớng dũng NG HA D LI U RI R C ăI VI H LERAY- 2.1 °t b i to¡n 27 27 2.2 Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt 30 Ch÷ìng B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U RI R C ăI VI H NAVIER-STOKES- 41 3.1 °t b i to¡n 41 3.2 Sü tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt 44 Ch÷ìng B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U LI N TệC RểT GN ăI VI H BARDINA èN GI N H´A 4.1 °t b i to¡n 58 58 4.2 Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt trữớng hổp toĂn tò php o loi I 62 4.3 Sỹ tỗn t⁄i nh§t v sü hºi tư cıa nghi»m x§p x tợi nghiằm khÊo sĂt trữớng hổp toĂn tò ph†p o lo⁄i II 71 Ch÷ìng B I TO N ˙NG H´A D LI U RểT GN ăI VI H LERAY- C I BI N 87 5.1 B i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc rút gồn i vợi hằ LeraycÊi biản 87 5.1.1 °t b i to¡n 87 5.1.2 Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt 90 5.2 B i toĂn ỗng hõa d liằu rới rc rút gồn i vợi hằ Leray- cÊi biản 104 5.2.1 °t b i to¡n 104 5.2.2 Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm kh£o s¡t 105 K T LU N 118 K‚t qu£ ⁄t ÷ỉc 118 Kin ngh mt s vĐn nghiản cứu tip theo 118 DANH MÖC C˘NG TR NH KHOA H¯C .119 T I LI U THAM KH O 120 MáT Să K HI U TH×˝NG DỊNG TRONG LU N 3 = [0; L] l h…nh hºp R c¡c khæng gian h m dòng ” nghi¶n cøu h» Navier-Stokes H; V v cĂc -mổ hnh V khổng gian i ngÔu cıa khæng gian V ( ; ); j j t‰ch vổ hữợng v chu'n khổng gian H (( ; )); k k tch vổ hữợng v chu'n khổng gian V h ; iV 0;V i ngÔu gia V kk V v V chu'n khæng gian V cĂc toĂn tò dũng nghiản cứu hằ Navier-Stokes v c¡c A;B;B ~ -mỉ h…nh gi¡ trà ri¶ng thø m cıa to¡n tß Stokes A m D(A) D(A) xĂc nh ca toĂn tò A khổng gian i ngÔu ca khổng gian D(A) h ; iD(A)0;D(A) kk D(A) ! X N 0 i ngÔu gia D(A) v D(A) chu'n khỉng gian D(A) hºi tư m⁄nh Y S(t) bao âng cıa Y X nßa nhâm li¶n tưc sinh bði b i to¡n ⁄o h m riảng A hút to n cửc ca nòa nhõm S(t) Ih tham s giÂn toĂn tò ni suy M— U L‰ chån• t i Vi»c nghiản cứu nhng lợp phữỡng trnh tin hõa cỡ hồc chĐt lọng cõ ỵ nghắa quan trồng khoa håc v cỉng ngh» Ch‰nh v… v“y nâ ¢ v ang thu hút ữổc sỹ quan tƠm ca nhiu nh khoa hồc trản th giợi Sau nghiản cứu tnh °t óng cıa b i to¡n, vi»c nghi¶n cøu b i toĂn ỗng hõa d liằu (data assimilation), tức l dü o¡n d¡ng i»u cıa nghi»m t÷ìng lai tł nhng php o thu ữổc, rĐt quan trồng v nõ cho ph†p ta hi”u v dü o¡n xu th‚ ph¡t trin ca hằ tữỡng lai; iu n y c bi»t quan trång c¡c b i to¡n dü b¡o, chflng hn b i toĂn dỹ bĂo kh tữổng Ơy l mt hữợng nghiản cứu ữổc phĂt trin mnh m nhng nôm gn Ơy V mt toĂn hồc, ta cõ th phĂt biu b i toĂn ỗng hõa d liằu nhữ sau GiÊ sò mt quĂ trnh phức (chflng h⁄n dü b¡o kh‰ t÷ỉng) ÷ỉc mỉ t£ bði phữỡng trnh tin hõa (nõi chung rĐt phức tp) cõ d⁄ng dY dt = F (Y ); â Y l vectì bi”u di„n bi‚n tr⁄ng th¡i m ta muŁn dü b¡o Mưc ti¶u cıa chóng ta l t…m mºt "x§p x¿ tŁt cıa Y thíi gian ı lợn Ơy, khổng bit d kiằn ban u ca Y ti mt thới im trữợc thới im t ” t‰nh nghi»m cıa mæ h…nh dü b¡o tł thíi i”m t trð i, nhi¶n chóng ta bi‚t ph†p o (mºt phƒn) cıa Y kho£ng thíi gian [t0; t0 + T ] ho°c t⁄i mºt dÂy thới im ft ngn2N B i toĂn ỗng hõa dœ li»u l x¡c ành mºt x§p x¿ W (t) cıa Y (t) tł c¡c ph†p o ¢ bi‚t, cho W (t) dƒn tỵi Y (t) (theo mºt chu'n th‰ch hỉp) thíi gian t ti‚n tỵi vỉ còng Mt phữỡng phĂp c in ca ỗng hõa dœ li»u li¶n tưc, xem v‰ dư [18], l thay c¡c ph†p o quan s¡t ÷ỉc trüc ti‚p v o mt mổ hnh sau n y ữổc lĐy t ch ph¥n theo thíi gian Chflng h⁄n, ta câ th” thay cĂc quan sĂt ch thĐp Fourier v o phữỡng tr…nh cho sü ti‚n hâa cıa c¡c ch‚ º cao Khi â c¡c gi¡ trà cıa ch‚ º th§p v ch‚ º cao s‡ ÷ỉc k‚t hỉp ” t⁄o mºt x§p x¿ ƒy ı cho tr⁄ng th¡i cıa h» CĂch tip cn n y  ữổc thỹc hiằn cho h» NavierStokes hai chi•u [31, 46] v mºt sŁ h» kh¡c cì håc ch§t läng [2, 21, 22, 28, 40] V• m°t to¡n håc, c¡ch ti‚p c“n n y dỹa trản sỹ tỗn ti hút to n cửc hu hn chiu v tnh chĐt cĂc mode xĂc ành (determining modes) cıa h» Navier-Stokes [38], mºt t‰nh ch§t khĂ ph bin cho cĂc hằ tiảu hao mnh, câ nh÷ỉc i”m l khỉng ¡p dưng ÷ỉc c¡c d liằu thu ữổc dữợi dng rới rc theo khổng gian, v… ta khỉng th” l§y ⁄o h m theo bi‚n khỉng gian t⁄i c¡c i”m ríi r⁄c â Mºt c¡ch ti‚p c“n hi»u qu£ kh¡c ¡p döng cho c¡c hằ tin hõa tuyn tnh ữổc xuĐt bi J.P Puel [48] C¡ch ti‚p c“n n y düa tr¶n c¡c b§t flng thøc ki”u Carleman, tä r§t høa hàn v hiằu quÊ, trản cÊ phữỡng diằn l thuyt v t‰nh to¡n sŁ, nh÷ng câ h⁄n ch‚ l ch¿ ¡p dưng ÷ỉc cho c¡c b i to¡n tuy‚n t‰nh Nôm 2014, Titi v cng sỹ  xuĐt mt phữỡng phĂp mợi [5] khc phửc ữổc nhữổc im ca cĂc phữỡng phĂp nõi trản ị tững ca phữỡng phĂp n y l sò dửng mt s hng iu khin phÊn hỗi chứa d liằu quan sĂt ữổc ữa v o hằ ban u ữổc mt hằ mợi gồi l hằ phữỡng trnh ỗng hõa d liằu Sau â ta s‡ thi‚t l“p c¡c i•u ki»n ” £m bÊo hằ ỗng hõa d liằu n y cõ mt nghi»m to n cưc nh§t v nâ hºi tư v• nghi»m kh£o s¡t cıa h» gŁc ban ƒu Tuy nhiản, kt quÊ nghiản cứu bng phữỡng phĂp n y mợi ch cõ b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc cho cho hằ Navier-Stokes hai chiu [5] v mºt v i -mỉ h…nh ba chi•u [2, 1]; trữớng hổp rới rc th mợi ch cõ kt quÊ i vợi hằ Navier-Stokes hai chiu [27] Hằ Navier-Stokes õng vai trặ quan trồng cỡ hồc chĐt lọng Tuy 112 Z t 2( + tn )jAu~i(s)j + ( + c4 1=4 (1 + +c4 1=4 (1 + 2 + )ju~i(s)j )(ku~i(s)k + kui(s)k)jAu~(s)j )jAu(s)jku~i(s)k ds: Sß dưng bĐt flng thức Holder, ta cõ (vợi i = 1; 2) i ) Z tn d(~u + Z ’ (s)ds; (s) D(A)0 ds! i ds tn i c t (5.46) t Au~ â ’i(s) = (1 + + K‚t hæp c¡c 1 2 + 2 ) jAu~i(s)j + 1=2 (1 + 2 1=2 (1 + 2 (1 + 2 ) ju~i(s)j 2 ) (ku~i(s)k + kui(s)k )jAu~(s)j 2 ) jAu(s)j ku~i(s)k : ¡nh gi¡ tł (5.19) ‚n (5.27) v (5.29), (5.39), (5.46) v o (5.36) ta câ d dt u~ + k jj c( + u~ k c2 2 u~ + 22 1=2 62 + ) + kk j (kuk + jAuj Z tn )! (ju~H j Z + ku~H k ) (5.47) ’ (s)ds: X n=0 n 2 t ’ (s)ds + c X n=0 n j t Au~ tn Vợi iu kiằn (5.31) v (5.9), t (5.47) suy d dt ju~j +2 u~ + u~ + Au~ 2 kk k 2k j (ju~H j + ku~H k ) +c t Z ’ (s)ds + X n=0 n tn c2 j K‰ hi»u R = 2M0: (5.48) t Z X n=0 n ’ (s)ds: tn 113 V… u~ C([t0; 1); V ) v 2 ju~(t0)j + 2 ku~(t0)k ju(t0)j + 2 ku(t0)k + ju (t0)j + ku (t0)k 2M0 R; tỗn ti (t0; 1) cho ju~(t)j + ku~(t)k 2R; 8t [t0; ]: ành ngh¾a ( t [t0; ] j j 01 [t ; ) : sup ( u~(t) ~ t = sup + ku~(t)k ) 2R ) : (5.49) ~ ~ Gi£ sß r‹ng t < t1 Khi õ, lĐy tch phƠn (5.48) t t0 tợi t t, ta câ 2 ju~(t)j + ku~(t)k +2 Z (ju~H (s)j + t0 2 + c ’i(s) = 2 (1 +(1 + (ku~(s)k + jAu~(s)j2 )ds (5.50) ku~H (s)k )ds t c Z ’1(s)ds + t0 + ku~(t)k t0 2 (ju~(t0)j + ku~(t0)k ) t Z t V… ju~(t)j 2 2 t Z t0 ’2(s)ds: ~ 2R vỵi måi t [t0; t], ta suy r‹ng (vỵi i = 1; 2) 2 ) ( +51 1=2 2 2 + ) ( +1 M0)(ku~i(s)k + 2 1=2 2 jAu~i(s)j ) M1)(ju~i(s)j + 2 ku~i(s)k ): (5.51) 114 Do â, (5.50) trð th nh 2 ju~(t)j + ku~(t)k +2 2 c 2 2 ! (ju~(t0)j + ku~(t0)k ) 2 2 1 ( 1=2 + ) ( +5 M) Z t t0 2 (ku~(s)k + jAu~(s)j )ds c (1 Z t + 2 ) 2 1=2 + 2( 4M ! (5.52) ) (ju~H (s)j + 2ku~H (s)k2)ds: t0 Vợi iu kiằn (5.32) trản 2 ju~(t)j + , ta suy tł (5.52) r‹ng ku~(t)k 2 (ju~(t0)j + Zt + ku~(t0)k ) 2 (ku~(s)k + jAu~(s)j )ds 0; t0 hay nâi ri¶ng, ta câ Z t t0 (ku~(s)k + 2 jAu~(s)j )ds(ju~(t0)j + 2 ~ t0; t : (5.53) ku~(t 0)k ); 8t M°t kh¡c, v… t n=0 n Z tn t ’i(s)ds Z t0 X ’i(s)ds; 8t t ~ ;t ; 2 t0 ; t ~ : ta suy tł (5.48) r‹ng vỵi måi t d dt u~ + j j t c2 2 u~ kk +1 ( u~ jj + 2 u~ ) + ( u~H + kk j j (5.54) Z (’1(s) + ’2(s))ds: t0 Hìn nœa, sß dưng bĐt flng thức Poincar (1.17) v (vợi i = 1; 2) ’i(s) u~H ) k k (1 + 2 ) ( 2 +5 1=2 M0 + 1 (1.18), tł (5.51) ta suy + 3=2 M1) 115 2 (ku~i(s)k + jAu~i(s)j ): K‚t hỉp (5.53) vỵi (5.54) ta câ d ju~j2 + 2ku~k2 + (ju~j2 + u~ 2) + ( u~H dt 2 + c (1 2 k 1=2 )( (ju~(t0)j + 2 +51 k j1 M0+ 2 + ku~H k ) j + 2 3=2 3=2 M 1) ku~(t0)k ): Suy d dt 2ju~j +1 u~ ( u~ + +1 k 2k2 2 jj + )( c (1 2 (ju~(t0)j + u~ 2) 1=2 k 4k +51 + M 1) M0+ 2 ku~(t0)k ): ~ Do õ, sò dửng bĐt flng thức Gronwall [t0; t]; t < t, ta câ 2ku~(t)k 2 ku~(t )k (t t0) ju~(t)j (ju~(t0)j 2 (t t ) 2 + e 1(ju~(t0)j + ku~(t0)k ); + + (5.55) )e â c (1 2 + 2 ) ( +51 1=2 = M0 + 2 2 V… ju~(t0)j + ku~(t0)k ju~(t)j + ku~(t)k + 3=2 M1) : R n¶n (5.55) trð th nh Re (t t ) + 1e (t t) 1R: Sß dưng iu kiằn ca cho (5.32) vợi hng s c th‰ch hæp, ta câ 1=2 Suy ~ ju~(t)j + ku~(t)k R; 8t [t0; t]: 2 ~ ~ + Rv ~ Nâi ri¶ng, ju~(t)j ku~(t)k tł ành ngh¾a cıa t (5.49) ta suy ~ + 2ku~(t1)k R v câ th” ¡p dưng l⁄i t t1 Do â, ta cơng câ ju~(t1)j 116 ju~(t2)j + ~ t2 v ku~(t2)k R Tip tửc lp lun nhữ trản thu ữổc t ~ tn, vợi mồi n Hỡn nœa, ta thu ÷ỉc giŁng nh÷ ð (5.55) quy n⁄p, ta câ t r‹ng ju~(t)j + 2ku~(t)k (ju~(tn)j + ku~(tn)k )e + e (t t ) n (t tn) (5.56) 1(ju~(tn)j 2 + ku~(tn)k ); v vỵi måi n N vỵi måi t [tn; tn+1] Tł (5.56), ta câ ju~(tn+1)j + 2 ku~(tn+1)k (ju~(tn)j + 2 ku~(tn)k ); 8n 0; â =2 = e1 + 1e =2 < 1: Suy ju~(tn)j + 2 ku~(tn)k n (ju~(t0)j + 2 ku~(t0)k ); 8n 1: (5.57) K‚t hæp (5.56) v (5.57) ta suy ju~(t)j + ku~(t)k n (ju~(t0)j + 2 ku~(t0)k ); 8t [tn; tn+1]; 8n 1: B§t flng thøc cuŁi suy i•u ph£i chøng minh K T LU N CHìèNG Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cứu b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc v rới rc i vợi hằ Leray- cÊi biản ba chiu ch sò dửng php o trản hai th nh phƒn cıa vectì v“n tŁc C¡c k‚t qu£ ⁄t ÷ỉc: 1) Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt i vợi b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc rút gồn ( nh l 5.2); 2) Sỹ tỗn ti nhĐt v sỹ hi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt i vợi b i toĂn ỗng hõa dœ li»u ríi r⁄c rót gån ( ành l‰ 5.3) 117 C¡c k‚t qu£ ch÷ìng n y l nhng kt quÊ u tiản v b i toĂn ỗng hõa d liằu i vợi hằ Leray- cÊi biản, cÊ trữớng hổp php o l liản tửc v rới r⁄c theo bi‚n thíi gian °c bi»t, ¥y l lƒn u tiản b i toĂn ỗng hõa d liằu rới rc m ch sò dửng php o trản hai th nh phn ca vectỡ tc ữổc nghiản cứu Chúng tổi hy vồng rng cĂch tip cn xuĐt ch÷ìng n y câ th” ¡p dưng cho c¡c mỉ h…nh kh¡c cì håc ch§t läng 118 KTLUN K‚t qu£ ⁄t ÷ỉc Trong lu“n ¡n n y, chúng tổi nghiản cứu b i toĂn ỗng hõa d liằu rới rc v b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc i vợi mt s -mổ hnh cỡ hồc chĐt lọng CĂc kt quÊ chnh  t ữổc lun Ăn: Chứng minh ữổc sỹ tỗn ti nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v ¡nh gi¡ ti»m c“n theo thíi gian cıa hi»u giœa nghi»m x§p x¿ v nghiằm khÊo sĂt, i vợi b i toĂn ỗng hâa dœ li»u ríi r⁄c cho h» Leray- ba chi•u v hằ NavierStokes- ba chiu trữớng hổp php o cõ th cõ sai s Chứng minh ữổc sỹ tỗn t⁄i nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v sü hºi tử ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt, i vợi b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc vợi php o rút gồn cho hằ Bardina ba chiu cÊ hai trữớng hổp toĂn tò php o loi I v loi II Chứng minh ữổc sỹ tỗn ti nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v sü hºi tư ca nghiằm xĐp x tợi nghiằm khÊo sĂt, i vợi b i toĂn ỗng hõa d liằu liản tửc/rới rc vợi php o rút gồn cho hằ Leray- cÊi biản ba chiu Kin ngh mt s vĐn nghiản cứu tip theo Nghiản cứu b i toĂn ỗng hõa d liằu rới rc/liản tửc cho trữớng hổp toĂn tò ph†p o Ih lo⁄i II v câ th” chøa sai s php o Nghiản cứu viằc xĐp x s ca cĂc thut toĂn ỗng hõa d liằu cho cĂc -mỉ h…nh (xem k‚t qu£ cho h» Navier-Stokes hai chi•u [45]) 119 DANH MÖC C˘NG TR NH KHOA H¯C Cỉng tr…nh ¢ cỉng bŁ [CT1] C.T Anh and B.H Bach (2018), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Leray- model, Bull Pol Acad Sci Math 66, 143-156 [CT2] C.T Anh, B.H Bach and V.M Toi (2019), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Navier-Stokes- model, Ann Polon Math 122, 201-219 Cổng trnh ang gòi ông [CT3] C.T Anh and B.H Bach (2019), Continuous data assimilation for the three-dimensional simplified Bardina model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted [CT4] C.T Anh and B.H Bach (2019), Data assimilation for the threedimensional modified Leray- model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted 120 T i li»u tham kh£o [1] D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018), Continuous data assimilation algorithm for simplified Bardina model, Evol Equ Control Theory 7, 33-52 [2] D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes- model, Asymptot Anal 97, 139-164 [3] H Ali and P Kaplickỵ (2016), Existence and regularity of solutions to the Leray- model with Navier slip boundary conditions, Electron J Differential Equations, Paper No 235, 13 pp [4] C.T Anh and P.T Trang (2018), Decay characterization of solutions to the viscous Camassa-Holm equations, Nonlinearity 31, 621-650 [5] A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), Continuous data assimilation using general interpolant observables, J Nonlinear Sci 24, 277-304 [6] J Bardina, J.H Ferziger and W.C Reynolds (1980), Improved subgrid scale models for large eddy simulation, American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 80, 80-1357 [7] A Biswas, J Hudson, A Larios and Y Pei (2018), Continuous data assimilation for the 2D magnetohydrodynamic equations using one component of the velocity and magnetic fields, Asymptot Anal 108, 1-43 121 [8] A Biswas and V.R Martinez (2017), Higher-order synchronization for a data assimilation algorithm for the 2D Navier-Stokes equations, Nonlinear Anal Real World Appl 35, 132-157 [9] C Bjorland and M.E Schonbek (2008), On questions of decay and existence for the viscous Camassa-Holm equations, Ann Inst H Poincar† Anal Non Lin†aire 25, 907-936 [10] Y Cao, E.M Lusanin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence mod-els, Commun Math Sci 4, 823-848 [11] Y Cao and E.S Titi (2009), On the rate of convergence of the twodimensional -models of turbulence to the Navier-Stokes equations, Numer Funct Anal Optim 30, 1231-1271 [12] J Charney, M Halem, and R Jastrow (1969), Use of incomplete historical data to infer the present state of the atmosphere, J Atmos Sci 26, 1160-1163 [13] S Chen, C Foias, D.D Holm, E Olson, E.S Titi and S Wynne (1999), A connection between the Camassa-Holm equations and turbulent flows in channels and pipes, Phys Fluids 11, 2343-2353 [14] V.V Chepyzhov, E.S Titi and M.I Vishik (2007), On the convergence of solutions of the Leray- model to the trajectory attractor of the 3D Navier-Stokes system, Discrete Contin Dyn Syst 17, 481-500 [15] A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005), On a Leraymodel of turbulence, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 461, 629-649 [16] P Constantin and C Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lec-tures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago 122 [17] D Coutand, J Peirce and S Shkoller (2002), Global well-posedness of weak solutions for the Lagrangian averaged Navier-Stokes equations on bounded domains, Commun Pure Appl Anal 1, 35-50 [18] R Daley (1991), Atmospheric Data Analysis, Cambridge Atmospheric and Space Science Series, Cambridge University Press [19] G Deugou† (2017), On the convergence of the uniform attractor for the 2D Leray- model, Abstr Appl Anal., Art ID 1681857, 11 pp [20] C.R Doering and J.D Gibbon (1995), Applied Analysis of the NavierStokes Equations, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press [21] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2015), Continuous data assimilation for a 2D B†nard convection system through horizontal velocity measure-ments alone, Phys D 303, 59-66 [22] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Data assimilation algorithm for 3D B†nard convection in porous media employing only temperature measurements, J Math Anal Appl 438, 492-506 [23] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Abridged continuous data assimilation for the 2D Navier-Stokes equations utilizing measurements of only one component of the velocity field, J Math Fluid Mech 18, 123 [24] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019), A data assimilation algorithm: The paradigm of the 3D Leray- model of turbulence, Partial differential equations arising from physics and geometry, 253-273, London Math Soc Lecture Note Ser., 450, Cambridge Univ Press, Cambridge, 2019 123 [25] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence Advances in nonlinear mathematics and science, Phys D 152/153, 505-519 [26] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2002), The three-dimensional viscous Camassa-Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equations and turbulence theory, J Dynam Differential Equations 14, 1-35 [27] C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016), A discrete data assimilation scheme for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations and their statistics, SIAM J Appl Dyn Syst 15, 2109-2142 [28] M Gesho, E Olson and E.S Titi (2016), A computational study of a data assimilation algorithm for the two-dimensional Navier-Stokes equations, Commun Comput Phys 19, 1094-1110 [29] J.D Gibbon and D.D Holm (2008), Estimates for the LANS- , Lerayand Bardina models in terms of a Navier-Stokes Reynolds number, Indiana Univ Math J 57, 2761-2773 [30] M.A Hamed, Y Guo and E.S Titi (2015), Inertial manifolds for certain subgrid-scale -models of turbulence, SIAM J Appl Dyn Syst 14, 13081325 [31] K Hayden, E Olson and E.S Titi (2011), Discrete data assimilation in the Lorenz and 2D Navier-Stokes equations, Phys D 240, 1416-1425 [32] J Hoke and R Anthes (1976), The initialization of numerical models by a dynamic relaxation technique, Mon Weather Rev 104, 1551-1556 [33] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 124 [34] A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), A modified-Leray- subgrid scale model of turbulence, Nonlinearity 19, 879-897 [35] A.A Ilyin and E.S Titi (2003), Attractors for the two-dimensional NavierStokes- model: an -dependence study, J Dynam Differential Equations 15, 751-778 [36] M.S Jolly, V.R Martinez and E.S Titi (2017), A data assimilation algorithm for the subcritical surface quasi-geostrophic equation, Adv Nonlinear Stud 17, 167-192 [37] D.A Jones and E.S Titi (1992), Determining finite volume elements for the 2D Navier-Stokes equations, Phys D 60, 165-174 [38] D.A Jones and E.S Titi (1993), Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equa-tions, Indiana Univ Math J 42, 875-887 [39] B.-S Kim and B Nicolaenko (2006), Existence and continuity of exponential attractors of the three dimensional Navier-Stokes- equations for uniformly rotating geophysical fluids, Commun Math Sci 4, 399-452 [40] P Korn (2009), Data assimilation for the Navier-Stokes- equations, Phys D 238, 1957-1974 [41] A Kostianko (2018), Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-model with periodic boundary conditions, J Dynam Differential Equa-tions 30, 1-24 [42] W Layton and R Lewandowski (2006), On a well-posed turbulence model, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 6, 111-128 [43] P.A Markowich, E.S Titi and S Trabelsi (2016), Continuous data assim-ilation for the three-dimensional Brinkman-Forchheimer-extended Darcy model, Nonlinearity 29, 1292-1328 125 [44] J.E Marsden and S Shkoller (2001), Global well-posedness for the Lagrangian averaged Navier-Stokes (LANS- ) equations on bounded domains, R Soc Lond Philos Trans Ser A Math Phys Eng Sci 359, 1449-1468 [45] C.F Mondaini and E.S Titi (2018), Uniform-in-time error estimates for the postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algorithm, SIAM J Numer Anal 56 (2018), 78-110 [46] E Olson and E.S Titi (2003), Determining modes for continuous data assimilation in 2D turbulence, J Statist Phys 113, 799-840 [47] E Olson and E.S Titi (2007), Viscosity versus vorticity stretching: global wellposedness for a family of Navier-Stokes-alpha-like models, Nonlinear Anal 66, 2427-2458 [48] J.P Puel (2009), A nonstandard approach to a data assimilation problem and Tychonov regularization revisited, SIAM J Control Optim 48, 1089-1111 [49] H Qiu, Y Du and Z Yao (2017), Global Cauchy problem for a Leraymodel, Acta Math Appl Sin Engl Ser 33, 207-220 [50] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [51] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd ed., CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol 66, SIAM, Philadelphia [52] M.I Vishik, E.S Titi and V.V Chepyzhov (2007), On the convergence of trajectory attractors of the three-dimensional Navier-Stokes -model as ! 0, (Russian) Mat Sb 198, 3-36; translation in Sb Math 198 (2007), no 11-12, 1703-1736 126 [53] K Yamazaki (2012), On the global regularity of generalized Leray-alpha type models, Nonlinear Anal 75, 503-515 [54] Y Yu, K Li and A Huang (2007), Gevrey class regularity and exponential decay property for Navier-Stokes- equations, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 49-58 [55] Y Zhou and J Fan (2011), Global well-posedness of a Bardina model, Appl Math Lett 24, 605-607 ... n‚u ph†p o khỉng câ sai sŁ), Łi vỵi mºt sŁ -mỉ h…nh cì håc ch§t läng Ph⁄m vi nghiản cứu: Trong cĂc mổ hnh dữ i Ơy v = u u C¡c mỉ h… nh ÷ỉc x†t trản khoÊng [t0; 1), vợi iu kiằn biản tun ho n trản... 0: >r : Trong t§t c£ c¡c h» tr¶n, u = u(x; t) bi”u di„n cho v“n tŁc cıa dỈng ch£y, v = u u v > l mt tham s cho trữợc Ơy, p l mt h m vổ hữợng, biu th cho ¡p su§t v f l h m ngo⁄i lüc Trong nhng... vỵi trung b…nh b‹ng v vợi xĂc nh D(A) = (H ( )) V Trong trữớng hổp iu kiằn biản tun ho n, A = jD(A) ToĂn tò Stokes A l toĂn tò tuyn tnh dữ ng tỹ 23 liản hổp vợi nghch Êo compact Do õ tỗn ti