Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI _* BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐốI VỚI MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HỌC CHAT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nơi 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI _* BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỬ LIỆU ĐốI VỚI MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HỌC CHAT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nơi 2020 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Cung Thế Anh Hà Nôi 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn GS.TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Bùi Huy Bách LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo GS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Cung Thế Anh, người Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ ngày học cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, thầy cô anh chị đồng nghiệp công tác trường THPT Chúc Động tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi đến anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án a Mục lục 1.4 Chương BÀI TỐN ĐồNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐOI VỚI HỆ 5.2.1 5.2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới MỘT Số KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN ^ ^ = [0, L]3 hình hộp R3 H, V không gian hàm dùng để nghiên a-mơ hình V' cứu hệ Navier-Stokes khơng gian đối ngẫu khơng gian V (•, •), | • | tích vơ hướng chuẩn khơng gian H ((•, •)), II • II tích vơ hướng chuẩn khơng gian V (•, •)y, đối ngẫu V' V V II • IIV/ chuẩn khơng gian V' A,B,B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes a-mơ hình Am giá trị riêng thứ m tốn tử Stokes A D(A) miền xác định toán tử A D(A)' không gian đối ngẫu không gian D(A) (•, •)D(A)> D(A) đối ngẫu D(A)' D(A) Y I • || D (A)' chuẩn khơng gian D(A)' ^ hội tụ mạnh X bao đóng Y X S(t) nửa nhóm liên tục sinh tốn đạo hàm riêng A tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) tham số giãn Ih tốn tử nội suy ĩ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc nghiên cứu tốn đồng hóa liệu (data assimilation), tức dự đoán dáng điệu nghiệm tương lai từ phép đo thu được, quan trọng cho phép ta hiểu dự đốn xu phát triển hệ tương lai; điều đặc biệt quan trọng toán dự báo, chẳng hạn tốn dự báo khí tượng Đây hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ năm gần Về mặt tốn học, ta phát biểu tốn đồng hóa liệu sau Giả sử trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) mơ tả phương trình tiến hóa (nói chung phức tạp) có dạng f = F (Y )' Y vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêu tìm "xấp xỉ tốt” Y thời gian đủ lớn Ở đây, “dữ kiện ban đầu” Y thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm mơ hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, nhiên biết “phép đo” (một phần) Y khoảng thời gian [t0, t0 + T] dãy thời điểm {tn}neN Bài tốn đồng hóa liệu xác định xấp xỉ W(t) Y(t) từ “phép đo” biết, cho W(t) dần tới Y(t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vô Một phương pháp cổ điển đồng hóa liệu liên tục, xem ví dụ [18], thay phép đo quan sát trực tiếp vào mơ hình sau lấy tích phân theo thời gian Chẳng hạn, ta thay quan sát chế độ thấp Fourier vào phương trình cho tiến hóa chế độ cao Khi giá trị chế độ thấp chế độ cao kết hợp để tạo xấp xỉ đầy đủ cho trạng thái hệ Cách tiếp cận thực cho hệ Navier-Stokes hai chiều [31, 46] số hệ khác học chất lỏng [2, 21, 22, 28, 40] Về mặt toán học, cách tiếp cận dựa tồn tập hút toàn cục hữu hạn chiều tính chất mode xác định (determining modes) hệ Navier-Stokes [38], tính chất phổ biến cho hệ tiêu hao mạnh, có nhược điểm không áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo không gian, ta khơng thể lấy đạo hàm theo biến khơng gian điểm rời rạc Một cách tiếp cận hiệu khác áp dụng cho hệ tiến hóa tuyến tính đề xuất J.P Puel [48] Cách tiếp cận dựa bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ hứa hẹn hiệu quả, phương diện lí thuyết tính tốn số, có hạn chế áp dụng cho tốn tuyến tính Năm 2014, Titi cộng đề xuất phương pháp [5] khắc phục nhược điểm phương pháp nói Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi chứa liệu quan sát đưa vào hệ ban đầu để hệ gọi hệ phương trình đồng hóa liệu Sau ta thiết lập điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa liệu có nghiệm tồn cục hội tụ nghiệm khảo sát hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết nghiên cứu phương pháp có tốn đồng hóa liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều [5] vài a-mơ hình ba chiều [ 2, 1]; trường hợp rời rạc có kết hệ Navier-Stokes hai chiều [27] Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng học chất lỏng Tuy nhiên, trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) tính đặt tồn cục việc tính tốn số nghiệm hệ vấn đề mở lớn tỏ khó Một cách tiếp cận để vượt qua khó khăn sử dụng hệ chỉnh hóa hệ Navier-Stokes Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến thường sử dụng a-mơ hình học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-a [25], hệ Leray-a [15], hệ Leray-a cải biên [34] hệ Bardina đơn giản hóa [42], Về mặt hình thức, cho a = a-mơ hình ta thu lại hệ Navier-Stokes cổ điển Trong vài năm gần đây, có số kết tốn đồng hóa liệu liên tục cho a-mơ hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-a [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-a [24], Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có kết tốn đồng hóa liệu rời rạc a-mơ hình học chất lỏng Ngồi ra, tốn đồng hóa liệu liên tục mà sử dụng phép đo hai số ba thành phần vectơ vận tốc (mà ta gọi phép đo rút gọn) a-mơ hình kết quả; có kết gần [24] hệ Leray-a Từ phân tích ta thấy có số kết ban đầu kết tốn đồng hóa liệu a-mơ hình học chất lỏng, đặc biệt trường hợp đồng hóa liệu rời rạc sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc, vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học thực tiễn, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề "Bài tốn đồng hóa liệu số phương trình tiến hóa học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ Tổng quan vấn đề nghiên cứu Từ cuối năm 1960s, vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu liệu thời tiết gần liên tục theo thời gian Charney, Halem Jastrow [12] số phương trình khí dùng để xử lí liệu thu đánh giá trước trạng thái khí Phương pháp họ, gọi đồng hóa liệu liên tục, đưa liệu đo đạc thu thập cách trực tiếp vào mơ hình sau tích phân lại theo thời gian Một tổng hợp việc sử dụng đồng hóa liệu liên tục thực tế dự báo thời tiết nêu Daley [18] Bằng việc sử dụng cách tiếp cận cổ điển số mode xác định, Titi cộng nghiên cứu tốn đồng hóa liệu cho hệ Navier-Stokes hai chiều, hai trường hợp liệu thu thập liên tục theo thời gian [46] rời rạc theo thời gian [31] Phương pháp có ưu điểm đơn giản mặt khái niệm, có nhược điểm khơng áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo khơng gian, khơng thể lấy đạo hàm theo biến không gian điểm rời rạc Nhằm khắc phục nhược điểm trên, năm 2014 Titi cộng đề xuất phương pháp để nghiên cứu tốn đồng hóa liệu [5] Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi đưa vào phương trình để phương trình mới, gọi phương trình đồng hóa liệu Phương pháp gọi phương pháp nudging Newton hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) [32] 10 Nội dung phương pháp đồng hóa liệu [5] sau: Giả sử hệ phương trình có dạng £=F,(r) (1) (với điều kiện biên biết) điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 Bằng cách sử dụng thiết bị đo đạc, ta biết phần nghiệm khoảng thời gian [t0, T] (bài tốn đồng hóa liệu liên tục) thời điểm tn với n = 1, 2, , t i < tj , Vi < j tn ^ TO n ^ TO (bài tốn đồng hóa liệu rời rạc) Vì khơng biết xác điều kiện ban đầu nên ta khơng thể tính Y(t) Do đó, thay tính Y(t), ta tìm W(t), nghiệm phương trình gọi phương trình đồng hóa liệu, cho W(t) hội tụ Y (t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vơ Khi đó, W(t) gọi nghiệm xấp xỉ nghiệm Y(t) gọi nghiệm khảo sát Kí hiệu Ih (Y (t)) phần nghiệm mà ta đo đạc thời điểm t đây, tham số h đặc trưng cho độ phân giải không gian phép đo Toán tử quan sát I h, với điều kiện thích hợp, tốn tử tổng qt, chứa trường hợp mode xác định (determining modes), nút xác định (determining nodes) phần tử thể tích xác định (determining finite volume) (xem [2]) Đối với tốn đồng hóa liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) nghiệm thu [to , T], ta xét hệ phương trình đồng hóa liệu dW = F(W ) - / (Ih (W) - Ih(Y )) (2) với điều kiện ban đầu W(t0) = W0 ta dự đoán trước (lấy tùy ý) đây, số dương / gọi tham số giãn Ta tìm điều kiện đủ tham số / h (h đủ nhỏ, / đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm tồn cục W(t) W(t) hội tụ tới Y(t) thời gian t tiến tới vô Theo quan điểm vật lí, độ phân giải khơng gian h phép đo thường khó tốn để thay đổi, tham số giãn / tham số toán học dễ dàng thay đổi, ta tập trung vào việc tìm điều kiện h để tồn giá trị / đảm bảo cho thành cơng thuật tốn Sau khoảng thời gian T > đủ lớn, nghiệm W(T) sử dụng làm điều kiện ban đầu hệ ( 1) để đưa dự đoán tương lai nghiệm tham chiếu Y(t) t > T ta tiếp tục với hệ đồng hóa liệu ( 2), liệu đo tiếp tục cung cấp Vì u G C([t0, TO ); V) IU(to)I2 + a2|| U(to)||2 < Iu(to)I2 + a2||u(to)||2 + Iuĩ(to)I2 + a2||uĩ(to)||2 < M < R , TO ) tồn T G (t0, cho 10 IU(t)I2 + a2|| u(t)||2 < 2R, Vt G [t0,t] 11 Định nghĩa 12 t = sup (5.49) 13 14 V i(s)rfs + V2(s)rfs 15 Ao Va2 Ao 16 Vì IU(t)I2 + a ||u(t)||2 < 2R với t G [t0, ĩ], ta suy (với i = 1, 2) 17 Vi (s) = a-2 (A-1 + a2 )2(V2 + 5A-1/2 a-2Mo )(|| Ui (s)||2 + a21 AUi(s) I2 ) 18 + (A-1 + a2)2 (ß2 + A-1/2a4 M- ) (IUi(s)I + a2 || Ui (s)|| ) (5.51) 19 Do đó, (5.5C) trở thành 20 | u(t)|2 a2yu(t)y2 u(t )|2 a2yu(t V + - (| 0)y2) + < V V I (|UH(s)| + a2yUH(s )y2)ds V o V Với điều kiện (5.32) K, ta suy từ (5.52) V | u(t)|2 + a2 yu(t) y2-(| u(to )|2 + Va2 a2yu(to ) y2 ) V ))l2 + a2yu(to )y2 ) — I (yu(s)y2 + a 2| ÁU(s)| )ds < 0, V o V hay nói riêng, ta có V Ị ( y u(s) y2 + a2| ÁU(s)|2)ds < ( |U(to )|2 + a2 yU(to ) y2 ), Vt G [to,0] (5.53) o V V Mặt khác, V V5 ^X n / ^i( s) ds