Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Luận án Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng tập trung nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của một số phương trình đạo hàm riêng tiến hóa xuất hiện trong cơ học chất lỏng.

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θ∈[−τ,0] Ó E|u(t) − u∗ |2g ≤ sup E|u(θ) − u∗ |2g e−λt θ∈[−τ,0] + λ − η1 2ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 η − 2c1 1/2 η1 u∗ g − 2LF + L2G η1 t × õØ e−λ(t−s) E sup |u(s + θ) − u∗ |2g ds, ∀t ≥ Ý E|u(t) − u∗ |2g ≤ sup E|u(θ) − u∗ |2g e−λt , t ∈ [, 0] [,0] è ẵ àá ắẳàá ụỉ ẵ [,0] ễ |g| 1/2 m0 η − 2c1 1/2 η1 u∗ g − 2LF + L2G > 0, ú ẵ ỉ E|u(t) − u∗ |2g ≤M0 e−α0 t , t ≥ 0, ắẳà ỉệểề (0, ) sup E|u(θ) − u∗ |2g (λ − α0 ) C0 = max θ∈[−τ,0] λ − η1 2ν(1 − |∇g|∞ 1/2 m0 η sup E|u(θ) − u∗ |2g )− 2c1 1/2 η1 2LF + L2G u∗ g − η1 −1 eα0 τ , > θ∈[−τ,0] Ò Ðù Ò ẹề ì ỉ ụỉ ề éự ắ ỉ ẹ ề ỉể ề ắà ỉ ỉ Ị ÷Đ Ị Ý u∗ Ø Ĩ Ị ÷Đ Ý Ø ø u(t) Ø Đ Ù Ịº Ì Ð ¸ Ø Ị Ø Đ Ø × Ø γ > × Ĩ Ĩ Ị Ðù º¿º log |u(t) − u∗ |2g ≤ −γ, t→+∞ t º º º lim Ò ĐỊ º × n ≥ Ð Đ Ø × Ø Ị òỊº Ø Ị Ø |u(t) − u∗ |2g = |u(nt0 ) − u∗ |2g t −2 −2 nt0 t nt0 t +2 nt0 t + nt0 t +2 nt0 ÁØĨ¸ Ú Ú t νAg u(s), u(s) − u ∗ g ds −2 (νCg u(s), u(s) − u∗ )g ds + nt0 t nt0 Bg (u(s)), u(s) − u∗ g ds f, u(s) − u∗ g ds (F (u(s − ρ(s))), u(s) − u∗ )g ds G(u(s − ρ(s))) L02 ds (u(s) − u∗ , G(u(s − ρ(s)))dW (s))g , Ý |u(t) − u∗ |2g = |u(nt0 ) − u∗ |2g t −2 t ≥ nτ ¸ nt0 νAg (u(s) − u∗ ), u(s) − u∗ g ds t − nt0 t −2 Bg (u(s)) − Bg (u∗ ), u(s) − u∗ g ds nt0 t +2 nt0 t + nt0 t +2 nt0 À ÒÒ ¸Ø Ĩ ó ½º ´ (νCg (u(s) − u∗ ), u(s) − u∗ )g ds (F (u(s − ρ(s))) − F (u∗ ), u(s) − u∗ )g ds G(u(s − ρ(s))) L02 ds (u(s) − u∗ , G(u(s − (s)))dW (s))g ú ệ ểé ệạ ắẵà ìạ ề íàá ỉ t 2E sup nt0 t(n+1)t0 (n+1)t0 ≤ n1 E nt0 ≤ n1 E ≤ nt0 1/2 |u(s) − u∗ |2g G(u(s − ρ(s))) |u(s) − u∗ |2g sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 E (u(s) − u∗ , G(u(s − ρ(s))))g dW (s) sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 E G(u(s − ρ(s))) nt0 n1 , n2 Ð ØƯĨỊ Ì Ĩ G(u(s − ρ(s))) nt0 L02 ds Ị ì ắắà L02 ds, ề ề éự ắá ỉ (n+1)t0 nt0 ể 1/2 (n+1)t0 |u(s) u |2g (n+1)t0 + n2 L02 ds E|u(s − ρ(s)) − u∗ |2g ds ≤ C1 eα0 τ e−α0 nt0 ắà ỉ ẵẳà ắẵàạ ắà ỉ ìí ệ E sup nt0 s(n+1)t0 |u(s) u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g + − 2ν − |∇g|∞ 1/2 m0 η + 2c1 1/2 η1 u∗ g + LF η1 (n+1)t0 nt0 E u(s) − u∗ g ds (n+1)t0 + LF + (1 + n2 )L2G + E sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 nt0 E|u(s − ρ(s)) − u∗ |2g ds |u(s) − u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g − η1 2ν − |∇g|∞ − 1/2 m0 η 2c1 1/2 η1 u∗ g − (n+1)t0 LF η1 nt0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 + E E|u(s) − u∗ |2g ds sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 |u(s) − u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 + E sup nt0 s(n+1)t0 ẻứ íá ỉ ỉ |u(s) − u∗ |2g sup E nt0 ≤s≤(n+1)t0 |u(s) − u∗ |2g ≤ 2E|u(nt0 ) − u∗ |2g + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 ≤ 2C0 e−α0 nt0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 = M e−α0 nt0 , ØƯĨỊ M = C0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ > Ú α0 Ĩ ØƯĨỊ Ị Ðù º¾º Ơ Ị Ø Ị Ø P ω: sup nt0 ≤t≤(n+1)t0 ØƯĨỊ M é ẹ ỉ ú ẵ ỉ ề ỉ ề ì ì ề íũề sup nt0 t(n+1)t0 í Ø |u(t) − u∗ |g > e− Ò ´ (α0 −ǫ)nt0 Ð ƠÚ Ị n0 = n0 (ω) Ø |u(t) − u∗ |g ≤ e− ≤ M ′ e− ǫnt0 , n, t, t0 ) Ú ǫ ∈ (0, α0 )º Ì Đ Ị (α0 −ǫ)nt0 , º º º, Ú n ≥ n0 º Đ Ì ×ÙÝ Ư α0 log |u(t) − u∗ |2g ≤ − , t→+∞ t º º º lim Ị Ðù Ị ĐỊ ặ ề ĩ ỉ ẵ ỉệ ề ụỉ ÕÙ ØƯĨỊ Ơ ØĨ Ị Ø F Ü Ị Ø Ú Ị Ü Ðù Ị Ơ ú Ø Ù Ø ỉ ề ỉệũề ữ ễ ề F : Vg → Vg′ Ø Ơ Ø Ị ÕÙ Ø ƠỊ Ý Ị ρ(·) û Ị Ĩ Đ Ư Ị ể ề é ũề ỉ ễì ỉị ỉ Hg Ú Ĩ Vg′ º ÌÙÝ Ị òỊ¸ ØƯ Ị Ơ Ị Ị 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