Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng.Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng.Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng.Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng.Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TOÁN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn GS.TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Bùi Huy Bách LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo GS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Cung Thế Anh, người Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ ngày học cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, thầy cô anh chị đồng nghiệp công tác trường THPT Chúc Động tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi đến anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 13 Phương pháp nghiên cứu 15 Kết luận án 15 Cấu trúc luận án 16 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 Một số α-mô hình học chất lỏng 17 1.2 Toán tử nội suy Ih 18 1.3 Tập hút toàn cục 20 1.4 Các không gian hàm 22 1.5 Các toán tử 22 1.6 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng 26 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α 27 2.1 Đặt toán 27 2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 30 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES-α 41 3.1 Đặt toán 41 3.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 44 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA 58 4.1 Đặt toán 58 4.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại I 62 4.3 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trường hợp toán tử phép đo loại II 71 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α CẢI BIÊN 87 5.1 Bài tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn hệ Leray-α cải biên 87 5.1.1 Đặt toán 87 5.1.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 90 5.2 Bài tốn đồng hóa liệu rời rạc rút gọn hệ Leray-α cải biên 104 5.2.1 Đặt toán 104 5.2.2 Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát 105 KẾT LUẬN 118 Kết đạt 118 Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu 118 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ω Ω = [0, L]3 hình hộp R3 H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes α-mơ hình V khơng gian đối ngẫu khơng gian V (·, ·), | · | tích vô hướng chuẩn không gian H ((·, ·)), · tích vơ hướng chuẩn khơng gian V ·, · · V ,V đối ngẫu V V V chuẩn không gian V ˜ A, B, B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes α-mơ hình λm giá trị riêng thứ m toán tử Stokes A D(A) miền xác định tốn tử A D(A) khơng gian đối ngẫu khơng gian D(A) ·, · · D(A) ,D(A) đối ngẫu D(A) D(A) D(A) chuẩn không gian D(A) → Y X hội tụ mạnh bao đóng Y X S(t) nửa nhóm liên tục sinh tốn đạo hàm riêng A tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) µ tham số giãn Ih tốn tử nội suy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc nghiên cứu tốn đồng hóa liệu (data assimilation), tức dự đoán dáng điệu nghiệm tương lai từ phép đo thu được, quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ tương lai; điều đặc biệt quan trọng toán dự báo, chẳng hạn tốn dự báo khí tượng Đây hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ năm gần Về mặt tốn học, ta phát biểu tốn đồng hóa liệu sau Giả sử q trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) mơ tả phương trình tiến hóa (nói chung phức tạp) có dạng dY = F (Y ), dt Y vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêu tìm "xấp xỉ tốt” Y thời gian đủ lớn Ở đây, “dữ kiện ban đầu” Y thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm mơ hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, nhiên biết “phép đo” (một phần) Y khoảng thời gian [t0 , t0 + T ] dãy thời điểm {tn }n∈N Bài tốn đồng hóa liệu xác định xấp xỉ W (t) Y (t) từ “phép đo” biết, cho W (t) dần tới Y (t) (theo chuẩn thích hợp) thời gian t tiến tới vô Một phương pháp cổ điển đồng hóa liệu liên tục, xem ví dụ [18], thay phép đo quan sát trực tiếp vào mơ hình sau lấy tích phân theo thời gian Chẳng hạn, ta thay quan sát chế độ thấp Fourier vào phương trình cho tiến hóa chế độ cao Khi giá trị chế độ thấp chế độ cao kết hợp để tạo xấp xỉ đầy đủ cho trạng thái hệ Cách tiếp cận thực cho hệ Navier-Stokes hai chiều [31, 46] số hệ khác học chất lỏng [2, 21, 22, 28, 40] Về mặt toán học, cách tiếp cận dựa tồn tập hút toàn cục hữu hạn chiều tính chất mode xác định (determining modes) hệ Navier-Stokes [38], tính chất phổ biến cho hệ tiêu hao mạnh, có nhược điểm không áp dụng liệu thu dạng rời rạc theo khơng gian, ta khơng thể lấy đạo hàm theo biến không gian điểm rời rạc Một cách tiếp cận hiệu khác áp dụng cho hệ tiến hóa tuyến tính đề xuất J.P Puel [48] Cách tiếp cận dựa bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ hứa hẹn hiệu quả, phương diện lí thuyết tính tốn số, có hạn chế áp dụng cho tốn tuyến tính Năm 2014, Titi cộng đề xuất phương pháp [5] khắc phục nhược điểm phương pháp nói Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi chứa liệu quan sát đưa vào hệ ban đầu để hệ gọi hệ phương trình đồng hóa liệu Sau ta thiết lập điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa liệu có nghiệm tồn cục hội tụ nghiệm khảo sát hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết nghiên cứu phương pháp có tốn đồng hóa liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều [5] vài α-mơ hình ba chiều [2, 1]; trường hợp rời rạc có kết hệ Navier-Stokes hai chiều [27] Hệ Navier-Stokes đóng vai trị quan trọng học chất lỏng Tuy 112 t 2 ν(λ−1 ui (s)| + µ(λ−1 ui (s)| + α )|A˜ + α )|˜ ≤2 tn −1/4 + c4 λ1 −1/4 +c4 λ1 (λ−1 ˜i (s) + ui (s) )|A˜ u(s)| + α )( u (λ−1 ˜i (s) + α )|Au(s)| u ds Sử dng bt ng thc Hăolder, ta cú (vi i = 1, 2) t tn d(˜ ui + α2 A˜ ui ) (s) ds t ≤cκ ds (5.46) ϕi (s)ds, tn D(A) 2 2 ϕi (s) = ν (λ−1 ui (s)|2 + µ2 (λ−1 ui (s)|2 + α ) |A˜ + α ) |˜ −1/2 2 (λ−1 ˜i (s) +α ) ( u −1/2 2 (λ−1 ˜i (s) + α ) |Au(s)| u + λ1 + λ1 + ui (s) )|A˜ u(s)|2 Kết hợp đánh giá từ (5.19) đến (5.27) (5.29), (5.39), (5.46) vào (5.36) ta có d ν |˜ u|2 + α2 u ˜ + u ˜ dt 2 c(λ−1 +α ) ≤ − 2µ − ( u 1/2 νλ1 α6 ∞ cµ2 κ + χn να2 n=0 + α2 |A˜ u|2 + α2 |Au|2 ) (|˜ uH |2 + α2 u ˜H ∞ t cµ2 κ ϕ1 (s)ds + χn να2 n=0 tn ) (5.47) t ϕ2 (s)ds tn Với điều kiện (5.31) (5.9), từ (5.47) suy d |˜ u|2 + α2 u ˜ dt + ≤ − µ(|˜ uH |2 + α2 u ˜H ∞ + cµ2 κ χn να2 n=0 ν 2 u ˜ ) (5.48) ∞ t ϕ1 (s)ds + tn + α2 |A˜ u|2 cµ2 κ χn να2 n=0 Kí hiệu R = 2M0 t ϕ2 (s)ds tn 113 Vì u ˜ ∈ C([t0 , ∞); V ) |˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ≤ |u(t0 )|2 + α2 u(t0 ) + |u∗ (t0 )|2 + α2 u∗ (t0 ) ≤ 2M0 ≤ R, tồn τ ∈ (t0 , ∞) cho |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ≤ 2R, ∀t ∈ [t0 , τ ] Định nghĩa sup (|˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ) ≤ 2R t˜ = sup τ ∈ [t0 , ∞) : (5.49) t∈[t0 ,τ ] Giả sử t˜ < t1 Khi đó, lấy tích phân (5.48) từ t0 tới t ≤ t˜, ta có |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ν + ≤ −µ ( u ˜(s) + α2 |A˜ u(s)|2 )ds t0 t (5.50) (|˜ uH (s)|2 + α2 u ˜H (s) )ds cµ κ + να2 − (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ) t t0 2 Vì |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) t t0 cµ2 κ2 ϕ1 (s)ds + να2 t ϕ2 (s)ds t0 ≤ 2R với t ∈ [t0 , t˜], ta suy (với i = 1, 2) −1/2 −2 2 ϕi (s) = α−2 (λ−1 + α ) (ν + 5λ1 α −1/2 −4 2 + (λ−1 + α ) (µ + λ1 α M0 )( u ˜i (s) + α2 |A˜ ui (s)|2 ) M1 )(|˜ ui (s)|2 + α2 u ˜i (s) ) (5.51) 114 Do đó, (5.50) trở thành |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ν + 2 − (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ) −1/2 −2 2 cµ2 κ2 (λ−1 + α ) (ν + 5λ1 1− ν α4 α M0 ) × t ( u ˜(s) + α2 |A˜ u(s)|2 )ds (5.52) t0 −1/2 −4 2 cµ2 κ2 (λ−1 + α ) (µ + λ1 µ− να2 ≤ − α M1 ) × t (|˜ uH (s)|2 + α2 u ˜H (s) )ds t0 Với điều kiện (5.32) κ, ta suy từ (5.52) |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) −(|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ) ν + t ( u ˜(s) + α2 |A˜ u(s)|2 )ds ≤ 0, t0 hay nói riêng, ta có t ( u ˜(s) + α2 |A˜ u(s)|2 )ds ≤ t0 (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ), ∀t ∈ t0 , t˜ (5.53) ν Mặt khác, ∞ t ϕi (s)ds, ∀t ∈ t0 , t˜ , ϕi (s)ds ≤ χn n=0 t tn t0 ta suy từ (5.48) với t ∈ t0 , t˜ : νλ1 d |˜ u|2 + α2 u ˜ + (|˜ u|2 + α2 u ˜ ) + µ(|˜ uH |2 + α2 u ˜H dt cµ2 κ t ≤ (ϕ1 (s) + ϕ2 (s))ds να2 t0 ) (5.54) Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức Poincaré (1.17) (1.18), từ (5.51) ta suy (với i = 1, 2) −1/2 −4 2 −2 ϕi (s) ≤ (λ−1 ν + 5λ1 + α ) (α α −3/2 −4 M0 + λ−1 µ + λ1 α M1 )× 115 ( u ˜i (s) + α2 |A˜ ui (s)|2 ) Kết hợp (5.53) với (5.54) ta có νλ1 d |˜ u|2 + α2 u ˜ + (|˜ u|2 + α2 u ˜ ) + µ(|˜ uH |2 + α2 u ˜H ) dt −1/2 −3/2 −4 −1 2 −2 2 cµ κ(λ1 + α ) (α ν + 5λ1 α−4 M0 + λ−1 α M1 ) + ì 2 (| u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ) Suy d νλ1 |˜ u|2 + α2 u ˜ + (|˜ u|2 + α2 u ˜ 2) dt −1/2 −3/2 −4 2 −2 2 cµ2 κ(λ−1 ν + 5λ1 α−4 M0 + λ−1 α M1 ) + α ) (α µ + λ1 ≤ × ν α2 (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ) Do đó, sử dụng bất đẳng thức Gronwall [t0 , t], t < t˜, ta có |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ≤ (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) )e− + − e− νλ1 νλ1 (t−t0 ) (5.55) (t−t0 ) γ1 (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ), −1/2 −3/2 −4 2 −2 2 cµ2 κ(λ−1 ν + 5λ1 α−4 M0 + λ−1 + α ) (α µ + λ1 γ1 = ν α2 λ1 Vì |˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) α M1 ) ≤ R nên (5.55) trở thành |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ≤ Re− νλ1 (t−t0 ) + − e− νλ1 (t−t0 ) γ1 R Sử dụng điều kiện κ cho (5.32) với số c thích hợp, ta có γ1 ≤ 1/2 Suy |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) Nói riêng, |˜ u(t˜)|2 + α2 u ˜(t˜) 2 ≤ R, ∀t ∈ [t0 , t˜] ≤ R từ định nghĩa t˜ (5.49) ta suy t˜ ≥ t1 Do đó, ta có |˜ u(t1 )|2 + α2 u ˜(t1 ) ≤ R áp dụng lại 116 lập luận để thu t˜ ≥ t2 |˜ u(t2 )|2 + α2 u ˜(t2 ) ≤ R Tiếp tục quy nạp, ta có t˜ ≥ tn , với n ≥ Hơn nữa, ta thu giống (5.55) |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ≤ (|˜ u(tn )|2 + α2 u ˜(tn ) )e− + 1−e − νλ1 νλ1 (t−tn ) (5.56) (t−tn ) 2 γ1 (|˜ u(tn )| + α u ˜(tn ) ), với t ∈ [tn , tn+1 ] với n ∈ N Từ (5.56), ta có |˜ u(tn+1 )|2 + α2 u ˜(tn+1 ) ≤ θ(|˜ u(tn )|2 + α2 u ˜(tn ) ), ∀n ≥ 0, θ = e−νλ1 κ/2 + γ1 − e−νλ1 κ/2 < Suy |˜ u(tn )|2 + α2 u ˜(tn ) ≤ θn (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ), ∀n ≥ (5.57) Kết hợp (5.56) (5.57) ta suy |˜ u(t)|2 + α2 u ˜(t) ≤ θn (|˜ u(t0 )|2 + α2 u ˜(t0 ) ), ∀t ∈ [tn , tn+1 ], ∀n ≥ Bất đẳng thức cuối suy điều phải chứng minh KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn đồng hóa liệu liên tục rời rạc hệ Leray-α cải biên ba chiều sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc Các kết đạt được: 1) Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát tốn đồng hóa liệu liên tục rút gọn (Định lí 5.2); 2) Sự tồn hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát tốn đồng hóa liệu rời rạc rút gọn (Định lí 5.3) 117 Các kết chương kết tốn đồng hóa liệu hệ Leray-α cải biên, trường hợp phép đo liên tục rời rạc theo biến thời gian Đặc biệt, lần toán đồng hóa liệu rời rạc mà sử dụng phép đo hai thành phần vectơ vận tốc nghiên cứu Chúng hy vọng cách tiếp cận đề xuất chương áp dụng cho mơ hình khác học chất lỏng 118 KẾT LUẬN Kết đạt Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tốn đồng hóa liệu rời rạc tốn đồng hóa liệu liên tục số α-mơ hình học chất lỏng Các kết đạt luận án: • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ đánh giá tiệm cận theo thời gian hiệu nghiệm xấp xỉ nghiệm khảo sát, toán đồng hóa liệu rời rạc cho hệ Leray-α ba chiều hệ Navier-Stokes-α ba chiều trường hợp phép đo có sai số • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát, tốn đồng hóa liệu liên tục với phép đo rút gọn cho hệ Bardina ba chiều hai trường hợp toán tử phép đo loại I loại II • Chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát, tốn đồng hóa liệu liên tục/rời rạc với phép đo rút gọn cho hệ Leray-α cải biên ba chiều Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu • Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu rời rạc/liên tục cho trường hợp toán tử phép đo Ih loại II chứa sai số phép đo • Nghiên cứu việc xấp xỉ số thuật tốn đồng hóa liệu cho α-mơ hình (xem kết cho hệ Navier-Stokes hai chiều [45]) 119 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Cơng trình cơng bố [CT1] C.T Anh and B.H Bach (2018), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Leray-α model, Bull Pol Acad Sci Math 66, 143-156 [CT2] C.T Anh, B.H Bach and V.M Toi (2019), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Ann Polon Math 122, 201-219 Cơng trình gửi đăng [CT3] C.T Anh and B.H Bach (2019), Continuous data assimilation for the three-dimensional simplified Bardina model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted [CT4] C.T Anh and B.H Bach (2019), Data assimilation for the three-dimensional modified Leray-α model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted 120 Tài liệu tham khảo [1] D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018), Continuous data assimilation algorithm for simplified Bardina model, Evol Equ Control Theory 7, 3352 [2] D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Asymptot Anal 97, 139-164 [3] H Ali and P Kaplický (2016), Existence and regularity of solutions to the Leray-α model with Navier slip boundary conditions, Electron J Differential Equations, Paper No 235, 13 pp [4] C.T Anh and P.T Trang (2018), Decay characterization of solutions to the viscous Camassa-Holm equations, Nonlinearity 31, 621-650 [5] A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), Continuous data assimilation using general interpolant observables, J Nonlinear Sci 24, 277-304 [6] J Bardina, J.H Ferziger and W.C Reynolds (1980), Improved subgrid scale models for large eddy simulation, American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 80, 80-1357 [7] A Biswas, J Hudson, A Larios and Y Pei (2018), Continuous data assimilation for the 2D magnetohydrodynamic equations using one component of the velocity and magnetic fields, Asymptot Anal 108, 1-43 121 [8] A Biswas and V.R Martinez (2017), Higher-order synchronization for a data assimilation algorithm for the 2D Navier-Stokes equations, Nonlinear Anal Real World Appl 35, 132-157 [9] C Bjorland and M.E Schonbek (2008), On questions of decay and existence for the viscous Camassa-Holm equations, Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 25, 907-936 [10] Y Cao, E.M Lusanin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models, Commun Math Sci 4, 823-848 [11] Y Cao and E.S Titi (2009), On the rate of convergence of the twodimensional α-models of turbulence to the Navier-Stokes equations, Numer Funct Anal Optim 30, 1231-1271 [12] J Charney, M Halem, and R Jastrow (1969), Use of incomplete historical data to infer the present state of the atmosphere, J Atmos Sci 26, 11601163 [13] S Chen, C Foias, D.D Holm, E Olson, E.S Titi and S Wynne (1999), A connection between the Camassa-Holm equations and turbulent flows in channels and pipes, Phys Fluids 11, 2343-2353 [14] V.V Chepyzhov, E.S Titi and M.I Vishik (2007), On the convergence of solutions of the Leray-α model to the trajectory attractor of the 3D Navier-Stokes system, Discrete Contin Dyn Syst 17, 481-500 [15] A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005), On a Leray-α model of turbulence, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 461, 629-649 [16] P Constantin and C Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago 122 [17] D Coutand, J Peirce and S Shkoller (2002), Global well-posedness of weak solutions for the Lagrangian averaged Navier-Stokes equations on bounded domains, Commun Pure Appl Anal 1, 35-50 [18] R Daley (1991), Atmospheric Data Analysis, Cambridge Atmospheric and Space Science Series, Cambridge University Press [19] G Deugoué (2017), On the convergence of the uniform attractor for the 2D Leray-α model, Abstr Appl Anal., Art ID 1681857, 11 pp [20] C.R Doering and J.D Gibbon (1995), Applied Analysis of the NavierStokes Equations, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press [21] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2015), Continuous data assimilation for a 2D Bénard convection system through horizontal velocity measurements alone, Phys D 303, 59-66 [22] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Data assimilation algorithm for 3D Bénard convection in porous media employing only temperature measurements, J Math Anal Appl 438, 492-506 [23] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Abridged continuous data assimilation for the 2D Navier-Stokes equations utilizing measurements of only one component of the velocity field, J Math Fluid Mech 18, 1-23 [24] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019), A data assimilation algorithm: The paradigm of the 3D Leray-α model of turbulence, Partial differential equations arising from physics and geometry, 253-273, London Math Soc Lecture Note Ser., 450, Cambridge Univ Press, Cambridge, 2019 123 [25] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence Advances in nonlinear mathematics and science, Phys D 152/153, 505-519 [26] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2002), The three-dimensional viscous Camassa-Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equations and turbulence theory, J Dynam Differential Equations 14, 1-35 [27] C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016), A discrete data assimilation scheme for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations and their statistics, SIAM J Appl Dyn Syst 15, 2109-2142 [28] M Gesho, E Olson and E.S Titi (2016), A computational study of a data assimilation algorithm for the two-dimensional Navier-Stokes equations, Commun Comput Phys 19, 1094-1110 [29] J.D Gibbon and D.D Holm (2008), Estimates for the LANS-α, Leray-α and Bardina models in terms of a Navier-Stokes Reynolds number, Indiana Univ Math J 57, 2761-2773 [30] M.A Hamed, Y Guo and E.S Titi (2015), Inertial manifolds for certain subgrid-scale α-models of turbulence, SIAM J Appl Dyn Syst 14, 13081325 [31] K Hayden, E Olson and E.S Titi (2011), Discrete data assimilation in the Lorenz and 2D Navier-Stokes equations, Phys D 240, 1416-1425 [32] J Hoke and R Anthes (1976), The initialization of numerical models by a dynamic relaxation technique, Mon Weather Rev 104, 1551-1556 [33] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 124 [34] A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), A modified-Leray-α subgrid scale model of turbulence, Nonlinearity 19, 879-897 [35] A.A Ilyin and E.S Titi (2003), Attractors for the two-dimensional NavierStokes-α model: an α-dependence study, J Dynam Differential Equations 15, 751-778 [36] M.S Jolly, V.R Martinez and E.S Titi (2017), A data assimilation algorithm for the subcritical surface quasi-geostrophic equation, Adv Nonlinear Stud 17, 167-192 [37] D.A Jones and E.S Titi (1992), Determining finite volume elements for the 2D Navier-Stokes equations, Phys D 60, 165-174 [38] D.A Jones and E.S Titi (1993), Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations, Indiana Univ Math J 42, 875-887 [39] B.-S Kim and B Nicolaenko (2006), Existence and continuity of exponential attractors of the three dimensional Navier-Stokes-α equations for uniformly rotating geophysical fluids, Commun Math Sci 4, 399-452 [40] P Korn (2009), Data assimilation for the Navier-Stokes-α equations, Phys D 238, 1957-1974 [41] A Kostianko (2018), Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-α model with periodic boundary conditions, J Dynam Differential Equations 30, 1-24 [42] W Layton and R Lewandowski (2006), On a well-posed turbulence model, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 6, 111-128 [43] P.A Markowich, E.S Titi and S Trabelsi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Brinkman-Forchheimer-extended Darcy model, Nonlinearity 29, 1292-1328 125 [44] J.E Marsden and S Shkoller (2001), Global well-posedness for the Lagrangian averaged Navier-Stokes (LANS-α) equations on bounded domains, R Soc Lond Philos Trans Ser A Math Phys Eng Sci 359, 1449-1468 [45] C.F Mondaini and E.S Titi (2018), Uniform-in-time error estimates for the postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algorithm, SIAM J Numer Anal 56 (2018), 78-110 [46] E Olson and E.S Titi (2003), Determining modes for continuous data assimilation in 2D turbulence, J Statist Phys 113, 799-840 [47] E Olson and E.S Titi (2007), Viscosity versus vorticity stretching: global wellposedness for a family of Navier-Stokes-alpha-like models, Nonlinear Anal 66, 2427-2458 [48] J.P Puel (2009), A nonstandard approach to a data assimilation problem and Tychonov regularization revisited, SIAM J Control Optim 48, 10891111 [49] H Qiu, Y Du and Z Yao (2017), Global Cauchy problem for a Leray-α model, Acta Math Appl Sin Engl Ser 33, 207-220 [50] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [51] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd ed., CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol 66, SIAM, Philadelphia [52] M.I Vishik, E.S Titi and V.V Chepyzhov (2007), On the convergence of trajectory attractors of the three-dimensional Navier-Stokes α-model as α → 0, (Russian) Mat Sb 198, 3-36; translation in Sb Math 198 (2007), no 11-12, 1703-1736 126 [53] K Yamazaki (2012), On the global regularity of generalized Leray-alpha type models, Nonlinear Anal 75, 503-515 [54] Y Yu, K Li and A Huang (2007), Gevrey class regularity and exponential decay property for Navier-Stokes-α equations, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 49-58 [55] Y Zhou and J Fan (2011), Global well-posedness of a Bardina model, Appl Math Lett 24, 605-607 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46... thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề "Bài tốn đồng hóa liệu số phương trình tiến hóa học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ Tổng quan vấn đề nghiên... hóa liệu [5] Ý tưởng phương pháp sử dụng số hạng điều khiển phản hồi đưa vào phương trình để phương trình mới, gọi phương trình đồng hóa liệu Phương pháp gọi phương pháp nudging Newton hay phương