Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về hệ phương trình vi phân cấp một

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ KIM YẾN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khố luận Trong khn khổ có hạn khố luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Kim Yến LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hồn thành khố luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Hệ thống tập có hướng dẫn giải hệ phương trình vi phân cấp ” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Kim Yến Mục lục Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.2 Đưa hệ PTVP cấp PTVP cấp cao 1.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng 1.4.3 Hệ phương trình tuyến tính với hệ số 11 1.5 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 16 1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 16 1.5.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không 17 Chương Hệ thống tập hệ phương trình vi phân 18 2.1 Hệ PTVP giải bẳng phương pháp đưa PTVP cấp cao 18 2.2 Giải hệ phương trình vi phân phương pháp tổ hợp tích phân 20 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 22 2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số 29 2.5 Ứng dụng hệ PTVP để giải PTĐHR tuyến tính cấp 33 2.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 33 2.5.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không cấp 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo iv 37 MỞ ĐẦU Hệ phương trình vi phân coi cầu nối tốn học ứng dụng tốn học lý thuyết Đã có nhiều hệ phương trình vi phân mơ hình tốn học toán thực tế Chẳng hạn cho hệ phương trình vi phân  dx1    dt = f (t, x1 , x2 , , xn )     dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ) dt        dxn = f (t, x , x , , x ) n n dt (0.1) Nếu ta coi t biến độc lập, (x1 , x2 , , xn ) điểm khơng gian hệ (0.1) hệ phương trình chuyển động điểm dxn dx1 dx2 , , , dt dt dt vectơ vận tốc điểm thời điểm t Và nhiều ứng dụng khác Việc nghiên cứu định tính, định lượng nghiệm hệ phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng việc quay trở lại áp dụng vào toán thực tế Để làm tốt cơng tác nghiên cứu ứng dụng toán vào thực tế trước hết ta phải nắm hệ thống tập cách giải hệ phương trình vi phân Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng bảo tận tình TS Trần Văn Bằng, em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: "Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải hệ phương trình vi phân cấp một" Ngồi mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Hệ thống tập Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm mở đầu Trong chương nhắc lại khái niệm hệ phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc, khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng Đồng thời đưa phương pháp giải hệ phương pháp đưa phương trình vi phân cấp cao, phương pháp tổ hợp Định nghĩa 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ có dạng  dy1    dx = f (x, y1 , y2 , yn )     dy2 = f2 (x, y1 , y2 , yn ) dx (1.1)        dyn = f (x, y , y , y ) dx n n Ở x biến số độc lập, y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), , yn = yn (x) hàm phải tìm Các hàm fi (i = 1, 2, , n) xác định miền G không gian n + chiều Rn+1 Số n gọi bậc hệ (1.1) Hệ n hàm khả vi y1 (x), y2 (x) , , yn (x) xác định khoảng (a, b) gọi nghiệm hệ (1.1) với x ∈ (a, b) điểm (x, y1 (x), y2 (x), , yn (x)) ∈ G thay chúng vào hệ (1.1) ta đồng thức theo x (a, b) Tập hợp điểm Γ = {(x, y1 (x), y2 (x), , yn (x)), x ∈ (a, b)}, gọi đường cong tích phân ứng với nghiệm y1 (x), y2 (x), , yn (x) Bài tốn Cơsi: Cho điểm (x0 , y01 , y02 , , y0n ) Tìm nghiệm (y1 (x), y2 (x), , yn (x)) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu y1 (x0 ) = y01 , y2 (x0 ) = y02 , , yn (x0 ) = y0n Nói chung tốn Cơsi khơng phải có nghiệm có nghiệm nghiệm khơng Tuy nhiên người ta chứng minh hàm f1 , f2 , , fn liên tục G tốn Cơsi ln có nghiệm Nếu ngồi điều kiện hàm f1 , f2 , , fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1 , y2 , , yn G tốn Cơsi có nghiệm Định nghĩa 1.2 (Nghiệm tổng quát) Tập hợp n hàm số   y1 = ϕ1 (x,C1 ,C2 , ,Cn )      y2 = ϕ2 (x,C1 ,C2 , ,Cn )       y = ϕ (x,C ,C , ,C ) n n n (1.2) xác định miền biến thiên x, C1 , C2 , , Cn có đạo hàm riêng liên tục theo x gọi nghiệm tổng quát hệ (1.1) miền G (miền mà tồn tốn Cơsi đảm bảo) chúng có tính chất sau (i) Từ hệ (1.2) giải C1 ,C2 , ,Cn   C1 = ψ1 (x, y1 , y2 , , yn )      C2 = ψ2 (x, y1 , y2 , , yn )       C = ψ (x, y , y , , y ) n n n (1.3) (ii) Hệ hàm (1.2) nghiệm hệ (1.1) với giá trị số Ci (i = 1, 2, , n) xác định từ (1.3) (x, y1 , y2 , , yn ) biến thiên G Định nghĩa 1.3 (Nghiệm riêng) Nghiệm hệ (1.1) mà điểm tính nghiệm tốn Côsi bảo đảm gọi nghiệm riêng Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với giá trị xác định số Ci (i = 1, 2, , n) nghiệm riêng Định nghĩa 1.4 (Nghiệm kì dị) Nghiệm hệ (1.1) mà tính nghiệm tốn Cơsi bị phá vỡ gọi nghiệm kì dị Định nghĩa 1.5 (Tích phân tổng qt) Hệ hàm   Φ1 (x, y1 , y2 , , yn ) = C1     Φ (x, y , y , , y ) = C 2 n      Φn (x, y1 , y2 , , yn ) = Cn gọi tích phân tổng quát hệ (1.1) miền G xác định nghiệm tổng quát hệ (1.1) G 1.2 Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Xét hệ phương trình vi phân cấp  dx1    dt = f (t, x1 , x2 , , xn )     dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ) dt        dxn = f (t, x , x , , x ) n n dt (1.4) Ta giả thiết hàm số fi (i = 1, 2, , n) liên tục có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n − miền G ⊂ Rn theo tất biến Giả sử x1 (t), x2 (t), , xn (t) nghiệm (1.4) Thế vào (1.4) ta đồng thức theo t Đặc biệt dx1 (t) ≡ f1 (t, x1 (t), x2 (t), , xn (t)), dt vi phân đồng thức theo t ta (1.21 ) n n d x1 (t) ∂ f1 ∂ f1 dxi ∂ f1 ∂ f1 = + = + fi ∑ ∑ dt ∂t ∂ x dt ∂t ∂ x i i i=1 i=1 Đặt n ∂ f1 ∂ f1 +∑ fi = F2 (t, x1 , x2 , , xn ), ∂t i=1 ∂ xi suy d x1 (t) = F2 (t, x1 (t), x2 (t), , xn (t)) dt Vi phân đồng thức theo t ta (1.22 ) n n d x1 (t) ∂ F2 ∂ F2 dxi ∂ F2 ∂ F2 = + = + fi ∑ ∑ dt ∂t ∂t i=1 ∂ xi dt i=1 ∂ xi Đặt n ∂ F2 ∂ F2 +∑ fi = F3 (t, x1 , x2 , , xn ), ∂t ∂ x i i=1 ta có d x1 (t) = F3 (t, x1 (t), x2 (t), , xn (t)) dt Tiếp tục trình đến n − lần ta đồng thức d n−1 x1 (t) = Fn−1 (t, x1 (t), x2 (t), , xn (t)) dt n−1 (1.23 ) (1.2n−1 ) Vi phân lần theo t n n d n x1 (t) ∂ Fn−1 ∂ Fn−1 dxi ∂ Fn−1 ∂ Fn−1 = + = + fi , ∑ ∑ n dt ∂t ∂t i=1 ∂ xi dt i=1 ∂ xi đặt n ∂ Fn−1 ∂ Fn−1 +∑ fi = Fn (t, x1 , x2 , , xn ), ∂t i=1 ∂ xi d n x1 (t) = Fn (t, x1 (t), x2 (t), , xn (t)) dt n (1.2n ) có hai nghiệm thực khác λ1 = 0, λ2 = Ứng với λ1 = 0, ta hệ phương trình  α1 − α2 = 0, −4α + 4α = Chọn α1 = 1, ta suy α2 = Do với λ1 = ta nghiệm phương trình vi phân xét Y1 (x) = Với λ2 = 5, ta có hệ  −4α1 − α2 = 0, −4α − α = Chọn α1 = −1, ta α2 = hệ có nghiệm Y2 (x) = −e5x 4e5x Vậy nghiệm phương trình vi phân xét Y (x) = C1Y (x) +C2Y (x) dạng khai triển  y = C1 −C2 e5x , z = C + 4C e5x 2 Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình sau   dx = x + y, dt  dy = −2x + 3y dt Phương trình đặc trưng 1−λ −2 3−λ = λ − 4λ + = 23 có cặp nghiệm phức liên hợp λ1 = + i, λ2 = − i Do α1 , α2 xác định từ hệ  (−1 − i)α1 + α2 = 0, −2α + (1 − i)α = Cho α1 = 1, ta α2 = i + nghiệm hệ phương trình vi phân có dạng x = e(2+i)t = e2t (cost + sint), y = (i + 1)e(2+i)t = e2t (cost − sint) + ie2t (cost + sint) Vì hai nghiệm thực độc lập tuyến tính hệ cần giải  x1 (t) = e2t cost y (t) = e2t (cost − sint)  x2 (t) = e2t sint y (t) = e2t (cost + sint) Vậy nghiệm tổng quát có dạng  x(t) = C1 e2t cost +C2 e2t sint, y(t) = e2t (C +C ) cost + e2t (C −C ) sint 2 Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình   dx = 3x − y, dt dy  = 4x − y dt Phương trình đặc trưng −3 − λ −1 −1 − λ = λ − 2λ + = có nghiệm λ = bội hai Ta tìm nghiệm hệ phương trình dạng  x = (α1 + β1t)et , y = (α + β t)et 24 Thay vào hệ phương trình rút gọn et ta β1 + α1 + β1t = 3α1 + 3β1t − α2 − β2t Đồng hai vế phương trình theo t ta α2 = 2α1 − β1 , β2 = 2β1 Chọn α1 = C1 , β1 = C2 ta α2 = 2C1 −C2 , β2 = 2C2 Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình xét có dạng  x = (C1 +C2t)e1 , y = (2C −C + 2C t)et 2 Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình  dx   = 5x − y − 4z,   dt dy dt = −12x + 5y + 12z,     dz = 10x − 3y − 9z dt Phương trình đặc trưng 5−λ −1 −4 −12 5−λ 12 10 −3 −9 − λ = λ + λ + λ − = có nghiệm λ1 = −1, λ2 = λ3 = Ứng với λ1 = −1, ta có hệ    6α − α2 − 4α3 = 0,   −12α1 + 6α2 + 12α3 = 0,    10α − 3α − 8α = Chọn α1 = 1, ta α2 = −2 α3 = Khi hệ có nghiệm riêng  e−t    −t  Y1 (t) =  −2e   2et 25 Bây ta xây dựng hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với nghiệm bội λ2 = λ3 = Đặt x = (A1t + A2 )et , y = (B1t + B2 )et , z = (C1t +C2 )et Thay giá trị x, y, z vào hệ ban đầu rút gọn et ta A1 + A1t + A2 = (5A1 − B1 − 4C1 ) + 5A2 − B2 − 4C2 B1 + B1tB2 = (−12A1 + 5B1 + 12C1 ) − 12A2 + 5B2 + 12C2 C1 +C1t +C2 = (10A1 − 3B1 − 9C1 ) + 10A2 − 3B2 − 9C2 Đồng hệ số t hệ số tự ta A1 = C1 , B1 = 0, A2 = C1 +C2 , B2 = 3C1 , với C1 ,C2 nhận giá trị Như x = (C1t +C1 +C2 )et , y = 3C1 et , z = (C1t +C2 )et Suy hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với nghiệm bội λ2 = λ3 = có dạng     t (t + 1)e et     t    Y2 (t) =   3e  , Y3 (t) =   tet et (Các nghiệm riêng chọn cách cho C1 = 1,C2 = C1 = 0,C2 = 1) Do nghiệm hệ phương trình xét    x(t) = C1 e−t + (C2t +C2 +C3 )et ,   y(t) = −2C1 e−t + 3C2 et ,    z(t) = 2C e−t +C tet +C et Bài tập Giải hệ phương trình sau   dy = 2y − 3z, dx  dz = −3y + 2z  dx  dx = 3x + 2y, dt  dy = x + 2y   dy = 2y + z, dx  dz = −6y − 3z  dx  dx = x − 3y, dt  dy = 3x + y dt dt 26 < 5, : < 2, 12 4, , 12 > > > : < 11 : < 13 : : < : 10 5, 12 4 8, 14 < 2, : > > > < 17 : > > > < 15 < 3, > > > : < : 2 : : , , 2 : < 18 6, < < 16 2 4 , cos sin , sin cos > > > < 3, , 4 , 12 10 , : < : > > > < 2, , 2 > > > : > > > < > > > : 12 , > > > : < , 3, ,  x(t) = (2C2 −C1 ) cos 2t − (2C1 +C2 ) sin 2t, y(t) = C cos 2t +C sin 2t  x(t) = (C1 + 3C2t)e2t , y(t) = (C −C − 3C t)e2t 2  x(t) = (2C1t +C2 )et , y(t) = (2C t −C +C )et 1  x(t) = (C1 +C2t)e3t , y(t) = (C +C +C t)e3t 2    x(t) = −3C1 e3t + 2C2 et − 8C3 e2t ,   y(t) = C1 e3t −C2 et + 3C3 e2t ,    z(t) = 3C e3t − 2C et + 7C e2t    x(t) = C1 e−t + (C2t +C2 +C3 )et ,   10 y(t) = −2C1 e−t + 3C2 et ,    z(t) = 2C e−t +C tet +C et  x(t) = 5C1 sin 2t − 5C2 cos 2t, 11 y(t) = (2C + 4C ) cos 2t − (4C − 2C ) sin 2t 2  x(t) = C1 et +C2 e5t , 12 y(t) = −C et + 3C e5t  x(t) = 2C1 e3t + 4C2 e−3t , 13 y(t) = C e3t −C e−3t  y(t) = 2e−2x (C1 cos √3x +C2 sin √3x), 14 z(t) = e−2x [(3C − √3C ) cos √3x + (√3C + 3C ) sin √3x] 2 28  x(t) = (C1 + 2C2t)e−t , 15 y(t) = (C +C + 2C t)e−t 2    x(t) = C1 e−t +C2 ,   16 y(t) = −2C1 e−t + 3C2 − 3C3 ,    z(t) = 2C e−t +C    x(t) = −C1 et −C2 et +C3 e4t ,   17 y(t) = C1 et +C3 e4t ,    x(t) = C et +C e4t    x(t) = C1 et +C2 cost +C3 sint,   18 y(t) = C1 et +C2 sint −C3 cost,    z(t) = C (cost + sint) +C (sint − cost) 2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau   dx = 3x + 2y + 4e5t , dt dy  = x + 2y dt Trước hết ta tìm nghiệm hệ tuyến tính   dx = 3x + 2y, dt dy  = x + 2y dt Đây hệ phương trình tuyến tính với hệ số Bằng cách giải biết ta tìm nghiệm tổng quát  x(t) = C1 et + 2C2 e4t , y(t) = C et +C e4t 29 Ta tìm nghiệm riêng hệ tuyến tính khơng dạng  x∗ (t) = C1 (t)et + 2C2 (t)e4t , y∗ (t) = C (t)et +C (t)e4t , C1 (t), C2 (t) xác định nhờ hệ phương trình  C (t)et + 2C (t)e4t = 4e5t , C (t)et +C (t)e4t = 4 Hệ sau có nghiệm C1 (t) = e4t , C2 (t) = et 3 4t t Do lấy C1 (t) = e , C2 (t) = e nghiệm riêng phải tìm  x∗ (t) = 3e5t , y∗ (t) = e5t Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình xét  x(t) = C1 et + 2C2 e4t + 3e5t , y(t) = C et +C e4t + e5t Ví dụ 2.9 Xét hệ phương trình sau   dx = 2x − 4y + 4e−2t , dt  dy = 2x − 2y dt Trước hết ta tìm nghiệm hệ   dx = 2x − 4y, dt dy  = 2x − 2y dt Bằng cách đưa phương trình tuyến tính cấp hai ta dễ dàng tìn nghiệm tổng quát hệ  x(t) = (C1 +C2 ) cos 2t + (C2 −C1 ) sin 2t, y(t) = C cos 2t +C sin 2t 30 Ta tìm nghiệm riêng hệ khơng dạng  x∗ (t) = (C1 (t) +C2 (t)) cos 2t + (C2 (t) −C1 (t)) sin 2t, y∗ (t) = C (t) cos 2t +C (t) sin 2t, C1 (t), C2 (t) xác định nhờ hệ  (C (t) +C (t)) cos 2t + (C (t) −C (t)) sin 2t = 4e−2t 2 C (t) cos 2t +C (t) sin 2t = Từ hệ cuối ta tìm C1 (t) = −4e−2t sin 2t, C2 = 4e−2t cos 2t Do chọn C1 (t) = e−2t (sin 2t + cos 2t), C2 (t) = −2e−2t (cos 2t − sin 2t) Suy  x∗ (t) = 0, y∗ (t) = e−2t Vậy nghiệm hệ cần tìm  x(t) = (C1 +C2 ) cos 2t + (C2 −C1 ) sin 2t, y(t) = C cos 2t +C sin 2t + e−2t Bài tập Giải hệ phương trình sau   dy = 2y − z + 2ex , dx  dz = 3y − 2z + 4ex  dx  dx = 4x + y − et , dt  dy = −2x + y  dt  dx = 5x − 3y + 2e3t , dt  dy = x + y + 5e−t  dt  dx = x + 2y + 16 + et , dt  dy = 2x − 2y   dx = 3x − 2y, dt  dy = 2x − y + 15et √t  dt  dx = 4x − 3y + sint, dt  dy = 2x − y − cost  dt  dx = 2x − y, dt  dy = −2x + y + 18t  dt  dx = 2x − y, dt  dy = −x + 2y − 5et sint dt dt 31 Đáp số  y(x) = C1 ex +C2 e−x + (x + )ex , z(x) = C ex + 3C e−x + (x + )ex 2  x(t) = (2C1 +C2 − 8t 25 )et , y(t) = (−C +C + 2C − 8t 52 + 10t 32 )et t  x(t) = C1 e2t +C2 e3t + (t + 2)e2t , y(t) = −2C e2t −C e3t − (t + 2)e2t  x(t) = C1 et + 3C2 e2t + cost − sint, y(t) = C et + 2C e2t + cost − sint  x(t) = C1 e2t + 3C2 e4t − e−t − 4e3t , y(t) = C e2t +C e4t − 2e−t − 2e3t  x(t) = C1 +C2 e3t + 3t + 2t + , y(t) = 2C −C e3t + 6t − 2t +  x(t) = 2C1 e2t +C2 e−3t − (12t + 13)et , y(t) = C e2t − 2C e−3t − (8t + 6)et  x(t) = C1 et +C2 e3t + et (2 cost − sint), y(t) = C et −C e3t + et (3 cost + sint) 32 2.5 Ứng dụng hệ phương trình vi phân để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp Trong mục chúng tơi trình bày ứng dụng hệ phương trình vi phân dạng đối xứng để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính khơng 2.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp Ví dụ 2.10 Xét phương trình (x2 − y2 − z2 ) ∂u ∂u ∂u + 2xy + 2xz = ∂x ∂y ∂z Hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng dx x2 − y2 − z2 = dy dz = 2xy 2xz Tích phân hệ tích phân đầu độc lập ψ1 = y x + y2 + z2 = C1 , ψ2 = = C2 z y Vậy nghiệm tổng quát phương trình đạo hàm riêng xét y x2 + y2 + z2 ) u = F( , z y Bài tập Tích phân phương trình sau (1 + x2 ) ∂z ∂z + xy = ∂x ∂y (x3 + 3xy2 ) x ∂u ∂u ∂u + 2y3 + 2y2 z = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u + y + (z − ∂x ∂y x + y2 + z2 ) ∂u = ∂z 33 x(y2 − z2 ) ∂u ∂u ∂u − y(x2 + z2 ) + z(x2 + y2 ) = ∂x ∂y ∂z Đáp số z = F( y2 ) + x2 z y3 u = F( , y + ) y x y u = F( , x + x x2 + y2 + z2 ) yz ) x u = F(x2 + y2 + z2 , 2.5.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính khơng cấp Ví dụ 2.11 Tìm nghiệm phương trình 2x ∂z ∂z + (y − x) − x2 = ∂x ∂y Ta tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 2x ∂V ∂V ∂V + (y − x) + x2 = ∂x ∂y ∂z Dễ thấy hệ phương trình vi phân thường đối xứng tương ứng dx dy dz = = 2x y − x x có tích phân đầu độc lập (x + y)2 x − 4z = C1 , = C2 x Do nghiệm phương trình đạo hàm riêng xét có dạng (x + y)2 Φ(x − 4z, ) = x 34 Bài tập Tích phân phương trình khơng x ∂z ∂z + 2y = x2 y + z ∂x ∂y xy ∂z ∂z − x2 = yz ∂x ∂y (z − y) y ∂z ∂z + (x − z) + x − y = ∂x ∂y ∂z ∂z +x = x − y ∂x ∂y Đáp số x2 z Φ( , yx − ) = y x Φ(x2 + y, z ) = x Φ(x + y + z, x2 + y2 + z2 ) = Φ(x2 − y2 , x − y + z) = 35 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung tốn học đại, chun ngành hệ phương trình vi phân, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu cách khái quát hệ thống tập hệ phương trình vi phân, xem tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm hệ phương trình vi phân Đó thành cơng đề tài Như nói đề tài hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hồn thành khố luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Giải tích, thầy khoa Tốn Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khố luận hồn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 36 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hồn- Phạm Thu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000 [2] Nguyễn Thế Hồn-Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội,1979 [3] Cấn Văn Tuất, Phương trình vi phân phương trình tích phân, NXB Đại học Sư Phạm, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Dennis, G Zill, A first course in differential equations with modeling applications, Brooks Cole, 2012 37 ... hàm khả vi liên tục 17 Chương Hệ thống tập hệ phương trình vi phân Trong chương chúng tơi trình bày hệ thống tập hệ phương trình vi phân ứng dụng hệ phương trình vi phân để giải phương trình đạo... 2.1 Hệ phương trình vi phân giải phương pháp đưa phương trình vi phân cấp cao Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau   dy = z, dx  dz = z2 dx y Vi phân hai vế phương trình thứ hệ phương trình. .. Chương Hệ thống tập hệ phương trình vi phân 18 2.1 Hệ PTVP giải bẳng phương pháp đưa PTVP cấp cao 18 2.2 Giải hệ phương trình vi phân phương pháp tổ hợp tích phân