Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình hyperbolic (KL06372)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** DƯƠNG THỊ ANH XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải Tích Người hướng dẫn khoa học TS Trần Văn Bằng Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng , người tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình tạo điều kiện thuận lợi trình học tập hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Dương Thị Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng khóa luận hoàn thành không trùng với công trình khác Trong thực khóa luận em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Dương Thị Anh Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 1.3 Dạng tắc phương trình hyperbolic, elliptic parabolic 1.4 Bài toán Cauchy phương trình truyền sóng 15 1.4.1 Định nghĩa 15 1.4.2 Công thức nghiệm toán Cauchy 16 1.5 Bài toán biên ban đầu phương trình truyền sóng 1.5.1 Sự tồn nghiệm Phương pháp tách biến 17 18 Chương Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic 24 2.1 Bài tập số khái niệm phương trình đạo hàm riêng 24 2.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 27 2.3 Tìm nghiệm tổng quát 32 2.4 Bài toán Cauchy 38 2.5 Bài toán hỗn hợp 48 2.5.1 Bài toán hỗn hợp phương trình 48 2.5.2 Bài toán hỗn hợp phương trình không 56 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Mở đầu Toán học môn khoa học làm tảng cho ngành khoa học khác Nó gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào việc giải toán thực tiễn Phương trình đạo hàm riêng môn quan trọng toán học Cũng môn học khác toán học, phương trình đạo hàm riêng xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Nó liên hệ trực tiếp với toán vật lí trình nghiên cứu toán vật lí dẫn đến toán phương trình đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí khoa học nói chung toán học nói riêng Phương trình đạo hàm riêng coi cầu nối toán học ứng dụng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Như biết việc giải phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic khó khăn phức tạp Nếu có hệ thống phân loại tập phương trình Hyperbolic người học tiếp thu kiến thức dễ Vì vậy, với lòng yêu thích môn học để hiểu rõ hơn, khắc sâu lí thuyết cách giải phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic Đồng thời giúp người học tiếp thu hiệu kiến thức phương trình đạo hàm riêng nên nhờ giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình TS Trần Văn Bằng em chọn nghiên cứu đề tài: "Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic." Nội dung khóa luận trình bày hai chương Chương 1: trình bày khái niệm phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trình đạo hàm riêng; dạng tắc phương trình đạo hàm riêng; toán hỗn hợp; Chương 2: trình bày cách hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhằm giới thiệu khái niệm phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt tìm hiểu đại diện lớp phương trình Hyperbolic, phương trình truyền sóng môi trường không gian n chiều Trong ta nghiên cứu hai toán bản: toán Cauchy toán hỗn hợp phương trình truyền sóng 1.1 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng phương trình có chứa đạo hàm riêng ẩn hàm Nó có dạng F (x1 , x2 , , xn , u, ux1 , , uxn , ux1 x1 , ) = 0, (1.1) x ∈ Ω ⊂ Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) biến số độc lập, u ẩn hàm biến Ví dụ 1.1 Phương trình ∂ 2u = 2x + y ∂x∂y phương trình đạo hàm riêng Một nghiệm (1.1) Ω hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết Ω thỏa mãn phương trình điểm thuộc Ω Nói chung phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm Phương trình đạo hàm riêng thường phân loại theo tiêu chí sau: 1) Theo cấp phương trình (nói chung phương trình có cấp cao phức tạp) 2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn giản phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến cao phức tạp) 3) Theo phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian gọi phương trình tiến hóa, trái lại gọi phương trình dừng) Kí hiệu biến thời gian t, biến lại biến không gian Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình đạo hàm riêng cấp cao đạo hàm riêng có mặt phương trình Ví dụ 1.2 Phương trình ∂ 2u = 2x + y ∂x∂y phương trình đạo hàm riêng cấp Định nghĩa 1.3 Một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có dạng L[u] = f (x), (1.2) L[u] tổ hợp tuyến tính u đạo hàm riêng u với hệ số hàm biến số độc lập x Nếu f ≡ ta nói phương trình tuyến tính (1.2) nhất, trái lại ta nói phương trình không Ví dụ 1.3 +) ut + cux = phương trình tuyến tính +) α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2 uyy = 4ex phương trình tuyến tính không Định nghĩa 1.4 Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính gọi phi tuyến 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.5 Phương trình có dạng: n n aij (x)uxi xj + i,j=1 bj (x)uxj + c(x)u = d(x) (1.3) j=1 x ∈ Ω gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai hàm u(x) = (x1 , x2 , , xn ), hệ số aij , bj , c, d hàm liên tục cho Ω, aij = aji aij không đồng thời không Việc phân loại phương trình (1.3) phụ thuộc vào hệ số aij đạo hàm riêng cấp hai định nghĩa điểm sau Gọi A(x) = [aij (x)] ma trận vuông cấp n hệ số đạo hàm riêng cấp hai Tại x ∈ Ω cố định A(x) ma trận thực, đối xứng nên A(x) có n giá trị riêng thực Ta nói: +) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic x A(x) có n giá trị riêng Bài tập 4: Giải toán sau:   u = ∆u + t sin y,    tt u|t=0 = x2 ,    u = sin y t|t=0 Hướng dẫn giải: Đặt V = u − t sin y Vt = ut − sin y ⇒ Vtt = utt Vx = ux ⇒ Vxx = uxx Vy = uy − t cos y ⇒ Vyy = uyy + t sin y ⇒ ∆V = Vxx + Vyy = uxx + uyy + t sin y = ∆u + t sin y = utt ⇒ ∆V = utt = Vtt V|t=0 = u|t=0 = x2 Vt|t=0 = ut|t=0 − sin y = sin y − sin y = Khi toán trở thành tìm hàm V (x, t) thỏa mãn:   V = ∆V,    tt V|t=0 = x2 ,    V = t|t=0 Áp dụng công thức Poisson ta có: 1 t V (x, t) = 0dξdη + 0dξdηdτ 2π (ξ−x)2 +(η−y)2 [...]... b) Phương trình hyperbolic Bài tập 3: Chứng minh rằng a) Phương trình Laplace n uxi xi = 0, x ∈ Rn ∆u = i=1 là phương trình elliptic trên Rn b) Phương trình truyền nhiệt ut − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rn+1 là phương trình parabolic trên Rn+1 Hướng dẫn giải: +) Xác định ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai +) Giải phương trình det (A − λI) = 0 +) Kết luận: a, Phương trình elliptic b, Phương trình. .. giải: a) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3 b) Phương trình đạo hàm riêng cấp 4 c) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 Bài tập 2: Chứng minh rằng: a) u (x, y) = x2 − 2y là nghiệm của phương trình uxx + uy = 0 b) u (x, t) = sin (2x + 2t) là nghiệm của phương trình ux − ut = 0 Hướng dẫn giải: +) Tính các đạo hàm riêng có mặt trong phương trình +) Thay vào phương trình ta suy ra điều phải chứng minh Bài tập 3:... phương trình Hyperbolic Trong chương này chúng ta đi nghiên cứu các ví dụ và bài tập có hướng dẫn giải về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; nghiệm tổng quát; bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng trong trường hợp 1, 2, 3 chiều Hơn nữa chúng ta còn nghiên cứu ví dụ và bài tập về phương pháp tách biến Để giải bài toán hỗn hợp, trong rất nhiều trường hợp ta dùng phương. .. nên phương trình thuộc loại parabolic Đổi biến   ξ = e−x − e−y ,  η = x Ta sẽ đưa phương trình đầu về dạng chính tắc: uηη = 0 Bài tập 2: Xác định loại của các phương trình sau: a) 3uxx + 2uyy + 3uzz + 2uxz = 0 b) uxx + uyy + uzz + 2uxz + 2uyz = 0 Hướng dẫn giải: * Xác định ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai * Giải phương trình det (A − λI) = 0 * Kết luận phương trình: a) Phương trình. .. các phương trình sau, phương trình nào là tuyến tính, phi tuyến Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không a) uxy = u b) u.ux + xuy = 0 c) ux + 2u = 2xy 26 Hướng dẫn giải: a) Phương trình tuyến tính thuần nhất b) Phương trình phi tuyến c) Phương trình tuyến tính không thuần nhất 2.2 Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Ví dụ 2.4 Xác định loại của các phương. .. (1.11) Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: aζx2 + 2bζx ζy + cζy2 = 0 (1.12) là phương trình đặc trưng của (1.10), trong đó ζ thay cho ξ hoặc η Giải (1.12) được đưa về giải phương trình vi phân thường: a( dy dy 2 ) − 2b( ) + c = 0 dx dx a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆ > 0 Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phân... thường gọi là phương pháp Fourier 2.1 Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 2.1 Tìm cấp của phương trình đạo hàm riêng sau: uxx + uyy = 0 Lời giải Ta thấy cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình trên là hai 24 Vậy phương trình đã cho là phương trình đạo hàm riêng cấp hai Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng u (x, t) = cos (x − ct) là một nghiệm của phương trình ut... của bài toán trên là tổng các nghiệm của bài toán 1 và bài toán 2 Nghiệm của bài toán trên có dạng: ∞ u (x, t) = k=1 kπx + Tk (t) sin L ∞ ak cos k=1 22 kπat kπat kπx + bk sin , sin L L L trong đó: t Tk (t) = 2 kπa  g(ξ, t) sin  0  L kπa kπξ  (t − τ ) sin dξ dτ, L L 0 L ak = 2 L φ (x) sin kπx dx, L 0 L 2 bk = kπa ψ (x) sin kπx dx L 0 23 Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương. .. hợp phương trình parabolic trong một miền Do phương trình thuộc loại parabolic nên ∆ = 0 Khi đó phương trình (1.13) có nghiệm dy b = dx a và tích phân phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát φ1 (x, y) = C 14 Với phép đổi biến ξ = φ1 (x, y) , ta sẽ nhận được dạng chính tắc của phương trình parabolic là: uηη = − d∗ c∗ 1.4 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 1.4.1 Định nghĩa Bài. .. nghiệm của phương trình det (A − λI) = 0 Giải phương trình trên ta có det (A − λI) = 0 ⇔ (−1 − λ)n (1 − λ) = 0  λ = −1 bội n , ⇔ λ = 1 Suy ra có n + 1 giá trị riêng, có một giá trị riêng trái dấu với n giá trị riêng còn lại Vậy phương trình truyền sóng thuộc loại hyperbolic (ta có điều phải chứng minh) Bài tập 1: Xác định loại của các phương trình sau và đưa chúng về dạng chính tắc a) uxx − 4uxy − 5uyy ... ψ (x) sin kπx dx L 23 Chương Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic Trong chương nghiên cứu ví dụ tập có hướng dẫn giải phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính... tài: "Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic. " Nội dung khóa luận trình bày hai chương Chương 1: trình bày khái niệm phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trình. .. 1.5 Bài toán biên ban đầu phương trình truyền sóng 1.5.1 Sự tồn nghiệm Phương pháp tách biến 17 18 Chương Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình Hyperbolic