Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình hyperbolic (KL06372)

Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai.. Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng.. Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng , người đãtận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn thành khóaluận tốt nghiệp của mình

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoànthành khóa luận

Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ, giúp

đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập vàhoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Dương Thị Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng khóaluận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào khác.Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các thànhtựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Dương Thị Anh

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng 5

1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 7

1.3 Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic, elliptic và parabolic 9

1.4 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 15

1.4.1 Định nghĩa 15

1.4.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 16

1.5 Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền sóng 17

1.5.1 Sự tồn tại nghiệm Phương pháp tách biến 18

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic 24

2.1 Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng 24

2.2 Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 27

2.3 Tìm nghiệm tổng quát 32

2.4 Bài toán Cauchy 38

2.5 Bài toán hỗn hợp 48

2.5.1 Bài toán hỗn hợp đối với phương trình thuần nhất 48

2.5.2 Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần nhất 56

Kết luận 59Tài liệu tham khảo 60

Mở đầu

Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngànhkhoa học khác Nó gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toán họcđược đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyếtcác bài toán thực tiễn Phương trình đạo hàm riêng là một môn quantrọng của toán học Cũng như các môn học khác của toán học, phươngtrình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩthuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế Nó liên hệ trực tiếp với cácbài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lí dẫn đến cácbài toán phương trình đạo hàm riêng Ra đời từ những năm 60, phươngtrình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mìnhtrong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng Phương trình đạohàm riêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng Đặc biệtphương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng rất lớn trongkhoa học và trong thực tiễn Như chúng ta đã biết việc giải các phươngtrình đạo hàm riêng loại Hyperbolic rất khó khăn và phức tạp Nếu có

hệ thống phân loại bài tập phương trình Hyperbolic thì người học sẽtiếp thu kiến thức dễ hơn Vì vậy, với lòng yêu thích môn học này và

để hiểu rõ hơn, khắc sâu hơn lí thuyết và cách giải các phương trìnhđạo hàm riêng loại Hyperbolic Đồng thời giúp người học tiếp thu hiệuquả kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nên nhờ sự giúp đỡ, hướngdẫn nhiệt tình của TS Trần Văn Bằng em đã chọn nghiên cứu đề tài:

"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải

về phương trình Hyperbolic."

Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương Chương 1:trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phânloại phương trình đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạohàm riêng; bài toán hỗn hợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thốngcác bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạohàm riêng Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phươngtrình Hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuầnnhất trong không gian n chiều Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơbản: bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyềnsóng

1.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm

riêng

Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình

có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm Nó có dạng

F (x1, x2, , xn, u, ux1, , uxn, ux1x1, ) = 0, (1.1)

x ∈ Ω ⊂ Rn, trong đó x = (x1, x2, , xn) là các biến số độc lập, u là ẩnhàm của các biến đó

Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấpcần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω.Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm.Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chísau:

1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng caocàng phức tạp)

2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nóichung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng caothì càng phức tạp)

3) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gianthì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trìnhdừng) Kí hiệu biến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian.Định nghĩa 1.2 Cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp caonhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

Ví dụ 1.2 Phương trình

∂2u

∂x∂y = 2x + y

là phương trình đạo hàm riêng cấp 2

Định nghĩa 1.3 Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó

có dạng

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của

u với các hệ số là các hàm của biến số độc lập x

Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, tráilại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.

Ví dụ 1.3 +) ut+ cux = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.+) α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2uyy = 4ex là phương trình tuyến tính khôngthuần nhất

Định nghĩa 1.4 Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tínhthì được gọi là phi tuyến

1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến

Tại mỗi x ∈ Ω cố định A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) cóđúng n giá trị riêng thực Ta nói:

+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị riêng

là phương trình elliptic trên Rn.

b) Phương trình truyền nhiệt

x1 < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng x1 = 0

Đặc biệt khi n = 2, phương trình (1.3) có dạng:

a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy) = 0, (1.4)(x, y) ∈ R2, trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến(x, y) đã cho; a, b, c không đồng thời bằng không Khi đó tại mỗi (x, y)

ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là

+) Nếu ∆ < 0 thì (1.5) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.4) thuộc loạielliptic;

+) Nếu ∆ > 0 thì (1.5) có hai nghiệm trái dấu nên (1.4) thuộc loạihyperbolic;

+) Nếu ∆ = 0 thì (1.5) có một nghiệm bằng không và một nghiệm kháckhông, nên (1.4) thuộc loại parabolic

1.3 Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic,

elliptic và parabolic

Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm

u(x) = u(x1, x2, , xn) :

X

i,j=1

aij(x)uxixj + f (x, u, ux1, , uxn) = 0 (1.6)

x ∈ Ω, trong đó các hệ số aij là các hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji

và các aij không đồng thời bằng không

Thực hiện phép đổi biến đối với (1.6)

Giả sử ξ = ξ(x) là một phép đổi biến thuộc lớp C2 và không suy biến,tức là

D(ξ1, ξ2, , ξn)D(x1, x2, , xn) 6= 0

Thay các đạo hàm này vào (1.6) ta được phương trình

˜A(ξ) = J (x)tA(x)J (x) (1.9)Chứng tỏ ˜A(ξ) và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng chỉ

số quán tính

Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x0thì (1.7) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tạiđiểm ξ0 = ξ(x0).

Cố định x = x0 ta có A(x0) là một ma trận hằng Khi đó tồn tại một

ma trận T = [αkl] sao cho ma trận TtA(x0)T có dạng

0 0

0 0

0 0

0

+ Nếu (1.6) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:

D(ξ, η)D(x, y) 6= 0

Ta nhận được phương trình

a∗uξξ + 2b∗uξη + c∗uηη + d∗(ξ, η, u, uξ, uη) = 0, (1.11)trong đó

a∗ = aξx2 + 2bξxξy + cξy2;

b∗ = aξxηx+ b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy;

c∗ = aηx2 + 2bηxηy + cηy2

Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền

Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆0 > 0

Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phân biệt

dy

dx =

b ± √

∆aTích phân hai phương trình này ta có hai tích phân tổng quát:

Khi đó (1.11) trở thành

2b∗uξη = −d∗.Chia hai vế cho 2b∗ ta có

uξη = − d

∗

2b∗

là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình hyperbolic.

uξξ − uηη = D∗(ξ, η, u, uξ, uη)

b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền

Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆0 < 0

Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức

dy

dx =

b ± i√

∆a

và tích phân hai phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát

φ1(x, y) ± iφ2(x, y) = C

Với phép đổi biến ξ = φ1(x, y) , η = φ2(x, y) , ta sẽ nhận được dạngchính tắc của phương trình elliptic là:

uξξ + uηη = d∗(ξ, η, u, uξ, uη)

c, Trường hợp phương trình parabolic trong một miền

Do phương trình thuộc loại parabolic nên ∆0 = 0

Khi đó phương trình (1.13) có nghiệm

dy

dx =

ba

và tích phân phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát

φ1(x, y) = C

Với phép đổi biến ξ = φ1(x, y) , ta sẽ nhận được dạng chính tắc củaphương trình parabolic là:

u(x, 0) = φ0(x), x ∈ Rn, (1.15)

∂u

∂t(x, 0) = φ1(x), x ∈ Rn, (1.16)trong đó f ∈ C2(Rn× [0, ∞)) và φ0, φ1 ∈ C(Rn) là các hàm đã cho.Định lý 1.1 Bài toán Cauchy (1.14)- (1.16) có không quá một nghiệmtrong C2(Rn × [0, ∞))

Chứng minh Xem [1], Định lý 1.1, trang 114

1.4.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy

|ξ−x|=t

φ1(ξ)

t dS +

14π

∂

∂tZ

|ξ−x|=t

φ0(ξ)

t dS

+ 14πZ

|ξ−x|≤at

φ0(ξ)

pa2t2 − |ξ − x|2dξ

+ 12πa

u|ST = Ψ1.

Bài toán (1.17) gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai với điều kiện ∂u

∂υ = Ψ2.1.5.1 Sự tồn tại nghiệm Phương pháp tách biến

Bài toán 1:Tìm nghiệm của phương trình:

∂u

∂t(x, 0) = ψ(x),u(0, t) = 0, t ≥ 0,u(L, t) = 0

Vế trái của phương trình trên không phụ thuộc x, vế phải không phụthuộc t, do đó

T00(t)

a2T (t) =

X00(x)X(x) = −λ.

Từ điều kiện biên suy ra







X(0) = 0,X(L) = 0

Để giải phương trình X00(x) + λX(x) = 0, xét phương trình đặc trưng:

ta suy ra c1 = 0, c2 = 0

Suy ra X(x) ≡ 0, ta lại chỉ được nghiệm tầm thường

Kiểm tra điều kiện







X(0) = 0X(L) = 0

ta suy ra

X(0) = c1 = 0,X(L) = c2sin√

λL = 0

Rõ ràng c2 6= 0, vì nếu c2 = 0 thì X(x) = 0, ta chỉ có nghiệm tầmthường

Do tính chất tuyến tính và thuần nhất của phương trình

Theo điều kiện ban đầu:

sin kπx

L ,trong đó:

ak = 2L

Bài toán 2: Tìm nghiệm của phương trình:

∂u

∂x(x, 0) = 0,u(0, t) = 0, t ≥ 0,u(L, t) = 0

Nghiệm của bài toán trên được tìm dưới dạng chuỗi:

sinkπx

L ,

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập có

hướng dẫn giải về phương trình

Hyperbolic

Trong chương này chúng ta đi nghiên cứu các ví dụ và bài tập có hướngdẫn giải về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai;nghiệm tổng quát; bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóngtrong trường hợp 1, 2, 3 chiều

Hơn nữa chúng ta còn nghiên cứu ví dụ và bài tập về phương pháptách biến Để giải bài toán hỗn hợp, trong rất nhiều trường hợp ta dùngphương pháp tách biến hay thường gọi là phương pháp Fourier

2.1 Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương

trình đạo hàm riêng

Ví dụ 2.1 Tìm cấp của phương trình đạo hàm riêng sau:

uxx+ uyy = 0Lời giải

Ta thấy cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình trên

là hai

Vậy phương trình đã cho là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.

ut + cux = 0

ta được

c (sin x − ct) − c sin (x − ct) = 0

Vậy u (x, t) = cos (x − ct) là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2.3 Phương trình sau là tuyến tính hay phi tuyến Trong trườnghợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không?

uxx+ uyy − 2u = x2.Lời giải

Phương trình đã cho là tuyến tính do u + u − 2u là một tổ hợp tuyến

tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ số là các hàm của biếnđộc lập x Hơn nữa là phương trình tuyến tính không thuần nhất.Bài tập 1: Tìm cấp của các phương trình đạo hàm riêng sau:

a) uxxx+ uxy + a (x) uy + ln u = f (x, y)

b) uxxx+ uxyyy + a (x) uxxy + u2 = f (x, y)

c) u.uxx + uyy2 + eu = 0

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3

b) Phương trình đạo hàm riêng cấp 4

c) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2

+) Tính các đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

+) Thay vào phương trình ta suy ra điều phải chứng minh

Bài tập 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là tuyến tính,phi tuyến Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không.a) uxy = u

b) u.ux+ xuy = 0

c) ux+ 2u = 2xy

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình tuyến tính thuần nhất

b) Phương trình phi tuyến

c) Phương trình tuyến tính không thuần nhất

2.2 Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng

−1 3

1 1

= −4 6= 0

uξξ − 6uξη + 9uηη − 2 (−uξξ + 2uξη + 3uηη) − 3 (uξξ + 2uξη + uηη)+uξ+ uη = 0

⇔ −16uξη = uξ+ uη ⇔ uξη = − 1

16(uξ + uη) Vậy dạng chính tắc của phương trình ban đầu là

Giải phương trình trên ta có det (A − λI) = 0

⇔

cosφ sin φ

−r sin φ r cos φ

− r cos φ

... data-page="37">

+) Đưa phương trình uxx + 2uxy − 3uyy = dạng tắc.

Ta có ∆ > nên phương trình thuộc loại hyperbolic

Xét phương trình vi phân thường... data-page="40">

+) Nếu a 6= ∆ > ta suy phương trình thuộc loại hyperbolic. Xét phương trình vi phân thường đặc trưng:

(y0)2 − a2 = 0Giải phương trình ta

uxx−...

uxx− 3uxy + 2uyy = 0Hướng dẫn giải:

Ta thấy ∆ > nên phương trình thuộc loại hyperbolic

Xét phương trình vi phân thường đặc trưng: