Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình parabolic

Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương trình đạohàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bài toán liên quan, cáccách tiếp cận bài toán đó,.. T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực

tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình Đồngthời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trongkhoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạođiều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình

độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ýcủa các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt

là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng

dẫn giải về phương trình parabolic” không có sự trùng lặp với kết quả của các đềtài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức cơ bản 2

1.1 Các khái niệm cơ bản 2

1.2 Phương trình truyền nhiệt 3

1.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 4

1.3.1 Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt 4

1.3.2 Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt 5

1.3.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 5

1.3.4 Các nguyên lý cực trị 6

1.4 Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán 8

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình parabolic 9

2.1 Phương trình parabolic 9

2.2 Dạng chính tắc của phương trình parabolic 13

2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt 22

2.3.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 22

2.3.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 22

2.4 Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt 29

2.4.1 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục 30

2.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu trong trường hợp một chiều 31

Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân đạo hàm riêng là một lĩnh vực toán học phức tạp Trướchết về những kí hiệu rườm rà và những dẫn dắt từ các ứng dụng lắt léo Song từ khixuất hiện đến nay, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữatoán học và ứng dụng, nó thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiềulĩnh vực toán học lý thuyết khác nhau

Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương trình đạohàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bài toán liên quan, cáccách tiếp cận bài toán đó, Tuy nhiên, do tính phức tạp của vấn đề, do thời gianhạn hẹp của chương trình đào tạo, người học chủ yếu phải tự tìm tòi, nghiên cứudưới sự hướng dẫn của giảng viên nên gặp không ít khó khăn trong việc tiếp thukiến thức và ứng dụng Qua quá trình học tập, nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các tàiliệu về môn học này đều khá sâu và khó cho việc tự học Vì thế tôi nghĩ rằng nếu

có một hệ thống bài tập thích hợp, cùng với sự định hướng rõ ràng từ dễ đến khó, từ

cơ bản đến trừu tượng, .thì sẽ giúp ích rất nhiều cho người học trong việc lĩnh hộinhững tri thức khoa học này Với suy nghĩ đó và nhận được sự động viên, hướng dẫn

của TS Trần Văn Bằng tôi đã chọn đề tài "Xây dựng hệ thống bài tập có hướng

dẫn giải về phương trình Parabolic."

Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1 của khóa luận trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình

parabolic, phương trình truyền nhiệt, biểu diễn Green của hàm nhiệt, bàitoán Cauchy và tính đặt đúng

Chương 2 của khóa luận đi vào trình bày hệ thống bài tập tương ứng với các

nội dung lý thuyết, có hướng dẫn giải phù hợp

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình có chứa các

đạo hàm riêng của ẩn hàm

Nói chung ta có thể viết một phương trình đạo hàm riêng dưới dạng

F(x1, x2, , xn, u, ux1, , uxn, ux1x1, ) = 0, x∈ Ω ⊂ Rn (1.1)trong đó x = (x1, , xn) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của các biến đó

Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết

trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω

Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm

Định nghĩa 1.2 Cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo

hàm riêng có mặt trong phương trình

Định nghĩa 1.3 Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ

số là các hàm của biến độc lập x

Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.

Định nghĩa 1.4 Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là

phi tuyến

1.2 Phương trình truyền nhiệt

Giả sử Ω ⊂ R3 là vật thể với biên trơn Gọi u(x,t) = u(x1, x2,t) là nhiệt độ tạithời điểm t (t > 0)

Theo các định lý vật lí trong một số điều kiện nhất định (Ω _ đẳng hướng,u(x,t) ∈ C2,1(Ω × [0, T ]), )

u(x,t) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp hai sau:

∂ xi



trong đó

c(x)_ nhiệt dung riêng của Ω tại x

ρ (x)_ khối lượng riêng

k(x)_ hệ số truyền nhiệt trong Ω của x

f(x,t)_ hệ số nguồn nhiệt riêng của x tại thời điểm t

phương trình (1.4) được gọi là phương trình truyền nhiệt.

∗ Các điều kiện bổ sung

- Điều kiện ban đầu

1.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt

1.3.1 Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp Green để chỉ ra công thức nghiệm củaphương trình truyền nhiệt và một số tính chất khác Kí hiệu:

là toán tử liên hợp hình thức của toán tử truyền nhiệt L.

Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên ∂ Ω đủ trơn, T > 0 là một số đã cho Đặt

QT := Ω × [0, T ]; St := ∂ Ω × [0, T ]; Ss:= ∂ Ω × [0, s]

ΩT = Ω × {t = T }; Ω0= Ω × {t = 0}; Ωs= Ω × {t = s}

Giả sử u, v ∈ C2,1(QT) là hai hàm bất kỳ Áp dụng công thức tích phân từng

phần ta nhận được công thức Green thứ nhất đối với toán tử truyền nhiệt trên QT :

Z

ST

v∂ u

∂ νdS+

Trừ đẳng thức (1.8) cho đẳng thức này ta nhận được công thức Green thứ hai đối

với toán tử truyền nhiệt trên QT :

1.3.2 Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt

Định nghĩa 1.5 Với mỗi (ξ , s) ∈ Rn× (0, +∞), hàm

π (t−s))ne−

|x−ξ |2 4(t−s), nếu t > s

là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thuần nhất Lu = 0 tại mọi s 6= t Hàm Γ(x, t; ξ , s) được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt L ứng với phân bố

nhiệt tại (ξ , s)

Dễ thấy rằng nếu cố định (x,t) thì ta có L∗Γ = 0 tại mọi s 6= t

1.3.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt

Giả sử u(x,t) ∈ C2,1(QT) và thỏa mãn

với f ∈ Cb(QT)− không gian các hàm bị chặn và liên tục trong QT Cố định (ξ , s) ∈

QT Chúng ta muốn sử dụng công thức Green thứ hai đối với u(x,t) và v(x,t) =Γ(ξ , s; x, t) trên Qs, nhưng do Γ(ξ , s; x,t) có kì dị tại t = s, nên chúng ta khắc phụcbằng cách áp dụng trên Qs−ε với ε > 0 đủ nhỏ, rồi cho ε → 0 Cụ thể ta có

khi ε → 0 nên khi chuyển qua giới hạn đẳng thức (1.11) ta nhận được biểu diễn

Green của hàm nhiệt:

u(ξ , s) =

Z

QsΓ(ξ , s; x, t) f (x, t)dxdt+

+

Z

Ω

Từ biểu diễn này chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.1 Nếu u(x,t) ∈ C2,1(QT) là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thuần

nhất Lu = 0 trong QT thì u khả vi vô hạn trong QT

1.3.4 Các nguyên lý cực trị

Trong mục này chúng ta chủ yếu đề cập tới các nguyên lý cực trị, là công cụ choviệc chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho các bài toán biên, ban đầu đối vớiphương trình truyền nhiệt Kí hiệu

Q= Ω × (t1,t2]; Ωt1 = Ω × {t = t1}; Ωt2 = Ω × {t = t2};

Định lý 1.2 (Nguyên lý cực trị trong miền bị chặn) Giả sử u(x,t) ∈ C2,1(Q) thỏa

mãn phương trình Lu = 0 trong Q Khi đó, với bất kỳ (x,t) ∈ Q, ta có

Định lý 1.4 (Nguyên lý cực trị mạnh) Giả sử u(x,t) ∈ C2,1(QT) ∩ C(QT) thỏa

mãn phương trình Lu = 0 trong QT và đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại điểm

(x0,t0) ∈ QT thì u ≡ u(x0,t0) trong Qt0

Định lý 1.5 Giả sử u(x,t) ∈ C2,1(QT) ∩C(QT) thỏa mãn phương trình Lu = f (x,t)

trong QT Khi đó với bất kỳ (x,t) ∈ QT ta có

Định lý 1.6 Giả sử u(x,t) ∈ C2,1(GT) ∩C(GT) thỏa mãn phương trình Lu = f (x,t)

và bị chặn trong GT Khi đó với bất kỳ (x,t) ∈ QT ta có

Định lý 1.7 Giả sử u(x,t) ∈ Cb2,1(G∞) ∩C(G∞) là nghiệm của phương trình Lu = 0

trong G∞ và u(x, 0) → 0 khi |x| → ∞ Khi đó u(x,t) → 0 đều theo x trong Rn khi

t → ∞

1.4 Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán

Bài toán Cauchy (tổng quát) đối với phương trình đạo hàm riêng được hiểu làviệc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong một miền Ω khi biết giá trịcủa nó trên một mặt cong Σ ⊂ Ω nào đó và biết tốc độ biến thiên của nghiệm theomột trường vectơ λ không tiếp xúc với Σ trên mặt cong đó Ta thường xét trườnghợp Σ là một phần của biên ∂ Ω và λ = ν là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên

Σ Khi đó ta gọi Σ là mặt Cauchy, các giá trị đã cho trên Σ được gọi là các dữ kiệnCauchy

Ba vấn đề định tính cơ bản được đặt ra đối với bài toán Cauchy là

1, Sự tồn tại nghiệm: Bài toán có ít nhất một nghiệm

2, Tính duy nhất nghiệm: Bài toán có không quá một nghiệm

3, Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện của bài toán: Khi dữ kiệnthay đổi nhỏ thì nghiệm cũng chỉ thay đổi nhỏ

Một bài toán thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên thì được gọi là bài toán

đặt chỉnh hay bài toán đặt đúng theo nghĩa của Hadamard.

Trong chương sau đây chúng ta sẽ chỉ ra tính đặt chỉnh của bài toán đối vớiphương trình truyền nhiệt

Chương 2

Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương

trong đó các hệ số ai j, bj, c, d, là các hàm liên tục đã cho trên Ω, ai j = aji và các ai j

không đồng thời bằng không

Gọi

A(x) = [ai j(x)]

là ma trận vuông cấp n, các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai Tại mỗi x ∈ Ω cốđịnh, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có đúng n giá trị riêng thực Ta

nói phương trình (2.1) là phương trình parabolic tại x nếu A(x) có một giá trị riêng

bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu

Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (2.1) có dạng

a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy+ c(x, y)uyy+ d(x, y, u, ux, uy) = 0, (x, y) ∈ R2, (2.2)

trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến (x, y) đã cho, a, b, c khôngđồng thời bằng không Khi đó tại mỗi (x, y) ma trận các hệ số của các đạo hàm riêngcấp hai là

Vậy phương trình trên là phương trình parabolic trên đường x = y2.

c, 2xyuxy+ xuy+ yux = 0

Bước 1 : Xác định a = 0, b = xy, c = 0 khi đó ∆ = b2− ac = x2y2

Bước 2 : Cho ∆ = x2y2= 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0

Bước 3 : Kết luận

Vậy phương trình trên là phương trình parabolic trên đường x = 0 hoặc y = 0

Bài 2 Tìm miền parabolic của phương trình sau theo tham số λ

Bài 3 Tìm miền parabolic của phương trình sau

8 −√31

Bước 3 : Kết luận

Vậy phương trình đã cho là phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng

2.2 Dạng chính tắc của phương trình parabolic

Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm u(x) = u(x1, x2, , xn) :

Trước hết chúng ta xét tác động của phép đổi biến đối với (2.4) Giả sử ξ = ξ (x)

là một phép đổi biến thuộc lớp C2 và không suy biến tức là

D(ξ1, ξ2, , ξn)D(x1, x2, , xn) 6= 0

J(x) = [bkl(x)], với bkl = ∂ ξl

∂ xk

Cố định x = x0, ta có A(x0) là một ma trận hằng Khi đó, tồn tại một ma trận

T = [αkl] sao cho ma trận TtA(x0)T có dạng

do đó ˜A(ξ0) có dạng đường chéo như trên và phương trình (2.5) lúc đó được gọi là

dạng chính tắccủa phương trình (2.4) tại điểm x0

Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phép đổi biến đểđưa (2.4) về dạng chính tắc trong một miền ma trận các hệ số của các đạo hàmcấp hai chỉ có dạng đường chéo như trên tại điểm ξ0 Đặc biệt trong trường hợp ai j

không phụ thuộc x thì ma trận các hệ số của các đạo hàm cấp hai có dạng đườngchéo như trên tại mọi điểm nên ta có (2.4) là phương trình parabolic thì dạng chínhtắc của nó là:

Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phương trình đạohàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền mà dạng của phươngtrình đó không đổi Thật vậy, xét phương trình:

a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy+ c(x, y)uyy+ d(x, y, u, ux, uy) = 0 (2.8)

Để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc, trước hết chúng tachỉ ra ảnh hưởng của một phép đổi biến đối với phương trình đạo hàm riêng (2.8).Giả sử ξ , η là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :

ξx ηx

ξy ηy

6= 0

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta tính được

Khi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là phương trình parabolictrong một miền ta có ∆ = b2− ac = 0 nên

b= ±√

a√c

Lúc này ta chỉ có một đường cong đặc trưng là nghiệm của phương trình:

uξ ξ = −d

∗

a∗.

là dạng chính tắc của phương trình parabolic đã cho.

b, sin2xuxx+ sin 2xuxy+ cos2xuyy= x

dx =

12

sin 2xsin2x =

cos xsin x.Đây là các phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi

+cos xsin xuη ξ + uη η

Đây là phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi

là dạng chính tắc của phương trình parabolic đã cho.

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

u(x, y) = yF(ln x − ln y) + G(ln x − ln y)

Bài 3 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc

Khi đó phép biến đổi tuyến tính

vt1t1+ vt2t2 = 0

2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt

Gọi Cb2,1(GT) là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp 2 theo x, cấp

1 theo t và bị chặn trên GT,Cb(GT),Cb(Rn) là không gian các hàm liên tục và bịchặn trên các tập tương ứng

Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt là bài toán tìm nghiệmu(x,t) ∈ Cb2,1(GT) ∩C(GT) của phương trình truyền nhiệt

2.3.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Định lý 2.1 Bài toán Cauchy (2.11) − (2.12) có không quá một nghiệm trong

Cb2,1(GT) ∩C(GT)

2.3.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy

Để xét sự tồn tại của bài toán Cauchy (2.11) − (2.12), chúng ta chia thành haibài toán sau đây:

Mệnh đề 2.1 Giả sử ϕ(x) ∈ Cb(Rn) Khi đó nghiệm u ∈ Cb2,1(G∞) của (2.13) được

cho bởi công thức

u(x,t =)

( R

RnΓ(x, t; ξ , 0)ϕ (ξ )dξ , nếu t >0

Mệnh đề 2.2 (Nguyên lý Duhamel) Giả sử f (x,t) ∈ Cb(G∞) Khi đó nếu vτ(x,t)

là nghiệm của (2.13) ứng với dữ kiện ban đầu ϕ(x) = f (x,t), τ > 0 thì nghiệm của (2.14) được cho bởi công thức

u(x,t) =

Z t 0

Định lý 2.2 (Công thức nghiệm của bài toán Cauchy) Giả sử f (x,t) ∈ Cb(G∞), ϕ(x) ∈

Cb(Rn) Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (2.11) − (2.12) được cho bởi công thức

Poisson sau đây:

1(2pπ (t − τ ))n

Z

Rn

e−

|x−ξ |2 4(t−τ) f(ξ , τ)dξ dτ

+

Z t 0

Z

Rn

f(ξ , τ)[2apπ (t − τ )]n

e−

|x−ξ |2 4a2(t−τ)dξ dτ

vs= ∆v + 1

a2 f(x, s

a2) = ∆v + g(x, s),

thỏa mãn điều kiện ban đầu

+

Z t 0

Z

Rn

g(ξ , a2τ )[2pπ (s − a2τ )]n

e−

|x−ξ |2 4(s−a2τ)dξ dτ

+

Z t 0

Z

Rn

f(ξ , τ)[2apπ (t − τ )]n

e−

|x−ξ |2 4a2(t−τ)dξ dτ

Bài 2 Giải các bài toán Cauchy sau

Ta được

I1 = 2

√π

Z t 0

Z +∞

−∞ e−z2sin (x − 2√tz)dz

√π

sin x

dτ =

Z t 0

3τ2dτ = τ3

t

0= t3.Vậy u(x,t) = I1+ I2 = e−tsin x + t3

= I1+ I2

Z +∞

−∞ e−z2(cos x cos 2√tz+ sin x sin 2√tz)dz

√π

cos x

=

Z t 0

!dτ

=

Z t 0

e−τ(e−(t−τ)cos x)dτ =

Z t 0

e−tcos xdτ = τe−tcos x

... data-page="21">

Khi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai phương trình parabolictrong miền ta có ∆ = b2− ac = nên

b= ±√

a√c

Lúc ta có đường cong đặc trưng nghiệm phương trình: ... data-page="24">

Đây phương trình vi phân thường tách biến có nghiệm cho bởi

là dạng tắc phương trình parabolic. .. hàm liên tục bịchặn tập tương ứng

Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt tốn tìm nghiệmu(x,t) ∈ Cb2,1(GT) ∩C(GT) phương trình truyền nhiệt