Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình elliptic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ĐÀO THỊ THẢO XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng người đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Đồng thời, em xin trân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vây, em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Tác giả Đào Thị Thảo Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Elliptic” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân em. Không trùng khớp với bất kì công trình khoa học nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện bản khóa luận này, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Tác giả Đào Thị Thảo Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 Mở đầu 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Một số khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng . . . . . 6 1.1.3 Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng . . 7 1.1.4 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Bài toán Cô-si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và dạng chính tắc của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . 8 1.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến . . . . . . . 10 1.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa . . . . . . . . . . 13 1 1.3.1 Khái niệm hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Biểu diễn Green của một hàm điều hòa . . . . . . 14 1.3.3 Các tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 15 1.4 Các bài toán biên cơ bản đối với phương trình Laplace, Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối với phương trình Laplace hai chiều . . . . . . 18 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 26 2.1 Bài tập về một số khái niệm chung . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai của hàm hai ẩn về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình - Giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Bài tập về hàm điều hòa và các tính chất cơ bản của nó 42 2.4 Giải các bài toán biên đối với phương trình Laplace, Pois- son bằng phương pháp tách biến Fourier . . . . . . . . . 47 2.4.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật . . . . . . 47 2 2.4.2 Giải bài toán biên trong miền tròn . . . . . . . . 53 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 3 Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng lần đầu tiên được nghiên cứu vào giữa thế kỉ XIX trong những công trình của những nhà toán học như Euler, D’ Alembert, Lagrange và Laplace như một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình vật lí và cơ học. Từ khi xuất hiện cho tới nay, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các tư tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực toán học lí thuyết khác nhau. Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương trình đạo hàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bài toán liên quan, các cách tiếp cận các bài toán đó Tuy nhiên, do tính phức tạp của vấn đề, do thời gian hạn hẹp của chương trình đào tạo người học chủ yếu phải tự tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của giảng viên nên gặp không ít khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức và ứng dụng. Qua quá trình học tập, nghiên cứu em nhận thấy rằng các tài liệu về môn học này đều khá sâu và khó cho việc tự học. Vì thế em nghĩ rằng nếu có một hệ thống bài tập thích hợp, cùng với sự định hướng rõ ràng từ dễ đến khó, từ cơ bản đến trừu tượng thì sẽ giúp ích rất nhiều cho người học trong việc lĩnh hội những tri thức khoa học này. Với 4 suy nghĩ đó và nhận được sự động viên, hướng dẫn của T.S Trần Văn Bằng em đã chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Elliptic” làm khóa luận tốt nghiệp. Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức cơ bản về việc phân loại phương trình đạo hàm riêng, dạng chính tắc; khái niệm hàm điều hòa và các tính chất; các bài toán biên cơ bản; các phương pháp giải Trong chương 2 của luận văn, em sẽ trình bày một cách có hệ thống các bài tập tương ứng với các nội dung lý thuyết, có hướng dẫn giải phù hợp. 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm chung 1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , x 2 , , x n ) và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nó có dạng F (x 1 , x 2 , , x n , u, u x 1 , , u x n , u x 1 x 1 , ) = 0, (1.1) với x ∈ Ω ⊂ R n trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ) là các biến độc lập. F là hàm nào đó của các đối số của nó. 1.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm ∈ Ω. Nói chung 1 phương trình ĐHR thường có vô hạn nghiệm. 6 1.1.3 Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình. Ví dụ 1.1. Ta có: PTĐHR cấp 1: F (x 1 , x 2 , , x n , u, u x 1 , , u x n ) = 0. PTĐHR cấp 2: F (x, y, u, u x , u y , u xx , u xy , u yy ) = 0. 1.1.4 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phi tuyến tính Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng L[u] = f (x), (1.2) trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x. Ví dụ 1.2. Phương trình: a(x, y)u xx +b(x, y)u xy +c(x, y)u yy +d(x, y)u x +e(x, y)u y +g(x, y)u = f(x, y), là phương trình tuyến tính cấp 2. (i) Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất. (ii) Một PTĐHR không tuyến tính thì được gọi là phi tuyến. 7 [...]... 2π g(ϕ) sin kϕdϕ 0 Thay các hệ số vào (1.32), ta có thể đưa nghiệm đó về dạng tích phân Poisson sau đây: 2πR 1 u(r, ϕ) = 2π g(s) R2 − r 2 ds R2 + r2 − 2Rr cos(s − r) 0 Thay trở lại biến (x, y) ta có nghiệm của bài toán 25 Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 Bài tập về một số khái niệm chung Ví dụ 2.1 Xác định cấp của phương trình đạo hàm riêng sau: uxx... x2 + 3ux1 x3 = 0 Đáp án: a) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 b) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3 c) Phương trình đạo hàm riêng cấp 4 d) Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 27 e) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 f ) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3 Bài 2: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình tuyến tính, phi tuyến? Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không? a)... của phương trình loại Elliptic 12 1.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa Phương trình Laplace là phương trình có dạng: ∆u := ux1 x1 + ux2 x2 + + uxn xn = 0 Ở bài trước khi ta phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai n biến ta dễ dàng nhận thấy được phương trình Laplace thuộc loại Elliptic với giá trị riêng dương n+ = n Từ đó khi nghiên cứu về phương trình loại Elliptic thì người ta thường nghiên cứu về. .. tách biến Fourier giải bài toán biên đối với phương trình Laplace hai chiều Trong mục này chúng ta sẽ đề cập tới phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán biên đối với phương trình Laplace trong miền 18 chữ nhật và trong miền tròn Giải bài toán biên trong miền chữ nhật Bài toán: Cho bài toán biên Dirichlet với phương trình Laplace trong miền chữ nhật (0, L) × (0, M ) có dạng sau: ∆u = uxx... đạo hàm riêng có mặt trong phương trình ở phần a), b), c) rồi thay vào các phương trình đó Nếu (2.2) thỏa mãn phương 28 trình nào thì nó chính là nghiệm của phương trình đó Bài 4: Chứng minh rằng hàm 3 1 u(x, y) = f (x + y) + g(−3x + y) = (x + y)2 + (−3x + y)2 4 4 là nghiệm của bài toán Cauchy:   u + 2u − 3u = 0,  xx xy yy  u|y=0 = 3x2 , ∂u |y=0 = 0  ∂y 2.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm... phương trình thuộc loại Elliptic Bài 3: Phân loại các phương trình sau: a) Phương trình truyền nhiệt: ut − ∆u = 0 với (x, t) ∈ Rn+1 b) Phương trình truyền sóng: utt − ∆u = 0 với (x, t) ∈ Rn+1 Đáp án: a) Phương trình loại Parabolic b) Phương trình loại Hyperbolic 2.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai của hàm hai ẩn về dạng chính tắc Xét phương trình: a(x, y)Uxx + 2b(x, y)Uxy + c(x, y)Uyy + d(x,... 0,     u(0, y) = 0, u(L, y) = ϕ4 (y), 0 ≤ y ≤ M (1.17) Bốn bài toán trên có cách giải là như nhau Ta sẽ trình bày cách giải của bài toán (1.14) sau đó suy ra nghiệm của các bài toán còn lại Nghiệm của bài toán ban đầu chính là tổng nghiệm của bốn bài toán trên Ta xét: Bài toán biên thứ nhất: Giải bài toán biên Dirichlet với phương trình Laplace trong miền chữ nhật (0, L) × (0, M )   ∆u = uxx... iii) Phương trình thuộc loại Parabolic ⇔  √ x > 0, y = ± x Bài 2: Phân loại phương trình sau: 32 a) uxx + 2uyy + 2uxy − 2uxz = 0 7 b) 2 uxx + 2uyy + 1 uzz − 2uxy + 2uxz − y 2 z = 0 3 c) uxx + 2uxy + 6uzz + 2uxy − 2uxz = 0 ∗ Gợi ý: Làm tương tự như ví dụ 2.4 ta được kết quả a) phương trình thuộc loại Hyperbolic, phần b) phương trình thuộc loại Parabolic, phần c) phương trình thuộc loại Elliptic Bài. .. 1.2 Bài toán biên Dirichlet tổng quát ở trên đây có nghiệm bằng tổng các nghiệm của 4 bài toán trên Hoàn toàn tương tự ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để giải các bài toán biên khác trên miền chữ nhật 23 Giải bài toán biên trên miền tròn Gọi BR là hình tròn tâm O bán kính R trong mặt phẳng: Xét bài toán Dirichlet:   ∆u = uxx + uyy = 0, với x2 + y 2 < R2 ;  u| ∂BR = f (x, y) Để giải bài. .. = 1 > 0 và suy ra ngay phương trình thuộc loại Hyperbolic Ở phần b) tương tự vậy ta tính được ∆ = 0 và suy ra ngay phương trình thuộc loại Parabolic Còn ở phần c) ta sẽ tính được ∆ = y 2 − x Ta sẽ phải biện luận các trường hợp của x, y để tìm ra loại của  phương trình Ta có:  −√x < y < √x, i) Phương trình thuộc loại Elliptic ⇔  x > 0  x < 0,    x = 0, y = 0, ii) Phương trình thuộc loại Hyperbolic . tách biến Fourier giải bài toán biên đối với phương trình Laplace hai chiều . . . . . . 18 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 26 2.1 Bài tập về một số khái niệm. đoan, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Elliptic . NỘI 2 KHOA TOÁN ĐÀO THỊ THẢO XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà