Khóa luận tốt nghiệp toán XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởinhững ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn.Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của toán học.. Nóliên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

DƯƠNG THỊ ANH

XÂY DựNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLICKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S T r ầ n V ă n B ằ n g ,

người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoànthành khóa luận tốt nghiệp của mình

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện

để em hoàn thành khóa luận

Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ,giúp đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình họctập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên

Dương Thị Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của T S T r ầ n V ă n B ằ n g

khóa luận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào khác

Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên

Dương Thị Anh

1Mục lục

2

59 60

2.5.2 Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần nhất 56

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa họckhác Nó gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởinhững ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn.Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của toán học Cũng nhưcác môn học khác của toán học, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ

sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế Nóliên hệ trực tiếp với các bài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật

lí dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng Ra đời từ những năm 60,phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mìnhtrong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng Phương trình đạo hàmriêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng Đặc biệt phươngtrình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng rất lớn trong khoa học vàtrong thực tiễn Như chúng ta đã biết việc giải các phương trình đạo hàm riêngloại Hyperbolic rất khó khăn và phức tạp Nếu có hệ thống phân loại bài tậpphương trình Hyperbolic thì người học sẽ tiếp thu kiến thức dễ hơn Vì vậy,với lòng yêu thích môn học này và để hiểu rõ hơn, khắc sâu hơn lí thuyết vàcách giải các phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic Đồng thời giúpngười học tiếp thu hiệu quả kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nên nhờ

sự giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình của T S T r ầ n V ă n B ằ n g em đã chọn

nghiên cứu đề tài:

"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình

Hyperbolic "

Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương Chương 1: trình bàycác khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trìnhđạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng; bài toán hỗnhợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải vềphương trình Hyperbolic

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàmriêng Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trìnhHyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần nhất trong

không gian n chiều Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơ bản: bài toán

Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng

1.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1 M ộ t p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m r iê n g là một phương trình

có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm Nó có dạng

F{x\, x 2 , x n Ị w, u X l ,u X n 1 Uxixi J ■•■) — 0; ( 1'1)

X E c Kn, trong đó X = {x i , x 2 , xn) là các biến số độc lập, u là ẩn hàm của các

Một n g h i ệm của (1.1) trên Q là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần

thiết trên íỉ và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí sau:

1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao càngphức tạp)

2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơngiản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càng phức tạp).3) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian thìđược gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình dừng) Kíhiệu biến thời gian là í, các biến còn lại là biến không gian

Định nghĩa 1.2 cấ p của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của

đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

Ví dụ 1.2 Phương trình

d 2 u

= 2 X + y

dxdy

là phương trình đạo hàm riêng cấp 2

Định nghĩa 1.3 Một phương trình đạo hàm riêng là t u yế n t í n h nếu nó có

nói phương trình đó là kh ô n g t h u ầ n n h ấ t.

Ví dụ 1.3 +) u t + c u x = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất

+) a ( x, y ) u x x + 2u X y + 3x 2 Uy y = 4e x là phương trình tuyến tính khôngthuần nhất

Định nghĩa 1.4 Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là

đã cho trên Q, ũ ị j = C L j i và các ũ ị j không đồng thời bằng không.

Việc phân loại phương trình (1.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số của các đạo hàm

riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau Gọi A ( x ) = [a ị j ( x ) ] là

ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai.

Tại mỗi X e íĩ cố định A ( x ) là một ma trận thực, đối xứng nên A ( x ) có đúng n

giá trị riêng thực Ta nói:

+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic tại X nếu A ( x ) có n giá trị riêng

n + 1

cùng dấu;

+) Phương trình (1.3) thuộc loại hyperbolic tại X nếu A ( x ) có một giá

trị riêng trái dấu với n — 1 giá trị riêng còn lại;

+) Phương trình (1.3) thuộc loại parabolic tại X nếu A ( x ) có một giá trị

riêng bằng 0 còn n — 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;

+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trên

miền Q nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm lẽíì Ví dụ

1.4 a) Phương trình Laplace

n

A u = ^2 u X i X i = ũ , x e R '

i= 1

là phương trình elliptic trên Mn

b) Phương trình truyền nhiệt

A =

(1.5)

ac

Đặc biệt khi n = 2, phương trình (1.3) có dạng:

a(x, y)u x x + 2b(x, y)u x y + c(x, y)u y y + d(x, y, u, u x , U y ) = 0, (1.4)

( x, y ) ẽ M2, trong đó các hệ số a, b , c là các hàm liên tục của hai biến ( x , y ) đã cho; a, b , c không đồng thời bằng không Khi đó tại mỗi (x, y ) ma trận các hệ số

của các đạo hàm riêng cấp hai là

không, nên (1.4) thuộc loại parabolic

1.3 Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic, elliptic và parabolic

Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm

u(x) = u(x ị,x 2 , —,x n )

1 1

(1.6)

Ỡ 2 Í

Xj Xị

(1.8)

y ÔXị s,r

kl

(1.9)

i,j= 1

X e ri, trong đó các hệ số ũ ị j là các hàm liên tục đã cho trên íỉ, C L ị j = a 3 l

và các a , ị j không đồng thời bằng không.

Thực hiện phép đổi biến đối với (1.6)

Giả sử £ = £(a;) là một phép đổi biến thuộc lớp c2

và không suy biến, tức là

Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x ữ

thì (Ị1.7Ị) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tại điểm

do đó A(£o) CÓ dạng đường chéo như trên và phương trình (1.7) lúc đó

được gọi là d ạ n g c h í n h t ắc của phương trình (1.6) tại điểm X Q

Chú ý:

1) n > 2 , không tìm được phép đổi biến đưa (1.6) về dạng chính tắc trong một miền

2) Khi ữij không phụ thuộc X thì ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng

cấp hai có dạng đường chéo như trên tại mọi điểm nên ta có:

Xi 0

0 A2

0 0 0

0 0 0 0

0

0 À„

+ Nếu (1.6) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:

n

—l

i

=

1+ Nếu (1.6) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:

n

+0(fi, ,u,uỄ 1, ,uỄB) = 0;

i= 1+ Nếu (1.6) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:

7 1 — 1

$^«66 +ỡ -,«0 = 0.2—1

* Cách đưa phương trình hyperbolic, elliptic, parabolic về dạng

chính tắc Xét phương trình:

a(x, y)u x x + 2b(x, y)u X y + c(x, y)u y y + d(x, y, u, u x , U y ) = 0.

Giả sử £, ĩ ) là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của X , y Xét phép

đổi biến

£ = i{x,y)

V = v{x,y) thỏa mãn D&rj)

^0

D{x,y)

phương trình thuộc loại hyperbolic nên A7 > 0.

Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phân biệt

b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền.

Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên A' < 0

Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức

d y b ± i \ / Ã

và tích phân hai phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát

ộ l ( x, y ) ± i ệ 2 ( x , y ) = c.

Với phép đổi biến £ = ệ i ( x, y ), 77 = 02 { x, y ), ta sẽ nhận được dạng chính

tắc của phương trình elliptic là:

+ u vv = d * (£> v, u, u v ).

c, Trường hợp phương trình parabolic trong một miền.

Do phương trình thuộc loại parabolic nên A ’ = 0.

Khi đó phương trình (1.13) có nghiệm

1 7

Định lý 1.1 Bài toán Cauchy (Ị1.14Ị)- (Ị1.16Ị) có không quá một nghiệm

trong c2

(R n X [0, oo))

Chứng minh Xem [1], Định lý 1.1, trang 114

1 8

e M 3 , t > 0,

a :

u

*hì I

dÇdr

1.4.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy

1.5.1 Sự tồn tại nghiệm Phương pháp tách biến

Bài toán l:Tìm nghiệm của phương trình:

[ X{L) = 0

Suy ra X ( x ) = 0, ta lại chỉ được nghiệm tầm thường.

Rõ ràng c27^ 0, vì nếu c2 = 0 thì X ( x ) = 0, ta chỉ có nghiệm tầm thường.

Vì c2 Ỷ - 0 nên từ c2 sin y / X x = 0 cho ta:

k 2 TT 2

sin y / X L = 0 <=> À =

L 2 'Bài toán có nghiệm:

X k (x) = C Ị sin ^y-x, Cỵ — consí.

nghiệm của phương trình đó.

Theo điều kiện ban đầu:

Li

«Ả :

k ĩ ĩ x

sin - d x

dr

kTĩat\ kiĩx sin

Tkiỳ) =

fdí

-0 Lo

Bài toán 3: Tìm nghiệm của phương trình:

' d^u ỡ^u

№ = a d ầ + 9 { x ' t ) ' ữ < * < L ’ t > ữ ’ u(0,t) = 0;u(L,t) = 0, t > 0,

trong đó:

ктт а

L

Ị Ф ( X) si

0

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình

Hyperbolic

Trong chương này chúng ta đi nghiên cứu các ví dụ và bài tập có hướng dẫn giải

về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; nghiệm tổng quát;bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng trong trường hợp 1 , 2 , 3chiều

Hơn nữa chúng ta còn nghiên cứu ví dụ và bài tập về phương pháp tách biến Đểgiải bài toán hỗn hợp, trong rất nhiều trường hợp ta dùng phương pháp tách biếnhay thường gọi là phương pháp Fourier

2.1 Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riềng

Ví dụ 2.1 Tìm cấp của phương trình đạo hàm riêng sau:

Vậy u ( x , t ) = cos ( X — c t ) là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2.3 Phương trình sau là tuyến tính hay phi tuyến Trong trường hợp

tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không?

Lời giải

Phương trình đã cho là tuyến tính do u x x + U y y — 2u là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ số là các hàm của biến độc lập X Hơn nữa là phương trình tuyến tính không thuần nhất.

B à i t ậ p 1: Tìm cấp của các phương trình đạo hàm riêng sau:

a) u x x x + uX y + a (X ) U y + ln u = f ( x , y )

U X X y Ĩ L f (X , y)

c) u u x x + U y y 2 + e u = 0

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3

b) Phương trình đạo hàm riêng cấp 4

c) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2

B à i t ậ p 2: Chứng minh rằng:

a) u (x, y) = X 2 — 2y là nghiệm của phương trình

b) u (X , t ) = sin (2 x + 21 ) là nghiệm của phương trình

u x — Uị = 0.

Hướng dẫn giải:

+) Tính các đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

+) Thay vào phương trình ta suy ra điều phải chứng minh

B à i t ậ p 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là tuyến tính, phi

tuyến Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không

&) U X y u

b) u u x + x u y = 0

c) u x + 2u = 2xy.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình tuyến tính thuần nhất

b) Phương trình phi tuyến

c) Phương trình tuyến tính không thuần nhất

2.2 Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Ví dụ 2.4 Xác định loại của các phương trình sau và đưa chúng về dạng chính

tắc

^ x x 3U y y ~ ị ~ U y 0

Lời giải

+) Trước hết ta xác định các hệ số a, b , c và tính A Ta có a = 1, b = —1 , c

= —3 Do b 2 — a c = l + 3 = 4>0 nên phương trình thuộc loại hyperbolic.

+) Phương trình vi phân thường đặc trưng:

Ta có

-1 3

1 1

—6w Ễ7? 4- 9^^ — 2 (—Ii££ 4- 2m^ 4- 3^^) — 3 (Utf + 2+ u^)

Ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là

có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai

det ( A — X I ) = 0 28

A =

0 2 0 -

1 0 0

Suy ra có 3 giá trị riêng, có 1 giá trị riêng trái

dấu với 2 giá trị riêng còn lại

Vậy phương trình đã cho thuộc loại hyperbolic

có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình

a) Phương trình Laplace.

T I

A u = u x x — 0, X G

i = 1

là phương trình elliptic trên Mn

b) Phương trình truyền nhiệt

Bước 1: Đưa phương trình về dạng chính tắc,

Bước 2: Lần lượt lấy tích phân theo 2 biến,

Bước 3: Nghiệm tổng quát

Ví dụ 2.7 Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Lời giải

Do b 2 — a c = l + 3 = 4>0 nên phương trình thuộc loại hyperbolic Phương

trình vi phân thường đặc trưng:

Thay vào phương trình ta có

- 6Ufr + 9-2 (—Utf + 2Ufr + 3u n r ì ) - 3 (ĩitf + 2+ Ujjjj)

Xét phương trình vi phân thường đặc trưng:

D

(6 ĩj)

J =

Thay vào phương trình đầu ta được

Ii££ — 6ií£jj + 9 и п п + 2 (w££ — 2ií£,j — З и щ ' ) — 3+2 u ç v+lijjjj) =О

«=> Щ г, = 0.+) Tìm nghiệm tổng quát

ư i ) ' ( x ) - Ъ д \ - Ъ х ) = 6ж.

Mà Uyịy—Q = + g' { - 2> x ) = 0 Ta suy ra

{h)'{x) +g'(-3x) = 0

ự i ) ' ( x ) - З д ’ ( - З х ) = 6xx

+ yý B à i t ậ p 1: Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

u x x — 2 sin xu X y — cos X U yy — cos X U y = 0

Thực hiện phép đổi biến

+) Nếu a Ỷ 0 thì A > 0 ta suy ra phương trình thuộc loại hyperbolic Xét

phương trình vi phân thường đặc trưng:

Ta sẽ đưa phương trình đầu về dạng chính tắc: U { v = 0

y = -l,

y ' = -2.

/ X 1

u ( X , t ) = -

v

’ ’ 2?r

d Ç d r ]

Theo công thûc Kirchhoff ta co:

Doi sang toa rîô càu

d_

47T d t u