Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khố luận Trong khn khổ có hạn khố luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thắm LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hồn thành khố luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình vi phân ” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thắm Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân cấp 1.1.1 Phương trình biến số phân ly 1.1.2 Phương trình vi phân 1.1.3 Phương trình đưa phương trình 1.1.4 Phương trình vi phân tồn phần 1.1.5 Phương trình tuyến tính cấp 1.1.6 Phương trình Becnuli 10 1.1.7 Phương trình Đacbu 10 1.1.8 Phương trình Lagrăng phương trình Clerơ 10 1.1.9 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm 12 1.2 Phương trình vi phân cấp cao 14 1.2.1 Phương trình tuyến tính với hệ số 15 1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số 17 1.2.3 Các phương trình vi phân cấp cao hạ cấp 19 Chương Hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình vi phân 21 2.1 Bài tập phương trình vi phân cấp 21 2.1.1 Phương trình với biến số phân ly 21 2.1.2 Phương trình vi phân 22 2.1.3 Phương trình vi phân đơn giản đưa phương trình 23 2.1.4 Phương trình vi phân tồn phần 26 iii 2.1.5 Phương trình tuyến tính cấp 28 2.1.6 Phương trình Becnuli 29 2.1.7 Phương trình Đacbu 30 2.1.8 Phương trình Lagrăng phương trình Clerơ 32 2.1.9 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm 34 2.2 Bài tập phương trình vi phân cấp cao 36 2.2.1 Phương trình tuyến tính với hệ số 36 2.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính không với hệ số 37 2.2.3 Các phương trình vi phân cấp cao hạ cấp 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Cũng mơn khoa học khác, phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi từ thực tế Đặc biệt phương trình vi phân có nhiều vật lí, sinh học thực tế Chẳng hạn, vật lí phương trình vi phân xuất thơng qua tốn vận tốc, gia tốc nhờ tính đạo hàm cấp cấp hai Do đó, việc học tập nghiên cứu phương trình vi phân việc làm quan trọng Mặc dù xuất phương trình vi phân trường THPT chưa tường minh Học sinh làm quen với phương trình vi phân thơng qua số phương trình đạo hàm đơn giản Trong tương lai lí thuyết kiến thức phương trình vi phân đưa vào giảng dạy nhiều chương trình THPT Một phương trình vi phân có nhiều cách giải Do vậy, khiến cho người giải gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn cách giải cho phù hợp Chính phong phú đa dạng phương pháp giải phương trình vi phân sở lí thuyết phương trình vi phân lí thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân làm em u thích mơn học Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng bảo tận tình TS Trần Văn Bằng, em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: "Xây dựng hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình vi phân " Ngồi mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Hệ thống tập Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nêu tóm tắt khái niệm kết cần thiết để sử dụng Chương Các kiến thức phương trình vi phân cấp trình bày Mục 1.1, kiến thức phương trình vi phân cấp cao nêu Mục 1.2 1.1 Phương trình vi phân cấp Trong mục nhắc lại số khái niệm liên quan tới phương trình vi phân cấp một, số tính chất định tính nghiệm, đặc biệt cách tích phân số dạng phương trình cụ thể như: Phương trình với biến phân ly, phương trình nhất, phương trình tuyến tính, Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân cấp có dạng tổng qt F(x, y, y ) = 0, y = (1.1) dy dx Nghiệm phương trình (1.1) khoảng (a, b) hàm y = y(x) ∈ C1 (a, b) cho vào phương trình (1.1) ta nhận đồng thức khoảng Nếu từ (1.1) ta giải y : y = f (x, y), (1.2) phương trình (1.2) gọi phương trình cấp giải đạo hàm Thực tế cho thấy, phương trình vi phân thường có vơ số nghiệm Nói chung, tập hợp tất nghiệm phương trình vi phân cấp một họ hàm phụ thuộc tham số (hằng số bất kỳ) Do đó, để xác định nghiệm cụ thể cần phải có điều kiện bổ sung Một điều kiện bổ sung điển hình cho biết giá trị nghiệm điểm x0 đó: y(x0 ) = y0 Trong trường hợp biến x thời gian, điều kiện gọi điều kiện ban đầu Khi có khái niệm tốn Cơ si sau đây: Bài tốn Cơsi: Là tốn tìm nghiệm y(x) phương trình (1.1) (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(x0 ) = y0 , x0 , y0 giá trị cho trước Định nghĩa 1.2 (Nghiệm tổng quát) Giả sử G miền mặt phẳng (x, y) cho nghiệm tốn Cơsi phương trình (1.2) tồn nhất, với (x0 , y0 ) ∈ G Ta nói hàm y = ϕ(x,C), (1.3) nghiệm tổng quát phương trình (1.2) miền G thỏa mãn điều kiện sau (i) Từ hệ thức y0 = ϕ(x0 ,C) ta giải C = ψ(x0 , y0 ), ∀(x0 , y0 ) ∈ G (1.4) (ii) Hàm ϕ(x,C) nghiệm (1.2) với giá trị C xác định từ hệ (1.4) Định nghĩa 1.3 (Tích phân tổng quát) Nếu nghiệm tổng quát phương trình (1.2) cho dạng ẩn φ (x, y,C) = hay ψ(x, y) = C hệ thức gọi tích phân tổng qt phương trình cho Định nghĩa 1.4 (Nghiệm riêng) Nghiệm phương trình (1.2) mà điểm tính nghiệm tốn Cơsi bảo đảm, gọi nghiệm riêng Định nghĩa 1.5 (Nghiệm kì dị) Nghiệm phương trình (1.2) mà điểm tính tốn Cơsi bị phá vỡ gọi nghiệm kì dị Đối với tốn Cơ si, ta có kết tồn tính nghiệm sau Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện sau a f liên tục miền G b f thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y G Khi ứng với điểm (x0 , y0 ) ∈ G tồn nghiệm y = y(x) phương trình y = f (x, y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0 ) = y0 Nghiệm xác định đoạn [x0 − h, x0 + h], h xác định phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar Tiếp đến, chúng trình bày số dạng phương trình vi phân cấp tích phân được, với cách tích phân phương trình 1.1.1 Phương trình biến số phân ly Định nghĩa 1.6 Phương trình biến số phân ly phương trình dạng M(x)dx + N(y)dy = 0, M, N hàm liên tục Để giải phương trình với biến số phân ly ta việc lấy tích phân hai vế phương trình Khi tích phân tổng quát phương trình biểu thức M(x)dx + N(y)dy = C Phương trình khơng có nghiệm kì dị 1.1.2 Phương trình vi phân Định nghĩa 1.7 Hàm f (x, y) gọi hàm bậc m với t ∈ R ta ln có đồng thức f (tx,ty) = t m f (x, y) Nếu đồng thức thỏa mãn với t > ta nói hàm f (x, y) hàm dương, tương tự ta có định nghĩa hàm âm Định nghĩa 1.8 Phương trình vi phân M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1.5) gọi phương trình vi phân M(x, y), N(x, y) hàm bậc Nếu (1.5) phương trình đưa dạng dy y = ϕ( ) dx x (1.6) Để giải phương trình ta đưa phương trình với biến số phân ly phép y = zx, z hàm phải tìm Cụ thể, thay y = zx vào phương trình (1.6) ta phương trình xdz − [z − ϕ(z)]dx = Giả sử ϕ(z) = z Tích phân phương trình với biến số phân ly ta ψ(z) + ln |x| = C, dz z − ϕ(z) Trở lại biến cũ ta tích phân tổng qt phương trình (1.6) ψ(z) = y ψ( ) + ln |x| = C x Nếu z ≡ ϕ(z) ta có dy y = dx x ... Phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số 17 1.2.3 Các phương trình vi phân cấp cao hạ cấp 19 Chương Hệ thống tập có hướng dẫn giải phương trình vi phân 21 2.1 Bài. .. t + 2t Bài tập Giải phương trình vi phân sau y= y2 + ln y Hướng dẫn Đặt y = t, đưa phương trình phương trình sau t2 y = + lnt Lấy vi phân phương trình thay dy = tdx ta dx = (1 + Tích phân hai... đó, vi c học tập nghiên cứu phương trình vi phân vi c làm quan trọng Mặc dù xuất phương trình vi phân trường THPT chưa tường minh Học sinh làm quen với phương trình vi phân thơng qua số phương trình