Luận văn bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI PHẠM TH Ị HƯƠNG BAI TOAN CAUCHY CHO HẸ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP MỘT LUẬ N VĂN TH Ạ C SĨ TO Á N HỌC HÀ N Ộ I, 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI PHẠM TH Ị HƯƠNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP MỘT Chuyên ngành : Toán giải tích Mã so : 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIEN NGOẠN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, thắng năm 2015 Tác giả P h m T h ị H ương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "B i to n C a u ch y cho h ệ ph n g tr ìn h hyperbolic cấp m ộ t " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, thắng năm 2015 Tác giả P h m T h ị H ương M ục lục M ỏ dầu 3 3 4 5 C ác k iến th ứ c ch u ẩn bị 1.1 Một số khống gian hàm 1.1.1 Khống gian L 1.1.2 Khống gian 1.1.3 Không gian Sobolev w< 1.1.4 Không gian cm([a, b], E) 1.1.5 Không gian ó? y 1.2 Biến đối Fourier 1.2.1 Biến đối Fourier không gian Schwartz 5? 1.2.2 Biến đỗi Fourier khống gian 1.2.3 Biến đối Fourier khống gian 5?' 1.3 Toán tử làm trơn 1.4 Toán tử giả vi phân toán tử tích phân kì dị 1.5 Khái niệm nửa nhóm 1.5.1 Nửa nhổm 1.5.2 Toán tử sinh nửa nhổm 1.5.3 Phương trình vi phân khống gian Banach 1.5.4 Định lý Hille-Yosida 10 10 10 11 11 H ệ p hư ng tr ìn h h y p erb o lic với hệ số b iến th iê n không p h ụ th u ộ c th i gian 2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp 2.1.1 Đinh nghĩa 2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh 2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh 2.2 Bất đẳng thức lượng L hệ đối xứng 15 15 15 17 19 23 , / , , 7 Trường hợp đạo hàm theo t nghiệm bình phường khả tích 2.2.2 Trường hợp đạo hàm theo t nghiệm khống bình phương khả tích Bài toán Caưchỵ cho hệ phương trình đối xứng vổi đạo hàm theo t nghiệm thuộc cữ([0, T ] , L 2) 2.3.1 Các tính chất toán tử A 2.3.2 Bất đẳng thức lương L 2.3.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C Q([0, T ], L 2) Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t nghiệm thuộc c° ([0, T1] , wỉ) 2.4.1 Các tính chất toán tử Ả 2.4.2 Bất đẳng thức lương W 2.4.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc c° ([0,T ] , W j) 2.2.1 2.3 2.4 23 25 28 28 31 31 32 32 36 37 K ế t lu ận 39 Tài liệu th a m kh ảo 40 M đầu Lí chọn đề tài Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một hệ phương trình lý thuyết phương trình đạo hàm riêng mô tả trình truyền sóng khác Song toán Cauchy hệ phương trình loại thường xét trường hợp với hai biến độc lập Trường hợp với số biến bất kỳ, toán Cauchy thường xét với giả thiết hệ đối xứng hệ số hệ phương trình số không phụ thuộc biến thời gian t Việc tổng quan lý thuyết cần thiết để có cách tiếp cận thống trường hợp khác Bố cục luận văn gồm hai chương Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị: số không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị, khái niệm nửa nhóm toán tử sinh nó, toán Cauchy phương trình vi phân không gian Banach Trong chương trình bày nội dung chủ yếu là: hệ phương trình hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên không phụ thuộc thời gian, toán Cauchy cho hệ này, bất đẳng thức lượng, phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [2] Mục đích nghiên cứu Trình bày cách hệ thống lý thuyết toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp phương pháp biến đổi Fourier công cụ toán tử giả vi phân Trên sở nhận công thức biểu diễn nghiệm tường minh toán Cauchy hệ số số Nhiệm vụ nghiên cứu Nêu bước giải toán Cauchy cho hệ phương trình hyper­ bolic tuyến tính cấp trường hợp hệ đối xứng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp trường hợp đối xứng với hệ số biến thiên không phụ thuộc thời gian Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp Giải tích hàm tuyến tính Các phương pháp định lượng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đóng góp Luận văn tài liệu tổng quan toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp trường hợp hệ đối xứng hyperbolic mạnh Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 K h ô n g g ian L Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Không gian L (hay L (Rn)) không gian gồm hàm u đo có chuẩn: N h ậ n x é t 1.1 Không gian L không gian Hilbert với tích vô hướng 1.1.2 K h ô n g g ian ẩễm Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Không gian ẩẽm (hay ẩẽm (Rn)) không gian bao gồm tất hàm u(x) thỏa mãn D au (x), \a\ < m liên tục bị chặn Mn với chuẩn u (x )\m= ^ sup |Dau(a;)|, , 7_x€Rn \a\< 71 a = (« , OÍ2, âm, |qíI = cấp Qố Oín) kí hiệu đa số với aj số nguyên không ữị D au = 7r)/r> — -u đươc goi đao hàm suy rông r)/T* n 1.1.3 K h ô n g g ian Sobolev w 2m Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Không gian w 2™ (hay W2m (Mn)) không gian bao gồm tấ t hàm u (x) € í/2, cho D au (z) G L với \a\ < m trang bị chuẩn N h ậ n x é t 1.2 Không gian w 2m không gian Hilbert với tích vô hướng (u (x) , V (x))Wm = ^ j D auD avdx 0t Từ giả thiết (2.18) ta có A k e # , B G ẩẽũ (2.27) Ta viết A = ^ A k (x) ^ —+ B ( x ) (2.28) ƠXk Khi Định lý Hille-Yosida áp dụng sau: Ta chọn {A) = {w; u G L 2, Au e L 2} (2.29) miền xác định A Chú ý u E L 2, Au € [v v ^ Cho A số thực cho u £ W ( c @ (A)) Trong trường hợp ta có: \ \ { I - X A ) u\\2 = ((/ - XA) u, ự - X Á) u) = ||w||2 —A {(Au, u ) + (w, Au)} + A2 \\Au\\2 Xét đối xứng A k (2.20) ta có (u, Au) = ị u A k ^ —u^ + (w,5w) - (Ak (x)u) , u ) + (u , B u ) =-E Ỳ ÍJ Vã fc / Vì tồn số /3 dương với 11(7 —XÁ) u\\2 > ( - /3 |A |) |M |2 Với £q đủ nhỏ ta có 11(7- XA) u\\ > (1 —/3 |À|) ||w||, |À| < s0 (2.30) 30 Tiếp theo ta chứng minh (2.30) với u € & (A ) bất kì, sử dụng toán tử làm trơn ta có (7 —ÀA) u (ipỹ * u) = 0 ỗ —>0+ Vì (fs * u € W ta có: 11(7 - XA) (tps * ù )II > (1 - /3 |A|) \\(p6 * líII Nếu ổ —>0+ hai vế bất đẳng thức tiến đến hai vế (2.30) Cuối ta kết luận (2.30) với u £ (Á) Từ ta có: Đ ịn h lý 2.6 (7 —XA), À 7^ 0, |À| < e, với £ số dương đủ nhỏ thu song ánh từ @(Á) lên L Chứng minh (1) Chú ý (7 —ÀA) & (A) đóng L Từ thấy A đóng Thật vậy, từ un —y suy A un —y [W2 A u n —> Vq L Vq = đơn ánh từ L lên \ w ị ] ' song ánh Bây giờ, cho (7 —ÀA) un —>Vq Khi theo (2.30), {wn} dãy Cauchy Do đó, un —>Uq £ L Nhưng {Aun} dãy Cauchy Từ ta thấy A toán tử đóng Ta có Uq G @ (A) Aun —>■A u0: tức v0 = (7 —ÀA) uữ ( 2) Im ((I —AA)u0) trù mật L 2, không tồn ĩị) ^ (g L2) ((/ —XA) u,ĩị>) = 0, w G (A) Điều với u ^ A c ([0,T ], [ w ị]') Khi ta có bất / /, 1V đắng thức lượng (Ị2.19D đúng, tức ỉà I« Wll < e7Í IIu (0)11 + J t 57 ( [ ,I ] ,[ W ị ] ') Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.30) Định lý 2.6, áp dụng Định lí Hille-Yosida, ta thấy cho Uq G L 2, / (t ) G ơ° ([0,T] ,Z/2) Khi tồn nghiệm u (t ) G (7° ([0, T ] , I/2) Giả sử u0 € í/2, / (t) € ([0, T] , L2) Với w0 / (í) thỏa mãn giả thiết định lí ta xét với toán tử làm trơn ips để có Uq ^ = (ps * u0 fs (t ) = tps* f (ì)- Vì tồn X nghiệm u (t) G c ^[0,T ], [vv^]^ Khi ta áp dụng bất đẳng thức lượng (2.19) Us (t ) — Us' (t ) với T cố định (T > 0), ta có U q1 + Ỉ Ư s i t ) - f6'(t)\\idt raax IIus (t) - US' (í) ll! < c (T) U q fì ,|A | < £l (2.33) chuẩn w ị Ta chứng minh phần tương tự với Định lý 2.6 Ta thấy (I — XÁ) @ (A) đóng W 2, ta cần chứng minh tính trù mật chi tiết Bổ đề 2.2 Giả sử a € ồỗí+ơ,ơ > cho A toán tử tích phân kì dị định nghĩa theo công thức (1.13) Khi đố toán tử Cu với a(x) A, Cu = (a (X) A —Aa (a;)) u toán tử bị chặn L 33 Chứng minh Ta cần chứng minh trường hợp u € Với toán tử Riesz định nghĩa theo (1.16), ta viết d (Cu) (x) = ỵ a {x ) r 3q u - Rj ỹ - (a M u) j 3 d d dxj Hạng tử cuối toán tử bị chặn, ta đánh giá hạng tử Ta có í Ve(x)= / J {a(aO - a(y)}Rj (x - y) du (y) dy dVj \x-y\>e I = [a(x) - a (y)]Rj ( x - y ) u (y ) cos'fdSe \x-y\=e + Ị Q ^ ( y ) Rj { x - y ) u (ỳ) dy \x-y\>£ + Ị [ a ( x ) - a (y)] { x - y ) u (y) dy \x-y\>£ Nếu ta cho £ —>0+ hạng tử hội tụ đến hàm đánh giá c Ia (x)^ Iu (x)| Do chuẩn L hạng tử đánh giá c Ia (x)^ \\u\\ Tiếp theo, ta đánh giá hạng tử thứ hai.Ta viết v.p.Rj (a;) * ax (a;) u (X) Vì ta đánh giá đượchạng tử thứ hai Cuối ta đánh giá hạng tử thứ ba, ta tách hạng tử thứ ba thành hai tích phân sau J j dy + £[...]... Điều này cho thấy điều kiện của Hadamard không thỏa mãn Do đó (2.1) không phải là một hệ hyperbolic Vậy định lý được chứng minh □ 2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ đối với tính hyperbolic mạnh của hệ phương trình đối xứng Đ ịnh lý 2.2 Cho A k là các ma trận Hermitian, khi đó hệ phương trình (2.3) là hệ hyperbolic mạnh 20 Chứng minh Cho A k là một ma... A2—i£iA + Phương trình có nghiệm Ai>2 (6 ) = 1 ± = 0 %/3f? Vã 2 Ta có |ReAi 2 (£i)| = ——|£i1 Do đó không thỏa mãn điều kiện Hadamard (2,5) Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic Đ ịnh nghĩa 2.2 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic mạnh nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [u] = Ỡĩl ỡt n Ỡĩl — ^2/Aỵk=i 1dxi thì hệ vẫn là hyperbolic Đ ịnh nghĩa 2.3 Hệ phương trình (2.1)... ^ II«( 0)11 + j l l /( S) N S 0 □ bằng phương pháp chuyển qua giới hạn 2.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t của nghiệm thuộc c° ([0, T ], L2) Ta xét bài toán Cauchy tổng quát: Tìm hàm u (X) thỏa mãn du vt JL ỡu k=í ƠXỵ = £ A k (x) „ -, - + B u (x) + / (a;) (2.26) u (0) = Uq (X ) Theo bất đẳng thức năng lượng (2.19), nếu bài toán Cauchy có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất... được gọi là điều kiện Hadamard V í d ụ 2.1 Xét hệ phương trình d_ Ui dt _ u2 với Aị ' 0 1 1 2 d dxi ' _ Ui u2 ( 2 6 ) _ 0 1 1 2 Ta có A -*& -i£ i A - 2ifi = A2 - A*à - i2g = 0 Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = ỉti1 ± ỉ£i\/2Do đó ReAx 2 (£i) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5) Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic V í d ụ 2.2 Xét hệ phương trình d_ dt với Ai Ta có 1 1 -1 0 Uị _u2 1 1 -1... của phương trình đặc trưng P(\-,Z) = d e t ị \ I - i ị AÁ - B j = 0 (2.2) là Ai (Í), ,A S (í) Xét hệ phương trình gồm phần chính , , r ! du " [ “] = * A:=l * du = °- /n (2 -3) 16 Xét các nghiệm đặc trưng Àj (£) của p (A; í) = det ị x i - ị A & ' j = 0, (2.4) ở đó Àj (£) là các hàm thuần nhất bậc một Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic nếu tồn tại một hằng số c >0, sao cho. .. hyperbolic tuyến tính cấp một Đ ịn h n g h ĩa Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một có dạng tổng quát là õu ^ X— > Õu k=i " Ui ( x , t ) ở đó u (x, t ) = , - = 2 2 A k { x , t ) ^ - + B { x , t ) u + f ( x , t ), \ (2.1) k ' • ' /l (z, í) , /(M ) = UN ( X , t ) ' • Ỉ N (x, t) _ A k (x, t ) và B (x, t ) là các ma trận vuông cấp N Dưới đây ta xét hệ phương trình với hệ số biến thiên và không... m Cho toán tử Ả có miền xác định @ (A) là tập hợp D trong (1.17) Toán tử A cho bởi Au = lim — -и (1-18) t“ o+ t v } 11 được gọi l toán tử sinh của nửa nhóm Tị N h ậ n x é t 1.4 Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định @ (A) là trù mật trong E, nhưng nói chung Ả không là toán tử bị chặn 1.5.3 P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n tro n g k h ô n g gian B an ach Ta xét bài toán Cauchy. .. có toán tử sinh cực tiểu A Trong trường hợp này ta giả sử Tt chưa là một toán tử tuyến tính thỏa mãn lỊTíll < Ceßt Ta có Ttx — exp (tAJ\) x = Tt-S exp (sAJ\) (A — A J\) xds (x e @ (A)), 0 ở đó ta áp dụng A J \ D J \A thu được bất đẳng thức Từ đó exp (tA J \ ) X —ì TịX khi A —>+ 00 □ 15 Chương 2 H ệ phương trình hyperbolic với hệ số biến th iên và không phụ thuộc thời gian 2.1 2.1.1 Hệ phương trình hyperbolic. .. , / ) < 2 ||w|| (7 ||w|| + 11/11) tức là Do đó ,7(í-s) I I / « I I ds- 23 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 đối với hệ đối xứng 2.2 Mục nàyta trình bày một kết quả mà sẽ sử dụng trong mục 2.2.1 2.3 Trường hợp đạo hàm th eo t của nghiệm là bình phương khả tích Cho hệ phương trình cấp một: du M M - ^ _ d - / 2 Ak ^ Q u - B (x >t ) u = /> k=i ở đó A k (x,t), k = 1, 2, (2-16) Xk n là các ma trận Hermitian,tức... ả (1.19) ( 1 20) là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E Đ ịn h lý 1.6 Bài toán Cauchy (|1.19|), (|1.20[) có nghiệm duy nhất u (t ) được cho bởi công thức u(t) = Ttu0, (1-21) trong đó Tị là nửa nhóm có A là toán tử sinh 1.5.4 Đ ịn h lý H ille-Y osida Giả sử Ả là toán tử đóng trong không gian Banach E Định lý HilleYosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinh của nửa