Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP MỘT Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thị Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:"Bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thị Hương Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L2 1.1.2 Không gian B m 1.1.3 Không gian Sobolev W2m 1.1.4 Không gian C m ([a, b] , E) 1.1.5 Không gian S S 1.2 Biến đổi Fourier 1.2.1 Biến đổi Fourier không gian Schwartz S 1.2.2 Biến đổi Fourier không gian L2 1.2.3 Biến đổi Fourier không gian S 1.3 Toán tử làm trơn 1.4 Toán tử giả vi phân toán tử tích phân kì dị 1.5 Khái niệm nửa nhóm 1.5.1 Nửa nhóm 1.5.2 Toán tử sinh nửa nhóm 1.5.3 Phương trình vi phân không gian Banach 1.5.4 Định lý Hille-Yosida Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên không phụ thuộc thời gian 2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh 2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh 2.2 Bất đẳng thức lượng L2 hệ đối xứng 3 3 4 5 7 10 10 10 11 11 15 15 15 17 19 23 Trường hợp đạo hàm theo t nghiệm bình phương khả tích 2.2.2 Trường hợp đạo hàm theo t nghiệm không bình phương khả tích Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C [0, T ] , L2 2.3.1 Các tính chất toán tử A 2.3.2 Bất đẳng thức lượng L2 2.3.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C [0, T ] , L2 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 2.4.1 Các tính chất toán tử A 2.4.2 Bất đẳng thức lượng W21 2.4.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 2.2.1 2.3 2.4 23 25 28 28 31 31 32 32 36 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Lí chọn đề tài Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một hệ phương trình lý thuyết phương trình đạo hàm riêng mô tả trình truyền sóng khác Song toán Cauchy hệ phương trình loại thường xét trường hợp với hai biến độc lập Trường hợp với số biến bất kỳ, toán Cauchy thường xét với giả thiết hệ đối xứng hệ số hệ phương trình số không phụ thuộc biến thời gian t Việc tổng quan lý thuyết cần thiết để có cách tiếp cận thống trường hợp khác Bố cục luận văn gồm hai chương Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị: số không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị, khái niệm nửa nhóm toán tử sinh nó, toán Cauchy phương trình vi phân không gian Banach Trong chương trình bày nội dung chủ yếu là: hệ phương trình hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên không phụ thuộc thời gian, toán Cauchy cho hệ này, bất đẳng thức lượng, phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [2] Mục đích nghiên cứu Trình bày cách hệ thống lý thuyết toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp phương pháp biến đổi Fourier công cụ toán tử giả vi phân Trên sở nhận công thức biểu diễn nghiệm tường minh toán Cauchy hệ số số Nhiệm vụ nghiên cứu Nêu bước giải toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp trường hợp hệ đối xứng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp trường hợp đối xứng với hệ số biến thiên không phụ thuộc thời gian Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp Giải tích hàm tuyến tính Các phương pháp định lượng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đóng góp Luận văn tài liệu tổng quan toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp trường hợp hệ đối xứng hyperbolic mạnh Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L2 Định nghĩa 1.1 Không gian L2 (hay L2 (Rn )) không gian gồm hàm u đo có chuẩn:  1/ 2 u L2 (Rn ) =  |u (x)| dx < +∞ Rn Nhận xét 1.1 Không gian L2 không gian Hilbert với tích vô hướng (u (x) , v (x))L2 (Rn ) = u (x) v (x)dx Rn 1.1.2 Không gian B m Định nghĩa 1.2 Không gian B m (hay B m (Rn )) không gian bao gồm tất hàm u(x) thỏa mãn Dα u(x), |α| ≤ m liên tục bị chặn Rn với chuẩn sup |Dα u(x)| , |u(x)|m = |α|≤m x∈Rn α = (α1 , α2 , , αn ) kí hiệu đa số với αj số nguyên không n ∂ |α| α âm, |α| = aj D u = u gọi đạo hàm suy rộng ∂xα1 ∂xαnn j=1 cấp α 1.1.3 Không gian Sobolev W2m Định nghĩa 1.3 Không gian W2m (hay W2m (Rn )) không gian bao gồm tất hàm u (x) ∈ L2 , cho Dα u (x) ∈ L2 với |α| ≤ m trang bị chuẩn 1/  (1.1) |Dα u (x)|2 dx u W2m (Rn ) =  |α|≤mRn Nhận xét 1.2 Không gian W2m không gian Hilbert với tích vô hướng Dα uDα vdx (u (x) , v (x))W2m = 0≤|α|≤mRn Không gian [W2m ] không gian đối ngẫu W2m 1.1.4 Không gian C m ([a, b] , E) Định nghĩa 1.4 Giả sử E không gian Banach Không gian C m ([a, b] , E) gồm hàm u (t) xác định [a, b], nhận giá trị E, khả vi liên tục đến cấp m tô pô E theo chuẩn sau m u (t) 1.1.5 C m ([a,b],E) uk (t) = sup a≤t≤b E k=0 Không gian S S Định nghĩa 1.5 Không gian S (hay S (Rn )) không gian véc tơ gồm tất hàm u (x) xác định Rn , khả vi vô hạn thỏa mãn sup xβ (Dα u (x)) < ∞ Rn với đa số α, β ∈ Nn , xβ = xβ1 xβ2 xβnn Dãy {ϕk (x)}∞ k=1 ⊂ S gọi hội tụ không gian S n dãy {xα Dα ϕk (x)}∞ k=1 hội tụ R Định nghĩa 1.6 Không gian S (hay S (Rn ) không gian vec tơ gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục S Mỗi phần tử không gian S gọi hàm suy rộng tăng chậm 26 Xét vế phải, ta viết: − ∂a (y) ϕδ (x − y) u (y) dy − ∂yj (a (x) − a (y)) ∂ϕδ (x − y) u (y) dy ∂yj Chú ý |a (x) − a (y)| ≤ |a (x)|B1 |x − y| |x − y| ∂ϕδ (x − y) dx < C ∂yj |x−y|≤δ Ta thấy hàm biểu diễn tích phân đánh giá C |a (x)|B1 u (x) với chuẩn L2 Do đó, phần (1) bổ đề chứng minh Chuyển tiếp từ (2.23) đến (2.24)-một hàm tích phân với phân đoạn rộng hơn-có thể hiểu sau: Cho u ∈ D, (2.24) Thật vậy, ta chọn {uj (x)} D hội tụ đến u (x) L2 Ta có, Cδ uj tiến đến phía phải (2.24) L2 Mặt khác, Cδ uj tiến đến Cδ u hàm suy rộng Do (2.24) Ta chứng minh (2) Nếu ta coi (a (x) − a (y)) ϕδ (x − y) hàm y, cố định x, có giá compact Do ∂ {(a (x) − a (y)) ϕδ (x − y)} dy = ∂yj Vì ta viết ∂ {(a (x) − a (y)) ϕδ (x − y)} (u (y) − u (x)) dy ∂yj ∂a =− (y) ϕδ (x − y) (u (y) − u (x)) dy ∂yj ∂ϕδ − (a (x) − a (y)) (x − y) (u (y) − u (x)) dy ∂yj ≡ Φ1 (x) + Φ2 (x) (Cδ u) (x) = Ta có Φi (x) → δ → Thật vậy, chẳng hạn ta xét |Φ2 (x)| ≤ |a (x)|B1 |x − y| |x−y|≤δ ∂ϕδ (x − y) |u (y) − u (x)| dy ∂xj 27 Mặt khác ta có |x| ∂ϕδ dx ≤ c, ∂xj c độc lập với δ Vậy theo Định lý 1.3 ta suy kết luận (2) bổ đề Hệ 2.1 Với điều kiện đặt cho bổ đề trên, u ∈ W21 thì: (1) Cδ u ≤ C1 u (2) Cδ u → W21 Định lý 2.5 (Friedrichs) Cho u (t) nghiệm (2.1) cho u (t) ∈ C [0, T ] , L2 u (t) ∈ C1 [0, T ] , W21 Khi ta có bất đẳng thức lượng (2.19) Chứng minh Ta xét ϕδ (x) u (t) Khi ta thấy uδ (t) = ϕδ ∗ u (t) ∈ C1 [0, T ] , W12 (x) Ta có ∂ ∂ uδ (t) = ϕδ ∗ u (t) ∂t ∂t (x) ∂u (x) ∂t = ϕδ ∗ Từ (2.16) ta thu phương trình thỏa mãn uδ sau Đầu tiên xét ϕδ ∗ từ vế trái (2.16), ∂ uδ = ∂t ϕδ ∗ Ak (x) k ∂ u + ϕδ ∗ Bu + ϕδ ∗ f, ∂xk (x) (x) ∂ uδ = ∂t Ak k ∂ uδ + Buδ + fδ + Cδ u, ∂xk ϕδ ∗ Cδ u = k (x) Ak ∂ ∂ u − Ak ϕδ ∗ u ∂xk (x) ∂xk + ϕδ ∗ Bu − B ϕδ ∗ u (x) ϕδ ∗, Ak = k (x) ∂ u + [ϕδ ∗, B] u ∂xk (2.25) 28 Tiếp theo, ta áp dụng Định lý 2.4 cho (2.25) t uδ (t) ≤ eyt uδ (0) + ey(t−s) { fδ (s) + Cδ u (s) }ds Mặt khác, từ Bổ đề 2.1 ta có Cδ u (s) ≤ c u (s) , c độc lập với δ Cδ u (s) → δ → Ta có hàm tích phân phía phải hội tụ đến t ey(t−s) f (s) ds δ → 0 Do ta chứng minh bất đẳng thức (2.19), tức t u (t) ≤ eγt u (0) + eγ(t−s) f (s) ds phương pháp chuyển qua giới hạn 2.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C [0, T ] , L2 Ta xét toán Cauchy tổng quát: Tìm hàm u (x) thỏa mãn   ∂u = n A (x) ∂u + Bu (x) + f (x) k ∂t ∂xk k=1  u (0) = u0 (x) (2.26) Theo bất đẳng thức lượng (2.19), toán Cauchy có nghiệm nghiệm Phần sau ta xét tồn nghiệm toán 2.3.1 Các tính chất toán tử A Ta giả sử tất hệ số (2.16) không phụ thuộc vào t Đương nhiên ta giả sử điều với (2.17) (2.18) giả thiết hàm 29 khả vi sau: t → Ak (x, t) ∈ B (Rn ) , t → ∂/∂tAk (x, t) ∈ B o (Rn ) (k) (k) (k) liên tục, tức aij (x, t), ∂/∂xv aij (x, t), ∂/∂t aij (x, t) bị chặn liên (k) (k) tục aij (x, t) − aij (x, t ) hội tụ đến t → t Từ giả thiết (2.18) ta có Ak ∈ B , B ∈ B (2.27) Ta viết A= Ak (x) ∂ + B (x) ∂xk (2.28) Khi Định lý Hille-Yosida áp dụng sau: Ta chọn D (A) = u; u ∈ L2 , Au ∈ L2 (2.29) miền xác định A Chú ý u ∈ L2 , Au ∈ W21 Cho λ số thực cho u ∈ W21 (⊂ D (A)) Trong trường hợp ta có: (I − λA) u = ((I − λA) u, (I − λA) u) = u − λ {(Au, u) + (u, Au)} + λ2 Au Xét đối xứng Ak (2.20) ta có (u, Au) = u, Ak k ∂ u + (u, Bu) ∂xk ∂ (Ak (x) u) , u + (u, Bu) ∂xk =− k Vì tồn số β dương với (I − λA) u ≥ (1 − β |λ|) u Với ε0 đủ nhỏ ta có (I − λA) u ≥ (1 − β |λ|) u , |λ| < ε0 (2.30) 30 Tiếp theo ta chứng minh (2.30) với u ∈ D (A) bất kì, sử dụng toán tử làm trơn ϕδ , ta có (I − λA) u (ϕδ ∗ u) = ϕδ ∗ (I − λA) u − λ {A (ϕδ ∗ u) − ϕδ ∗ (Au)} Theo Bổ đề 2.1 thu được: Cδ u = A (ϕδ ∗ u) − ϕδ ∗ (Au) → δ → 0+ Vì ϕδ ∗ u ∈ W21 ta có: (I − λA) (ϕδ ∗ u) ≥ (1 − β |λ|) ϕδ ∗ u Nếu δ → 0+ hai vế bất đẳng thức tiến đến hai vế (2.30) Cuối ta kết luận (2.30) với u ∈ D (A) Từ ta có: Định lý 2.6 (I − λA), λ = 0, |λ| < ε, với ε số dương đủ nhỏ thu song ánh từ D(A) lên L2 Chứng minh (1) Chú ý (I − λA) D (A) đóng L2 Từ thấy A đóng Thật vậy, từ un → suy Aun → W21 Aun → v0 L2 v0 = đơn ánh từ L2 lên W21 song ánh Bây giờ, cho (I − λA) un → v0 Khi theo (2.30), {un } dãy Cauchy Do đó, un → u0 ∈ L2 Nhưng {Aun } dãy Cauchy Từ ta thấy A toán tử đóng Ta có u0 ∈ D (A) Aun → Au0 , tức v0 = (I − λA) u0 (2) Im ((I − λA) u0 ) trù mật L2 , không tồn ψ = ∈ L2 ((I − λA) u, ψ) = 0, u ∈ D (A) Điều với u ∈ D Do ∂Ak ∗ (I − λA∗ ) ψ = 0, A∗ ψ = − Ak ∂x∂ k ψ − ∂xk ψ + B ψ Mặt khác, A∗ ψ ∈ L2 , từ A∗ ψ = − Ak ∂ ψ− ∂xk ∂Ak ψ + B ∗ ψ, ∂xk ta có ψ ∈ D (A∗ ) Cho (I − λA∗ ) ta thu bất đẳng thức tương tự với (2.30) thu |λ| < ε Vì ψ = 0, điều mâu thuẫn Do ta đặt ε = (ε0 , ε ) Định lý 2.6 từ kết phần (1) (2) kéo theo (I − λA) D(A) = L2 31 2.3.2 Bất đẳng thức lượng L2 Phần nghiên cứu cách chi tiết mục 2.2, ta nhắc lại kết chính, nội dung định lý sau Định lý 2.7 (Friedrichs) Cho u (t) nghiệm (2.1) cho u (t) ∈ C [0, T ] , L2 u (t) ∈ C1 [0, T ] , W21 Khi ta có bất đẳng thức lượng (2.19) đúng, tức t u (t) ≤ eγt u (0) + eγ(t−s) f (s) ds 2.3.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C [0, T ] , L2 Định lý 2.8 Giả sử cho hệ (2.16), với Ak (x) Hermitan thỏa mãn (2.27) Cho u0 ∈ L2 , f (t) ∈ C [0, T ] , L2 Khi tồn nghiệm hệ phương trình (2.16) cho u (t) ∈ C [0, T ] , L2 u (t) ∈ C1 [0, T ] , W21 Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.30) Định lý 2.6, áp dụng Định lí Hille-Yosida, ta thấy cho u0 ∈ L2 , f (t) ∈ C [0, T ] , L2 Khi tồn nghiệm u (t) ∈ C [0, T ] , L2 Giả sử u0 ∈ L2 , f (t) ∈ C [0, T ] , L2 Với u0 f (t) thỏa mãn giả thiết định lí ta xét với (δ) toán tử làm trơn ϕδ để có u0 = ϕδ ∗ u0 fδ (t) = ϕδ ∗ f (t) Vì tồn x nghiệm u (t) ∈ C [0, T ] , W21 Khi ta áp dụng bất đẳng thức lượng (2.19) uδ (t) − uδ (t) với T cố định (T > 0), ta có max uδ (t) − uδ (t) 0≤t≤T (δ) u0 ≤ C (T ) − (δ ) u0 T fδ (t) − fδ (t) + 1 dt Do đó, δ → 0+ , {uδ (t)} dãy Cauchy C [0, T ] , L2 Mặt khác áp dụng chuyển qua giới hạn cho: t (δ) {Auδ (s) + fδ (s)}ds uδ (t) = u0 + 32 Ta có t {Au (s) + f (s)}ds, u (t) = u0 + hàm tích phân thực tô pô W21 Từ d u (t) = Au (t) + f (t) dt tô pô W21 2.4 2.4.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 Các tính chất toán tử A Bài toán không gian W21 Ta chọn miền xác định A: D (A) = u; u ∈ W21 , Au ∈ W21 (2.31) Mặt khác, với tính trơn hệ số, ta giả sử : Ak ∈ B 1+σ , σ > B ∈ B , (2.32) B 1+σ hàm thuộc B đạo hàm cấp có dạng liên tục đồng Holder bậc σ Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.1 (giống với trường hợp L2 ) với u ∈ D (A) ta có (I − λA) u ≥ (1 − β1 |λ|) u , β1 > 0, |λ| < ε1 (2.33) chuẩn W21 Ta chứng minh phần tương tự với Định lý 2.6 Ta thấy (I − λA) D (A) đóng W21 , ta cần chứng minh tính trù mật W21 chi tiết Bổ đề 2.2 Giả sử a ∈ B 1+σ , σ > cho Λ toán tử tích phân kì dị định nghĩa theo công thức (1.13) Khi toán tử Cu với a (x) Λ, Cu = (a (x) Λ − Λa (x)) u toán tử bị chặn L2 33 Chứng minh Ta cần chứng minh trường hợp u ∈ D Với toán tử Riesz định nghĩa theo (1.16), ta viết (Cu) (x) = a (x)Rj j ∂ ∂ u − Rj (a (x) u) ∂xj ∂xj (a (x) Rj − Rj a (x)) = j ∂ u− ∂xj Rj j ∂ u ∂xj Hạng tử cuối toán tử bị chặn, ta đánh giá hạng tử Ta có {a (x) − a (y)}Rj (x − y) vε (x) = ∂ u (y) dy ∂yj |x−y|≥ε [a (x) − a (y)]Rj (x − y) u (y) cosγdSε = |x−y|=ε ∂a (y) Rj (x − y) u (y) dy ∂yj + |x−y|≥ε ∂ Rj (x − y) u (y) dy ∂xj [a (x) − a (y)] + |x−y|≥ε Nếu ta cho ε → 0+ hạng tử hội tụ đến hàm đánh giá C |a (x)|1 |u (x)| Do chuẩn L2 hạng tử đánh giá C |a (x)|1 u Tiếp theo, ta đánh giá hạng tử thứ hai Ta viết v.p.Rj (x) ∗ axj (x) u (x) Vì ta đánh giá hạng tử thứ hai Cuối ta đánh giá hạng tử thứ ba, ta tách hạng tử thứ ba thành hai tích phân sau dy, dy + ε≤|x−y|≤1 |x−y|≥1 hàm lấy tích phân thứ hai vượt |a (x)|0 ∂ Rj (x) ∂xj ∗ |u (x)| |x≥1| 34 giá trị tuyệt đối Mặt khác ∂ Rj (x) = O |x|−n−1 , ∂xj khả tích Ta đặt a (x) − a (y) = axi (xi − yi ) + b (x, y) Từ |b (x, y)| ≤ |a|1+σ |x − y|1+σ , ta có ∂R axi (x) i ε≤|x−y|≤1 (xi − yi ) ∂xjj (x − y) u (y) dy |x − y|1+σ + |a|1+σ ∂Rj (x − y) |u (y)| dy ∂xj |x−y|≤1 Hạng tử thứ hai khai triển làm tương tự Ta đánh giá nốt phần lại hạng tử thứ Ta thấy, xi ∂Rj (x) /∂xj hàm bậc (−n) tích phân Ta biến đổi Fourier v.p [xi ∂Rj (x) /∂xj ]|x|≤1 hàm bị chặn Từ đó, ta đặt xi ∂Rj (x) /∂xj = K (x) Ta có lim ε→+0 ε≤|x|≤1 e−2πxξ K (x)dx = lim exp (−2πirρcosγ) dr r K (ω)dω ε→+0 ε Ω = exp (−2πirρcosγ) dr r K (ω)dω Ω Từ ta thấy với |ξ| = ρ < bị chặn Ta chứng minh tính bị chặn |ξ| → +∞ Ta có F [v.p.K (x)] bị chặn Vì ta phải F (K (x))|x|≥1 bị chặn |ξ| ≥ Trước hết ta xét hàm α (r) ∈ C ∞ với r ≤ với r ≥ Ta thấy F (K (x))|x|≥1 = F [α (r) K (x)] + F (1 − α (r)) (K (x))|x|≥1 Số hạng thứ hai hàm giới hạn ξ Mặt khác số hạng thứ bị chặn ∂ F {α (r) K (x)} ∂xj 35 hàm bị chặn, biến đổi Fourier hàm L1 Do 2πiξj ×F [α (r) K (x)] , j = 1, 2, , n bị chặn Cuối ta thấy bị chặn |ξ| ≥ Bây quay lại vấn đề chính, ta có kết tương tự Định lý 2.6 thu W21 Định lý 2.9 Cho miền xác định A (2.31), ta giả thiết rộng (2.32) Khi đó, (I − λA) , |λ| < ε1 song ánh từ D (A) lên W21 Chứng minh Ta chứng minh ảnh (I − λA) D (A) đóng, Định lý 2.6 Vì tính trù mật Nếu không trù mật chắn tồn ψ1 ∈ W21 với ((Λ + 1) (I − λA) u, (Λ + 1) ψ1 ) = 0, u ∈ D (A) Ta viết (Λ + 1) ψ1 = ψ ∈ L2 , ψ = Từ đó, (I − λA∗ ) (Λ + 1) ψ = Mối liên hệ viết lại là: ∂ (Ak ψ) + λ (Cψ − B ∗ (x) Λψ) = 0, ∂xk ∂ (ΛAk (x) − Ak (x) Λ) , ∂xk (Λ + 1) ψ + λ −C = k tức ∂ (Ak (x) ψ) + λKψ = 0, ∂xk ψ+λ (2.34) K = (Λ + 1)−1 [C − B ∗ (x) (Λ + 1)], (Λ + 1)−1 u ∧ ∧ (ξ) = (|ξ| + 1)−1 u (ξ) Chú ý K toán tử bị chặn L2 Thật vậy, (Λ + 1)−1 C bị chặn (Λ + 1)−1 ∂/∂xk , (ΛAk (x) − Ak (x) Λ) toán tử bị chặn hoàn toàn Cho u, v ∈ L2 , ta có : u, (Λ + 1)−1 B ∗ Λv = B (Λ + 1)−1 u, Λv ≤ B (Λ + 1)−1 u Λv ≤ B (x) (Λ + 1)−1 u v ≤C u L2 v L2 , L2 −1 36 B (x) chuẩn toán tử B (x) từ W21 lên W21 Vì u, (Λ + 1)−1 B ∗ Λv bị chặn Từ (2.34) ta áp dụng bất đẳng thức (2.30) Số hạng vế trái (2.34) chuẩn L2 lớn (1 − β |λ|) ψ − |λ| K ψ = {1 − (β + K ) |λ|} ψ Do đó, |λ| < (β + K )−1 ψ = 0, điều mâu thuẫn Vậy định lý chứng minh 2.4.2 Bất đẳng thức lượng W21 Tiếp theo ta với giả thiết u ∈ C0 [0, T ] , W12 u ∈ C [0, T ] , L2 thu được bất đẳng thức lượng theo chuẩn W21 , ta áp dụng điều kiện mạnh hơn: B (x, t) : t → B (x, t) ∈ B (Rn ) liên tục Trước tiên, ta thu điều kiện mạnh u (t) ∈ C0 [0, T ] , W22 u ∈ C1 [0, T ] , W12 ∂ = Di trên: Nếu ta xét với ∂xi d u (t) = A.u (t) + f (t) , dt ta có d Di u (t) = A (Di u) + (Di A) u + Di f, i = 1, 2, , n, dt (2.35) ∂ + Di B ∂xk Nếu f ∈ C0 [0, T ] , W12 , ta áp dụng Định lý 2.4 với Di u (t) Bây ta có Di A = d Di u (t) dt ≤ γ Di u (t) (Di Ak ) + Di u (t) ( Di f (t) + C u (t) ) Với kết xét: d u (t) dt ≤ γ u (t) + u (t) f (t) 37 u (t) 2 = u (t) + Di u (t) Ta có d u (t) 21 ≤ 2γ1 u (t) 21 + u (t) f (t) dt Từ đó, cho ≤ t ≤ T ta có bất đẳng thức lượng sau W21 : t u (t) ≤ exp (γ1 t) u (0) exp {γ1 (t − s)} f (s) ds, + (2.36) γ1 phụ thuộc theo T 2.4.3 Định lý tồn nghiệm với đạo hàm theo t nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 Định lý 2.10 Giả sử cho hệ (2.16), với Ak (x) Hermitian thỏa mãn (2.32) Cho u0 ∈ W21 f (t) ∈ C0 [0, T ] , W12 Khi tồn nghiệm (2.16) cho thỏa mãn u (t) ∈ C0 [0, T ] , W12 u ∈ C [0, T ] , L2 Khi bất đẳng thức lượng (2.36) Chứng minh Từ bất lí Hille-Yosida (ta có f (t) , Af (t) ∈ C0 u (t) ∈ C [0, T ] , W21 đẳng thức (2.33) Định lý 2.9, áp dụng Định E = W21 ) Ta thấy cho u0 ∈ D (A) ⊂ W21 [0, T ] , W12 Khi tồn nghiệm Giả sử u0 ∈ W22 f (t) ∈ C [0, T ] , W22 Ở đây, giả thiết Định lý 2.10 phù hợp Bây với u0 f (t) thỏa mãn giả thiết định lí ta (δ) xét với toán tử làm trơn ϕδ để có u0 = ϕδ ∗ u0 fδ (t) = ϕδ ∗ f (t) Vì x tồn nghiệm uδ (t) ∈ C [0, T ] , W21 Nhưng ta áp dụng (2.36) với uδ (t) − uδ (t) với T cố định (T > 0), ta có max uδ (t) − uδ (t) 0≤t≤T (δ) u0 ≤ C (T ) − (δ ) u0 T fδ (t) − fδ (t) + 1 dt Do đó, δ → 0+ , {uδ (t)} dãy Cauchy C [0, T ] , W21 Mặt khác áp dụng chuyển qua giới hạn cho t (δ) {Auδ (s) + fδ (s)}ds uδ (t) = u0 + 38 Ta có t {Au (s) + f (s)}ds, u (t) = u0 + hàm tích phân thực tô pô L2 Từ d u (t) = Au (t) + f (t) dt tô pô L2 39 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Một số kiến thức bổ trợ: số không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị, khái niệm nửa nhóm toán tử sinh - Cách giải toán Cauchy phương trình vi phân không gian Banach công cụ nửa nhóm - Hệ phương trình hyperbolic đối xứng toán Cauchy cho hệ - Các bất đẳng thức lượng nghiệm toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp - Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp với hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian 40 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] S Mizohata (1973), The theory of partial differential equations, Cambridge [3] F Treves (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York - London [...]... 1 Phương trình có nghiệm λ1,2 (ξ1 ) = iξ1 ± · 2 2 √ 3 |ξ1 | Do đó không thỏa mãn điều kiện Hadamard Ta có |Reλ1,2 (ξ1 )| = 2 (2.5) Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic Định nghĩa 2.2 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic mạnh n ∂u ∂u nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [u] = − Ak ∂t k=1 ∂xk thì hệ vẫn là hyperbolic Định nghĩa 2.3 Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ. .. Điều này cho thấy điều kiện của Hadamard không thỏa mãn Do đó (2.1) không phải là một hệ hyperbolic Vậy định lý được chứng minh 2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ đối với tính hyperbolic mạnh của hệ phương trình đối xứng Định lý 2.2 Cho Ak là các ma trận Hermitian, khi đó hệ phương trình (2.3) là hệ hyperbolic mạnh 20 Chứng minh Cho Ak là một ma trận... thuộc thời gian 2.1 2.1.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một Định nghĩa Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một có dạng tổng quát là ∂u = ∂t n Ak (x, t) k=1 ∂u + B (x, t) u + f (x, t), ∂xk (2.1)     u1 (x, t) f1 (x, t) , f (x, t) =  , ở đó u (x, t) =  uN (x, t) fN (x, t) Ak (x, t) và B (x, t) là các ma trận vuông cấp N Dưới đây ta xét hệ phương trình với hệ số biến thiên và không... trong E 1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhóm Cho toán tử A có miền xác định D (A) là tập hợp D trong (1.17) Toán tử A cho bởi Tt − I Au = lim+ u (1.18) t→0 t 11 được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tt Nhận xét 1.4 Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định D (A) là trù mật trong E, nhưng nói chung A không là toán tử bị chặn 1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach Ta xét bài toán Cauchy sau... (t) ≤ eγt u (0) + eγ(t−s) f (s) ds 0 bằng phương pháp chuyển qua giới hạn 2.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo hàm theo t của nghiệm thuộc C 0 [0, T ] , L2 Ta xét bài toán Cauchy tổng quát: Tìm hàm u (x) thỏa mãn   ∂u = n A (x) ∂u + Bu (x) + f (x) k ∂t ∂xk k=1  u (0) = u0 (x) (2.26) Theo bất đẳng thức năng lượng (2.19), nếu bài toán Cauchy có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất... điều kiện Hadamard Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình ∂ ∂t với A1 = u1 u2 = 0 1 1 2 ∂ ∂x1 u1 u2 , (2.6) 0 1 1 2 Ta có P (λ, ξ1 ) = det [λI − iξ1 A1 ] = λ −iξ1 −iξ1 λ − 2iξ1 = λ2 − λiξ1 − i2 ξ12 = 0 √ Phương trình có nghiệm λ1,2 (ξ1 ) = iξ1 ± iξ1 2 Do đó Reλ1,2 (ξ1 ) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5) Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic Ví dụ 2.2 Xét hệ phương trình ∂ ∂t với A1 = Ta có 1 1... nghiệm của phương trình đặc trưng n P (λ; ξ) = det λI − i Ak ξk − B =0 (2.2) k=1 là λ1 (ξ) , , λN (ξ) Xét hệ phương trình gồm phần chính ∂u − M [u] = ∂t n Ak k=1 ∂u = 0 ∂xk (2.3) 16 Xét các nghiệm đặc trưng λi (ξ) của n p (λ; ξ) = det λI − Ak ξk = 0, (2.4) k=1 ở đó λi (ξ) là các hàm thuần nhất bậc một Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic nếu tồn tại một hằng số C > 0, sao cho ∀ξ... (1.20) trong đó u0 ∈ E, A là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E Định lý 1.6 Bài toán Cauchy (1.19), (1.20) có nghiệm duy nhất u (t) được cho bởi công thức u (t) = Tt u0 , (1.21) trong đó Tt là nửa nhóm có A là toán tử sinh 1.5.4 Định lý Hille-Yosida Giả sử A là toán tử đóng trong không gian Banach E Định lý HilleYosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinh của nửa nhóm... ≤ γ u (t) + f (t) dt Do đó t u (t) ≤ eγt u (0) + eγ(t−s) f (s) ds 0 23 2.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 đối với hệ đối xứng Mục này ta trình bày một kết quả mà sẽ sử dụng trong mục 2.3 2.2.1 Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm là bình phương khả tích Cho hệ phương trình cấp một: ∂u M [u] ≡ − ∂t n Ak (x, t) k=1 ∂ u − B (x, t) u = f , ∂xk (2.16) ở đó Ak (x, t), k = 1, 2, , n là các ma trận Hermitian,tức... Chứng minh tính duy nhất Cho Tt là một nửa nhóm bất kì có toán tử sinh cực tiểu A Trong trường hợp này ta giả sử Tt chưa là một toán tử tuyến tính thỏa mãn Tt ≤ Ceβt Ta có t Tt−s exp (sAJλ ) (A − AJλ ) xds (x ∈ D (A)), Tt x − exp (tAJλ ) x = 0 ở đó ta áp dụng AJλ ⊃ Jλ A thu được bất đẳng thức Từ đó exp (tAJλ ) x → Tt x khi λ → +∞ 15 Chương 2 Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên và không