Mối liên hệ giữa môđun liên tục của hệ số và tính tựa giải tích của nghiệm trong bài toán cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh

LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn TS Phạm Triều Dương Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Triều Dương, người gợi ý đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời, chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tài liệu thủ tục để tác giả hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, anh chị em khóa Cao học Toán K24 (2014-2016) quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trình làm luận văn Do thời gian trình độ hạn chế, chắn khóa luận tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý, bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp! Hà Nội, tháng 08 năm 2016 Học viên Lê Đức Tâm i MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơ sở giải tích Fourier cổ điển 1.2 Đại cương phương trình truyền sóng 1.3 Định lí Kovalevskaya Chương Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian 10 2.1 Mở đầu 10 2.2 Không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu 12 2.3 Phép hiệu chỉnh quy hóa hệ số thiết lập đánh giá trung gian Chứng minh kết tính đặt 17 2.4 Xâu dựng phản ví dụ 23 Kết luận chương 26 Chương Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc không gian thời gian 26 3.1 Các kết tích phân dao động 28 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt 31 Kết luận chương 35 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 37 ii MỞ ĐẦU Mục đích nghiên cứu Trong đề tài nghiên cứu tương quan môđun liên tục theo thời gian hệ số tính đặt lớp hàm Beurling - Roumieu bao gồm hàm phiếm hàm siêu khả vi (ultradifferentiable) Ta thiết lập tính đặt toán điều kiện khả tích thích hợp môđun liên tục thỏa mãn Mô hình toán Cauchy [0, T ] × Rn sau utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x), (1) với hệ số a(t, x) liên tục theo thời gian thỏa mãn điều kiện hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > (2) Như ta biết định lí Kovalevskaya cổ điển phát biểu với điều kiện kiện hệ số phương trình hyperbolic hàm giải tích thực Khi toán Cauchy tương ứng có nghiệm lân cận t = hàm giải tích thực Ta nhắc lại khái niệm quen thuộc: với a(t, x) ∈ C([0, T ], X) cho trước toán (1) gọi đặt không gian X với kiện u0 , u1 ∈ X tồn nghiệm u ∈ C ([0, T ], X) Trong trường hợp a phụ thuộc vào t, kết quan trọng Colombini, De Giorgi Spagnolo [3] tìm với hàm a(t) liên tục cho trước tồn mở rộng X lớp hàm giải tích thực A thông thường (X chứa thực A) cho toán (1) đặt X Tuy nhiên, lớp C ∞ ta biết phản ví dụ cho thấy (1) không đặt Hơn thế, theo kết qủa Colombini, De Giorgi Spagnolo [3], lớp liên tục Log-Lipschitz (với môđun liên tục t log t) ngưỡng tự nhiên để có tính đặt C ∞ Bên cạnh đó, theo tác giả Nishitani [6], lớp H¨older tương ứng với môđun tα cho xác tính đặt theo Gevrey - Beurling dạng Γ1/(1−α) Trong đề tài này, mục đích ta tìm đặc trưng môđun liên tục đảm bảo cho tính đặt không gian tựa giải tích Đồng thời ta phải cụ thể lớp liên tục tối thiểu hệ số cho phép tính đặt toán Cauchy lớp hàm nêu Phương pháp nghiên cứu Các kết luận văn nghiên cứu dựa phương pháp sau đây: • Áp dụng phương pháp đánh giá lượng với công cụ giải tích Fourier để kiểm soát độ tăng lượng hàm nghiệm • Sử dụng kỹ thuật lý thuyết toán tử giả vi phân để kiểm soát phần dư trường hợp hệ số biến thiên theo không gian • Tìm hiểu tính chất tích phân dạng dao động phụ thuộc vào môđun liên tục hệ số a(x, t) Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm mục sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này, nhắc lại số kiến thức sở giải tích Fourier cổ điển, đại cương phương trình truyền sóng Định lí Kovalevskaya số trường hợp mở rộng, toán tử giả vi phân Chương 2: Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Mục trình bày định nghĩa tương đương lớp siêu khả vi vơi trọng số theo Beurling Ruomieu, đặc số dạng dao động quan trọng hệ số, kết tính đặt đúng, tính tối ưu điều kiện thông qua phản ví dụ Chương 3: Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc vào không gian thời gian Phần này, đưa kết tính phân dao động, ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày kiến thức sở giải tích Fourier cổ điển, đại cương phương trình truyền sóng Định lí Kovalevskaya 1.1 Cơ sở giải tích Fourier cổ điển 1.1.1 Phép biến đổi Fourier không gian Schwartz Định nghĩa 1.1.1 Kí hiệu S tập hợp tất hàm f (x) ∈ C ∞ (Rn ) cho k + |x| |Dα f (x)| ≤ Ck,α ∀k, α, Ck,α phụ thuộc vào k, α Sự hội tụ S xác định ∞ sau: dãy {fm (x)}m=1 ⊂ S gọi hội tụ tới hàm f (x) dãy + |x| k ∞ α k hội tụ tới + |x| D fm (x) Dα f (x) m → ∞ m=1 Khi S gọi không gian Schwartz o Từ định nghĩa không gian Schwartz suy C ∞ (Rn ) ⊂ S Nếu f (x) ∈ S , n fˆ (ξ) = √ n ( 2π) e−ixξ f (x) dx, xξ = xj ξj , (1.1) j=1 Rn gọi phép biến đổi Fourier hàm f (x) Kí hiệu fˆ (ξ) F (f ) (ξ) Người ta dùng kí hiệu Fx→ξ f để rõ phép biến đổi Fourier chuyển biến x thành biến ξ Nhờ phép biến đổi Fourier ta định nghĩa không gian Sobolev theo cách khác Cụ thể, với s số thực    1/2     s 2 s n s n ˆ H (R ) := f ∈ H (R ) : f H s (Rn ) =  + |ξ| f (ξ) dξ  < ∞     n R Bổ đề 1.1.2 Nếu f (x) ∈ S fˆ (ξ) ∈ S Định lí 1.1.3 (Phép biến đổi Fourier ngược) Đối với hàm f (x) ∈ S , f (x) = √ n eixξ fˆ (ξ) dξ (1.2) ( 2π) Rn gọi phép biến đổi Fourier ngược hàm f (x) Kí hiệu F −1 (f ) (x) F −1 (f ) Định lí 1.1.4 Đối với f, g ∈ S , fˆ (ξ) gˆ (ξ) dξ f (x) g (x) dx = Rn Rn Nhận xét 1.1.5 Từ Định lí 1.1.4, chọn f = g ta nhận được: với f ∈ S , 2 fˆ (ξ) dξ |f (x)| dx = Rn Rn Đẳng thức có tên đẳng thức Parseval 1.1.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) Từ đẳng thức Parseval, cách tự nhiên, mở rộng phép biến đổi Fourier từ không gian Schwartz S (Rn ) đến không gian rộng L2 (Rn ) Giả sử f (x) ∈ L2 (Rn ) Do S (Rn ) trù mật L2 (Rn ), nên tồn ∞ dãy {fj (x)}j=1 ⊂ S (Rn ) cho fj (x) − f (x) L2 (Rn ) → j → ∞ ∞ Từ dãy {fj (x)}j=1 dãy Cauchy L2 (Rn ) Nếu f ∈ S (Rn ) phép biến đổi Fourier F (f ) có dạng (1.1) Tuy nhiên, F (f ) biểu diễn dạng tích phân (1.1) với hàm f ∈ L2 (Rn ), tích phân vế phải (1.1) không hội tụ Hơn nữa, cho dù fj (x) → f (x) L2 (Rn ) chưa tồn lim F (fj (x)) j→∞ Để định nghĩa phép biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược không gian L2 (Rn ) ta xét mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.6 Đối với f, g ∈ S (Rn ), f (ξ) F −1 (g) (ξ) dξ ; F (f ) (x) g (x) dx = (i) Rn Rn F −1 (f ) (x) g (x) dx = (ii) Rn f (ξ) F (g) (ξ) dξ Rn Ta viết lại (i) dạng (F (f ) , g) = (f, F −1 (g)) với f, g ∈ S (Rn ) Cố định f ∈ L2 (Rn ) Khi tích vô hướng (F (f ) , g) xác định với o g ∈ S (Rn ) Do tính trù mật C ∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ) L2 (Rn ) nên với f ∈ L2 (Rn ) g ∈ S (Rn ), tồn hàm u ∈ L2 (Rn ) cho (u, g) = (f, F −1 (g)) = T (g) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục S ⊂ L2 (Rn ) Theo Định lí biểu diễn Riezs, phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert có biểu diễn T (g) = (u, g) Khi hàm u gọi biến đổi Fourier f ∈ L2 (Rn ) Ta kí hiệu u = F (f ) Tương tự, (ii) viết lại (F −1 (f ) , g) = (f, F (g)) với f, g ∈ S (Rn ) Ta cố định f ∈ L2 (Rn ) với g ∈ S (Rn ), tồn hàm v ∈ L2 (Rn ) cho (v, g) = (f, F (g)) = G (g) xác định phiếm hàm liên tục S Theo Định lí biểu diễn Riezs, với hàm G(g), tồn biểu diễn G (g) = (v, g) Khi hàm v gọi biến đổi Fourier ngược f ∈ L2 (Rn ) Kí hiệu v = F −1 (f ) Vì với hàm f ∈ L2 (Rn ) g ∈ S (Rn ) ta có (F (f ) , g)L2 = f, F −1 (g) F −1 (f ) , g L2 L2 , = (f, F (g))L2 Định lí 1.1.7 (Đẳng thức Parseval L2 (Rn )) Giả thiết f, g ∈ L2 (Rn ) Khi (F (f ) , F (g))L2 = (f, g)L2 Chúng ta thu F (f ) L2 L2 = f trường hợp đặc biệt f = g Định lí 1.1.8 Giả sử f, g ∈ L2 (Rn ) Khi α (i) F (Dα f ) = (iξ) F (f ) ; (ii) F (f ∗ g) = √ n 2π F (f ) F (g), f ∗ g (x) = f (x − y) g (y) dy Rn tích chập hàm f g Sau ta trình bày Toán tử giả vi phân, biểu trưng toán tử để vận dụng chứng minh tính đặt trường hợp tổng quát (1) 1.1.3 Toán tử giả vi phân Ta đưa vào khái niệm toán tử giả vi phân p(x, Dx ), Dx = −i∂x , với biểu trưng lớp m m Sσ,δ := p(x, ξ) : |p|l < +∞ với l ∈ Z+ , ≤ δ ≤ σ ≤ 1, δ < 1, với m |p|l = sup sup |α|+|β|≤l x,ξ ∂ξα ∂xβ p(x, ξ) ξ −m+σ|α|−δ|β| ξ = + |ξ| , Định nghĩa 1.1.9 Lớp biểu trưng S0,0 không gian hàm trơn b d d R × R cho ∂xα ∂ξβ b(x, ξ) ≤ Cα,β , x, ξ ∈ Rd , với α, β ∈ Nd Định nghĩa 1.1.10 (Toán tử giả vi phân) Cho b ∈ S0,0 , toán tử giả vi phân biểu trưng b, Op(b), toán tử định nghĩa Op(b)ϕ(x) = (2π)−d eix.ξ b(x, ξ)ϕ(ξ)dξ với hàm ϕ không gian Schwartz S(Rd ) Định lí 1.1.11 (Định lí Calderon-Vaillancourt) Tồn C, NCV > hàm ϕ ∈ S(Rd ) cho với b ∈ S0,0 Op(b)ϕ 1.2 L2 (Rd ) ≤C max |α+β|≤NCN ∂xα ∂ξβ b L∞ ϕ L2 (Rd ) Đại cương phương trình truyền sóng 1.2.1 Bài toán Ta xét toán Cauchy phương trình truyền sóng utt − a2 ∆u = u (0, x) = ϕ (x) , ut (0, x) = ψ (x) , (1.3) a số, x ∈ Rn , n 1, t > 0, ϕ ψ hàm cho Khi tồn u(t, x) nghiệm toán (1.3) biểu diễn công thức D’Alambert n = 1 u (t, x) = [ϕ (x − at) + ϕ (x + at)] + 2a x+at ψ (ξ) dξ, x−at công thức Poisson n = u (t, x) = 2πa ψ (ξ) a2 t2 |ξ−x| π k−1 εj vj (2.24) j=1 εk vk = +∞, (2.25) k→+∞ ω(hk ) ta có u ∈ C ∞ [0, 1); E(ω) từ (2.23) suy u(t, ) không bị chặn E(ω) t → lim Đề hoàn thành chứng minh, ta phải tất điều kiện áp đặt tham số phải thực Ta làm cho điều kiện (2.24) (2.25) thỏa mãn εk vk = Ak ω(hk ) với số A đủ lớn Khi đó, để ý tới (2.19) (2.21), ta phải cố định tham số sau: εk = δ ω0 (hk /2π) , hk /2π hk /2π ω(hk ) vk = Ak ω(hk ) , σk = Ak , δ ω0 (hk /2π) δ ω0 (hk /2π) cách thay đổi nhỏ định nghĩa vk để có dãy số dương Tính chất cần tìm k vk dễ dàng thỏa mãn Cuối cùng, +∞ để có σk → với k=1 σk ≤ 1, ta cố định hk , hk → +∞ cho ω(hk ) C ≤ k ω0 (hk /2π) B với C > B đủ lớn so với A Điều thực ω0 (y) ≤ Cω0 (y/2π) theo (α) định nghĩa (2.2.1) dãy ω0 (m)/ω(m) bị chặn Vì thế, hàm tuần hoàn E(ω) phải thuộc E(ω) điều không ω0 tựa giải tích ω không tựa giải tích Chú ý 2.4.2 Chứng minh cho ω0 ω cho E(ω) không chứa E(ω0 ) , kết tính đặt Định lí 2.3.3 tối ưu trường hợp KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, ta trình bày số kết sau: 26 • Tìm mối liên hệ môđun liên tục ω hệ số a(t) đảm bảo tính đặt toán Cauchy (2.1) lớp hàm siêu khả vi dạng Beurling-Roumieu • Sử dụng phương pháp đánh giá lượng hiệu chỉnh quy hóa hệ số a(t) để chuyển từ tính liên tục sang tính khả vi cấp Từ đánh giá vi lượng xấp xỉ với toán hiệu chỉnh kiểm soát tốc độ sai số Cuối sử dụng định nghĩa môđun liên tục để quay trở toán ban đầu, đánh giá trung gian đảm bảo tính chất biến đổi Fourier • Xây dựng phản ví dụ để điều kiện cho thấy tính đặt Định lí 2.3.3 tối ưu trường hợp 27 Chương BÀI TOÁN CAUCHY TRONG TRƯỜNG HỢP HỆ SỐ PHỤ THUỘC CẢ KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN 3.1 Các kết tích phân dao động Trong mục này, ta chứng minh kết tính đặt toán Cauchy trường hợp tổng quát (1) Bên cạnh điều kiện (2), giả sử rằng, với số cố định λ0 > 0, hệ số a(t, x) thỏa mãn , M > 0, t, t+τ ∈ [0, T ], τ = (3.1) |τ | a(., t + τ ) − a(., t) ≤ M τ ω ω hàm trọng số f λ := sup sup f (α) (x) e−λϕ x∈R ∗ (α/λ) α ϕ∗ hàm liên hợp Young ϕ Từ c1 ω(y) ≤ σ(y) ≤ c2 ω(y) ta có Hωs,c2 λ ⊂ Hσs,λ ⊂ Hωs,c1 λ , theo Chú ý 2.5, ta giả sử ω(ξ) biểu trưng lớp S1,0 (R) cho ω (α) (ξ) ≤ Cα ξ −|α| ω(ξ) (3.2) cho ω(ξ + η) ≤ ω(ξ) + C1 ω(η) + C2 , C1 , C2 > (3.3) Toán tử eλω(Dx ) : Hωs,λ → H s , eλω(Dx ) f (x) := 2π eixξ eλω(ξ) fˆ(ξ)dξ, phép đẳng cấu không gian Hilbert, p(x, Dx ) với cấp bị chặn Hωs,λ pλ (x, Dx ) := eλω(Dx ) p(x, Dx )e−λω(Dx ) bị chặn không gian Sobolev thông thường H s Ở ta xét toán tử vi phân p(x, Dx ) = f (x)Dx2 , x ∈ R, với f (x) ∈ E{ω} Trong trường hợp ta có pλ (x, Dx ) = fλ (x, Dx )Dx2 , ta cần fλ bị chặn 28 L2 Điều suy từ Bổ đề Định lí Calderon-Vaillancourt Chi tiết tham 1/d khảo [9, Mệnh đề 2.3] với trường hợp lớp Gevrey ω(ξ) = ξ , d > 1, chi tiết [8] Bổ đề 3.1.1 Cho f (x) ∈ E{ω} hàm cho f λ0 ≤ M với λ0 cố định, M > Khi tồn số δ0 > 0, phụ thuộc vào λ0 , cho λ với ≤ λ ≤ δ0 , toán tử fλ (x, Dx ) = eλω(Dx ) f (x)e−λω(Dx ) có biểu trưng lớp S0,0 (R) fλ (x, ξ) = f (x) + rλ,ω (x, ξ) (3.4) với rλ,ω (x, ξ) cho ∂xβ Dξα rλ,ω (x, ξ) ≤ Cα,β ξ −1 ω(ξ) (3.5) Hằng số dương Cα,β phụ thuộc vào M λ0 α, β Đặc biệt phụ thuộc vào f λ với điều kiện f λ0 ≤ M ≤ λ ≤ δ0 Chứng minh Với hàm f = f (x), đặt fλ (x, Dx ) := eλω(Dx ) f (x)e−λω(Dx ) Theo định nghĩa, với hàm thử ϕ(x) eixξ fλ (x, ξ)F (ϕ)(ξ)dξ fλ (x, Dx )ϕ(x) = c Rξ Mặt khác, sử dụng công thức xác định fλ (x, Dx ) suy ra: eixξ eλω(ξ) F f (y)e−λω(Dx ) ϕ(y) dξ fλ (x, Dx )ϕ(x) = c Rξ Với e−λω(Dx ) ϕ(y) = c eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dη Rη Thay vào công thức ta có: fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dη dξ eixξ eλω(ξ) F f (x) Rξ = c2 Rη e−iyξ f (y)dy eixξ eλω(ξ) Rξ Ry eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dη dξ Rη Sử dụng công thức Fubini, tích phân cuối viết lại dạng: eixξ eλω(ξ) e−iyξ f (y)eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dηdydξ fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 Rξ Ry Rη eixξ eλω(ξ) e−iyξ f (y)eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dξdydη = c2 Rη Ry Rξ e−i(y−x)ξ eλω(ξ) f (y)eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dξdydη = c2 Rη Ry Rξ 29 Đặt y = y − x với dy = dy ta có: e−iy ξ eλω(ξ) f (y + x)ei(y +x)η e−λω(η) F (ϕ)(η)dξdy dη fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 Rη Ry Rξ hay e−iyξ eλω(ξ) f (y + x)ei(y+x)η e−λω(η) F (ϕ)(η)dξdydη fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 Rη = c2 Ry Rξ e−iyξ eλω(ξ) f (y + x)eiyη e−λω(η) F (ϕ)(η)dξdydη eixη Rη Ry Rξ Trong công thức cuối, ta đổi vai trò η ξ ta có: fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 e−iyη eλω(η) f (y + x)eiyξ e−λω(ξ) F (ϕ)(ξ)dηdydξ eixξ Rξ Ry Rη Đặt η = η − ξ với η = η + ξ, dη = dη suy fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 e−iyη eλω(η +ξ) f (y + x)e−λω(ξ) dη dy F (ϕ)(ξ)dξ eixξ Rξ Ry Rη Đặt lại tên biến η η ta có ngay: fλ (x, Dx )ϕ(x) = c2 e−iyη eλω(η+ξ) f (y + x)e−λω(ξ) dηdy F (ϕ)(ξ)dξ eixξ Rξ Ry Rη Từ công thức cuối thấy biểu trưng fλ (x, Dx ) cho công thức: e−iyη+λω(η+ξ)−λω(ξ) f (x + y)dydη fλ (x, ξ) = Ry Rη Chứng minh rλ,ω (x, ξ) = Ta để ý tới công thức sau: e−iyη Dη eλω(η+ξ)−λω(ξ) f (x + θy)dηdydθ: e−iyη eλω(η+ξ)−λω(ξ) dηdy = Ry Rη Thực vậy, để có công thức ta cần cho e−λω(ξ) tích phân kép Biểu thức lại sau biến đổi ξ + η = ξ F (F −1 ) hàm số eλω(ξ) Ta có điều phải chứng minh Tiếp theo ta phân tích e−iyη eλω(η+ξ)−λω(ξ) f (x + y)dηdy = Ry Rη 30 e−iyη eλω(η+ξ)−λω(ξ) (f (x + y) − f (x)) dηdy f (x) + Ry Rη theo công thức Ta có: f (x + y) − f (x) = y f (x + θy)dθ, Để ý công thức sau: e−iyη = Dη e−iyη y nên ta chuyển đạo hàm Dη sang thành phần eλω(η+ξ)−λω(ξ) phép lấy tích phân phần Vậy ta nhận công thức e−iyη Dη eλω(η+ξ)−λω(ξ) f (x + θy)dηdydθ fλ (x, ξ) = f (x) + sau phép đổi thứ tự lấy tích phân (sử dụng công thức Fubini) Nên: e−iyη Dη eλω(η+ξ)−λω(ξ) f (x + θy)dηdydθ rλ,ω (x, ξ) = Do đó, ta có: ∂xβ Dξα rλ,ω (x, ξ) eλω(η+ξ)−λω(ξ) ωλ,α (ξ, η)Fβ (x, η)dηdθ = với ωλ,α (ξ, η) = eλω(ξ)−λω(ξ+η) Dξα Dη eλω(ξ+η)−λω(ξ) Fβ (x, η) = e−iyη f (β+1) (x + θy)dy Với ωλ,α , từ (3.2) ta thu được: |ωλ,α (ξ, η)| ≤ Cα ξ + η −1 ω(ξ + η) với Cα phụ thuộc vào α δ0 , không phụ thuộc vào λ miễn ≤ λ ≤ δ0 Hàm Fβ thỏa mãn η j Fβ (x, η) = e−iyη Dyj f (β+1) (x + θy)dy 31 với j , theo (ii) từ Bổ đề 2.2.7 λϕ∗((y+z)/λ) ≥ λϕ∗(y/λ)+λϕ∗(z/λ), ta có |Fβ (x, η)| ≤ Cβ e−λ0 ω(η)+log|η| , |η| ≥ R > với Cβ phụ thuộc vào β, M λ0 với điều kiện f Ta có: ∂xβ Dξα rλ,ω (x, ξ) ≤ Cα,β eλω(ξ+η)−λω(ξ)−λ0 ω(η) η ξ + η ≤ Cα,β e−c0 ω(η) ξ + η ≤ Cα,β ξ −1 −1 λ0 −1 ≤ M ω(ξ + η)dη ω(ξ + η)dη e−c0 ω(η) η (1 + ω(η))dη ω(ξ) với c0 > 0, ≤ λ ≤ δ0 Ta có (3.5) m (Rn ), n ≥ Chú ý 3.1.2 Ta xét toán tử p(x, Dx ) với biểu trưng p(x, ξ) ∈ S1,0 1, với tính quy E{ω} theo biến x ∈ Rn Bằng cách chứng minh tương tự Bổ đề 3.1.1, ta m rλ ∈ S0,0 (Rn ) pλ (x, ξ) = p(x, ξ) + rλ (x, ξ), với ∂xβ Dξα rλ,ω (x, ξ) ≤ Cα,β ξ 3.2 m−1 ω(ξ) Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Định lí sau kết chương mở rộng Định lí 2.3.1 2.3.3 Từ đánh giá Sobolev (4.6) sau đây, ta thu kết tính đặt lớp không gian Hωs,λ theo lập luận thông thường, chi tiết tham khảo [17], trang 74-75 [11], trang 236-241 Định lí 3.2.1 Giả sử hàm a(t, x) thỏa mãn điều kiện (2) (3.1) với hàm trọng số ω ta ký hiệu toán tử L công thức: L := ∂t2 + a(t, x)Dx2 Khi đó, tồn số dương δ0 λ∗ cho hàm u(t, x), u ∈ ∩ C j [0, T ∗ ]; Hωs+2−j,λ ∗ T∗ j=0 32 , T ∗ = {T, δ0 /λ∗ } , thỏa mãn đánh giá u(t) s,λ∗ (T ∗ −t),ω + ut (t) s−1,λ∗ (T ∗ −t),ω t ≤C u(0) s,λ∗ T ∗ ,ω + ut (0) s−1,λ∗ T ∗ ,ω + Lu(τ ) s,λ∗ (T ∗ −τ ),ω dτ (3.6) với t ∈ [0, T ∗ ] Chứng minh Xét toán tử Lλ = eλω(Dx ) Le−λω(Dx ) , với λ = λ(t) = λ∗ (T ∗ − t) Từ (∂t )λ = eλω(Dx ) (∂t )e−λω(Dx ) = ∂t +λ∗ ω(Dx ), a(t, x)Dx2 λ = (a(t, x))λ Dx2 , nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 vào (a(t, x))λ ta thu Lλ = (∂t + λ∗ ω(Dx )) + a(t, x)Dx2 + rλ,ω (t, x, Dx )ω(Dx )Dx với λ∗ T ∗ ≤ rλ,ω (t, x, Dx ) họ biểu trưng bị chặn S0,0 δ0 , ≤ t ≤ T ∗ Ta đưa vào biểu trưng a ∈ C [0, T ]; S1,0 sau a(t, x, ξ) := a(t + τ, x)σ(τ ξ ) ξ dτ, σ ∈ C0∞ ([−1, 1]), ≤ σ ≤ 1, σ(τ )dτ = 1, đặt a(τ, x) = a(T, x) với τ > T, a(τ, x) = a(0, x) với τ < Ta có ∂ξα ∂xβ a(t, x, ξ) − a(t, x) ≤ Cα,β ξ −1−α ω(ξ) ∂ξα ∂xβ ∂t a(t, x, ξ) ≤ Cα,β ξ −α ω(ξ), Do Lλ = (∂t + ia(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) (∂t − ia(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) +rλ,ω (t, x, Dx )ω(Dx )Dx , với phần dư rλ,ω cho rλ,ω (t, x, ξ) họ biểu trưng bị chặn S0,0 với λ∗ T ∗ ≤ δ0 , ≤ t ≤ T ∗ 33 Đặt u0 = Dx u u1 = (∂t − ia(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) u ẩn hàm mới, sau sử dụng phương pháp chéo hóa, phương trình với vế trái Lλ u tương đương với hệ phương trình bậc × với vế trái Lλ U Lλ = ∂t −i a(t, x, Dx )Dx 0 −a(t, x, Dx )Dx +(λ∗ I + λ (t, x, Dx )) ω(Dx ) I ma trận đơn vị λ (t, x, Dx ) ma trận họ biểu trưng bị chặn S0,0 với λ∗ T ∗ ≤ δ0 , ≤ t ≤ T ∗ Bởi (3.1.2) Định lí Calderon- Vaillancourt, ta cố định số λ∗ đủ lớn, đồng thời số T ∗ ≤ δ0 /λ∗ đủ nhỏ cho λ∗ I + ω −1/2 (Dx ) (t, x, Dx )ω 1/2 (Dx ) toán tử dương, khẳng định tương tự cho (λ∗ I + (t, x, Dx )) ω(Dx ) Sử dụng phương pháp Gronwall, với hàm véctơ U (t, x), U ∈ ∩ C j [0, T ∗ ]; Hωs+1−j,λ j=0 ∗ T∗ , Vì ta thu U (t) s,λ∗ (T ∗ −t),ω ≤C U (0) s,λ∗ T ∗ ,ω LU (τ ) + s,λ∗ (T ∗ −τ ),ω dτ , với t ∈ [0, T ∗ ], điều tương đương với khẳng định (3.6) Chú ý 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 áp dụng cho toán tử hyperbolic mạnh tổng quát n L= ∂t2 n bj (t, x)Dxj ∂t + + j=1 ajk (t, x)Dxj Dxk , j,k=1 bao gồm toán tử sóng với tốc độ truyền sóng không đẳng hướng 34 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, ta trình bày số kết sau: • Trình bày kiến thức biểu trưng toán tử giả vi phân Từ vận dụng kết tích phân dao động để thiết lập đánh giá lượng toán tử toán (1) Định lí 3.2.1 • Sử dụng kiến thức toán tử giả vi phân để nghiên cứu tính đặt lớp toán với hệ số phụ thuộc biến không gian 35 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn đạt số kết sau: • Trình bày số kết liên quan tới không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu • Tìm mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường • Thiết lập tích phân dao động chứng minh tính đặt toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào biến không gian thời gian 36 Tài liệu tham khảo [A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, tr 86-99 [B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [1] A Beurling, P Malliavin, On Fourier transforms of measures with compact support, Acta Math 107 (1962) 291– 309 [2] R.W Braun, R Meise, B.A Taylor, Ultradifferentiable functions and Fourier analysis, Results Math 17 (1990) 206–237 [3] F Colombini, E De Giorgi, S Spagnolo, Sur les équations hyperboliques avec des coefficients qui ne dépendent que du temps, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci (1979) 511–559 [4] F Colombini, E Jannelli, S Spagnolo, Hyperbolic equations and classes of infinitely differentiable functions, Ann.Mat Pura Appl 143 (1986) 187–195 [5] F Colombini, N Lerner, Hyperbolic operators with non-Lipschitz coefficients, Duke Math J 77 (1995) 657–698 [6] F Colombini, T Nishitani, Équations faiblement hyperboliques du deuxième ordre et classes de fonctions ultradifférentiables, C R Acad Sci Paris Ser I Math 332 (2001) 25–28 [7] F Colombini, S Spagnolo, Some examples of hyperbolic equations without local solvability, Ann Sci Ecole Norm.Sup 22 (1989) 109–125 [8] C Fernandez, A Galbis, D Jorne, Pseudodifferential operators on nonquasianalytic classes of Beurling type, Studia Math 167 (2005) 99–131 [9] K Kajitani, Cauchy problem for nonstrictly hyperbolic systems in Gevrey classes, J Math Kyoto Univ 23 (1983) 599–616 37 [10] S.G Krantz, H.R Parks, A Primer of Real Analytic Functions, Basler Lehrb¨ ucher, vol 4, Birkh¨auser, Basel, 1992 [11] H Kumano-go, Pseudodifferential Operators, MIT Press, Cambridge, MA, 1981 [12] S Mandelbrojt, Séries adhérentes, régularisation des suites, applications, Gauthier–Villars, Paris, 1952 [13] R Meise, B.A Taylor, D Vogt, Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions, Indiana Univ Math J 36 (1987) 729–756 [14] T Meyer, Die Fourier–Laplace Transformation quasianalytischer Funktionale und ihre Anwendung auf Faltungsoperatoren, Diplomarbeit, D¨ usseldorf, 1989 [15] T Nishitani, Sur les équations hyperboliques coefficients h¨oldériens en t et de classe de Gevrey en x, Bull Sci Math 107 (1983) 113–138 [16] T R¨osner, Surjektivit¨at partieller Differentialoperatoren auf quasianalytischen Roumieu-Klassen, Dissertation, D¨ usseldorf, 1997 [17] M.E Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Math Ser., vol 34, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 1981 38 [...]... các hàm giải tích trong một lân cận của điểm x0 = (x01 , , x0n , 0), còn uj , j = 0, 1 là các hàm giải tích trong một lân cận của điểm x0 Khi đó bài toán Cauchy (1.7), (1.6) có nghiệm giải tích trong một lân cận nào đó của điểm x0 và là nghiệm duy nhất trong các lớp hàm giải tích 9 Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MẠNH HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN 2.1 Mở đầu Xét phương trình đạo... bất kỳ ω0 và ω sao cho E(ω) là không chứa trong E(ω0 ) , vì thế kết quả của tính đặt đúng trong Định lí 2.3.3 là tối ưu trong mọi trường hợp KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong chương này, ta đã trình bày một số kết quả chính sau: 26 • Tìm được mối liên hệ giữa môđun liên tục ω và hệ số a(t) đảm bảo tính đặt đúng của bài toán Cauchy (2.1) trong lớp các hàm siêu khả vi dạng Beurling-Roumieu • Sử dụng phương pháp... (2.2) và (2.3) với hàm trọng số không tựa giải tích ω Do đó, với mọi u0 , u1 ∈ E(ω) cho trước, bài toán Cauchy (2.1) cho nghiệm duy nhất u ∈ C 1 ([0, T ]; E(ω) ) Chú ý 2.3.4 Dưới các giả thiết của Định lí 2.3.3, với dữ kiện u0 , u1 trong không gian không tựa giải thích Roumieu E(ω) , bài toán Cauchy (2.1) có 22 nghiệm duy nhất u(x, t) được xác định trong một lân cận của t = 0, phụ thuộc vào dữ kiện Cauchy, ... điều kiện cho thấy tính đặt đúng trong Định lí 2.3.3 là tối ưu trong mọi trường hợp 27 Chương 3 BÀI TOÁN CAUCHY TRONG TRƯỜNG HỢP HỆ SỐ PHỤ THUỘC CẢ KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN 3.1 Các kết quả của tích phân dao động Trong mục này, ta đi chứng minh kết quả của tính đặt đúng của bài toán Cauchy trong trường hợp tổng quát (1) Bên cạnh điều kiện (2), giả sử rằng, với số cố định λ0 > 0, hệ số a(t, x) thỏa mãn... đó tính khả C 1 tương ứng đối với biến t và lớp E(ω) tương ứng đối với biến x 2.4 Xây dựng phản ví dụ Trong phần này, chúng ta đề cập tới tính tối ưu của Định lí 2.3.3 Kết quả sau đây nói rằng kết quả của tính đặt đúng trong lớp không tựa giải tích 1 ω có thể không đúng nếu như điều kiện 0 tω 1 t 1 t dt < +∞ về môđun liên tục của hệ số a(t) bị vi phạm Định lí 2.4.1 Giả sử ω0 là hàm trọng số cố định tựa. .. với d = 1/α β (c) ω (y) = (log (1 + y)) , β > 1 Không gian E∗ là không tựa giải tích và nó chứa tất cả các hàm Gevrey có giá compact với chỉ số d > 1 −β (d) ω (y) = y(log (1 + y)) , β > 0 Không gian E∗ là không tựa giải tích với β > 1, tựa giải tích với 0 < β 1 m (e) ω (y) = y/ log(j) (1 + y) Hàm trọng số này là tựa giải tích với m bất j=1 kì Khi đó E∗ như là trường hợp tới hạn của không gian tựa giải. .. đó hệ số a(t) là một hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện hyperbolic mạnh γ −1 ≥ a (t) > γ > 0 (2.2) Như ta đã biết, bài toán (2.1) luôn đặt đúng trong không gian A các hàm giải tích Trong trường hợp a(t) chỉ phụ thuộc vào t, một kết quả quan trọng từ đánh giá năng lượng (90)[3]: với bất kì hàm liên tục cho trước a(t) sẽ tồn tại một không gian X mà chứa A và bài toán Cauchy là đặt đúng Ngược lại, bài toán. .. số trơn có thể được chuyển về phương trình hyperbolic đối xứng Từ những điều trên ta có định nghĩa sau đây Định nghĩa 2.1.3 Phương trình utt − a(t, x)uxx = 0 được gọi là phương trình hyperbolic mạnh khi và chỉ khi phương trình đặc trưng λ2 − a(t, x) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán Cauchy với phương trình hyperbolic mạnh trên [0, T ] × Rx utt − a(t)uxx... phương pháp đánh giá năng lượng và hiệu chỉnh chính quy hóa đối với hệ số a(t) để có thể chuyển từ tính liên tục sang tính khả vi cấp một Từ đó đánh giá vi năng lượng xấp xỉ với bài toán mới đã được hiệu chỉnh và kiểm soát tốc độ sai số Cuối cùng sử dụng định nghĩa về môđun liên tục để quay trở về bài toán ban đầu, các đánh giá trung gian được đảm bảo bởi các tính chất của biến đổi Fourier • Xây dựng... là hyperbolic (hyperbolic mạnh, hyperbolic yếu) tại mọi điểm (t0 , x0 ) ∈ G Nếu ma trận A là thực và đối xứng thì phương trình hyperbolic đối xứng có dạng n A0 (t, x) ∂t U + Ak (t, x) ∂xk U + B (t, x) U =F (t, x) , k=1 ở đó A0 là ma trận thực và xác định dương, Ak là ma trận thực và đối xứng 10 Nhận xét 2.1.2 Mọi phương trình hyperbolic tuyến tính cấp hai với các hệ số trơn có thể được chuyển về phương