Ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biến đổi với phương trình và hệ phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội- 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội- 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự động viên, khích lệ và hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn. Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin được gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy phản biện: GS.TSKH. Đinh Nho Hào, PGS.TS. Cung Thế Anh, PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy cùng các Thầy trong Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG đã bỏ công sức đọc bản thảo và cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để có thể hoàn thành tốt hơn bản luận án này. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh có thể hoàn thành luận án của mình. Nghiên cứu sinh cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, các thành viên của Seminar Bộ môn Giải tích Khoa Toán- Cơ T in học cùng các bạn đồng nghiệp tại bộ môn Toán học trường Đại học Xây dựng Hà nội về sự động viên khích lệ cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quá trình học tập và công tác. Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh mục kí hiệu, định nghĩa và định lí cơ sở . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚPPHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH 17 1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian trong miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương của hệ (p, q)- Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều . . . . . . . . . . 55 2.3 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều có tham số . . . . . . . . 68 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2 DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ 1. Các kí hiệu Ω ⊂ R N là một tập đo được trong R N , Ω ’ ⊂⊂ Ω là một tập compact chứa trong Ω và u : Ω −→ R là một hàm đo được Lebesgue. L p (Ω) = {u : Ω −→ R :  Ω |u| p dx < +∞}, 1 ≤ p < +∞ với chuẩn ||u|| L p =    Ω |u| p dx   1 p . L ∞ (Ω) = {u : Ω −→ R bị chặn trên Ω} với chuẩn ||u|| L ∞ = ess sup x∈Ω |u(x)|. L p loc (Ω) = {u : Ω −→ R sao cho ∀Ω ’ ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ L p (Ω ’ )}. C ∞ 0 (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω. H m,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω) : D α u ∈ L p (Ω), ∀|α| ≤ m} với chuẩn ||u|| H m,p =  |α|≤m ||D α u|| L p . H m,p 0 (Ω) là bao đóng của không gian C ∞ 0 (Ω) trong H m,p (Ω). Nếu Ω là một miền bị chặn thì có thể trang bị một chuẩn tương đương là ||u|| H m,p 0 =  |α|=m ||D α u|| L p . H m,q (Ω) là không gian đối ngẫu của H m,p (Ω) với 1 p + 1 q = 1. Trong trường hợp p = q = 2, ta có thể viết ngắn gọn là H m (Ω). 2. Bất đẳng thức H ¨ older Với mọi u ∈ L p (Ω) và v ∈ L q (Ω) với 1 p + 1 q = 1, ta có        Ω u(x)v(x)dx       ≤ ||u|| L p .||v|| L q . 3 3. Bất đẳng thức nội suy Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R N , 1 < p ≤ q ≤ r, 1 q = δ p + 1 − δ r , δ ∈ [0, 1] và u ∈ L r (Ω). Khi đó, ||u|| L q ≤ ||u|| δ L p .||v|| 1−δ L r . 4. Hàm Carathéodory Ta nói f : Ω × R N −→ R là một hàm Carathéodory nếu với mỗi x ∈ Ω cố định, hàm u → f(x, u) liên tục trên R N và với mỗi u ∈ R N cố định, hàm x → f(x, u) đo được trên Ω. 4. Đạo hàm Fréchet và đạo hàm Gâteax Giả sử X, Y là các không gian Banach, U là một tập mở trong X, x ∈ U, f : U −→ Y là một hàm xác định trên U. Ta nói f khả vi Fréchet tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục D F f(x) ∈ L(X, Y ) sao cho ||f(x + h) − f(x) − D F f(x)h|| Y = o(||h|| X ), ∀h ∈ X và x + h ∈ U. Nếu f khả vi Fréchet tại mọi x ∈ U khi đó ta nói f khả vi Fréchet trên tập U. Nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ U và ánh xạ x → D F f(x) từ U vào L(X, Y ) liên tục tại x ta nói f khả vi Fréchet liên tục tại x. Nếu f khả vi Fréchet liên tục tại mọi x ∈ U, ta nói f khả vi Fréchet liên tục trên U và kí hiệu f ∈ C 1 (X, Y ). Ta nói f khả vi Gâteaux tại điểm x theo hướng h nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục D G f(x) ∈ L(X, Y ) sao cho lim t→0 f(x + th) − f(x) t = D G f(x)h, h ∈ X. Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ U khi đó ta nói f khả vi Gâteaux trên tập U. Nếu f : U −→ Y khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x. Nếu f : U −→ R có đạo hàm Gâteaux D G f liên tục trong U thì f khả vi Fréchet và f ∈ C 1 (U, R). 4 Định lí 0.0.1 (Định lí C1 trong [30])). Giả sử F = F (x, u, p) : Ω × R n+1 → R đo được với x ∈ Ω, khả vi liên tục với u ∈ R và p ∈ R n và các điều kiện sau đây thoả mãn: 1) |F (x, u, p)| ≤ C(1 + |u| s 1 + |p| 2 ), với s 1 ≤ 2n n − 2 khi n ≥ 3; 2) |F u (x, u, p)| ≤ C(1 + |u| s 2 + |p| t 2 ), với t 2 ≤ 2 khi n ≤ 2 và tương ứng với s 2 ≤ n + 2 n − 2 , t 2 ≤ n + 2 n khi n ≥ 3 ở đây F u = ∂F ∂u ; 3) |F p (x, u, p)| ≤ C(1 + |u| s 3 + |p|) với s 3 ≤ n n − 2 khi n ≥ 3, F p = ∂F ∂p . Khi đó phiếm hàm E(u) =  Ω F (x, u(x), ∇u(x))dx xác định một phiếm hàm C 1 trên H 1,2 (Ω). Hơn nữa, DE(u) được cho bởi: v, DE(u) =  Ω (F u (x, u, ∇u)v + F p (x, u, ∇u)∇v)dx, với DE(u) là đạo hàm Fréchet của E(u) tại u. Định lí 0.0.2 (Định lí C2 trong [30]). Giả sử g : Ω × R m −→ R là một hàm Carathéodory thoả mãn điều kiện 1) |g(x, u)| ≤ C(|1 + |u| s |) với s ≥ 1. Khi đó toán tử u → (g(., u(.))) là liên tục từ L sp (Ω) vào L p (Ω) với mỗi p ∈ [1, +∞]. 6. Tính nửa liên tục dưới và tính nửa liên tục dưới yếu Giả sử X là một không gian Banach, f : X → R là một phiếm hàm xác định trên X. Phiếm hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu với mọi dãy {u m } hội tụ mạnh đến u trong X, ta đều có f(u) ≤ lim inf m→∞ f(u m ). 5 Phiếm hàm f gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {u m } hội tụ yếu đến u trong X, ta đều có f(u) ≤ lim inf m→∞ f(u m ). Như vậy, một phiếm hàm nửa liên tục dưới thì sẽ nửa liên tục dưới yếu nhưng điều ngược lại không đúng. Định lí 0.0.3 (Định lí 1.6 tr.9 [30]). Cho Ω là một miền trong R n và giả sử rằng F : Ω × R n × R n → R là một hàm Caratheodory thỏa mãn điều kiện sau: 1) F (x, u, p) ≥ ϕ(x) với h.k. x, u, p, với ϕ ∈ L 1 (Ω). 2) F (x, u, .) lồi đối với p và với h.k. x, u. Khi đó, nếu u m , u ∈ H 1,1 loc (Ω) và u m → u trong L 1 (Ω ’ ), ∇u m hội tụ yếu đến ∇u trong L 1 (Ω ’ ) với mọi tập bị chặn Ω ’ ⊂⊂ Ω, thì ta có E(u) ≤ lim inf m→∞ E(u m ), với E(u) =  Ω F (x, u, ∇u)dx. 6 [...]... LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chúng tôi dành chương này để trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Neumann cho lớp các phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Mục 1.1 chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cho bài toán biên Neumann trong miền Ω không bị chặn với biên ∂Ω trơn, đóng và bị chặn đối với một lớp phương trình elliptic. .. tồn tại của nghiệm yếu của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính So với nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp biến phân tỏ ra rất có hiệu quả Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng là dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn, mà nội dung của nó là đưa bài toán biên... công trình trong luận án Nguyễn Thành Chung) Các tác giả trên đã nghiên cứu bài toán biên Dirichlet, còn trong luận án này, ở chương 1, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Neumann đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.3) Các kết quả mới được trình bày trong hai chương của luận án Chương 1 nghiên cứu bài toán biên Neumann cho các lớp phương trình và hệ phương. .. ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng là phương tiện nghiên cứu trong nhiều ngành khoa học khác nhau, là chiếc cầu nối giữa khoa học và ứng dụng Nhiều bài toán cơ học và vật lí được mô hình hoá toán học thông qua các phương trình đạo hàm riêng Vấn đề chủ yếu xuyên suốt trong quá trình nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng của ngành phương trình đạo hàm riêng là bài toán tồn tại nghiệm Cho đến đầu thế kỉ 20, nghiệm. .. bằng cách áp dụng các nguyên lí biến phân I.Ekeland, nguyên lí ba điểm tới hạn, định lí qua núi, nguyên lí cực tiểu của phiếm hàm, nhóm nghiên cứu Hoàng Quốc Toàn, Ngô Quốc Anh và Nguyễn Thành Chung đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với các phương trình và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.1), (0.3) trong miền Ω ⊂ RN bị chặn hoặc không bị chặn và. .. ∂n với Ω là miền bị chặn biên trơn trong RN (N dương 2), 2 p, q < ∞, λ là tham số Nhận xét rằng: + Nghiệm (u, v) của hệ phương trình thuộc không gian W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) 13 +Chúng tôi sử dụng nguyên lí cực tiểu phiếm hàm và định lí qua núi để chứng minh bài toán có hai nghiệm dương phân biệt khi λ > λ Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với lớp các phương trình elliptic. .. với bài toán loc Dirichlet đối với phương trình (0.1) có thể không xác định tại một hàm u nào đó 1,p của không gian W0 (Ω), vì vậy nghiệm của bài toán nói chung chỉ có thể tồn tại 1,p trong không gian con nào đó của W0 (Ω) Vì lí do đó bài toán (0.1) trong trường hợp này được gọi là "bài toán biên không đều" của phương trình elliptic Để vượt qua tình trạng "không đều" này của bài toán (0.1) ta đưa vào... hàm năng lượng liên kết với nó không khả vi Fréchet Các bài toán như vậy được chúng tôi nghiên cứu trong luận án này Đối tượng mà chúng tôi đề cập đến trong luận án là sự tồn tại nghiệm yếu của các phương trình (và hệ phương trình) elliptic dạng: −div(a(x, u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1) trong đó Ω là tập mở trong RN Một số dạng thường gặp của phương trình dạng (0.1) là các phương trình: −div(| u|p−2 u)... > 0 và DJ(u) = 0 Lí thuyết điểm tới hạn cùng với Định lí qua núi đã góp phần quan trọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp khá rộng các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính Những cải tiến của Định lí qua núi cùng với điều kiện Palais-Smale đã được nhiều nhà toán học lớn quan tâm nghiên cứu Năm 1989, Dương Minh Đức trong công trình. .. c là một giá trị tới hạn của J, tức là tồn tại u ∈ X sao cho c = J(u) ≥ α > 0 và DJ(u) = 0 Có thể nói trước năm 2005, chưa có nghiên cứu nào liên quan đến việc áp dụng Định lí qua núi đối với phiếm hàm khả vi liên tục yếu, mặc dù ý tưởng này mở ra một hướng nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm yếu cho một lớp rộng lớn các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính, . Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã. NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-. mặt toán học, lại vừa có ý nghĩa vật lý. Hướng nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm yếu của các bài toán biên đối với phương