Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy 2. PGS. TS. Đặng Đình Châu Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Trịnh Viết Dược i Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 2 MỞ ĐẦU 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . . 7 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . . . . . . 10 1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định . . . . . . . . 19 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 22 2.1 Đa tạp tâm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Đa tạp không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . . . 41 3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . 49 3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . 54 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R + là tập các số thực không âm. Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu L p (I) =      {u : I → R : u p = (  I |u(x)| p dx) 1/p < +∞ nếu 1 ≤ p < ∞}. {u : I → R : u ∞ = ess sup x∈I |u(x)| < +∞ nếu p = ∞}. L 1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L 1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong I. Ở đây, I = R + hoặc R. Ký hiệu M(R + ) =  f ∈ L 1, loc (R + ) : sup t≥0  t+1 t |f(τ)|dτ < ∞  với chuẩn f M := sup t≥0  t+1 t |f(τ)|dτ. X là không gian Banach. E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R + . E R là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R. C b (R + , X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X, xác định trên R + với chuẩn u ∞ = sup t∈R + u(t). Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], nhận giá trị trong X với chuẩn u C = sup t∈[−r,0] u(t). 2 MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du dt = A(t)u + f(t, u), t ∈ I, trong đó I = R + hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ các toán tử (A(t)) t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = R n và A(t) là các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry [21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem [1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó). Có hai phương pháp 3 chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52] để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Chúng ta có thể xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn đề này. Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ C với q là hằng số đủ nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là [2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 3 chương • Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]). 4 Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27]. • Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính du dt = A(t)u + f(t, u), t ∈ I, trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U(t, s)) t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R + có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f(t, x) − f(t, y) ≤ ϕ(t)x − y với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s)) t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả. • Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du dt = A(t)u(t) + f(t, u t ), t ∈ I, trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t)) t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ C với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Vì vậy, khi nghiên 5 cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f(t, φ 1 ) − f(t, φ 2 ) ≤ ϕ(t)φ 1 − φ 2  C , khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện sup t∈I  t+1 t ϕ(τ)dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ có thể nhận giá trị lớn tuỳ ý. Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân được xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định trên X. Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp dụng được. Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t). Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2] thuộc Danh mục công trình khoa học của tác giả. Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu, hai người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Hai thầy đã dìu dắt tôi trên con đường toán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy. Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô. Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn. Hà Nội, năm 2014 Nghiên cứu sinh Trịnh Viết Dược 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R + (xem [25, 27, 36]). Sử dụng một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên R + được gọi là không gian hàm Banach trên (R + , B, λ), trong đó B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R + , nếu (1) (E,  ·  E ) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ E ≤ ϕ E . (2) Hàm đặc trưng χ A ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và sup t≥0 χ [t,t+1]  E < ∞, inf t≥0 χ [t,t+1]  E > 0. (3) E → L 1,loc (R + ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R + tồn tại β J > 0 sao cho  J |f(t)|dt ≤ β J f E với mọi f ∈ E. Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không gian hàm Banach E hay không. 7 Bổ đề 1.1.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel trên R + sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E. Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu trên J nên tồn tại M > 0 sao cho λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M}) = 0 Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M} và B = J \ A. Do E là không gian hàm Banach nên |ϕ| ∈ E và χ B ∈ E. Bởi vậy, |ϕ|+χ B ∈ E. Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+Mχ B (λ-h.k.n), suy ra ψ ∈ E. Định nghĩa 1.1.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn (i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho  b a |ϕ(t)|dt ≤ M(b − a) χ [a,b]  E ϕ E với mọi [a, b] ⊂ R + và mọi ϕ ∈ E. (ii) E là bất biến với toán tử Λ 1 , trong đó Λ 1 ϕ(t) =  t+1 t ϕ(τ)dτ. (iii) E là T + τ và T − τ bất biến với mọi τ ∈ R + , trong đó T + τ ϕ(t) =    ϕ(t − τ) nếu t ≥ τ ≥ 0 0 nếu 0 ≤ t < τ , T − τ ϕ(t) = ϕ(t + τ) với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, tồn tại N 1 , N 2 > 0 sao cho T + τ  ≤ N 1 , T − τ  ≤ N 2 với mọi τ ∈ R + . Ví dụ 1.1.4. Không gian L p (R + ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian M(R + ) :=  f ∈ L 1, loc (R + ) : sup t≥0  t+1 t |f(τ)|dτ < ∞  với chuẩn f M := sup t≥0  t+1 t |f(τ)|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian Lorentz L p, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được. 8 [...]... chúng ta xét phương trình trên toàn đường thẳng để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm 2.1 Đa tạp tâm ổn định Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích phân t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0 (2.2) s Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1)... tồn tại đa tạp ổn định S cho các nghiệm của phương trình tích phân (2.3) Để trở lại nghiệm của phương trình (2.2), chúng ta sử dụng liên hệ x(t) := eγt x(t) Khi đó, chúng ta thấy rằng đa tạp S thoả mãn các tính chất (i), (ii), (iii) và (iv) Vậy, S là đa tạp tâm ổn định cho các nghiệm của phương trình tích phân (2.2) Chúng ta minh hoạ kết quả thu được bằng các ví dụ sau Ví dụ 2.1.4 Xét phương trình dx... kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân mũ Trong trường hợp A(t) là ma trận với mỗi t cố định và liên tục, Perron [51] đã tìm được sự liên hệ giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình (1.4) và các tính chất của toán tử vi phân d dt − A(t) xác định trên không gian Cb (R+ , Rn ) Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyết định tính của phương trình vi phân Trong... 1.4 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả) Chúng ta xét phương trình du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (2.1) trong... Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình (1.12) Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1 (t), u2 (t) trên đa tạp S hút cấp mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 ) 21 với mọi t ≥ t0 Chương 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH Trong mục 1.4 của Chương 1, chúng... (1.10) có nhị phân mũ Hệ quả 1.3.14 [27, Hệ quả 5.3] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với hằng số nhị phân N, ν > 0 và toán tử chiếu nhị phân P (t) Cho B ∈ Cb (R+ , Ls (X)) và H := supt≥0 P (t) Khi đó, nếu B < ν 2N H(1 + N + N H) thì họ tiến hoá (UB (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ 1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định Trong phần này chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến... thức biểu diễn nghiệm bị chặn của phương trình (2.7) Bổ đề 2.2.4 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ ER là hàm không âm Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz và x(t) là nghiệm của phương trình (2.7) sao cho ess supt≤t0 x(t) < ∞ với t0 cố định Khi đó, với mọi t ≤ t0 , x(t) là nghiệm của phương trình t0 G(t,... 2.1.4 nếu supt ≥ 0 t+1 ϕ(τ )dτ t 2.2 Đa tạp không ổn định là đủ nhỏ (hay là c đủ lớn) thì tồn tại đa tạp tâm ổn định cho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.5) Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định cho các nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hoá xác định trên toàn đường thẳng dưới điều kiện họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz Trước... tại đa tạp không ổn định cho các nghiệm của phương trình (2.7) 32 Định lý 2.2.7 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn k < 1 N +1 , ở đây k được xác định bởi (2.9) Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình. .. với t ∈ R và x1 , x2 ∈ X Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R+ bởi t ∈ R Giả sử rằng họ các toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R trên không gian Banach X sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là ϕ-Lipschitz Khi đó, chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định cho các nghiệm đủ tốt, các nghiệm này là nghiệm của phương trình tích phân t u(t) . NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người. tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Để. 22 2.2 Đa tạp không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm