tóm tắt luận án tiến sĩ đa tạp tích phân và dáng điệu tiềm cân nghiêm của 1 số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 TĨM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 Cơng trình hồn thành tại: Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thiệu Huy PGS TS Đặng Đình Châu Phản biện 1: Phản biên 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ I, I = R+ R, A(t) tốn tử tuyến tính khơng giới nội khơng gian Banach X với t ∈ I f : I × X → X toán tử phi tuyến Một vấn đề trọng điểm nghiên cứu lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân tìm hiểu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm (ổn định, không ổn định) Việc nghiên cứu tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định, mặt khác cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Để đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến phần tuyến tính (tức họ tốn tử (A(t))t∈I ) sinh họ tiến hố có nhị phân mũ tam phân mũ toán tử phi tuyến f Lipschitz theo nghĩa Những kết tảng tồn đa tạp tích phân thuộc nhà tốn học Hadamard, Perron, Bogoliubov Mitropolsky Đó kết tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường (tức trường hợp X = Rn A(t) ma trận) Sau đó, Daleckii Krein mở rộng kết sang trường hợp A(t) toán tử giới nội không gian Banach X Tiếp theo, Henry phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) tốn tử đạo hàm riêng khơng giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng quát bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính Có hai phương pháp để chứng minh tồn đa tạp tích phân phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp liên quan đến việc lựa chọn phép biến đổi phức hợp đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trong đó, phương pháp Perron mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan quan đến phương pháp Lyapunov Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc tốn tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hố, để từ tồn đa tạp tích phân Phương pháp LyapunovPerron thích hợp việc xử lý dòng nửa dòng sinh phương trình tiến hố nửa tuyến tính, trường hợp việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron thuận lợi gắn kết với kỹ thuật tiêu chuẩn phương trình vi phân thường (ODE), chí dịng xác định tập khơng gian pha Điều kiện phổ biến phần phi tuyến f xét tốn tồn đa tạp tích phân phương trình tiến hố nửa tuyến tính f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ bé, tức f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q số đủ nhỏ Tuy nhiên, với phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán, f đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả trình tương tác-khuyếch tán Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm Banach chấp nhận Nguyễn Thiệu Huy đưa điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến, hệ số Lipschitz phần phi tuyến phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu tồn đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Đó nội dung luận án Luận án bao gồm chương • Chương phần kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ họ tiến hoá đa tạp ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính • Chương nghiên cứu tồn đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ I, A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố định f : I × X → X toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh họ toán tử A(t), t ∈ R+ , có nhị phân mũ hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, x) − f (t, y ) ≤ ϕ(t) x − y với ϕ hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Với giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy chứng minh tồn đa tạp ổn định Khi mở rộng họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ tồn đa tạp tâm ổn định Sau đó, thay xét phương trình nửa đường thẳng, chúng tơi xét phương trình tồn đường thẳng để từ tồn đa tạp không ổn định đa tạp có tính chất hút quỹ đạo nghiệm Các kết Chương lấy báo [3] • Chương nghiên cứu tồn đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp khơng ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ I, A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố định f : I × C → X toán tử phi tuyến liên tục Với r > cố định, ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) không gian hàm liên tục [−r, 0] trang bị chuẩn sup Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh họ tiến hố có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), tìm điều kiện f để phương trình có đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ, tức f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ Tuy nhiên, phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất q trình hệ số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian Vì vậy, nghiên cứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tơi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , điều kiện số t+1 Lipschitz q đủ nhỏ thay điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ Các kết Chương viết báo [1, 2] Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng R+ Sử dụng thay đổi, thu khái niệm tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng thực Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ họ tiến hoá đa tạp ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính 1.1 Khơng gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ E gồm hàm thực đo Borel R+ gọi không gian hàm Banach (R+ , B, λ), B đại số Borel λ độ đo Lebesgue R+ , (1) (E, · E ) không gian Banach ϕ ∈ E, ψ hàm thực đo Borel cho |ψ (·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ ψ ∈ E ψ E ≤ ϕ E , (2) hàm đặc trưng χA ∈ E với A ∈ B có độ đo hữu hạn supt≥0 χ[t,t+1] ∞, inf t≥0 χ[t,t+1] E > 0, E (3) E → L1,loc (R+ ), tức với đoạn compact J ⊂ R+ tồn βJ > cho J |f (t)|dt ≤ βJ f E với f ∈ E Định nghĩa 1.1.2 Không gian hàm Banach E gọi chấp nhận thoả mãn < (i) Tồn số M ≥ cho b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] E E với [a, b] ⊂ R+ ϕ ∈ E, (ii) E bất biến với toán tử Λ1 , Λ1 ϕ(t) = t+1 ϕ(τ )dτ , t (iii) E Tτ+ Tτ− bất biến với τ ∈ R+ ,   ϕ(t − τ ) t ≥ τ ≥ + ϕ(t) = Tτ 0 ≤ t < τ , Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với t ≥ Hơn nữa, tồn N1 , N2 > cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với τ ∈ R+ Ví dụ 1.1.3 Khơng gian Lp (R+ ) với ≤ p ≤ ∞ không gian t+1 M(R+ ) := t≥0 với chuẩn f nhận M |f (τ )|dτ < ∞ f ∈ L1, loc (R+ ) : sup := supt≥0 t+1 |f (τ )|dτ t t không gian hàm Banach chấp Dưới số tính chất không gian hàm Banach chấp nhận Mệnh đề 1.1.4 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận Ta có khẳng định sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) cho ϕ ≥ Λ1 ϕ ∈ E Với σ > ta xác định Λσ ϕ Λσ ϕ sau t Λσ ϕ(t) = e−σ(t−s) ϕ(s)ds, ∞ Λσ ϕ(t) = e−σ(s−t) ϕ(s)ds t Khi đó, Λσ ϕ Λσ ϕ ∈ E Hơn nữa, ϕ ∈ M(R+ ) (điều thoả mãn ϕ ∈ E) Λσ ϕ Λσ ϕ bị chặn ta có đánh giá Λσ ϕ ∞ ≤ N1 + Λ1 T1 ϕ −σ 1−e ∞ Λσ ϕ ∞ ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ ∞, (1.1) + Λ1 , T1 N1 , N2 xác định Định nghĩa 1.3.1 (b) Với α > 0, e−αt ∈ E (c) Với b > 0, ebt ∈ E / 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng Thay R+ R thay đổi tương ứng định nghĩa, có khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng Ta có tính chất sau Mệnh đề 1.2.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng Ta có tính chất sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) cho ϕ ≥ Λ1 ϕ ∈ E Với σ > ta xác định Λσ ϕ Λσ ϕ sau t Λσ ϕ(t) = e−σ(t−s) ϕ(s)ds, −∞ ∞ Λσ ϕ(t) = e−σ(s−t) ϕ(s)ds t t+1 Khi đó, Λσ ϕ Λσ ϕ ∈ E Hơn nữa, supt∈R t ϕ(τ )dτ < ∞ (điều thoả mãn ϕ ∈ E ) Λσ ϕ Λσ ϕ bị chặn ta có đánh giá Λσ ϕ ∞ ≤ N1 Λ1 ϕ − e−σ ∞ Λσ ϕ (b) Với α > 0, e−α|t| ∈ E (c) Với b > 0, eb|t| ∈ E / ∞ ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ ∞ 1.3 Phương trình vi phân nửa tuyến tính đa tạp ổn định Trong phần này, xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.2) A(t) tốn tử tuyến tính không gian Banach X với t cố định f : R+ × X → X tốn tử phi tuyến Chúng ta giả sử họ toán tử A(t), t ∈ R+ sinh họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Sử dụng khơng gian hàm chấp nhận nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy điều kiện hàm f để phương trình (1.2) có đa tạp ổn định Để tồn đa tạp ổn định, thay (1.2) xét phương trình tích phân t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s ≥ (1.3) s Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau Định nghĩa 1.3.1 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 không gian Banach X gọi nhị phân mũ [0, ∞) tồn toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, X số N, ν > cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0, (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ đẳng cấu, biểu diễn ánh xạ ngược U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , ≤ s ≤ t, (c) U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0, (d) U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ Định nghĩa 1.3.2 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng ϕ ∈ E hàm không âm Hàm f : [0, ∞) × X → X gọi ϕ-Lipschitz f thoả mãn (i) f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ , (ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R+ x1 , x2 ∈ X Định nghĩa 1.3.3 Tập S ⊂ R+ × X gọi đa tạp ổn định bất biến cho nghiệm phương trình (1.3) t ∈ R+ ta có X = X0 (t) ⊕ X1 (t) cho inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf { x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1} > t∈R+ t∈R+ i=0, tồn họ ánh xạ Lipschitz gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ với số Lipschitz không phụ thuộc t thoả mãn (i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)}, ký hiệu St = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S} (ii) St đồng phôi với X0 (t) với t ≥ (iii) Mỗi x0 ∈ St0 có nghiệm u(t) phương trình (1.3) [t0 , ∞) thoả mãn u(t0 ) = x0 ess supt≥t0 u(t) < ∞ (iv) S bất biến, tức u nghiệm phương trình (1.3) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ St0 ess supt≥t0 u(t) < ∞ u(s) ∈ Ss với s ≥ t0 Dưới nhắc lại kết đa tạp ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính Định lý 1.3.4 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu P (t), t ≥ số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ ∈ E hàm khơng âm Cho f : R+ × X → X ϕ-Lipschitz cho k < N1 , +1 + (1 + H )N (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ k := − e−ν ∞) Khi đó, tồn đa tạp ổn định bất biến S cho nghiệm phương trình (1.3) Hơn nữa, hai nghiệm u1 (t), u2 (t) đa tạp S hút cấp mũ, tức tồn số dương µ Cµ khơng phụ thuộc t0 ≥ cho u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 ) với t ≥ t0 2.1 Đa tạp tâm ổn định Để tồn đa tạp tâm ổn định, xét phương trình tích phân t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s ≥ (2.2) s Nghiệm phương trình tích phân (2.2) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X Chúng ta nhắc lại khái niệm sau Định nghĩa 2.1.1 Họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 gọi tam phân mũ nửa đường thẳng tồn ba họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, số dương N, α, β với α < β cho điều kiện sau thoả mãn: (i) supt≥0 Pj (t) < ∞, j = 1, 2, 3, (ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id với t ≥ Pj (t)Pi (t) = với j = i (iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ j = 1, 2, 3, (iv) U (t, s)|ImPj (s) đẳng cấu từ ImPj (s) lên ImPj (t) với t ≥ s ≥ j = 2, 3, ký hiệu ánh xạ ngược U (t, s)|ImPj (s) U (s, t)| (v) Với t ≥ s ≥ x ∈ X, ước lượng sau đúng: U (t, s)P1 (s)x ≤ N e−β (t−s) P1 (s)x , U (s, t)| P2 (t)x ≤ N e−β (t−s) P2 (t)x , U (t, s)P3 (s)x ≤ N e α(t−s) P3 (s)x Sau kết phần này, định lý tồn đa tạp tâm ổn định Định lý 2.1.2 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với số N, α, β họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, cho Định 10 nghĩa 2.1.1 Giả sử f : R+ × X → X ϕ-Lipschitz, ϕ ∈ E hàm khơng âm thoả mãn + (1 + H )N0 (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ k := − e−ν ∞) < , N0 + q = sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 = max{N, 2qN } ν = δ−α > Khi đó, với δ > α, tồn đa tạp tâm ổn định S = {(t, St ) ⊂ R+ × X} cho nghiệm phương trình (2.2), biểu diễn họ ánh xạ Lipschitz gt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t) với số Lipschitz khơng phụ thuộc t St = graph(gt ) có tính chất sau: (i) Mỗi x0 ∈ St0 có nghiệm u(t) phương trình (2.2) [t0 , ∞) thoả mãn u(t0 ) = x0 ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ với γ = δ+α (ii) St đồng phôi với X1 (t) ⊕ X3 (t) với t ≥ 0, Xj (t) = Pj (t)X, j = 1, (iii) S bất biến, tức u(t) nghiệm phương trình (2.2) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ St0 ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ u(s) ∈ Ss với s ≥ t0 (iv) Với hai quỹ đạo nghiệm x(·) y (·) đa tạp tâm ổn định, ta có ước lượng sau: x(t) − y (t) ≤ Ceδ(t−t0 ) x(t0 ) − y (t0 ) với t ≥ t0 ≥ 0, C số dương độc lập với t0 , x(·) y (·) 2.2 Đa tạp không ổn định Trong phần này, chứng minh tồn đa tạp không ổn định cho nghiệm đủ tốt phương trình tiến hố xác định tồn đường thẳng điều kiện họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ hàm phi tuyến f ϕ-Lipschitz Trước tiên, nhắc lại khái niệm nhị phân mũ ϕ-Lipschitz toàn đường thẳng 11 Định nghĩa 2.2.1 Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s khơng gian Banach X gọi có nhị phân mũ R tồn họ toán tử chiếu tuyến tính bị chặn (P (t))t∈R X số dương N, ν cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s, (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s đẳng cấu, ký hiệu ánh xạ ngược (U (t, s)| )−1 = U (s, t)| , (c) U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ ImP (s), t ≥ s, (d) U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s Định nghĩa 2.2.2 Cho ER không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng ϕ ∈ ER hàm không âm Hàm f : R × X → X gọi ϕ-Lipschitz f thoả mãn (i) f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R, (ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R x1 , x2 ∈ X Trong phương trình (2.1), thay t ∈ R+ t ∈ R Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R, khơng gian Banach X sinh họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ R hàm phi tuyến f : R × X → X ϕ-Lipschitz Khi đó, tồn đa tạp không ổn định cho nghiệm đủ tốt phương trình (2.1), nghiệm nghiệm phương trình tích phân t u(t) = U (t, s)u(s) + U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ với t ≥ s (2.3) s Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định sau Định nghĩa 2.2.3 Tập U ⊂ R × X gọi đa tạp khơng ổn định bất biến cho nghiệm phương trình (2.3) t ∈ R không gian Banach X tách thành X = X0 (t) ⊕ X1 (t) cho inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf { x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1} > t∈R t∈R i=0, tồn họ ánh xạ Lipschitz gt : X1 (t) → X0 (t), với số Lipschitz độc lập t thoả mãn 12 t∈R (i) U = {(t, x + gt (x)) ∈ R × (X1 (t) ⊕ X0 (t)) | t ∈ R, x ∈ X1 (t)}, ký hiệu Ut = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ U} (ii) Ut đồng phôi với X1 (t) với t ∈ R, (iii) x0 ∈ Ut0 có nghiệm u(t) phương trình (2.3) (−∞, t0 ] thoả mãn u(t0 ) = x0 ess supt≤t0 u(t) < ∞, (iv) U bất biến, tức u nghiệm phương trình (2.3) thoả mãn u(t0 ) = x0 ∈ Ut0 ess supt≤t0 u(t) < ∞ u(s) ∈ Us với s ≤ t0 Sau kết mục Định lý 2.2.4 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ ∈ ER hàm khơng âm Cho f : R × X → X ϕ-Lipschitz thoả mãn k := (1 + H )N (N1 Λ1 ϕ − e−ν ∞ + N2 Λ ϕ ∞) < (2.4) Khi đó, v1 ∈ X1 (t0 ) có nghiệm x(t) phương trình (2.3) (−∞, t0 ] thoả mãn (I − P (t0 ))x(t0 ) = v1 ess supt≤t0 x(t) < ∞ Hơn nữa, hai nghiệm x1 (t), x2 (t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v1 , v2 ∈ X1 (t0 ) ta có: x1 (t) − x2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) v1 − v2 với t ≤ t0 , (2.5) µ số dương thoả mãn < µ < ν + ln(1 − k (1 − e−ν )) Cµ = N −ν 1−e − k 1−e−(ν−µ) Định lý 2.2.5 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ tốn tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R số nhị phân N, ν > Giả sử f : R × X → X ϕ-Lipschitz, ϕ ∈ ER hàm khơng âm thoả mãn k < N1 , k xác định (2.4) Khi đó, tồn đa tạp khơng ổn định +1 bất biến U cho nghiệm phương trình (2.3) Hơn nữa, với hai nghiệm x1 (·) x2 (·) đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau: x1 (t) − x2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (Id − P (t0 ))(x1 (t0 ) − x2 (t0 )) với t ≤ t0 , µ, Cµ số dương không phụ thuộc t0 13 Để tính chất hút đa tạp khơng ổn định đưa khái niệm ( , ω )-phù hợp (suitable) hàm sau Định nghĩa 2.2.6 Cho trước , ω > 0, hàm g (·) gọi ( , ω )-phù hợp (suitable) tồn số dương µ, η cho ηeµ < t g (τ )e τ s g (u)du dτ ≤ ηe(µ−ω)(t−s) s Định lý 2.2.7 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R số nhị phân N, ν > Giả sử f : R × X → X ϕ-Lipschitz, ϕ ∈ ER hàm không âm thoả mãn k < N1 , k xác định (2.4) hàm N ϕ(·) ( N , ω )-suitable với +1 ω cận tăng trưởng mũ họ tiến hố (U (t, s))t≥s Khi đó, tồn đa tạp không ổn định bất biến U cho nghiệm phương trình (2.3) Hơn nữa, đa tạp hút cấp mũ tất quỹ đạo nghiệm phương trình (2.3), tức x(·) nghiệm phương trình (2.3) tồn số ˜ ˜ K, η > cho ˜ ˜ d(x(t), Ut ) ≤ Ke−η(t−s) d(x(s), Us ) với t ≥ s 14 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tơi trình bày kết tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định đa tạp khơng ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng dạng (xem [1, 2]) du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), (3.1) A(t) tốn tử tuyến tính không giới nội không gian Banach X với t cố định f : R+ ×C → X toán tử phi tuyến liên tục Với r > cố định, ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) không gian hàm liên tục [−r, 0] trang bị chuẩn sup, với φ ∈ C φ C = supθ∈[−r,0] φ(θ) Cho hàm liên tục u : [−r, ∞) → X, với t ≥ 0, có hàm trễ ut ∈ C xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Khi họ tốn tử (A(t))t≥0 sinh họ tiến hố có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), tìm điều kiện f để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến phần phi tuyến f xét toán tồn đa tạp tích phân phương trình tiến hố nửa tuyến tính f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ bé, tức f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ Tuy nhiên, phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, f đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả trình tương tác-khuyếch tán 15 3.1 Đa tạp ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t) sinh họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 Để chứng minh tồn đa tạp ổn định, thay cho (3.1) xét phương trình tích phân   u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0, s (3.2)  us = φ ∈ C Nghiệm phương trình (3.2) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) Giả sử họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ số nhị phân N, ν > Chúng ta xác định họ toán tử (P (t))t≥0 C sau P (t) : C → C (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] (3.3) Khi đó, có (P (t))2 = P (t), toán tử P (t), t ≥ toán tử chiếu C Hơn nữa, ta có ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)} Định nghĩa 3.1.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận ϕ ∈ E hàm khơng âm Hàm f : [0, ∞) × C → X gọi ϕ-Lipschitz f thoả mãn (i) f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ , (ii) f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C với t ∈ R+ φ1 , φ2 ∈ C Sau đây, đưa định nghĩa đa tạp ổn định cho nghiệm phương trình (3.2) Định nghĩa 3.1.2 Tập S ⊂ R+ × C gọi đa tạp ổn định bất biến cho nghiệm phương trình (3.2) với t ∈ R+ khơng gian pha C 16 phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với toán tử chiếu P (t) (tức X0 (t) = ImP (t) X1 (t) = KerP (t)) cho sup P (t) < ∞ t≥0 tồn họ ánh xạ Lipschitz Φt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ với số Lipschitz độc lập với t thoả mãn (i) S = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu St := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ S}, (ii) St đồng phôi X0 (t) với t ≥ 0, (iii) φ ∈ Ss có nghiệm u(t) phương trình (3.2) [s−r, ∞) thoả mãn us = φ supt≥s ut C < ∞ Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v (t) phương trình (3.2) tương ứng với φ1 , φ2 ∈ Ss hút cấp mũ, tức tồn số dương µ Cµ độc lập với s ≥ cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (3.4) (iv) S bất biến với phương trình (3.2), tức u(t), t ≥ s − r nghiệm phương trình (3.2) thoả mãn us ∈ Ss supt≥s ut C < ∞ ut ∈ St với t ≥ s Sau kết mục Định lý 3.1.3 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho f : R+ × C → X ϕ-Lipschitz, đặt + eνr (1 + H )N (N1 Λ1 T1 ϕ k := − e−ν ∞ + N2 Λ ϕ ∞) (3.5) Khi đó, k < 1, với hàm φ ∈ ImP (s) có nghiệm u(t) phương trình (3.2) [s − r, ∞) thoả mãn P (s)us = φ supt≥s ut C < ∞ 17 Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v (t) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (s) ta có ước lượng sau: ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0) với t ≥ s ≥ 0, µ số dương thoả mãn + < µ < ν + ln − N (1 + H )eνr (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ N eνr Cµ := νr (1+ + − N−e−H )e ) (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ ∞ ) (ν−µ ∞) Định lý 3.1.4 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ tốn tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho f : R+ × C → X ϕ-Lipschitz, thoả mãn k < 1+N eνr , k xác định (3.5) Khi đó, tồn đa tạp ổn định bất biến S cho nghiệm phương trình (3.2) 3.2 Đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Trong phần này, tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ R+ hàm phi tuyến f ϕ-Lipschitz Trong trường hợp này, chứng minh tồn đa tạp tâm ổn định cho nghiệm phương trình (3.2) Giả sử họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1, Chương 2) với ba họ toán tử chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, số tam phân N, α, β > Khi đó, xây dựng họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, C sau: (Pj (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] φ ∈ C (3.6) Sau kết mục này, định lý tồn đa tạp tâm ổn định cho nghiệm phương trình (3.2) Định lý 3.2.1 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với họ tốn tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, số tam phân N, α, β > 18 Giả sử f : R+ × C → X ϕ-Lipschitz, ϕ hàm khơng âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν := δ−α (1 + H )eνr N0 + (N1 Λ1 T1 ϕ k := −ν 1−e ∞ + N2 Λ1 ϕ ∞ ) (3.7) Khi đó, k < 1+N0 eνr , với δ > α tồn đa tạp tâm ổn định S = {(t, St )}t≥0 ⊂ R+ × C cho nghiệm phương trình (3.2), biểu diễn họ ánh xạ Lipschitz Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t) với số Lipschitz độc lập t St = graph(Φt ) có tính chất sau: (i) St đồng phôi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với t ≥ (ii) Mỗi φ ∈ Ss có nghiệm u(t) phương trình (3.2) xác định [s − r, ∞) thoả mãn điều kiện sau: e−γ (s+θ) us (θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] supt≥s e−γ (t+·) ut (·) C < ∞, γ = δ+α Hơn nữa, u(t), v (t) hai nghiệm phương trình (3.2) tương ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss ta có ước lượng ut − vt C ≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (3.8) µ Cµ số dương độc lập với s, u(·) v (·) (iii) S bất biến với phương trình (3.2), tức u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (3.2) thoả mãn điều kiện sau: hàm e−γ (s+·) us (·) ∈ Ss supt≥s e−γ (t+·) ut (·) C < ∞ hàm e−γ (t+·) ut (·) ∈ St với t ≥ s 3.3 Đa tạp không ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Trong phần này, xét phương trình (3.2) tồn đường thẳng, giả sử tốn tử A(t), t ∈ R sinh họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ R 19 Khi đó, tồn đa tạp không ổn định tính hút đa tạp quỹ đạo nghiệm phương trình   u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s, s (3.9)  us = φ ∈ C Nghiệm phương trình (3.9) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (3.2) R Dưới đây, đưa khái niệm hàm f ϕ-Lipschitz R khái niệm đa tạp không ổn định cho nghiệm phương trình (3.9) Định nghĩa 3.3.1 Cho ER không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng ϕ ∈ ER hàm không âm Hàm f : R × C → X gọi ϕ-Lipschitz f thoả mãn (i) f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R, (ii) f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 với t ∈ R φ1 , φ2 ∈ C Định nghĩa 3.3.2 Tập U ⊂ R × C gọi đa tạp không ổn định bất biến cho nghiệm phương trình (3.9) t ∈ R khơng gian pha C phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với toán tử chiếu P (t) (tức X0 (t) = ImP (t) X1 (t) = KerP (t)) cho sup P (t) < ∞ t∈R tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : X0 (t) → X1 (t), t∈R với số Lipschitz độc lập với t thoả mãn (i) U = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu Ut := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ U}, (ii) Ut đồng phôi với X0 (t) với t ∈ R, 20 (iii) t0 ∈ R φ ∈ Ut0 có nghiệm u(t) phương trình (3.9) (−∞, t0 ] thoả mãn ut0 = φ supt≤t0 ut C < ∞ Hơn nữa, u(t), v (t) hai nghiệm phương trình (3.9) tương ứng với hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ut0 nghiệm hút cấp mũ, tức tồn số µ Cµ độc lập với t0 cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (P (t0 )φ1 )(0) − (P (t0 )φ2 )(0) với t ≤ t0 , (iv) U bất biến với phương trình (3.9), tức u(t), t ∈ R nghiệm phương trình (3.9) thoả mãn ut0 ∈ Ut0 supt≤t0 ut C < ∞ với t0 ∈ R ut ∈ Ut với t ∈ R Từ họ toán tử chiếu nhị phân (P (t))t∈R ứng với họ tiến hoá nhị phân mũ (U (t, s))t≥s , xây dựng toán tử (P (t))t∈R C sau Với t ∈ R, P (t) : C → C (P (t)φ)(θ) := U (t + θ, t)| (I − P (t))φ(0) với θ ∈ [−r, 0] (3.10) Khi đó, có (P (t))2 = P (t), toán tử P (t), t ∈ R phép chiếu C Hơn nữa, có ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t + θ, t)| ν1 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν1 ∈ KerP (t)} Sau kết mục Định lý 3.3.3 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R số nhị nhân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận ER Cho f : R × C → X ϕ-Lipschitz đặt k := eνr (1 + H )N (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−ν ∞ (3.11) Khi đó, k < 1, φ ∈ ImP (t0 ) có nghiệm u(t) phương trình (3.9) (−∞, t0 ] thoả mãn P (t0 )ut0 = φ supt≤t0 ut C < ∞ Hơn nữa, u(t), v (t) hai nghiệm phương trình (3.9) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) ta có ước lượng sau: ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t0 −t) φ1 (0) − φ2 (0) 21 với t ≤ t0 , µ số dương thoả mãn < µ < ν + ln (1 − N (1 + H )eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ N eνr Cµ := N (1+H )eνr (N1 +N2 ) Λ1 ϕ ∞ 1− 1−e−(ν−µ) ∞) Định lý 3.3.4 Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R số nhị nhân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận ER Cho f : R × C → X ϕ-Lipschitz, thoả mãn k < 1+N eνr , k xác định (3.11) Khi đó, tồn đa tạp không ổn định bất biến U cho nghiệm phương trình (3.9) Định lý 3.3.5 Giả sử điều kiện Định lý 3.3.4 thoả mãn l < 1, νr νr N e (1 + H ) +1 l = ke 1−k Khi đa tạp khơng ổn định U = { Ut }t∈R hút cấp mũ nghiệm phương trình (3.9) theo nghĩa sau, gọi u(·) nghiệm phương trình (3.9) với điều kiện ban đầu uξ , tồn nghiệm u∗ (·) nằm U (tức u∗ ∈ Ut với t t ∈ R) số α > cho ut − u∗ t C ≤ Ce−α(t−ξ ) uξ − u∗ ξ 22 C , với t ≥ ξ KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tồn đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng Những kết luận án đạt là: • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp khơng ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, nghiệm đa tạp hút cấp mũ • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp không ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, tâm ổn định, không ổn định cho phương trình vi phân hàm trung tính • Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính cho phương trình vi phân nửa tuyến tính với tốn tử tuyến tính khơng autonomous • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half-line", J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [2] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line", Vietnam J.M., (accepted) [3] N.T Huy, T.V Duoc (2012), "Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces", Taiwanese J Math., 16, pp 963-985 [4] N.T Huy, T.V Duoc (2010), "Robustness of dichotomy of evolution equations under admissible perturbations on a half-line", International J Evolution Equations, 3, pp 57-72 24 ... Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tơi trình bày kết tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định đa tạp không ổn định phương. .. gian hàm Banach chấp nhận Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu tồn đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Đó nội dung luận án Luận án. .. R) số α > cho ut − u∗ t C ≤ Ce−α(t−ξ ) uξ − u∗ ξ 22 C , với t ≥ ξ KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tồn đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng Những kết luận án