Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CAO THỊ THẮM ỨNG DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2015 Mục lục Mở đầu 1 1 Hàm số liên tục và ứng dụng 3 1.1 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số tính chất của liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Nghiệm của các phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Điểm bất động của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Hàm khả vi và ứng dụng 27 2.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Đạo hàm một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Định nghĩa vi phân tại một điểm . . . . . . . . . . . 28 2.1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Các định lí về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Định lí Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Định lí Lagrange và Định lí Cauchy . . . . . . . . . 32 2.3 Các bài toán về phương trình và bất đẳng thức của các hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Một số bất đẳng thức đạo hàm quan trọng . . . . . . . . . 48 2.4.1 Công thức Taylor trên một khoảng . . . . . . . . . . 48 ii 2.4.2 Các bất đẳng thức đạo hàm quan trọng . . . . . . . 48 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 iii Mở đầu Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của hàm số là những những kiến thức cơ sở quan trọng của giải tích toán học. Trong chương trình toán học ở bậc phổ thông, tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn được áp dụng nhiều, phong phú và đa dạng trong các bài toán khác nhau, nhất là các bài toán về sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Định lý Rolle, Định lý Lagrange, tính đơn điệu của hàm số cũng thường được sử dụng trong các đề thi có tính nâng cao, như thi học sinh giỏi cấp quốc gia hay quốc tế trong nhiều bài toán khác nhau, đặc biệt là chứng minh các bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, v.v Hiện nay đã có khá nhiều tư liệu (sách giáo khoa, sách tham khảo, khóa luận, luận văn, chuyên đề Hội thảo, v.v ) bằng tiếng Việt về ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,v.v Nhận xét rằng, ngoài phương trình hàm, nhìn chung các vấn đề trên đây đa phần là đối với những hàm số sơ cấp cụ thể, nên chưa có tính khái quát. Với suy nghĩ và ý tưởng đó, mục tiêu của luận văn này nhằm khai thác tính liên tục và tính khả vi của hàm một biến trong phương trình và bất đẳng thức không đối với các hàm số cụ thể mà là bất kỳ. Về tính liên tục, luận văn trình bày một số vấn đề có tính lý thuyết của hàm liên tục, như tính trù mật (giá trị trung gian), tính bị chặn, tính lồi, v.v Về phương trình, trong luận văn này đã xét bài toán về điểm bất động đối với các hàm liên tục trên một đoạn hữu hạn (compact), phương trình hàm, phương trình vi phân, v.v Về bất đẳng thức, ngoài một số bất đẳng thức đối với các hàm cụ thể, luận văn chủ yếu quan tâm đến bất đẳng thức hàm, bất đẳng thức đạo hàm tổng quát. Đặc biệt, luận văn còn trình bày một số bất đẳng thức đạo hàm nổi tiếng như bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorow, bất 1 đẳng thức Landau-Kolmogorow và bất đẳng thức Steklov đối với các hàm khả vi một biến. Đây là những bất đẳng thức của Toán học cao cấp chưa được trình bày trong các tài liệu bằng Tiếng Việt ở cấp độ Toán sơ cấp. Kết cấu của Luận văn gồm có: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Hàm số liên tục và ứng dụng, trình bày khái quát về hàm số liên tục, một số tính chất chuyên sâu của hàm số liên tục, điểm bất động của các hàm liên tục và các phương trình hàm. Chương 2: Hàm khả vi và ứng dụng. Nội dung chương trình bày một số kiến thức cơ sở về đạo hàm vi phân, các định lí về giá trị trung bình. Từ các kiến thức nền tảng đó, nội dung quan trọng của chương là xét các phương trình, đẳng thức và bất đẳng thức đối với các hàm khả vi tổng quát. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Ngọc- Trường Đại học Thăng Long. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên, và chỉ bảo hướng dẫn của Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu và các thầy, cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học cao học tại Trường. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán lớp N- Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên. 2 Chương 1 Hàm số liên tục và ứng dụng Chương này trình bày ngắn gọn các khái niệm và tính chất của hàm liên tục một biến và một số bài toán liên quan. Các kiến thức của chương này được hình thành chủ yếu được từ các tài liệu [1] và [6]. 1.1 Tính liên tục của hàm số 1.1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. Giả sử I ⊂ R là một khoảng hoặc hệ khoảng của trục thực và f là hàm nhận giá trị thực trong miền I. Cố định điểm x 0 ∈ R ( bao hàm cả trường hợp x 0 ∈ I). Ta nói f có giới hạn l ∈ R tại x 0 và viết lim x→x 0 f(x) = l nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, δ = δ(ε) sao cho nếu x ∈ I, x = x 0 , |x −x 0 | < δ thì |f(x) −l| < ε. Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f xác định trong tập X và số a ∈ X. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu lim x→a f(x) = f(a) hay ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, |x −a| < δ thì |f(x) − f(a)| < ε. Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là liên tục phải tại a nếu lim x→a + f(x) = f(a). Hàm f được gọi là liên tục trái tại a nếu lim x→a − f(x) = f(a). 3 Nếu các hệ thức trên đây không tồn tại thì ta nói hàm f(x) tại x 0 có gián đoạn tương ứng phải, trái. Nhận xét 1.1. Hàm f liên tục tại a khi và chỉ khi lim x→a + f(x) = lim x→a − f(x) = lim x→a f(x) = f(a). Định nghĩa 1.4. Một hàm không liên tục tại a được gọi là hàm gián đoạn tại a. Định nghĩa 1.5. Hàm f liên tục tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f liên tục trên khoảng (a; b). Định nghĩa 1.6. Hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a , liên tục trái tại b ta nói rằng f liên tục trên [a; b]. 1.1.2 Các tính chất cơ bản + Tổng, hiệu, tích thương (với điều kiện mẫu khác 0 ) của các hàm liên tục tại a là hàm liên tục tại a. + Nếu hàm f liên tục tại a và hàm g liên tục tại f(a) thì hàm hợp g ◦f liên tục tại a. + Nếu f liên tục tại a và f(a) > L thì f(x) > L ở lân cận của a hay ∃δ > 0 sao cho f(a) > L với mọi x mà |x − a| < δ. 1.2 Một số tính chất của liên tục Định lý 1.1. (Tính trù mật của hàm liên tục). Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Chứng minh. Để chứng minh định lí ta thực hiện phương pháp chia đôi đoạn [a; b]. Nếu trong quá trình thực hiện ta tìm được điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 thì định lí được chứng minh. Nếu không tìm được c thì quá trình trên giúp ta xây dựng được các dãy đoạn lồng nhau [a n ; b n ] trong đó f(a n ) < 0, f(b n ) > 0 và c n = b n − a n = b −a 2 n . 4 Ta có lim n→∞ f(a n ) = f( lim n→∞ a n ) = f(c) ≤ 0. Tương tự lim n→∞ f(b n ) = f( lim n→∞ b n ) = f(c) ≥ 0, trong đó c ∈ (a; b). Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Định lý 1.2. ( Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục). Nếu f(x) liên tục trên [a; b], thì f(x) nhận giá trị trung gian giữa f(a) và f(b). Tức là, với mọi γ nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao cho f(c) = γ. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử f(a) < f(b). Ta thấy định lý dễ dàng được chứng minh khi γ = f(a) hoặc γ = f(b). Xét γ với f(a) < γ < f(b) ta đi chứng minh tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao cho f(c) = γ. Thật vậy, xét hàm g(x) = f(x) − γ là một hàm liên tục trên [a; b]. Ta lại có g(a) < 0, g(b) > 0 theo Định lý 1.1 luôn tồn tai giá trị γ ∈ (a; b) để g(c) = 0. Điều đó cho thấy luôn tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao cho f(c) = γ. Định lý được chứng minh. Định lý 1.3. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [a; b]. Tức là tồn tại x m , x M ∈ [a; b] sao cho với mọi x ∈ [a; b] ta luôn có f(x m ) ≤ f(x) ≤ f(x M ). Chứng minh. Trước hết, ta đi chứng minh f(x) bị chặn trên [a; b]. Giả sử f(x) không bị chặn trên [a; b], tức là với mọi n ∈ N tồn tại x n ∈ [a; b] sao cho |f(x n )| ≥ n. Dãy (x n ) bị chặn nên theo định lí Balzano-Weierstrass tồn tại một dãy con của nó x n k → x 0 ∈ [a; b] mà f(x n k ) ≤ n k . Chuyển qua giới hạn này ta có |f(x 0 )| = +∞ mâu thuẫn vì f(x) liên tục tại x 0 . Vậy f(x) bị chặn. Gọi m = inf [a;b] f(x), M = sup [a;b] f(x). Lấy  = 1 n , n ∈ N ∗ , ∃x n ∈ [a; b], sao cho 1 n > f(x n ) −m ≥ 0. Theo định lí Balzano-Weierstrass tồn tại một dãy con của nó x n k của (x n ) 5 thỏa mãn x n k → x m và 1 n k > f(x n k ) −m ≤ 0. Lấy giới hạn ta được lim x→∞ f(x n k ) = f(x m ) = m. Tương tự tồn tại x M để f(x M ) = sup [a;b] f(x) = M. Hệ quả 1.1. Nếu f : [a; b] −→ R liên tục thì f([a; b]) = [m; M] ⊂ R trong đó m = inf [a;b] f(x), M = sup [a;b] f(x). Bài toán 1.1. ( Hàm Dirichlet). Xét tính liên tục của hàm số D(x) =  1, nếu x là số hữu tỷ, 0, nếu x là số vô tỷ. Lời giải. Vì trong bất kỳ lân cận nào của điểm hữu tỷ tìm được các điểm vô tỷ và ngược lại, nên với điểm x o bất kỳ trong khoảng (−∞; +∞) không tồn tại giới hạn lim x→x o D(x). Như vậy, tại mỗi một điểm của trục thực tồn tại sự gián đoạn loại hai (từ hai phía). Bài toán 1.2. ( Hàm Riemann). Trên đoạn [0; 1] xét hàm số f(x) =    1 q , nếu x = p q là phân số tối giản, 0, nếu x là số vô tỷ. Chứng minh rằng tại mỗi điểm hữu tỷ hàm số có gián đoạn loại một, còn tại mỗi điểm vô tỷ hàm số là liên tục. Lời giải. Giả sử x 0 là một điểm tùy ý của đoạn [0; 1]. Với số ε > 0 chỉ tồn tại một số hữu hạn các số tự nhiên q  1 ε , nghĩa là trong đoạn [0, 1] chỉ có một số hữu hạn các số hữu tỷ p q , mà f  p q  = 1 q ≥ ε. Điểm x 0 có thể được bao bởi lân cận (x 0 −δ; x 0 + δ), sao cho trong đó không có điểm nào đã nói ở trên (ngoại trừ có thể là điểm x 0 ). Khi đó với |x−x 0 | < δ; (x = x 0 ) dù x là hữu tỷ hay vô tỷ, ta có |f(x)| < ε. Nghĩa là, với mọi x 0 tồn tại f(x 0 + 0) = f(x 0 − 0) = 0. 6 Nếu x 0 là số vô tỷ, thì f(x) = 0, nghĩa là tại điểm này hàm số là liên tục, nếu x 0 là số hữu tỷ, thì f(x 0 ) = 0, do đó có gián đoạn thông thường từ hai phía. Bài toán 1.3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hàm liên tục, thì F (x) = |f(x)| cũng là hàm liên tục. Lời giải. Giả sử ε > 0 tùy ý. Khi đó tồn tại δ = δ(ε, x o ), sao cho |f(x) − f(x o )| < ε, khi |x − x o | < δ. Sử dụng bất đẳng thức ||A| − |B|| ≤ |A −B|, ta có |F (x) − F (x o )| = ||f(x)| −|f(x o )|| ≤ |f(x) −f(x o )| < ε nếu |x − x o | < δ, nghĩa là F (x) cũng là hàm liên tục. Bài toán 1.4. Chứng minh rằng, nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì hàm m(x) = inf a≤ξ≤x |f(ξ)|, M(x) = max a≤ξ≤x |f(ξ)| cũng là những hàm liên tục trên [a; b]. Lời giải. Vì f(x) liên tục trên đoạn [a; b], nên ∀ε > 0, x o ∈ [a; b], tồn tại δ = δ(ε, x o ), sao cho khi |h| < δ, thì |f(x o + h) −f(x)| < ε. Khi đó rõ ràng là sup |h|<δ |f(x o + h) −f(x)| < ε. (1.1) Khi |h| < δ ta có − sup 0≤|h|<b |f(x o + h) −f(x o )| + m(x o )) ≤ m(x o + h) ≤ m(x o ) + sup 0≤|h|<b |f(x o + h) − f(x o )|. (1.2) Từ (1.1) và (1.2) suy ra |m(x o + h) −m(x o )| < ε, nếu |h| < δ. 7 [...]... xét 2.1 Hàm f khả vi tại a khi và chỉ khi f khả vi trái và khả vi phải tại a đồng thời f p (a) = f t (a) = f (a) 2.1.3 Một số tính chất cơ bản Định lý 2.1 Cho f và g khả vi tại a Khi đó 1 f + g khả vi tại a và (f + g) (a) = f (a) + g (a) 2 ∀λ ∈ R, λf khả vi và (λf ) (a) = λf (a) 3 f.g khả vi tại a và (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) f f f (a)g(a) − f (a)g (a) 4 Nếu g(a) = 0 thì khả vi tại a và (a)... các phương trình, bất phương trình, đẳng thức và bất đẳng thức đối với các hàm khả vi tổng quát Nội dung của chương này chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [6] 2.1 2.1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số Đạo hàm tại một điểm Cho f : X → R, X = ∅,X là một khoảng trên R Kí hiệu RX là tập hợp các ánh xạ f đã nói ở trên Cho a ∈ X, a + h ∈ X, f ∈ RX Định nghĩa 2.1 Hàm số f được gọi là khả vi tại a nếu tồn tại... )| < ε, nếu |h| < δ Vậy m(x) và M (x) là những hàm liên tục trên [a; b] Bài toán 1.5 Chứng minh rằng, nếu f (x) và g(x) là những hàm liên tục, thì các hàm ϕ(x) = min{f (x), g(x)}, ψ(x) = max{f (x), g(x)} cũng là những hàm liên tục Lời giải Giả sử ε > 0 tùy ý và δ1 = δ1 (ε, xo ), δ2 = δ2 (ε, xo ) là những số tham gia trong định nghĩa liên tục của các hàm f (x) và g(x) tương ứng Khi đó, nếu |h| ≤ δ = min{δ1... f : X → Y, g : Y → với f (X) ⊂ Y Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại f (a) thì hàm g ◦ f khả vi tại a và (g ◦ f ) (a) = g (f (a)).f (a) 2.1.4 Định nghĩa vi phân tại một điểm Định nghĩa 2.4 Cho f ∈ RX và f khả vi tại a ∈ X Vi phân của f tại a, kí hiệu df (a) xác định bởi công thức df (a) = f (a).h với h ∈ R Vậy hàm df (a) là một hàm tuyến tính của h Xét hàm số f (x) = x trên R ta có f (x) = 1, ∀x ∈... (x0 )| < 2ε Do đó f liên tục trái tại x0 Tương tự f liên tục phải tại x0 Vậy f liên tục tại x0 1.3 Nghiệm của các phương trình Bài toán 1.9 Cho a, b, c là các số thực tùy ý, p và q là các số thực tùy ý Chứng minh rằng phương trình a2 b2 + =c x−p x−q luôn có nghiệm Lời giải a Với p = q, ta có  x = p, a2 + b2 =c⇔ a2 + b2 x = x−p + p c Phương trình có nghiệm b Với p = q, phương trình đã cho tương... 2 j=1,j=i xi + 6 = 10 i=1 Điểm bất động của hàm số Trong mục này trình bày Định lý Brouwer về điểm bất động và những biến thể của nó ở dạng đơn giản phù hợp với mức độ Toán học ở bậc THPT Trong trường hợp tổng quát, Định lý điểm bất động Brouwer khẳng định rằng, một hàm F (x) liên tục trong hình cầu đơn vị đóng Ω ⊂ Rn vào chính hình cầu đó có ít nhất một điểm bất động trong miền đó, nghĩa là tồn tại... Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f tại h→0 h df a Kí hiệu f (a) hay (a) dx f (a + h) − f (a) ∆f (a) = gọi là các tỉ số giữa số gia hàm số và số Tỉ số h ∆a gia đối số 2.1.2 Đạo hàm một phía Cho a ∈ X, a + h ∈ X Định nghĩa 2.2 Hàm f được gọi là khả vi phải tại a nếu tồn tại giới hạn f (a + h) − f (a) hữu hạn lim+ Kí hiệu f p (a) h→0 h 27 Định nghĩa 2.3 Hàm f được gọi là khả vi trái tại a nếu tồn tại... (1) − f n−1 n j i ≤ 0 và g ≥ 0 n n i j Không mất tính tổng quát ta giả sử < Vì g(x) là hàm số liên tục n n i j n−1 trên 0; , nên tồn tại c ∈ ; sao cho g(c) = 0 n n n n−1 1 Vậy phương trình f (x) = f x + có nghiệm trên 0; n n Suy ra tồn tại i, j sao cho g Bài toán 1.11 Cho hàm f, g : [0; 1] −→ [0; 1] là một hàm liên tục và thỏa mãn max f (x) = max g(x) Chứng minh rằng phương trình x∈[0;1] x∈[0;1]... chứng tỏ rằng: f (x2 n+1 ) = x − x2 + x4 − + x2n−1 − x2n + x2n+1 25 Nhưng x2k−1 − x2k < 0, ∀k ∈ {1; 2; ; n} với x2k+1 < 1 1 Do đó f (x2n+1 ) < 1 − f (x0 ) = − α 2 Chúng ta có 1 1 = f (1) = lim f (x2n+1 ) ≤ − α n→∞ 2 2 mâu thuẫn Điều này cho thấy không tồn tại hàm f thỏa mãn 26 Chương 2 Hàm khả vi và ứng dụng Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về đạo hàm, vi phân, xét các phương trình, bất. .. hàm cấp 2 tại a và kí hiệu f (a) Tương tự, đạo hàm cấp n của f tại a, kí hiệu f (n) (a) chính là đạo hàm f (n−1) (x) tại a - Ta nói f (x) khả vi đến cấp n, n ∈ N∗ trên X khi và chỉ khi tồn tại f (n) (x) trên X trong đó f (n) (x) chính là đạo hàm f (n−1) (x) - Ta nói f (x) khả vi vô hạn lần trên X khi và chỉ khi f (x) khả vi n lần trên X, ∀n ∈ N∗ Định lý 2.4 Cho λ ∈ R, f, g ∈ RX khả vi n lần trên X . tiếng Vi t về ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, v.v Nhận xét rằng, ngoài phương trình hàm, nhìn. 1: Hàm số liên tục và ứng dụng, trình bày khái quát về hàm số liên tục, một số tính chất chuyên sâu của hàm số liên tục, điểm bất động của các hàm liên tục và các phương trình hàm. Chương 2: Hàm. đẳng thức đạo hàm nổi tiếng như bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorow, bất 1 đẳng thức Landau-Kolmogorow và bất đẳng thức Steklov đối với các hàm khả vi một biến. Đây là những bất đẳng thức