Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC CÓ RÀNG BUỘC BỞI ĐA THỨC VIÈTE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC CÓ RÀNG BUỘC BỞI ĐA THỨC VIÈTE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức bổ trợ 3 1.1 Đa thức đối xứng ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète 7 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ . . . . . 7 2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 13 2.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức . . . . . . . . . 22 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 28 2.3 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Một số phương pháp khảo sát bất đẳng thức dạng phân thức 39 3.1 Bất đẳng thức phân thức sinh bởi tam thức bậc hai trên một khoảng . 39 3.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm phân tuyến tính trên một khoảng . . . . 43 3.3 Phương pháp nội suy bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ii 3.4 Phương pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Phương pháp khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận và Đề nghị 76 Tài liệu tham khảo 77 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn 77 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là không trùng lặp với các đề tài khác và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Một số kết quả trong luận văn là mới và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác mà tôi biết. Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin tr ích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Học viên Lê Thị Mai 1 Mở đầu Bất đẳng thức là một nội dung chuyên đề quan trọng của Toán học. Ngay từ khi ra đời, bất đẳng thức đã có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến, luôn thôi thúc người ta quan tâm tìm tòi, sáng tạo. Đặc biệt, bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong ứng dụng thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vị trí quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi Olympic quốc gia, khu vực và quốc tế. Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán trong nước và các kỳ thi Olympic Toán của các nước trên thế giới, có nhiều bài toán về dãy số, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình sinh bởi các hàm số dạng phân thức và vì thế cần biết cách giải vận dụng tính đặc thù của biểu thức phân thức đã cho. Hiện nay các tài liệu có tính hệ thống về vấn đề này còn chưa được đề cập nhiều. Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn đề tài "Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète” làm luận văn thạc sĩ của mình. Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể khảo sát một số chuyên đề nhỏ trong đó. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète Luận văn được chia làm ba chương: • Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ. • Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète. • Chương 3. Một số phương pháp khảo sát bất đẳng thức dạng phân thức. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các anh chị đồng nghiệp và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán và các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015 Lê Thị Mai Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: lethimai@als.edu.vn 3 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ Chương này trình bày một số tính chất của đa thức cần thiết để sử dụng trong các chương sau, dựa theo các tài liệu [1]-[5] và trình bày một số dạng bất đẳng thức cổ điển được sử dụng nhiều trong các chương sau như Bất đẳng thức AM - GM, Bất đẳng thức Cauchy - schwarz, bất đẳng thức Karamata, . . . 1.1 Đa thức đối xứng ba biến Định nghĩa 1.1. Một đơn thức ϕ(x, y, z) của các biến x, y, z được hiểu là hàm số có dạng ϕ(x, y, z) = a klm x k y l z m , trong đó k, l, m ∈ N được gọi là bậc của biến x, y, z, số a klm ∈ R ∗ = R\{0} được gọi là hệ số của đơn thức, còn số k + l + m được gọi là bậc của đơn thức ϕ(x, y, z). Định nghĩa 1.2. Một hàm số P (x, y, z) của các biến x, y, z được gọi là một đa thức nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức P (x, y, z) =  k,l,m∈N k+l+m=n a klm x k y l z m , n ∈ N. Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Định nghĩa 1.3. Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa là P (x, y, z) = P(y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y). 4 Định nghĩa 1.4. Đa thức f (x, y, z) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu f(tx, ty, tz) = t m f(x, y, z), t = 0 Định nghĩa 1.5. Các đa thức σ 1 = x + y + z, σ 2 = xy + yz + zx, σ 3 = xyz, được gọi là đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z. Định nghĩa 1.6 (Tổng lũy thừa). Các đa thức s k = x k + y k + z k , (k = 0, 1, ), được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y, z. Tính chất 1.1 (Công thức Newton). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức s k = σ 1 s k−1 − σ 2 s k−2 + σ 3 s k−3 . Tính chất 1.2. Một tổng lũy thừa s k = x k + y k + z k đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức theo các biến σ 1 , σ 2 , σ 3 . Định lí 1.1 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa s k được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cở sở theo công thức s k k =  0≤l,m,n l+2m+3n=k (−1) k−l−m−n (l + m + n − 1)! l!m!n! σ l 1 σ m 2 σ n 3 . 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM Định lí 1.2 (Xem [3]-[4]). Giả sử a 1 , a 2 , . . . , a n là các số thực không âm, khi đó ta luôn có a 1 + a 2 + ··· + a n n ≥ n √ a 1 a 2 . . . a n . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . 5 Hệ quả 1.1. Với mọi số thực dương a 1 , a 2 , . . . , a n , ta có  1 a 1 + 1 a 2 + ··· + 1 a n  (a 1 + a 2 + ··· + a n ) ≥ n 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . Hệ quả 1.2. Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có 1. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2. a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2 3 3. (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) 4. a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c) 5. (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c). 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Định lí 1.3 (Xem [3]-[4]). Nếu a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n là các số thực tùy ý thì (a 1 b 1 + a 2 b 2 + ··· + a n b n ) 2 ≤  a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 n  b 2 1 + b 2 2 + ··· + b 2 n  . (1.1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = ··· = a n b n (ở đây ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0). Nhận xét 1.1. Theo bất đẳng thức (1.1) chọn a i = x i √ y i và b i = √ y i với x i , y i ∈ R, y i > 0. Ta thu được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel). Hệ quả 1.3. Nếu x 1 , x 2 , . . . , x n là các số thực và y 1 , y 2 , . . . , y n là các số thực dương thì x 2 1 y 1 + x 2 2 y 2 + ··· + x 2 n y n ≥ (x 1 + x 2 + . . . x n ) 2 y 1 + y 2 + ··· + y n . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 y 1 = x 2 y 2 = ··· = x n y n . [...]... ∈ (a; b) Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi x = x0 7 Chương 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète Trong mục này chúng ta thường sử dụng bất đẳng thức trung gian sau đây Bài toán 2.1 Với a, b, c là những số thức dương Chứng minh rằng am+n + bm+n + cm+n ≥ am bn + bm cn + cm an Lời giải Ta có mam+n + nbm+n ≥ am bn (bất đẳng thức AM-GM với m + n số) , m+n... nam+n m+n cm an Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ 0 (≤ 0), trong đó P (x, y, z) là phân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuật của bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra,... = c = 1 2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Nếu yêu cầu của bất đẳng thức là chứng minh P (x, y, z) ≥ 0(≤ 0) với P (x, y, z) có dạng tổng các bình phương hoặc phân thức với tử số của mỗi phân thức có dạng bình phương như vậy ta có thể nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Hoặc sử dụng giả thiết x + y + z không đổi ta có thể biến đổi để đưa bất đẳng thức về dạng trên để sử dụng Cauchy-Schwarz... nếu trong các bất đẳng thức (2.3),(2.4) và (2.5) có một bất đẳng thức đúng thì bài toán sẽ được chứng minh song Ta thấy rằng [(c − a)(b − c)] [(a − b)(c − a)] [(b − c)(a − b)] = (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 ≥ 0 nên ít nhất một trong ba số (c − a)(b − c), (a − b)(c − a), (b − c)(a − b) sẽ có một số không âm Tức là phải có ít nhất một bất đẳng thức đúng hay bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra... cần chú ý 1 Lựa chọn thừa số để đảm bảo dấu đẳng thức của bất đẳng thức xảy ra, 2 Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta khử được mẫu số của biểu thức phân số Một số ví dụ cùng dạng Bài toán 2.3 Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2 Bài toán 2.4 Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a +... khi và chỉ khi a = b = c = 1 Nhận xét 2.3 Có nhiều công cụ hỗ trợ ta thực hiện phương pháp dồn biến, dưới đây ta xem xét ứng dụng yếu tố "ít nhất" và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong việc giảm biến số của bất đẳng thức Cụ thể có thể đưa bất đẳng thức ba biến về bất đẳng 17 thức một biến để chứng minh Ý tưởng của kĩ thuật như sau Với bốn số thực a, b, c, k ta có [(a − k)(b − k)] [(b − k)(c − k)] [(c... Do đó trong ba số (a − k)(b − k), (b − k)(c − k), (c − k)(a − k) sẽ có "ít nhất" một số không âm Giả sử (a − k)(b − k) ≥ 0 thế thì a2 + b2 = k 2 + (a + b − k)2 − 2(a − k)(b − k) ≤ k 2 + (a + b − k)2 Như vậy để chứng minh bất đẳng thức có giả thiết dạng a + b + c = s và đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng một giá trị nào đó ta có thể sử dụng đánh giá trên để làm giảm biến số của bất đẳng thức ban đầu... đó, bất đẳng thức được chứng minh nếu ta chứng minh được 1 3 + ≥ 1 9(a2 + b2 + c2 ) + 1 6(ab + bc + ca) + 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có 1 3 + 2) + 1 + +c 6(ab + bc + ca) + 2 (1 + 3)2 ≥ 9(a2 + b2 + c2 ) + 18(ab + bc + ca) + 7 16 = = 1 9(a + b + c)2 + 7 9(a2 b2 Bất đẳng thức được chứng minh 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 2.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân. .. Tương tự, ta có √ √ 3 3 x3 y 3 = xy 1 + z 3 + x3 ≥ yz 3 yz 1 + z 3 + x3 ≥ xz 3 xy 3 xz Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ xy yz zx 3 + xy 3 + yz 3 xz Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 3 + xy 3 + yz 3 ≥33 zx √ 27 x2 y 2 z 2 √ = 3 3 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz... thức có tích không đổi với hàm phân thức Trong phần này trình bày các dạng bất đẳng thức mà cách chứng minh chúng có thể suy từ những bất đẳng cổ điển quen biết 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Bài toán 2.22 (IMO 1995) Với a, b, c là các số thực dương và abc = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ + c) b (c + a) c (a + b) 2 Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a3 (b 1 b+c + ≥2 + c) 4bc b+c 1 = . tài 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète Luận văn được chia làm ba chương: • Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ. • Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng. . . . . . 6 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète 7 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ . . . . . 7 2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM b). Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi x = x 0 . 7 Chương 2 Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète Trong mục này chúng ta thường sử dụng bất đẳng thức