Giả sử hàm hai biếnz=f(x,y)xác định trong miềnD⊆R2.
Giả sử điểm(x0,y0)∈D. Định lý
Nếu hàm sốz =f(x,y)có đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp liên
tục, (theo hai biến x và y) tại điểm(x0,y0),thì
fxy(2) x0,y0 =fyx(2) x0,y0
Các ví dụVí dụ 11 Ví dụ 11
Giả sửz =f(x,y) =x3y2+2x2y+3x+4.Các đạo hàm riêng
cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trongR2), nên
fxy(2) =fyx(2) =6x2y+4x
1 ∂∂xf =3x2y2+4xy +3
2 ∂∂yf =2x3y+2x2
3 ∂∂x2∂fy =6x2y+4x
4 ∂∂y2∂fx =6x2y+4x
Các ví dụVí dụ 11 Ví dụ 11
Giả sửz =f(x,y) =x3y2+2x2y+3x+4.Các đạo hàm riêng
cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trongR2), nên
fxy(2) =fyx(2) =6x2y+4x
1 ∂∂xf =3x2y2+4xy +3
2 ∂∂yf =2x3y+2x2
3 ∂∂x2∂fy =6x2y+4x
4 ∂∂y2∂fx =6x2y+4x
Các ví dụVí dụ 11 Ví dụ 11
Giả sửz =f(x,y) =x3y2+2x2y+3x+4.Các đạo hàm riêng
cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trongR2), nên
fxy(2) =fyx(2) =6x2y+4x
1 ∂∂xf =3x2y2+4xy +3
2 ∂∂yf =2x3y+2x2
3 ∂∂x2∂fy =6x2y+4x
4 ∂∂y2∂fx =6x2y+4x
Các ví dụVí dụ 11 Ví dụ 11
Giả sửz =f(x,y) =x3y2+2x2y+3x+4.Các đạo hàm riêng
cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trongR2), nên
fxy(2) =fyx(2) =6x2y+4x
1 ∂∂xf =3x2y2+4xy +3
2 ∂∂yf =2x3y+2x2
3 ∂∂x2∂fy =6x2y+4x
4 ∂∂y2∂fx =6x2y+4x