Giả sử hàm hai biếnz=f(x,y)xác định trong miềnD⊆R2.
Giả sử điểm(x0,y0),(x0+ ∆x,y0+ ∆y)∈D. Định nghĩa
Nếu số gia∆f(x0,y0) =f(x0+ ∆x,y0+ ∆y)−f(x0,y0)có dạng
∆f(x0,y0) =A∆x +B∆y +o(∆x) +o(∆y)
thì hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0)và biểu thức
A∆x+B∆y là vi phân toàn phần của hàm sốf(x,y),ký hiệu
df(x0,y0).
Chú ý
1 Vi phân toàn phần
df(x0,y0) =A∆x+B∆y
2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào∆x và∆y
3 Hai đại lượngo(∆x)vào(∆y)là các vô cùng bé bậc cao hơn∆x và∆y khi∆x →0 và∆y →0,tức là khi
∆x →0,∆y →0,ta có
o(∆x)
∆x →0;
o(∆y)
∆y →0
Chú ý
1 Vi phân toàn phần
df(x0,y0) =A∆x+B∆y
2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào∆x và∆y
3 Hai đại lượngo(∆x)vào(∆y)là các vô cùng bé bậc cao hơn∆x và∆y khi∆x →0 và∆y →0,tức là khi
∆x →0,∆y →0,ta có
o(∆x)
∆x →0;
o(∆y)
∆y →0
Chú ý
1 Vi phân toàn phần
df(x0,y0) =A∆x+B∆y
2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào∆x và∆y
3 Hai đại lượngo(∆x)vào(∆y)là các vô cùng bé bậc cao
hơn∆x và∆y khi∆x →0 và∆y →0,tức là khi
∆x →0,∆y →0,ta có
o(∆x)
∆x →0;
o(∆y)
∆y →0
Tính chất
1 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì nó liên tục tại đó, vì
∆f(x0,y0)→0, nếu (∆x,∆y)→(0,0)
2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm một biến)
3 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x và ∂f(x0,y0)
∂y .(so sánh với trường hợp hàm một biến)
4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x
và ∂f(x0,y0)
∂y ,chưa chắc hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm (x0,y0).
Tính chất
1 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì nó liên tục tại đó, vì
∆f(x0,y0)→0, nếu (∆x,∆y)→(0,0)
2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm
một biến)
3 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x và ∂f(x0,y0)
∂y .(so sánh với trường hợp hàm một biến)
4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x
và ∂f(x0,y0)
∂y ,chưa chắc hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm (x0,y0).
Tính chất
1 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì nó liên tục tại đó, vì
∆f(x0,y0)→0, nếu (∆x,∆y)→(0,0)
2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm
một biến)
3 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x và ∂f(x0,y0)
∂y .(so sánh với trường hợp
hàm một biến)
4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x
và ∂f(x0,y0)
∂y ,chưa chắc hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm (x0,y0).
Tính chất
1 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì nó liên tục tại đó, vì
∆f(x0,y0)→0, nếu (∆x,∆y)→(0,0)
2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm
một biến)
3 Nếu hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm(x0,y0),thì tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x và ∂f(x0,y0)
∂y .(so sánh với trường hợp
hàm một biến)
4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂f(x0,y0)
∂x
và ∂f(x0,y0)
∂y ,chưa chắc hàm sốz =f(x,y)khả vi tại điểm
(x0,y0).