Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)

Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc bởi đa thức Viète (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC CÓ RÀNG BUỘC BỞI ĐA THỨC VIÈTE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC CÓ RÀNG BUỘC BỞI ĐA THỨC VIÈTE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Đa thức đối xứng ba biến 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.2.3 Bất đẳng thức Karamata Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 13 Bất đẳng thức có tích khơng đổi với hàm phân thức 22 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 22 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28 Một số toán liên quan 32 2.2 2.3 Một số phương pháp khảo sát bất đẳng thức dạng phân thức 39 3.1 Bất đẳng thức phân thức sinh tam thức bậc hai khoảng 39 3.2 Bất đẳng thức sinh hàm phân tuyến tính khoảng 43 3.3 Phương pháp nội suy bất đẳng thức 46 ii 3.4 Phương pháp tiếp tuyến 62 3.5 Phương pháp khảo sát hàm số 67 Kết luận Đề nghị 76 Tài liệu tham khảo 77 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận văn 77 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn không trùng lặp với đề tài khác hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Một số kết luận văn chưa công bố cơng trình khác mà tơi biết Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Lê Thị Mai Mở đầu Bất đẳng thức nội dung chuyên đề quan trọng Toán học Ngay từ đời, bất đẳng thức có sức hút mạnh mẽ người yêu toán, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến, ln thơi thúc người ta quan tâm tìm tòi, sáng tạo Đặc biệt, bất đẳng thức có nhiều ứng dụng mơn khoa học khác ứng dụng thực tế Ngày nay, bất đẳng thức ln chiếm vị trí quan trọng thường xuất kì thi Olympic quốc gia, khu vực quốc tế Phân thức hữu tỷ khái niệm chương trình Tốn bậc học phổ thơng Đặc biệt, trường THPT chuyên lớp chuyên tốn có nhiều dạng tốn liên quan đến hàm phân thức Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán nước kỳ thi Olympic Toán nước giới, có nhiều tốn dãy số, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình sinh hàm số dạng phân thức cần biết cách giải vận dụng tính đặc thù biểu thức phân thức cho Hiện tài liệu có tính hệ thống vấn đề chưa đề cập nhiều Là giáo viên THPT, muốn nghiên cứu sâu bất đẳng thức nhằm nâng cao chuyên mơn phục vụ cho q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, nên chọn đề tài "Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète” làm luận văn thạc sĩ Bất đẳng thức vơ rộng lớn, thời gian ngắn, tơi khảo sát số chuyên đề nhỏ Dưới hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả hoàn thành luận văn với để tài Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète Luận văn chia làm ba chương: • Chương Một số kiến thức bổ trợ • Chương Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète • Chương Một số phương pháp khảo sát bất đẳng thức dạng phân thức Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy cô, anh chị đồng nghiệp bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015 Lê Thị Mai Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: lethimai@als.edu.vn Chương Một số kiến thức bổ trợ Chương trình bày số tính chất đa thức cần thiết để sử dụng chương sau, dựa theo tài liệu [1]-[5] trình bày số dạng bất đẳng thức cổ điển sử dụng nhiều chương sau Bất đẳng thức AM - GM, Bất đẳng thức Cauchy - schwarz, bất đẳng thức Karamata, 1.1 Đa thức đối xứng ba biến Định nghĩa 1.1 Một đơn thức ϕ(x, y, z) biến x, y, z hiểu hàm số có dạng ϕ(x, y, z) = aklm xk y l z m , k, l, m ∈ N gọi bậc biến x, y, z, số aklm ∈ R∗ = R\{0} gọi hệ số đơn thức, số k + l + m gọi bậc đơn thức ϕ(x, y, z) Định nghĩa 1.2 Một hàm số P (x, y, z) biến x, y, z gọi đa thức biểu diễn dạng tổng hữu hạn đơn thức aklm xk y l z m , n ∈ N P (x, y, z) = k,l,m∈N k+l+m=n Bậc lớn đơn thức đa thức gọi bậc đa thức Định nghĩa 1.3 Đa thức P (x, y, z) gọi đối xứng, khơng thay đổi với hốn vị x, y, z, nghĩa P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y) Định nghĩa 1.4 Đa thức f (x, y, z) gọi bậc m, f (tx, ty, tz) = tm f (x, y, z), t=0 Định nghĩa 1.5 Các đa thức σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz, gọi đa thức đối xứng sở biến x, y, z Định nghĩa 1.6 (Tổng lũy thừa) Các đa thức sk = xk + y k + z k , (k = 0, 1, ), gọi tổng lũy thừa bậc k biến x, y, z Tính chất 1.1 (Công thức Newton) Với k ∈ Z, ta có hệ thức sk = σ1 sk−1 − σ2 sk−2 + σ3 sk−3 Tính chất 1.2 Một tổng lũy thừa sk = xk + y k + z k biểu diễn dạng đa thức theo biến σ1 , σ2 , σ3 Định lí 1.1 (Cơng thức Waring) Tổng lũy thừa sk biểu diễn qua đa thức đối xứng cở sở theo công thức sk = k 1.2 1.2.1 0≤l,m,n l+2m+3n=k (−1)k−l−m−n (l + m + n − 1)! l m n σ1 σ2 σ3 l!m!n! Một số dạng bất đẳng thức cổ điển Bất đẳng thức AM-GM Định lí 1.2 (Xem [3]-[4]) Giả sử a1 , a2 , , an số thực khơng âm, ta ln có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 1.1 Với số thực dương a1 , a2 , , an , ta có 1 + + ··· + a1 a2 an (a1 + a2 + · · · + an ) ≥ n2 Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 1.2 Với số thực a, b, c, ta ln có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (a + b + c)2 a + b + c ≥ 2 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Định lí 1.3 (Xem [3]-[4]) Nếu a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn số thực tùy ý (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≤ a21 + a22 + · · · + a2n Đẳng thức xảy mẫu tử 0) b21 + b22 + · · · + b2n (1.1) a1 a2 an = = ··· = (ở ta sử dụng quy ước b1 b2 bn xi √ Nhận xét 1.1 Theo bất đẳng thức (1.1) chọn = √ bi = yi với xi , yi ∈ yi R, yi > Ta thu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (hay gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel) Hệ 1.3 Nếu x1 , x2 , , xn số thực y1 , y2 , , yn số thực dương x21 x22 x2 (x1 + x2 + xn )2 + + ··· + n ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + · · · + yn x1 x2 xn Đẳng thức xảy = = ··· = y1 y2 yn ... luận văn với để tài Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète Luận văn chia làm ba chương: • Chương Một số kiến thức bổ trợ • Chương Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng. .. 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.2.3 Bất đẳng thức Karamata Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa. .. "Một số dạng bất đẳng thức phân thức có ràng buộc đa thức Viète làm luận văn thạc sĩ Bất đẳng thức vơ rộng lớn, thời gian ngắn, tơi khảo sát số chuyên đề nhỏ Dưới hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn