2 Hàm khả vi và ứng dụng
2.2.3Định lí Lagrange và Định lí Cauchy
Định lý 2.8. (Định lí Lagrange). Giả sử f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho:
f(b)−f(a) = f0(c)(b−a). (2.1)
Chứng minh. Ta xét hàm phụ
F(x) =f(x)−λx (2.2)
trong đó số λ được chọn sao cho F(a) = F(b), tức là sao cho f(a)−λa = f(b)−λb.
Để có điều đó chỉ cần lấy
λ = f(b)−f(a)
b−a . (2.3)
Rõ ràng hàm F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) và F(a) =F(b), do đó theo định lí Rolle tồn tại c ∈ (a;b) sao cho F0(c) = 0. Từ (2.2) ta có F0(x) =f0(x)−λ, do đó
F0(c) = 0 ↔ f0(c) = λ ↔ f0(c) =λ. Thay giá trị λ từ (2.3) vào ta có f0(c) = f(b)−f(a)
b−a , hay f(b)−f(a) = f0(c)(b−a).
Nhận xét 2.3. - Ta đã thu được định lí Lagrange như một hệ quả của định lí Rolle. Thế nhưng chính định lí Rolle (về dạng của biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lí Lagrange.
- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của định lí Lagrange thì trên đồ thị của hàm số y = f(x) phải tồn tại ít nhất một điểm M(c;f(c)) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó song song với dây cung AB,với A(a;f(a)), B(b;f(b)).
Hệ quả 2.3. Giả sử f : [a;b] −→R là hàm liên tục và f0(x) = 0 với mọi
x ∈ (a;b). Khi đó f = const trên đoạn [a;b].
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x0 ∈ (a;b) là một điểm cố định nào đó, còn x là điểm tùy ý của (a;b). Đoạn [x0;x],[x;x0] nằm trọn trong khoảng
(a;b), vì thế f có đạo hàm khắp nơi và liên tục trên đoạn đó, áp dụng định lí Lagrange ta có
f(x)−f(x0) = f0(c)(x−x0),∀c ∈ (x0;x).
Nhưng theo giả thiết f0(x) = 0,∀x ∈ (a;b) nên f0(c) = 0,∀x ∈ (x0;x). Vì thế ta có f(x) = f(x0), đẳng thức này khẳng định rằng giá trị của hàm f(x) tại điểm bất kì x ∈ (a;b) luôn luôn bằng giá trị của hàm tại một điểm cố định.
Do vậy, f = const trên đoạn [a;b].
Hệ quả 2.4. Nếu hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trên một khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng.
Chứng minh. Thật vậy theo giả thiết ta có
[f(x)−g(x)]0 = f0(x)−g0(x) = 0. Theo hệ quả trên thì f(x)−g(x) = c hay f(x) = g(x) +c.
Định lý 2.9. (Định lí Cauchy). Giả sử các hàm f, g liên tục trên đoạn
[a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a;b), ngoài ra g0(x) 6= 0
với mọi x ∈ (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho
f(b)−f(a)
g(b)−g(a) =
f0(c)
Chứng minh. Trước khi chứng minh định lí ta nhận xét công thức (2.4) luôn có nghĩa, tức là g(b) 6= g(a).
Thật vậy, nếu g(b) = g(a) thì hàm g(x) thỏa mãn điều kiện của định lí Rolle và do đó tồn tại c ∈ (a;b) sao cho g0(c) = 0, nhưng điều này trái với giả thiết g0(x) 6= 0,∀x ∈ (a;b). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bây giờ ta xét hàm phụ
F(x) = f(x)−λg(x) (2.5) trong đó số λ được chọn sao cho F(a) = F(b), tức là
f(a)−λg(a) = f(b)−λg(b). Để có điều cần lấy ta chỉ cần chọn
λ = f(b)−f(a)
g(b)−g(a). (2.6)
Hàm F(x) thỏa mãn điều kiện của định lí Rolle, do đó tồn tại c ∈ (a;b)
sao cho F0(c) = 0. Mặt khác, từ (2.5) ta có
F0(c) = 0 ↔ f0(c)−λg0(c) = 0 ↔ λ = f
0(c)
g0(c). (2.7)
Từ công thức (2.6) và (2.7) ta thu được f(b)−f(a)
g(b)−g(a) =
f0(c)
g0(c).
Công thức (2.4)được gọi là công thức số gia hữu hạn Cauchy.
Nhận xét 2.4. Định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy với giả thiết g(x) = 0.