Phương pháp bất đẳng thức trong phương trình và hệ phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐINH THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên nghành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số 3

1.2 Một số bất đẳng thức cổ điển 5

1.3 Một số bài toán cực trị 5

2 Một số lớp phương trình giải bằng phương pháp so sánh 11 2.1 Khảo sát một số lớp phương trình 12

2.2 Một số dạng phương trình qua các kỳ thi Olympic 18

3 Hệ phương trình giải bằng phương pháp so sánh 26 3.1 Phương pháp so sánh giải hệ phương trình 26

3.2 Một số hệ đặc biệt 39

3.2.1 Hệ hoán vị 39

3.2.2 Hệ đối xứng 49

3.2.3 Một số hệ không mẫu mực 55

3.3 Bài toán xác định hệ số đa thức 62

Lời cảm ơn

Trong thời gian thực hiện luận văn này, tác giả đã nhận được sự hướngdẫn và chỉ bảo tận tình của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thông qua luậnvăn này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng nhữngcông lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầyNguyễn Văn Mậu

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, phòngĐào tạo, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên;

Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang; Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp trườngTHPT Trung Sơn - huyện Yên Sơn - tỉnh Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập, thực hiện và hoàn thành luậnvăn

Danh mục các kí hiệu

Để việc trình bày được ngắn gọn, trong luận văn sử dụng các kí hiệu sau:

1 R - Tập các số thực

2 N - Tập các số tự nhiên

3 [a; b] - Đoạn (khoảng đóng) của hai đầu mút a, b

4 (a; b) - Đoạn (khoảng mở) của hai đầu mút a, b

5 VT - Vế trái; VP - Vế phải

6 Df - tập xác định của f (x); Rf - tập giá trị của hàm số f (x)

MỞ ĐẦU

Chuyên đề về phương trình và hệ phương trình có vị trí rất đặc biệt trongtoán học, không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn làcông cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của giải tích, hình học, lượng giác vàứng dụng

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, tuyển sinh đại học và OlympicToán sinh viên thì các bài toán liên quan đến giải phương trình và hệ phươngtrình cũng hay được đề cập và được xem như là những dạng toán thuộc loạikhó

Ngoài những phương pháp truyền thống để giải phương trình và hệ phươngtrình, nhiều đề thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán khu vực vàquốc tế thường hay đề cập đến các lớp phương trình và hệ phương trình giảibằng phương pháp so sánh Đó là lớp các bài toán mà ẩn cần tìm là những

hệ số của đa thức chưa biết, những dạng phương trình mà vế phải và vế tráikhông thuộc cùng một loại hàm, chẳng hạn như vế trái là biểu thức đại sốcòn vế phải thì là các biểu thức lượng giác, mũ, logarit, Các bài toán liênquan đến các phương trình và hệ phương trình loại này không nằm trongchương trình chính thức của Toán đại số và giải tích ở bậc trung học phổthông

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi ở bậc trung học phổthông về chuyên đề phương pháp bất đẳng thức trong khảo sát phương trình

và hệ phương trình, luận văn "Phương pháp bất đẳng thức trong phươngtrình và hệ phương trình" nhằm khảo sát một số lớp phương trình, đồng thờicung cấp một phương pháp giải đặc biệt cho một số lớp phương trình và hệphương trình trong đại số và lượng giác

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đềcập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 Các kiến thức bổ trợ Chương này trình bày các kiến thức cơbản về hàm số (tính đồng biến, tính nghịch biến, tính liên tục, ), các định

lý về số nghiệm của phương trình, hệ phương trình và một số bất đẳng thức

cơ bản

Chương 2 Một số lớp phương trình giải bằng phương pháp so sánh Chươngnày trình bày một số dạng toán về phương trình giải bằng phương pháp sosánh Đưa ra một số dạng phương trình qua các lỳ thi Olympic

Chương 3 Hệ phương trình giải bằng phương pháp so sánh Chương nàytrình bày một số lớp bài toán về hệ phương trình giải bằng phương pháp sosánh Đưa ra phương pháp giải một số hệ phương trình đặc biệt và trình bàymột số bài toán liên quan đưa về giải các phương trình và hệ phương trìnhtương ứng bài toán xác định hệ số đa thức

Thái Nguyên, ngày 06 tháng 04 năm 2015

Tác giả

Đinh Thị Thu Hà

Chương 1

Các kiến thức bổ trợ

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số

Tính chất 1.1 Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

(a, b) thì số nghiệm của phương trình: f (x) = k trên (a; b) không hơn một

và f (u) = f (v) ⇔ u = v ∀u, v ∈ (a; b)

Tính chất 1.2 Nếu hàm số y = f (x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luônnghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồngbiến) trênD thì số nghiệm trên D của phương trình: f (x) = g(x) không quámột

Tính chất 1.3 (Định lí Rolle) Cho hàm sốy = f (x)liên tục trên [a; b], (a <b); có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b) saochof0(c) = 0

Từ định lý này, ta có được hệ quả:

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]; có đạo hàm trênkhoảng (a; b) thì giữa hai nghiệm (liên tiếp) thuộc (a; b) của phương trình

f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm của phương trình f0(x) = 0

Hệ quả 1.2 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]; có đạo hàm trênkhoảng (a; b) và phương trình f (x) = 0 có k nghiệm x ∈ (a; b) thì phươngtrình f0(x) = 0 có ít nhất k − 1 nghiệm x ∈ (a; b)

Hệ quả 1.3 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp k, liên tục trên

(a; b) Nếu phương trình f(k)(x) = 0 có đúng m nghiệm thì phương trình

f(k−1)(x) = 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm

*) Một số lưu ý khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Để phát hiện được tính đơn điệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tínhchất:

- Nếu y = f (x) > 0 và đồng biến (nghịch biến) thì:

- Nghiệm của phương trình f (x) = m là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm

số y = f (x) với đường thẳng y = m cùng phương với trục hoành

- Nếu phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc miền D

⇔ min

D f (x) ≤ m ≤ max

D f (x)

Định lí 1.1 (Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và

có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b)

sao cho f (b) − f (a) = f0(c) (b − a) hay là f0(c) = f (b) − f (a)

b − a .

Nhận xét 1.1 Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b], có đạo hàm liêntục trên các khoảng(a; b) Các hàm số ϕ (x) , ψ (x) xác định trên đoạn [c; d].Khi đó, nếu f0(x) + 1 6= 0 với mọi x ∈ (a; b), thì ta có

f (ϕ (x)) − f (ψ (x)) = ψ (x) − ϕ (x) ⇔ ψ (x) = ϕ (x)

Nhận xét 1.2 Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b], có đạo hàm liêntục trên các khoảng (a; b) và f ([a; b]) ⊆ [a; b] Khi đó:

1 Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì trên [a; b] ta có:

f (f (x)) = x ⇔ f (x) = x;

f (f (f (x))) = x ⇔ f (x) = x

2 Nếu f0(x) − 1 6= 0 với mọi x ∈ (a; b) thì trên [a; b] ta cũng có:

f (f (x)) = x ⇔ f (x) = x

Định lí 1.2 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

- Nếu f0(x) > 0, với mọi x ∈ (a; b) thì f (x) đồng biến trên khoảng (a; b)

- Nếu f0(x) < 0, với mọi x ∈ (a; b) thì f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

1.2 Một số bất đẳng thức cổ điển

Định lí 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM ) Với nsố dương a1, a2, , an ta có

a1 + a2 + · · · + an

n ≥ √a1a2 an

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Định lí 1.4 (Bất đẳng thức Cauchy) Với hai bộ số thực khác 0 bất kỳ (a1,

Bài toán 1.1 Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (1 + |x1|) (1 + |x2|) , trong đó x1, x2 làcác nghiệm của phương trình x2+ax + b = 0.

41 − 4π2 + 1

nên max T = 10

41 − 4π2 + 1, đạt được khi x = −2π

Bài toán 1.4 Giả sử các số thực x, y, z ≥ 0, x + y + z = 1 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức

Bài toán 1.6 Giả sử x, y là các số lần lượt thỏa mãn các phương trình

x2 + 2ax + 9 = 0 với a ≥ 3, y2 + 2by + 9 = 0 với b ≥ 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

f (a, b) = 3(x − y)2 +



1

x − 1y

(t + y)2

⇔



t = y3y4 = 1 ⇔

Thay vào phương trình đã cho ta nhận được hệ

Bài toán 1.7 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006)

Cho x, y > 0, x + y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 51x + 23y + 9

x +

487y.

Bài toán 1.8 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

8 1

(a21 + a22)2 +

a82(a22 + a23)2 + · · · +

a8n(a2

1 + a2

2)2 +

a82(a2

2 + a2

3)2 + · · · +

a8n(a2

Chương 2

Một số lớp phương trình giải bằng phương pháp so sánh

Trước hết ta lưu ý một số nhận xét sau đây để sử dụng trong các phầntiếp theo

Nhận xét 2.1 Nếu với mọi x ∈ Ω ⊆ Df ∩ Dg ta luôn có

Bất phương trình f (x) > g (x) không có nghiệm x ∈ Ω

Bất phương trình f (x) ≤ g (x) luôn nghiệm đúng với mọi x ∈ Ω

Nhận xét 2.2 Giả sử với mọi x ∈ Ω ⊆ Df ∩ Dg ta luôn có

và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x thuộc tập D nào đó, thì

Phương trình f (x) = g (x) ⇔ x ∈ D

Bất phương trình f (x) ≥ g (x) ⇔ f (x) = g (x) ⇔ x ∈ D

Bất phương trình f (x) > g (x) không có nghiệm

Bất phương trình f (x) ≤ g (x) luôn nghiệm đúng với mọi x ∈ Ω

Vậy nghiệm của phương trình (1; 2; 3).

Bài toán 2.2 Giải phương trình

Vậy nghiệm phương trình là x = 0.

Bài toán 2.3 Giải phương trình

p

x2 + x − 1 +p−x2 + x + 1 = x2 − x + 2 (2.4)Bài giải Điều kiện:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài toán 2.4 Giải phương trình

x2 + 1 = p4 1 − sin4x (2.6)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Bài toán 2.5 Giải phương trình

2sin5x + 3cos3x = 5 (2.7)Bài giải Với mọi x thuộc tập xác định R ta luôn có



2sin5x ≤ 2.13cos3x ≤ 3.1 ⇔ V T(2.7) ≤ 2 + 3 = 5 = V P(2.7)

Dấu đẳng thức trong đánh giá trên xảy ra khi và chỉ khi



sin5x = 1cos3x = 1

Do đó (2.7) ⇔



sin5x = 1cos3x = 1 ⇔



sin x = 1cos x = 1 ⇔ sin2x + cos2x = 2 (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài toán 2.6 Giải phương trình

Bài giải Sử dụng bất đẳng thức: Với a > b > 1 thì

ax+ a−x ≥ bx+ b−x, ∀x ∈ R (2.8)Thật vậy, ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Bài toán 2.8 Giải phương trình

6x − x2 − 2 = |x − 1| + |x − 2| + |2x − 3| + |4x − 13| (2.9)Bài giải Với mọi x ∈ R, ta luôn có

Bài toán 2.9 Giải phương trình

cos x + cos y − cos (x + y) = 3

12

2 = −

12

Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài toán 2.11 Giải phương trình

√

x + 2 =

1

√2x − 1 ⇔ p2x2 − x = √x + 2

⇔ x2 − x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ±

√5

2 ⇒ x = 1 +

√5

2 ,



x ≥ 12



Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 +

√5

2 .

2.2 Một số dạng phương trình qua các kỳ thi Olympic

Bài toán 2.12 (Đề thi chọn đội tuyển HSGQG trường THPT chuyên ĐHSP

Hà Nội năm 1995) Giải phương trình

Thử lại thấy x = −1 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm là x = −1

Bài toán 2.13 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006) Chứngminh rằng nếu phương trình

x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0

Vậy phương trình (2.15) tương đương với √3

Vậy nên phương trình có nghiệm là (x, y) = (2, 3)

Bài toán 2.16 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006) Giảiphương trình

|2005 − x|2006+ |2006 − x|2005 = 1 (2.17)Bài giải Nhận xét rằng phương trình có các nghiệm là: x = 2005 và

x = 2006

Nếu x > 2006, thì phương trình vô nghiệm vì: 2005 − x < −1 nên V T > 1

Nếu x < 2005, thì phương trình vô nghiệm vì: 2006 − x > 1 nên V T > 1

Nếu 2005 < x < 2006, thì 0 < |2005 − x| < 1, 0 < |2006 − x| < 1, do đó

|2006 − x|2005 < |2006 − x| = 2006 − x, suy ra V T < 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2005 và x = 2006

Bài toán 2.17 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006) Giảiphương trình

3x3+x+2 + x3 − 3x + 1

.32x−x3 = 34x+1 (2.18)

Nhận xét rằng x = 1 không là nghiệm của phương trình.

Dễ thấy phương trình (2.22) có một nghiệm x = 2.

Xét trên miền x > 1 thì VT (2.22) là hàm số đồng biến, còn VP (2.22) làhàm số nghịch biến nên nghiệm x = 2 cũng là nghiệm duy nhất của (2.21).Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Bài toán 2.19 (Đề thi HSG tỉnh Sơn La 2009) Tìm a để phương trình

sin 2(x − π) − sin(3x − π) = a sin x (2.23)

có ít nhất một nghiệm x 6= kπ; k ∈ Z.

Bài giải Để ý rằng

sin 2(x − π) − sin(3x − π) = a sin x ⇔ sin 2x + sin 3x = a sin x

⇔ 2 sin x cos x + 3 sin x − 4 sin3x = a sin x

⇔ sin x(2 cos x − 4 sin2x + 3) = a sin x

⇔ 2 cos x − 4 sin2x + 3 = a ( vì x 6= kπ; k ∈ Z nên sin x 6= 0)

⇔ 4 cos2x + 2 cos x − 1 = a (2.24)Đặt t = cos x ( | t | <1) khi đó (2.24) trở thành

(2.25) ⇔ f (x) = g (x) (2.28)Vậy (2.28) có nghĩa là dấu đẳng thức ở (2.26) và (2.27) đồng thời xảy ra,hay x = 3 ( thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình (2.25) có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 2.7 Giải phương trình

Bài tập 2.10 Giải phương trình

8sin2x+ 8cos2x = cos 2y

Bài tập 2.11 Giải phương trình

8x − 4x2 − 1

x2 + 2x + 1
= 4 x2 + x + 1

Bài tập 2.12 Giải phương trình

3√2x2 + 1 − 1 = x1 + 3x + 8√

Bài tập 2.15 Giải phương trình

sin2x + sin2y = sin x sin y + sin x + sin y − 1

Bài tập 2.16 Giải phương trình

Bài tập 2.19 Giải phương trình

log2 x

2 − x + 12x2 − 4x + 3 = x

Chương 3

Hệ phương trình giải bằng phương pháp so sánh

3.1 Phương pháp so sánh giải hệ phương trình

Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình

Bài giải Điều kiện xi 6= 0, i = 1, 2, , n.

Từ hệ đã cho suy ra x1, x2, , xn là cùng dấu

xn = −1

Bài toán 3.3 Giải hệ phương trình

1 + y2 = z2z2

i

= 2010

√

vuut

2

(3.2)

Từ (3.1), (3.2) suy ra

và có

f0(t) = e

tsin t − etcos tsin2t =

etcost(tant − 1)sin2t < 0∀t ∈



0; π4



⇒ f (t) là hàm nghịch biến trên



0; π4



⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y thay vàophương trình thứ hai của hệ ta được:

3√8x2 + 3 + 1 = 6p2x2 − 2x + 1 + 8x

3 >

√2

Suy ra 2xy < 1

Mặt khác, ∀a, b ∈ 0;√1

2 và ab < 1, ta luôn có1

x = 81 −

√5913

324 ;

81 +√

5913324



, (x; y) = 81 −

√5913

324 ;

81 −√

5913324

y2 − 2y + 6log3(6 − x) = √ z

Vậy x ≤ y ≤ z ≤ x ⇔ x = y = z, thay vào hệ ta có phương trình ta được

log3(6 − x) = √ x

x2 − 2x + 6.

Phương trình này có nghiệm duy nhất x = 3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là x = y = z = 3

Bài toán 3.8 Giải hệ phương trình

Khi đó x + y ≤ 2a

xy ≤ a2

Vậy khia ≥ 0thìx+y+xy ≤ a2+2avà hệ có nghiệm duy nhất làx = y = a

Bài toán 3.9 Giải hệ phương trình

(

x +√

1 + x2 y +p1 + y2 = 1

x√6x − 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1

(1)(2)

Bài giải Điều kiện: 6x − 2xy + 1 ≥ 0

√2x2 + 6x + 1 = −2x

(3)(4)

2 ⇒ y = −3 +

√11

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

(x; y) = (1; −1) ; (x; y) = 3 −

√11

2 ; −

3 +√

112

!

Bài toán 3.10 Giải hệ phương trình



x2y2 − 2x + y2 = 02x2 − 4x + 3 + y2 = 0

∆0 = −2 − 2y3 ≥ 0 ⇒ y ≤ −1 (3.7)

Từ (3.6) và (3.7) ta được y = −1 Thay vào phương trình đầu của hệ tađược x = 1 Các giá trị này thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (1; −1)

Bài toán 3.11 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII – 2006) Giải hệphương trình







6x2 = y 1 + 9x2
6y2 = z 1 + 9y2
6z2 = x 1 + 9z2

(1)(2)(3)

Từ (3.11) và (3.14) suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi x = 16vy = 3 thử vào

hệ đã cho thấy thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (16; 3)

Bài toán 3.13 Giải hệ phương trình

Bài toán 3.14 Tìm tất cả các cặp số dương (x; y) thỏa mãn hệ phươngtrình:

x2 + 5xy + 6y = 4y2 + 9x + 9

(1)(2)

Bài giải Từ phương trình (1) ta có

... ≤ −1 (3.7)

Từ (3.6) (3.7) ta y = −1 Thay vào phương trình đầu hệ tađược x = Các giá trị thỏa mãn hệ phương trình cho

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (1; −1)

Bài... data-page="41">

Từ (3.11) (3.14) suy dấu đẳng thức xảy x = 16vy = thử vào

hệ cho thấy thỏa mãn

Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (16; 3)

Bài toán 3.13 Giải hệ phương trình