Phân dạng phương trình và hệ phương trình đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HUYỀN PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HUYỀN PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI NÓI ĐẦU Phương trình và hệ phương trình đại số là một trong những nội dung then chốt của chương trình đại số bậc phổ thông trung học. Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic vùng, miền, quốc gia và quốc tế. Hơn thế nữa chúng cũng là những cầu nối để các em học sinh phổ thông tiếp cận với các hình thái phương trình, hệ phương trình sau này ở bậc đại học như hệ phương trình tuyến tính chẳng hạn. Đây là cơ sở khoa học là lý do thôi thúc tác giả chọn đề tài cho bản luận văn " Phân dạng phương trình và hệ phương trình đại số". Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục tham khảo. Chương 1: Phân dạng phương trình đại số: Chương này phân dạng một cách hệ thống lớp các phương trình đại số, nêu cách giải và mô tả bằng các ví dụ, bài tập. Như các bài tập được chọn trong các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic trong nước và quốc tế. Chương 2: Phân dạng hệ phương trình đại số: Chương này các lớp hệ phương trình đại số nêu cách giải và mô tả bằng các bài tập, ví dụ, được lựa chọn trong các đề thi tuyển sinh và olympic quốc tế. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Minh Khoa. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học Thái Nguyên), các thầy giáo, cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp ở trường THPT Lý Thường Kiệt, thành phố Móng Cái, Quảng Ninh đã động viên, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả Hoàng Thị Huyền Mục lục Lời nói đầu i Mục lục ii 1 Phân dạng phương trình đại số 1 1.1. Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Phương trình dạng: (x + a) 4 + (x + b) 4 = c . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Phương trình hồi qui dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± kbx + k 2 a = 0 . . . . . 18 1.5. Phương trình dạng: (ax + b) 2 (a 1 x + b 1 ) 2 + [(a + a 1 )x + (b + b 1 )] 2 + c = 0 . . . . . . . . . . 20 1.6. Phương trình dạng: x 4 = ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m . . . . . . . . . 21 1.8. Phương trình bậc ba tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.9. Phương trình bậc bốn tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.10. Phương trình bậc năm dạng: 5x 5 + 5px 3 + p 2 x + 5q = 0 . . . . . . . . 26 1.11. Phân định số lượng nghiệm của phương trình bậc cao theo đặc tính về dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12. Khảo sát nghiệm của phương trình bậc cao bằng cách đổi vai trò tham số 28 1.13. Một số đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế về phương trình . . 29 2 Phân dạng hệ phương trình đại số 33 2.1. Hệ phương trình đối xứng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ii iii 2.3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Hệ với vế trái đẳng cấp bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6. Hệ với vế trái đẳng cấp cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8. Hệ nhiều phương trình bậc nhất giải bằng phương pháp tổ hợp . . . . 51 2.9. Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải bằng phương pháp dùng định lý Viet mở rộng cho phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.10. Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải bằng phương pháp khử, thế và tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.11. Hệ xoay vòng dùng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.12. Hệ phương trình đa thức giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . 58 2.13. Hệ phương trình đa thức giải bằng phương pháp tham số hóa . . . . 60 2.14. Hệ phương trình đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . 61 2.15. Hệ phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.16. Hệ dùng phép thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Chương 1 Phân dạng phương trình đại số Trong chương này tác giả trình bày sự phân dạng lớp các phương trình đại số trên trường số thực. 1.1. Phương trình bậc hai Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0, a = 0. (1.1) Định lý 1.2 (Tính chất và sự tồn tại nghiệm). Đặt f(x) = ax 2 + bx + c; ∆ = b 2 − 4ac. i) Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1.1) vô nghiệm và af (x) > 0, ∀x. ii) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất (nghiệm kép). x = −b 2a và af(x) ≥ 0, ∀x iii) Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = −b ± √ ∆ 2a . Lúc này af(x) < 0, ∀x ∈ (x 1 , x 2 ) và af(x) > 0, khi x < x 1 , x > x 2 . Định lý 1.3 (Định lý đảo). Nếu ∃ số α : af(α) < 0 thì f (x) = 0 có hai nghiệm x 1 < α < x 2 . Hệ quả 1.4 Với hai số α < β cho trước : f(α) = 0, f(β) = 0. Khi đó: 1 2 i) Nếu    af(β) < 0 af(α) > 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm : α < x 1 < β < x 2 . ii) Nếu    af(α) < 0 af(β) > 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm : x 1 < α < x 2 < β. iii) Nếu          ∆ > 0 af(β) > 0 β < S 2 = −b 2a thì f(x) = 0 có hai nghiệm : α < β < x 1 < x 2 . iv) Nếu          ∆ > 0 af(α) > 0 S 2 < α thì f(x) = 0 có hai nghiệm : x 1 < x 2 < α < β. v) Nếu                ∆ > 0 af(α) > 0 af(β) > 0 α < S 2 < β thì f(x) = 0 có hai nghiệm : α < x 1 < x 2 < β. vi) Nếu f(α)f(β) < 0 thì tồn tại duy nhất một nghiệm hoặc x 1 hoặc x 2 thuộc khoảng (α, β). Định lý 1.5 (Định lý Viet). Nếu x 1 ,x 2 là nghiệm của (1.1) thì    x 1 + x 2 = −b a x 1 x 2 = c a . Định lý 1.6 (Định lý Viet đảo). Nếu x 1 , x 2 là hai số thỏa mãn    x 1 + x 2 = S x 1 x 2 = P thì x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0. Các dạng bài tập áp dụng. Dạng 1: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a = 0). • Chứng minh phương trình có nghiêm ⇔ Chứng minh ∆ ≥ 0. • Chứng minh phương trình vô nghiệm ⇔ Chứng minh ∆ < 0. • Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 ⇔ Chứng minh ∆ > 0. • Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ Chứng minh ∆ = 0. • Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu⇔ Chứng minh c a < 0 hoặc chứng minh af(0) < 0. • Chứng minh phương trình có hai nghiệm dương ⇔ chứng minh          ∆ ≥ 0 c a > 0 −b a > 0 hoặc chứng minh          ∆ ≥ 0 af(0) > 0 0 < −b 2a . • Chứng minh phương trình có hai nghiệm âm ⇔ Chứng minh          ∆ ≥ 0 c a > 0 −b a < 0 hoặc chứng minh          ∆ ≥ 0 af(0) > 0 −b 2a < 0. Ví dụ 1.1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 5a + 4b + 6c = 0. (i) Chứng minh rằng phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm. Giải. ⊕ Nếu a = 0 thì từ (i) ta suy ra c = − 2 3 b. Do vậy phương trình f(x) = 0 có dạng : bx − 2 3 b = 0 có x = 2 3 là nghiệm. ⊕ Xét a = 0, khi đó: (i) ⇔ (4a + 2b + c) + (a + 2b + 4c) + c = 0 ⇔ f(2) + 4f( 1 2 ) + f(0) = 0. Suy ra tồn tại ít nhất một số hạng âm hoặc bằng 0, theo định lí đảo phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Ví dụ 1.2. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình: (a 2 + b 2 − c 2 )x 2 − 4abx + a 2 + b 2 − c 2 = 0 có nghiệm. Giải. ⊕ Trường hợp 1: a 2 + b 2 −c 2 = 0 ⇔ ∆ABC vuông tại C thì phương trình có nghiệm x = 0. 4 ⊕ Trường hợp 2: a 2 + b 2 − c 2 = 0, khi đó: ∆  = (2ab) 2 − (a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = [(a + b) 2 − c 2 ][c 2 − (a −b) 2 ] = (a + b + c)(a + b −c)(c + a −b)(c + b − a). Vì a, b, c là cạnh của một tam giác ⇒ ∆  > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì phương trình: a 2 x 2 + (a 2 + b 2 − c 2 )x + b 2 = 0 vô nghiệm. Giải. Xét ∆ = (a 2 + b 2 − c 2 ) 2 − 4a 2 b 2 = [(a − b) 2 − c 2 ][(a + b) 2 − c 2 ] = (a − b −c)(a −b + c)(a + b + c)(a + b − c) < 0. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Dạng 2: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f (x) = ax 2 + bx + c = 0 trong một khoảng (d, e) nào đó. ⇔ Chứng minh tồn tại α thuộc khoảng (d, e) sao cho: af(α) ≤ 0. Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng với mọi số a, b, c phương trình (x − a)(x −b) + (x − b)(x −c) + (x − c)(x −a) = 0 luôn có nghiệm. Giải. Cách 1. Viết lại phương trình ở dạng: 3x 2 − 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0. Ta có: ∆  = (a + b + c) 2 − 3(ab + bc + ca) = 1 2 (a 2 − 2ab + b 2 ) + 1 2 (b 2 − 2bc + c 2 ) + 1 2 (c 2 − 2ca + a 2 ) = 1 2 (a − b) 2 + 1 2 (b − c) 2 + 1 2 (c − a) 2 . 5 Vậy phương trình luôn có nghiệm. Cách 2. Đặt f(x) = (x − a)(x − b) + (x −b)(x − c) + (x −c)(x − a). Ta có f(x) là một tam thức bậc 2, có hệ số của x 2 là 3. Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng, không giảm tính tổng quát có thể coi a < b < c. Khi đó 3f(b) = 3(b − c)(b − a) ≤ 0. Theo định lý đảo về dấu tam thức bậc hai chứng tỏ f(x) = 0 có hai nghiệm : x 1 ≤ b ≤ x 2 , ∀a, b, c. Dạng 3. Chứng minh phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a = 0) luôn có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (α; β) nào đó ⇔                ∆ > 0 af(α) > 0 af(β) > 0 α < S 2 < β. Ví dụ 1.5. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện: a ≥ b > 0, a + b = 1. Chứng minh phương trình x 2 − b n x − a n = 0 luôn có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−1; 1). Giải. Từ giả thiết a ≥ b > 0 và a + b = 1 ta suy ra:    0 < a < 1 0 < b < 1 ⇒ 0 < a n , b n < 1 ⇒    0 < 1 − a n < 1 0 < 1 − b n < 1 và    a > a n b > b n . Đặt f(x) = x 2 − b n x − a n . Ta có : 1.f(0) = −a n < 0, ∀n 1.f(1) = 1 − b n − a n = (a − a n ) + (b −b n ) > 0 1.f(−1) = 1 + b n − a n = 1 − a n + b n > 0. Từ đây áp dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai suy ra f (x) = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: −1 < x 1 < 0 < x 2 < 1. [...]... a)2 ] ≥ 0 ∀a, b, c 2 Suy ra trong ba số ∆1 , ∆2 , ∆3 có ít nhất một số không âm Vậy trong ba phương trình có ít nhất một phương trình có nghiệm Dạng 8 Lập phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 Ví dụ 1.10 Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm x2 và x2 1 2 Giải Từ giả thiết ta suy... q2 − p2 q1 ) = 0 Dạng 15 Tìm điều kiện để phương trình: a1 x2 + b1 x + c1 = 0 (a1 = 0) (1) Là hệ quả của phương trình: a2 x2 + b2 x + c2 = 0 (2) (a2 = 0) Cách giải: (1) là hệ quả của (2) ⇔ tập nghiệm của (1) là S1 ⊃ S2 là tập nghiệm của (2) Ví dụ 1.22 Tìm tất cả các cặp số a, b sao cho phương trình : x2 + b2 x − 8b = 0 (1) là hệ quả của phương trình: x2 − ax + a = 0 (2) Giải (1) là hệ quả của (2) ⇔... 15 1.2 Phương trình trùng phương Định nghĩa Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a = 0) (1.2) Cách giải: Đặt ẩn phụ x2 = t, t ≥ 0 đưa về phương trình bậc hai: f (t) = at2 + bt + c = 0 (1.2) Dạng 1 Tìm điều kiện để phương trình (1.2) có đúng một nghiệm dương Giải Phương trình (1.2) có đúng một nghiệm dương ⇔ phương trình (1.2) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 < 0 < t2 hoặc... b)4 = c Cách giải phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (1.3)    x+a=t+ a−b x+a+x+b 2 Đặt ẩn phụ t = ⇒  x + b = t − a − b 2  2 2 4 a−b a−b 4 2 Thay vào (1.3) ta có: 2t + 12 t +2 − c = 0 (1.3) 2 2 Phương trình (1.3) là phương trình trùng phương Ví dụ 1.27 Giải phương trình (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 Giải x+3+x+5 Đặt t = ( ) = x + 4 ⇒ x + 3 = t − 1, x + 5 = t + 1 2 18 và phương trình đã cho trở... thì phương trình trở thành (y − 1)(y + 1) + 1 = m ⇔ y 2 = m Vậy phương trình đã cho tương đương với   y2 = m  x2 + 3x + 1 − y = 0 Nếu m < 0 hệ vô nghiệm √ Nếu m ≥ 0 ⇒ y = ± m ⇒ √ x2 + 3x + 1 − m = 0(1) √ x2 + 3x + 1 + m = 0(2) Ta qui về phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình (1) và (2) Bài 3 (Olympic Bungari 1990) Cho f (x) = x3 − 3x + 1 Tìm số các nghiệm thực khác nhau của phương trình. .. (−∞, −1) và (1, +∞) giảm trên [−1, 1] Ta cũng có lim f (x) = ±∞, f (−1) = 3, f (1) = −1, f (3) = 19 x→±∞ Do đó f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < −1 < x2 < 1 < x3 < 3 Từ đó suy ra phương trình f (x) = x1 có nghiệm duy nhất bé hơn −1 phương trình f (x) = x2 và phương trình f (x) = x3 mỗi phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc (−∞, −1), (−1, 1), (1, +∞) Vì vậy phương trình f... Phương trình bậc ba tổng quát Dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) Cách giải: Một số phương trình bậc ba đặc biệt có thể tách nhóm hoặc tìm một nghiệm rồi phân tích thành nhân tử, còn nói chung là ta có cách giải tổng quát như sau: ⊕ Chia hai vế cho a = 0 rồi đưa về phương trình có dạng: x3 + Bx2 + Cx + D = 0 B rồi đưa về phương trình y 3 − py = q 3 B2 2B 3 BC Trong đó p = − C; q = − + − D 3 27 3 Xét phương. .. Đây là nghiệm của phương trình (3) đã cho 1.13 Một số đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế về phương trình Bài 1 ( Đề thi học sinh giỏi toán quốc tế 1968) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a ≥ b > 0, a + b = 1 Với mỗi số nguyên dương n người ta lập tam thức bậc hai: fn (x) = x2 − bn x − an Chứng tỏ rằng tam thức f (x) có hai nghiệm số phân biệt nằm giữa −1 và 1 Giải Xét phương trình fn (x) = 0... 2 ⇒ t ≥ 2 Phương trình (2) trở thành: t2 − 4t − 3 = 0 √ √ √ t = 2 + 7 ⇒ x2 − x − 2 − 7 = 0 ( Vì t ≥ 2.) √ 1± 9+4 7 Khi đó x = 2 1.6 Phương trình dạng: x4 = ax2 + bx + c Cách giải phương trình dạng: x4 = ax2 + bx + c (1.6) Ta dùng kĩ thuật tách bậc đưa về phương trình tích như sau Với mọi tham số m ta có: (1) ⇔ (x2 + m)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2 (1.6) Ta  m để vế phải(1.6) thành bình phương đủ... x + c2 = 0 tương đương Cách giải: Sử dụng hai phương trình tương đương ⇔ cùng tập nghiệm vô nghiệm Ví dụ 1.19 Tìm các giá trị của tham số a, b để hai phương trình sau tương đương: x2 − 2(a − b)x + 2a2 − b2 = 0 và x2 + 2(a + b)x + a2 + 2b2 = 0 Giải Yêu cầu bài toán ⇔ hai phương trình có cùng tập nghiệm hoặc hai phương trình cùng vô nghiệm ⊕ Hai phương trình có cùng tập hợp nghiệm thì theo định lí Viet . NÓI ĐẦU Phương trình và hệ phương trình đại số là một trong những nội dung then chốt của chương trình đại số bậc phổ thông trung học. Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số có mặt. 70 Chương 1 Phân dạng phương trình đại số Trong chương này tác giả trình bày sự phân dạng lớp các phương trình đại số trên trường số thực. 1.1. Phương trình bậc hai Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc. các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic trong nước và quốc tế. Chương 2: Phân dạng hệ phương trình đại số: Chương này các lớp hệ phương trình đại số nêu cách giải và mô tả bằng các bài