Luận văn thạc sĩ toán hoc Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học

NGUYỄN THỊ HẬUMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015... Vì những lý do trên đây chúng tôi đã chọn đề tài luận văn là " Một s

NGUYỄN THỊ HẬU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

Mục lục

Mục lục i

Lời cảm ơn ii

Danh mục các kí hiệu iii

Danh mục các hình iv

Lời mở đầu 1 1 Các phương pháp chứng minh thường dùng 3 1.1 Phương pháp thuần túy hình học 3

1.1.1 Một số định lý cơ bản 3

1.1.2 Một số bài toán về bất đẳng thức của hình học phẳng 5 1.2 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại số cơ bản 13

1.2.1 Các bất đẳng thức cơ bản 13

1.2.2 Các bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM 15

1.2.3 Các bài toán áp dụng véc tơ và bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 18

1.2.4 Các bài toán áp dụng bất đẳng thức sắp xếp lại 23

2 Phương pháp ứng dụng hàm lồi 27 2.1 Khái niệm về hàm lồi và các tính chất cơ bản 27

2.2 Một số tính chất khác của các hàm lồi 28

2.3 Các bài toán áp dụng hàm lồi 34

3 Phương pháp ứng dụng số phức 44 3.1 Khái niệm về số phức và các tính chất cơ bản 44

3.1.1 Định nghĩa số phức 44

3.1.2 Dạng đại số của số phức 45

3.1.3 Dạng lượng giác của số phức 46

3.2 Các bài toán áp dụng 48

3.2.1 Bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức Ptolemy 48 3.2.2 Bất đẳng thức Hyashi và các mở rộng 49 3.2.3 Một số bất đẳng thức trong tam giác có trọng khác 51

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhấttới người thầy kính mến TS Nguyễn Văn Ngọc, đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán, Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại họcKhoa học, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quátrình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp

ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành luận văn này

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ của luậnvăn thạc sỹ nên bản luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó

Do thời gian có hạn và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được ý kiến đóng gópcủa các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnhhơn

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015

Tác giảNguyễn Thị Hậu

Danh mục các kí hiệu

Giả sử tam giác ABC có:

ˆ BC = a, CA=b, AB =c;

ˆ S là diện tích tam giác;

ˆ p là nửa chu vi tam giác;

ˆ ma, mb, mc, la, lb, lc, ha, hb, hc lần lượt là độ dài các trung tuyến, cácphân giác và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

ˆ r, R, ra, rb, rc lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, đường trònngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp với các cạnh a, b, c của tam giácABC

ˆ ∑a= a+b+c

ˆ Πa=abc

Vì những lý do trên đây chúng tôi đã chọn đề tài luận văn là " Một sốphương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học" Tìm hiểu vềcác phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thứchình học nói riêng là cần thiết vì nó giúp chúng ta giải pháp tiếp cận mộtbài toán nào đó, hoặc công cụ nghiên cứu một vấn đề nào đó.

Luận văn này trình bày một số phương pháp chứng minh các bất đẳngthức hình học mà có thể sử dụng để giải quyết các bài toán về bất đẳngthức hình học và cực trị từ cơ bản đến nâng cao thường xuất hiện trongcác kỳ thi vào trường, thi học sinh giỏi khu vực hay quốc gia, quốc tế.Tuyển chọn và phân loại các bài toán về bất đẳng thức hình học theo đặcđiểm phương pháp giải chúng

Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận vàTài liệu tham khảo

Chương 1: Các phương pháp chứng minh thường dùng

Chương này trình bày các bài toán giải bằng phương pháp thuần túy hìnhhọc, như bất đẳng thức tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc của một tamgiác và các bài toán giải bằng phương pháp sử dụng các bất đẳng thức

cơ bản của đại số, như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Schwarz, v.v

Cauchy-Chương 2: Phương pháp ứng dụng hàm lồi

Chương này trình bày khái niệm và các tính chất của hàm lồi và việc sửdụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức hình học Đặc biệt là hai định

lí quan trọng được sử dụng rộng rãi trong chứng minh bất đẳng thức nói

chung và bất đẳng thức hình học nói riêng đó là bất đẳng thức Jensen vàbất đẳng thức Karamata liên quan đến hàm lồi.

Nội dung chính của chương là trình bày các bài toán chứng minh bấtđẳng thức hình học bằng phương pháp số phức như bất đẳng thức tamgiác mở rộng, bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Hyashi và các bấtđẳng thức trong tam giác có trọng khác Kỹ thuật chủ yếu trong phươngpháp này là áp dụng bất đẳng thức tam giác mở rộng cho các đồng nhấtthức Học sinh bậc THPT mới được làm quen với số phức, thực hiện cácphép toán về số phức còn chưa được thuần thục, nên việc áp dụng số phứcvào hình học là một việc rất khó

cơ bản của đại số, như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Schwarz, v.v Nội dung chủ yếu của chương này được hình thành từ cáctài liệu [1, 2, 5, 11 - ??, 7].

Cauchy-1.1 Phương pháp thuần túy hình học

AC+BC ⩾AB

với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C nằm trên đoạn AB

Đây là một trong những bất đẳng thức hình học cơ bản nhất Trongphần này chủ yếu đưa ra các bài toán được giải quyết nhờ sử dụng bấtđẳng thức đơn giản này

Định lý 1.2 Giả sử O là điểm bên trong tam giác ABC ( Điểm O cóthể nằm trên cạnh, nhưng không trùng với bất kỳ đỉnh nào của tam giác

ABC) Khi đó có bất đẳng thức

và ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.3 Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh dài hơn vàngược lại

Hình 1.2

Chứng minh Xét tam giác ABC Giả sử ̂ABC > ̂ACB, ta chứng minh

AC > AB và ngược lại Thật vậy, trong góc ̂ABC kẻ tia Bx,cắt cạnh AC

ở D sao cho ̂DBC = ̂DCB Ta có BD =DC, BD+DA=AC >AB

Ngược lại, giả sử AC >AB, ta sẽ chứng minh ̂ABC > ̂ACB Thật vây,giả sử ̂ABC ≤ ̂ACB Khi đó theo chứng minh trên ta có AC ≤ AB, mâuthuẫn Định lý được chứng minh

Định lý 1.4 Cho trước hai tam giác ABC và A′B′C′ có hai cặp cạnhbằng nhau AB = A′B′, AC = A′C′ Ta có bất đẳng thức ̂BAC > B̂′A′C′

khi và chi khi BC >B′C′

Hình 1.3

Chứng minh Trước hết, giả sử ̂BAC >B̂′A′C′,ta chứng minhBC > B′C′

Không mất tính tổng quát, giả sử AB ≥AC Ta đem hình tam giác ABC

đăt chồng lên tam giác A′B′C′, sao cho A≡A′, C ≡ C′ và các đỉnh B, B’cùng nằm về một phía đối với đường thẳng AC

Nếu ̂BAC =B̂′A′C′ thì có thể suy ra rằngBC =B′C′.Do đó, ∆ABC =

∆A′B′C′ (c.g.c) Vậy ̂BAC > B̂′A′C′ khi và chỉ khi BC > B′C′ Định lýđược chứng minh

Định lý 1.5 ( Công thức Euler) Gọi R và r lần lượt là bán kính củađường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC, d là khoảngcách giữa hai tâm của hai đường tròn đó Khi đó có đẳng thức

Hệ quả 1.1 Trong mọi tam giác có bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi tam giác ABC là đều

1.1.2 Một số bài toán về bất đẳng thức của hình học phẳng

Bài toán 1.1 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng

AB+BC+CD+DA<2(AC +BD) (1.4)Lời giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Khi đó, theo bất đẳngthức tam giác (Định lý 1.1), ta có

AB <AO+BO, CD <OC +OD

Hình 1.4

Cộng các bất đẳng thức này theo từng vế ta được

AB+CD< AO+BO+OC+OD =AC +BD (1.5)Tương tư, ta có

BC +DA< BO+CO+OA+OD =AC +BD (1.6)

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức (1.5) và (1.6) ta được bất đẳng thức(1.4)

Bài toán 1.2 Giả sử O là một điểm bên trong tam giác ABC Chứngminh rằng

p<AO+BO+CO< 2p, (1.7)trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC

Lời giải Theo bất đẳng thức tam giác ta có

Hình 1.5

AB <OA+OB,

BC <OB+OC,

CA <OC +OA

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức này, ta được

2p< 2(AO+BO+CO) ⇔p<AO+BO+CO (1.8)Mặt khác, theo bất đẳng thức (1.1)trong Định lý 1.2, ta có

Từ (1.8) và (1.9) ta có điều phải chứng minh

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với cácđỉnh là a, b, c.Ký hiệu ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến ứng vớicác cạnh a, b, c Chứng minh rằng

Mặt khác ta có: AM >AC−CM và AM > AB−BM Cộng hai bất đẳngthức này lại ta được 2AM >AB+AC−BC hay

2ma >b+c−a

Chứng minh tương tự ta có

2mb >a+c−b,2mc >a+b−c

Cộng ba bất đẳng thức này ta suy ra vế trái của bất đẳng thức kép (1.10)

Bài toán 1.4 Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh

A, B, C tương ứng là a, b, c Chứng minh các bất đẳng thức

a+b+c2r <

1sinA2

+

1sinB2

+

1sinC2

<

a+b+c

trong đó r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

Lời giải Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC Gọi

rsinB2 , OC =

rsinC2 .

nên từ đây suy ra bất đẳng thức (1.11)

Bài toán 1.5 Chứng minh rằng, trong một hình bình hành đường chéonối hai góc nhọn dài hơn đường chéo nối hai góc tù

Hình 1.8

Bài toán 1.6 Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC Lấy cácđiểm C1, A1, B1 tương ứng sao cho BA1 =λBC, CB1 =λCA, AC1 =λAB,

ở đó 1

2 <λ< 1 Chứng minh rằng chu vi p của tam giác ABC và chu vi p1

của tam giác A1B1C1 thỏa mãn bất đẳng thức

Bài toán 1.7 Tìm các điểm nằm trong tứ giác lồi sao cho tổng khoảngcách từ đó tới các đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.

Lời giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác lồi ABCD,còn O1 là điểm tùy ý Khi đó:

Chứng minh rằng A1K+A2K+ .+AnK <s với mọi điểm K

Lời giải Với K là trung điểm của P Q Khi đó

AiK ⩽

1

2(AiP +AiQ) vớii=1, 2,

Ở đây tồn tại ít nhất một bất đẳng thức là nghiêm ngặt vì các điểm Ai

không thể cùng nằm trên đường thẳng P Q Do đó đem cộng các bất đẳngthức trên lại ta được

Bài toán 1.9 Trên mặt phẳng cho trước đường tròn đơn vị và n điểm

A1, A2, , An Chứng minh rằng tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho

Hình 1.10

Bài toán 1.10 Chứng minh rằng trung bình cộng chiều dài các cạnh củamột đa giác lồi bất kỳ nhỏ hơn trung bình cộng chiều dài các đường chéocủa nó

Lời giải Gọi ApAp+1 và AqAq+1 là các cạnh không kề nhau của n-giác(nghĩa là ∣p−q∣ ⩾2) Khi đó

ApAp+1+AqAq+1 <ApAq+Ap+1Aq+1

Viết tất cả các bất đẳng thức như vậy và cộng chúng lại Với mỗi cạnh tồntại đúng n−3cạnh không kề với nó và do đó mỗi cạnh bất kì có mặt trong

n−3 bất đẳng thức, nghĩa là ở vế trái của tổng nhận được có (n−3)p, ở

đó p là tổng chiều dài các cạnh của n-giác Đường chéo AmAn tham giavào hai bất đẳng thức với p=n, q =m và p= n−1, q =m−1 Do đó trong

vế phải là 2d, ở đó d là tổng chiều dài các đường chéo Vì vậy

(n−3)p<2d

Do đó p

n <

d

n(n−3)/2, ta được yêu cầu.

Bài toán 1.11 GọiA, B, C, D là bốn điểm trong không gian không đồngphẳng Chứng minh rằng

AC.BD<AC.CD+AD.BC

Lời giải Giả sử có một mặt cầu đi qua các điểm B, C, D cắt các đoạnthẳng AB, AC, AD tại B′, C′, D′ Giao điểm của mặt cầu với mặt phẳng(ABC) là đường tròn, khi đó tứ giác BB′C′C là nội tiếp Suy ra các tamgiác ABC và A′B′C′ là đồng dạng, do đó

Ta suy ra rằng

B′C′

B′D′ =

BC.ADAC.BD

Trong cách tương tự ta được

C′D′

B′D′ =

AB.CDAC.BD

Nhưng trong tam giác A′B′C′ ta có B′C′

+C′D′

>B′D′, vì thế suy ra

BC.ADAC.BD +

AB.CDAC.BD >1.

Vì vậy AC.BD<AB.CD+AD.BC

Nhận xét 1.1 Nếu A, B, C, D là các điểm đồng phẳng, khi đó ta có thểchứng minh rằng

AC.BD⩽ AB.CD+AD.BC

Đẳng thức có được nếu và chỉ nếu ABCD là tứ giác nội tiếp

Bài toán 1.12 Trong tam giác ABC cho điểm M Chứng minh rằng

4S ⩽AM.BC +BM.AC +CM.AB

ở đó S là diện tích tam giác ABC

Lời giải

Hình 1.11

Từ điểm B và C hạ đường vuông góc BB1 và CC1 tới AM Khi đó

2SAM B+2SAM C =AM.BB1+AM.CC1 ⩽AM.BC

Vì BB1+CC1 ⩽ BC Tương tự

2SBM C+2SBM A ⩽ BM.AC và2SCM A+2SCM B ⩽ CM.AB

Cộng các bất đẳng thức này lại ta được bất đẳng thức cần chứng minh

- Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, bất đẳng thức sắpxếp lại (Rearranggement Inequality) và bất đẳng thức Chebyshev Trongcác bất đẳng thức trên, bất đẳng thức sắp xếp lại là ít phổ biến hơn cảnên dưới đây chúng tôi chỉ trình bày chứng minh bất đẳng thức sắp xếplại.

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức AM −GM).Với n số thực không âm bất kì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = .=an

Hệ quả 1.2 (Bất đẳng thức GM −HM).Với mọi bộ số dương ta đều có

n

√

a1.a2 .an ⩾

n1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = .=an

Hệ quả 1.3 Với mọi bộ số dương a1, a2, , an ta đều có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = .=an

Hệ quả 1.4 Với mọi bộ số không âm a1, a2, , an và m =1, 2, ta đềucó

c) Tổng hoán vị(Permulated sum): P =a1c1+a2c2+ +ancn,

trong đó c1, c2, , cn là một hoán vị bất kỳ của bộ số b1, b2, , bn Ta có bấtđẳng thức sắp xếp ( Rearrangement Inequality)

Chứng minh 1 Chứng minh S ≥ P Để đơn giản trong lập luận chúng

ta chỉ xét n=3 Như vậy ta có (a1, a2, a3),(b1, b2, b3) là các dãy tăng,còn (c1, c2, c3) là một hoán vị nào đó của (b1, b2, b3) Giả sử c1 ≥c2

≥P Điều đó có nghĩa là khi ta đổi cho giữa c1 và c2(c1 ≥

c2) thì giá trị của P tăng lên Do đó, nếu ta đổi chỗ tất cả các căp(ci, cj) sao cho ci ≥ cj với i < j thì tổng P chỉ có thể tăng lên Tổng

P lớn nhất ứng với trường hợp (c1, c2, c3) = (b1, b2, b3), nghĩa là ta có

max P =a1b1+a2b2+a3b3 =S

2 Chứng minhP ≥R.Lập luận tương tự như trên đối với hai bộ số tăng

là (a1, a2, a3)và (−b3,−b2,−b1)ta cóPmax =a1(−b3)+a2(−b2)+a3(−b1)

Do đó Pmin =a1b3+a2b2 +a3b1 =R

1.2.2 Các bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM

Bài toán 1.13 Cho a, b, c là chiều dài các cạnh của tam giác Chứngminh rằng

Cộng các bất đẳng thức này lại ta được bất đẳng thức theo yêu cầu Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a= b=c

Bài toán 1.14 Cho a, b, c là chiều dài các cạnh của tam giác Chứngminh rằng:

∑(a+b)(b+c)

√

a−b+c⩾4(a+b+c)

√(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

∑

(a+b)(b+c)

√(b+c−a)(c+a−b)

⩾4(a+b+c)theo bất đẳng thức AM −GM ta được

Nhân 2 bất đẳng thức này lại ta được

mà có thể đạt được bằng cách viết lại bất đẳng thức

a4+b4+c4−a2b2−a2c2−b2c2 ⩾0

và (1.17) được chứng minh Chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c.Khi đó tam giác ABC đều Cuối cùng (1.15) có được từ (1.16) và (1.17)

ta có điều phải chứng minh

Bài toán 1.16 [IMO 1964] Cho a, b, c là chiều dài các cạnh của tamgiác Chứng minh rằng

Từ đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Bài toán 1.17 Cho a, b, c là chiều dài các cạnh của tam giác Chứngminh rằng nếu

2(ab2 +bc2+ca2) =a2b+b2c+c2a+3abc

thì khi đó tam giác là đều

Lời giải Ta sẽ chỉ ra rằng

a2b+b2c+c2a+3abc⩾ 2(ab2 +bc2+ca2)với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b= c, nghĩa là tam giác là tam giácđều

Ta đặt a= x+y, b=y+z, c=z+x Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành

x3+y3 +z3+x2y +y2z+z2x⩾2(x2z+y2x+z2y)

∣⃗a.⃗b∣ ≤ ∣∣⃗a∣∣.∣∣⃗b∣∣ (1.21)Bài toán 1.18 Chứng minh bất đẳng thức

trong đó a, b, c là ba cạnh của một tam giác với a>c, b>c

Lời giải Xét hai véc tơ

√

c)2+ (√b−c)2

√(

Bài toán 1.19 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vibằng 1 Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1.20 Choa, b, c, d là độ dài các cạnh của một tứ giác lồi Chứngminh bất đẳng thức

S, S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, QM P, QEN và

Điều này tương đương với S = (

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải Đặt x= b+c−a, y = c+a−b, z =a+b−c Khi đó x, y, z> 0.Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Lời giải Cho x, y, z> 0 thỏa mãn a= x+y, b=y+z, c= z+x.

Khi đó bất đẳng thức trên tương đương với

3∑

√(x+y)(y+z) ⩾2( ∑

Nhận xét 1.2 Trong hai ví dụ trên ta đã sử dụng biến trung gian x, y, z

thay cho các biến a, b, c Kĩ thuật này được sử dụng nhiều khi chứng minhbất đẳng thức

Cho a, b, clà chiều dài các cạnh tam giác Khi đó tồn tại các số thực dương

Bất đẳng thức này đúng và do đó (1.27) được chứng minh

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c và m=n=t.

Nhận xét 1.3 Qua phép chứng minh trên ta có một số kết quả đặc biệtsau:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m=n=t>0

1.2.4 Các bài toán áp dụng bất đẳng thức sắp xếp lại

Bài toán 1.25 Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và

x, y, z là các số dương bất kỳ Chứng minh bất đẳng thức

3(a2yz+b2zx+c2xy) ≥ (a√yz+b√zx+c√xy)2 (1.28)Lời giải Xét các véc tơ ⃗u= (

√

yz,√zx,√xy), v⃗= (a, b, c) Theo bất đẳngthức Cauchy- Schwarz, ta có

(a√yz+b√zx+c√xy)2

≤ (yz+zx+xy)(a2 +b2+c2) (1.29)Mặt khác, theo bất đẳng thức sắp xếp lại, ta có

Bài toán 1.26 Trong tam giác ABC có các bất đẳng thức

√

(p−c)(p−a) +c

√(p−a)(p−b)]

a

1

a+

1b

1

b +

1c

1

c ≥

1a

1

b +

1b

1

c +

1c

1a

b

a

b +

bc

b

c +

ca

c

a ≥

ab

b

c +

bc

c

a +

ca

Bài toán 1.28 ( Bất đẳng thức Nesbitt mở rộng).Giả sử a, b, c là độ dàicác cạnh của tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

Chương 2

Phương pháp ứng dụng hàm lồi

Chương này trình bày khái niệm và các tính chất của hàm lồi và việc

sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức hình học, đặc biệt là bấtđẳng thức Jensen và bất đẳng thức Karamata liên quan đến hàm lồi Nộidung của chính của chương này được hình thành từ các tài liệu [2, ??, 12]

2.1 Khái niệm về hàm lồi và các tính chất cơ bảnĐịnh nghĩa 2.1 Hàm số thực f ∶ [a, b] → R gọi là hàm lồi trên khoảng[a, b] nếu với mọi x, y ∈ [a, b] và mọi λ∈ [0, 1], ta có

f(λx+ (1−λ)y) ⩽ λf(x) + (1−λ)f(y)

Nếu trong bất đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức nghiêm ngặt (chặt)thì khi đó ta nói f là hàm lồi thực sự Cho hàm f ta nói nó là hàm lõmnếu −f là hàm lồi

Nếu f được xác định trên R, nó có thể xảy ra trên một vài khoảng hàmnày là hàm lồi, nhưng trên khoảng khác nó là hàm lõm Vì lý do này tachỉ xét các hàm số xác định trên các khoảng

Các tính chất sau đây của các hàm lồi, lõm được suy ra trực tiếp từđịnh nghĩa

Tính chất 2.1 Nếu f(x) là hàm lồi (lõm) trên I(a, b) thì −f(x) là hàmlõm (lồi) trên I(a, b)

Tính chất 2.2 Nếu f(x) là hàm lồi trên I(a, b) và c = const, thì cf(x)

là hàm lồi, nếu c>0, là hàm lõm, nếu c< 0

Tính chất 2.3 Tổng hữu hạn các hàm lồi (lõm) trên I(a, b) là một hàmlồi (lõm) trên I(a, b)

Chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất sau đây của hàm lồi dướidạng các mệnh đề hay định lý