3 Phương pháp ứng dụng số phức
3.1.3 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy). Mỗi số phức z = x+yi tương ứng với điểm M(x, y). Tương ứng này là một song ánh
CÐ→R×R
z = (x+yi) z→M(x, y)
Khi đồng nhất C với (Oxy) qua việc đồng nhất z với M, mặt phẳng tọa độ với biểu diễn số phức như thế gọi là mặt phẳng phức.
Do mỗi số phức z tương ứng với một điểm M trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O. Nên ta có thể xem số phức này tương ứng với véctơ ÐÐ→OM trong mặt phẳng này.
Định nghĩa 3.2. Cho số phức z ≠0. Giả sử M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác α có tia đầuOxvà tia cuối OM gọi là một Argument của z và kí hiệu qua Arg(z). Góc α = ̂xOM , α∈ [−π, π] được gọi là argument của z và được kí hiệu bởi arg(z). Argument của số phức 0 là không định nghĩa.
Nếu α là một argument của z ≠ 0 thì mọi argument của z có dạng α +k2π, k ∈Z. Gọi r là độ dài vectơ ÐÐ→OM, khi đó r là một số thực không âm được gọi là môđun của số phức z, kí hiệu là ∣z∣. Do đó
∣z∣ =r = √
x2+y2 =√z.z.¯
Khi đó số phức z = x+yi có x = rcosα ; y = rsinα. Vì vậy khi z ≠ 0
thì có thể biểu diễn z = r(cosα+isinα). Biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của z.
Định lý 3.1. Với mỗi số phức z1, z2 có biểu diễn
z1 =r1(cosα1+isinα1), z2 = r2(cosα2+isinα2) , r1, r2 ≥0
ta luôn có 1. ∣z1z2∣ = ∣z1∣∣z2∣, ∣ z1 z2 ∣ = ∣z1∣ ∣z2∣ ;
2. ∣z1+z2∣ ≤ ∣z1∣ + ∣z2∣ (Bất đẳng thức tam giác cho số phức) 3. z1z2 =r1r2[cos(α1+α2) +isin(α1 +α2)] ; 4. z1 z2 = r1 r2
[cos(α1−α2) +isin(α1−α2)]khi r2 >0.
Tích vô hướng và tích lệch của hai số phức z1, z2 kí hiệu lần lượt là
<z1, z2 > và [z1, z2] được định nghĩa như sau :
<z1, z2 >= 1 2(z1z¯2+z¯1z2) [z1, z2] = 1 2(z1z¯2−z¯1z2).
Định lý 3.2. Nếu z1 = r1(cosα1 +isinα1) , z2 = r2(cosα2 +isinα2) với
r1, r2 ≥0 thì
1. <z1, z2 >=r1r2cos(α1−α2) = ∣z1∣∣z2∣cos(α1−α2);
2. < z1, z2 >=< z2, z1 >,<az1 +bz3, z2 >= a < z1, z2 > +b < z3, z2 > với mọi số phức z1, z2, z3 và mọi a, b∈R;
3. [z1, z2] =r1r2sin(α1−α2) = ∣z1∣∣z2∣sin(α2−α1) và [z1, z2] = −[z2, z1];
4. Với z1 = cosα1 +isinα1, z2 =cosα2+isinα2 ta có biểu diễn
z1−z2 =2isinα1−α2 2 (cos α1+α2 2 +isin α1+α2 2 ) ∣z1−z2∣ =2∣sinα1 −α2 2 ∣.
Dễ dàng kiểm tra được các kết quả của argument của số phức như sau :
z1 =z2 ⇔ ∣z1∣ = ∣z2∣, arg(z1) = arg(z2) +2kπ, k∈Z;
arg(z1z2) =arg(z1) +arg(z2) +2kπ, k ∈Z;
arg(
z1
z2) =arg(z1) −arg(z2) +2kπ, k ∈Z;
Arg(z1z2) =Arg(z1) +Arg(z2);
Arg(z1
z2) =Arg(z1) −Arg(z2).
Với một số phức bất kì biểu diễn dưới dạng lượng giác theo công thức nhân ở trên ta có kết quả sau
Định lý 3.3. Nếu z = r(cosα+isinα) thì với mỗi số nguyên dương n ta có
zn =rn[cos(nα) +isin(nα)] (3.2) Công thức (3.2) được gọi là công thức DeMoivre.
Hệ quả 3.1. Căn bậc n của một số phức z = r(cosα+isinα), z ≠ 0 là n
giá trị khác nhau zk =rn1 (cosα+2kπ
n +isin
α+2kπ
n ) với k =1,2, . . . , n.