Bài toán cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (LV00994)

LỜI CẢM ƠN Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Phương trình đạo hàm riêng, đến quá trình viết và bảo vệ luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơ n các thầy cô trong khoa To án, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, mùa hè năm 2013. Tác giả i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi dướ i sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, mùa hè năm 2013. Tác giả ii Bảng ký hiệu C(Ω) tập các hàm liên tục trên miền Ω C m (Ω) t ập các hàm khả vi cấp m trên miền Ω C m ( Ω) tập các hàm liên tục đều khả vi cấp m trên miền đóng Ω C ∞ (Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω C ∞ 0 (Ω) tập các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trên Ω D = (D 1 , D 2 , , D n ) D µ = D µ 1 1 D µ 2 2 D µ n n D k = −i ∂ ∂x k , i là đơn vị ảo L 2 (Ω) không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω S(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω sao cho (1 + |x|) k |D α u(x)| bị chặn với mọi k và α P (D) =  |µ|≤m a µ D µ , a µ ∈ C toán tử vi phân cấp m P (D) =  |µ|≤m a µ D µ , a µ ∈ C toán tử liên hợp với P(D) P (ξ) =  |µ|≤m a µ ξ µ , đa thức đặc trưng của toán tử P (D) P (k) (ξ) = ∂P (ξ) ∂ξ k , đạo hàm riêng của P (ξ) theo ξ k P (µ) (ξ) = ∂ |µ| P (ξ) ∂ξ µ 1 1 ∂ξ µ 2 2 ∂ξ µ n n đạo hàm cấp |µ| của P (ξ) R n không gian tọa độ thực n chiều R n+1 + = {(x, t) ∈ R n × R, t > 0} iii Ω = Ω 0 ∩ R n+1 + Ω 0 là một mi ền trong R n+1 chứa gốc tọa độ ∂ 0 Ω = ∂Ω 0 = {(x, t) ∈ R n × R, t = 0} µ = (µ 1 , µ 2 , , µ n ), µ k ∈ N, k = 1, n (kí hiệu đa chỉ số) |µ| = µ 1 + µ 2 + + µ n µ! = µ 1 !µ 2 ! µ n ! ξ = (ξ 1 , ξ 2 ξ n ) ξ µ = ξ µ 1 1 ξ µ 2 2 ξ µ n n iv Mục lục Mở đ ầu vi 1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 1 1.1 Đặt bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nghiệm yếu của bài t oán Cauchy . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . 9 2 Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 15 2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường . . 25 2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Cauchy là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng. N hiều vấn đề trong thực tiễn và công nghệ đưa tới việc giải bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Các kết quả cổ điển trước đây đối với bài toán Ca uchy được phát biểu trong Định lý Kovalevskaya nổi tiếng và chỉ được giới hạn trong l ớp hàm giải tích. Song nhiều bài toán đòi hỏi phải xét l ớp nghiệm yếu, tức là các ng hiệm không có tính khả vi thông thường. Nhưng việc mở rộng lớp nghiệm lại phải kéo theo việc hạn chế lớp phương trình được xét, đó là lớp phương trình hyperbolic. Vì vậy chúng tôi mạ nh dạn chọn đề tài cho luận văn t hạc sĩ của mình l à: “Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” 2. Mục đích nghiên cứu Mô tả lý thuyết nghiệm yếu đối với bài to án Cauchy cho lớp phương trình hyperbolic tuyến tính. vi 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy • Điều ki ện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy • Lớp phương trình hyper bolic • Sự tồn tại và duy nhất của nghi ệm yếu bài toán Cauchy 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nội dung chính của luận văn chủ yếu được trình bày dựa trên chương 4 của tài l iệu [5] trong mục tài liệu tham khảo. • Chương 1. Phát biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Trình bày khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Phát biểu và chứng minh định l ý về điều k iện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy. • Chương 2 . Trình bày một lớp con bao gồm các phương trình hyper- bolic theo biến t mà bài toán Cauchy tương ứng trong nửa khô ng gian t > 0 luôn có nghiệm yếu duy nhất. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu đối với bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm ri êng tuyến tính. vii 6. Giả thuyết khoa học Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic tuyến tính. viii Chương 1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng Trong chương này luận văn trình bày hai khá i niệm cơ bản, đó là bài toán Cauchy và nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Các khái niệm này được trình bày trong mục 1.1 và 1.2. Riêng trong mục cuối cùng sẽ trình bày về điều kiện cần và đủ để bài t oán Cauchy có nghiệm yếu. 1.1 Đặt bài toán Cauchy Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng P (D x , D t )u = f(x, t) (1.1) trong đó x = (x 1 , , x n ) ∈ R n , t ∈ R 1 và P (D x , D t ) =  |µ|+k≤m a µ,k D µ x D k t (1.2) trong đó D x = (D 1 , , D n ), D j = −i ∂ ∂x j , j = 1, n, D t = −i ∂ ∂t µ = (µ 1 , µ 2 , , µ n ), µ k ∈ N, k = 1, n, |µ| = µ 1 + µ 2 + + µ n và D µ x = D µ 1 1 D µ 2 2 D µ n n . Giả sử Ω 0 là một miền trong R n+1 chứa gốc tọa độ và Ω là giao của Ω 0 với nửa không gian t > 0. Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.1) trong Ω là tìm một hàm u(x, t) ∈ C m ( Ω), sao cho P (D x , D t )u = f(x, t) trong Ω (1.3) và D k t u(x, 0) = g k (x), 0 ≤ k < m, (x, 0) ∈ ∂ 0 Ω (1.4) trong đó ∂ 0 Ω = ∂Ω 0 = {(x, t) ∈ R n × R, t = 0} với f là một hàm cho trước trên Ω còn g k là các hàm cho trước trên ∂ 0 Ω. Ta sẽ nói rằng bài toán Cauchy (1.3) và (1.4) là đặt chỉnh nếu nó có nghiệm duy nhất với mỗi cách chọn f, g 0 , g 1 , , g n−1 đủ trơn và nghiệm này phụ thuộc liên tục và o các hàm nói tr ên. Ta cần có một nhận xét trước khi nghiên cứu bài toán này. Để các phương trình (1.3) và (1.4) không mâu thuẫn nhau thì điều quan trọng là hệ số của D m t trong ( 1.2) không triệt tiêu. Còn nếu hệ số này triệt tiêu thì khi đó từ các phương t rình (1.3),(1.4) ta suy ra m−1  k=0  |µ|≤m−k a µ,k D µ x g k (x) = f(x, 0). (1.5) 2 [...]... hiện trong các Nj u Do đó, nếu u thỏa mãn phương trình (1.9) thì Nj u = 0 trên ∂0 Ω với mỗi j, chứng tỏ rằng phương trình (1.14) đúng Ngược lại, nếu phương trình (1.14) đúng thì phương trình (1.24) cũng đúng và do đó phương trình (1.9) đúng Ta có định nghĩa nghiệm yếu Định nghĩa 1.2 Giả sử f (x) ∈ L2(Ω) Ta gọi hàm số u(x) ∈ L2(Ω) là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) nếu đẳng thức ∞ (1.14)... được định lí sau đây Định lý 1.1 Một hàm u ∈ C m(Ω) là một nghiệm của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn phương trình (1.14) Ta có thể thấy rằng Định lí 1.1 đúng với mọi f ∈ C(Ω) Thật vậy, nếu u là một nghiệm của phương trình (1.8) thì theo phương trình (1.22) m j−1 Nj uDt ϕdx (u, P (D)ϕ) − (f, ϕ) = i (1.26) j=1 ∂ Ω 0 m Mà trong phương trình (1.23) ta thấy rằng Dt u không... thể, chúng ta sẽ nói về điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy có nghiệm yếu Và chính vì điều kiện này nên lớp phương trình mà chúng ta đang xét bị thu hẹp, chỉ bao gồm các phương trình hyperbolic Trước hết, chúng ta có các định lí Định lý 1.2 Với mỗi hàm f ∈ L2(Ω), điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có nghiệm yếu là tồn tại C > 0 sao cho |(f, ϕ)| ≤ C P (D)ϕ ∞ ∀ϕ ∈ C0 (Ω0) (1.29)... ta hoàn thành chứng minh Chúng ta kết thúc mục này với khái niệm toán tử hyperbolic Định nghĩa 1.3 Toán tử P (D) thỏa mãn điều kiện (1.32) được gọi là toán tử hyperbolic theo trục t 14 Chương 2 Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất Xuất phát từ Định nghĩa 1.3 ta thấy ngay bổ đề sau Bổ đề 2.1 Toán tử P (D) là hyperbolic khi và chỉ khi P (D) là hyperbolic Từ... mục này với định nghĩa Định nghĩa 2.3 Một toán tử P (D) được gọi là hyperbolic tổng thể nếu phần chính của nó (tức là các số hạng có bậc cao nhất) là hyperbolic tổng thể Định lí 2.3 khẳng định rằng mọi toán tử hyperbolic tổng thể là hyperbolic 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường Trong mục này chúng ta xem xét một bài toán đối với các phương trình vi phân thường Giả sử P (τ ) là một... (v, w) = Ω 4 (1.15) Tóm lại, chúng ta thấy rằng, mọi nghiệm của bài toán (1.8) và (1.9) thỏa mãn phương trình (1.14) Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại Nếu u ∈ C m(Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) thì nó là một nghiệm của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) Để làm được điều đó chúng ta ∞ cần nhắc lại công thức tính tích phân từng phần, vì hàm ϕ ∈ C0 (Ω0) không nhất thiết triệt tiêu trên ∂0 Ω Với kí hiệu... mãn phương trình (1.14) với mọi ∞ ∞ ϕ ∈ C0 (Ω0) Đặc biệt, điều này đúng với mọi ϕ ∈ C0 (Ω) và do đó, u là một nghiệm của phương trình (1.8) Vì thế, phương trình (1.22) cho ta m j−1 Nj uDt ϕdx = 0 ∞ ϕ ∈ C0 (Ω0) (1.24) j=1 ∂ Ω 0 Ta khẳng định rằng phương trình (1.24) suy ra rằng Nj u = 0 1≤j≤m (1.25) trên ∂0Ω Chúng ta để lại chứng minh của khẳng định này đến cuối mục này Bây giờ chúng ta chú ý rằng phương. .. Xét bài toán sau P (Dt )u(t) = f (t) k Dt u(D) = gk (2.33) t≥0 0≤k . Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 15 2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường . . 25 2.3 Nghiệm của bài toán. biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Trình bày khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Phát biểu và chứng minh định l ý về điều k iện cần và đủ cho. đạo hàm ri êng tuyến tính. vii 6. Giả thuyết khoa học Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic tuyến tính. viii Chương 1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương