Bài toán cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (LV00994)

Nhiều vấn đề trong thực tiễn và công nghệ đưa tớiviệc giải bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.Các kết quả cổ điển trước đây đối với bài toán Cauchy được phát biểut

LỜI CẢM ƠN

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến ngườithầy, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS TS Hà Tiến Ngoạn.Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngàyđầu làm quen với Phương trình đạo hàm riêng, đến quá trình viết vàbảo vệ luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giảitích đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong mộtmôi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đãđộng viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu

Hà Nội, mùa hè năm 2013

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu khoa học củariêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, mùa hè năm 2013

Tác giả

L2(Ω) không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω

S(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω sao cho

(1 + |x|)k|Dαu(x)| bị chặn với mọi k và α

aµξµ, đa thức đặc trưng của toán tử P (D)

P(k)(ξ) = ∂P∂ξ(ξ)k , đạo hàm riêng của P (ξ) theo ξk

P(µ)(ξ) = ∂ξµ1∂|µ|P(ξ)

1 ∂ξ 2µ2 ∂ξ nµn đạo hàm cấp |µ| của P (ξ)

Rn không gian tọa độ thực n chiều

Rn+1+ = {(x, t) ∈ Rn × R, t > 0}

2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất 152.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 252.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 31

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán Cauchy là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết Phươngtrình đạo hàm riêng Nhiều vấn đề trong thực tiễn và công nghệ đưa tớiviệc giải bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.Các kết quả cổ điển trước đây đối với bài toán Cauchy được phát biểutrong Định lý Kovalevskaya nổi tiếng và chỉ được giới hạn trong lớphàm giải tích Song nhiều bài toán đòi hỏi phải xét lớp nghiệm yếu, tức

là các nghiệm không có tính khả vi thông thường Nhưng việc mở rộnglớp nghiệm lại phải kéo theo việc hạn chế lớp phương trình được xét,

đó là lớp phương trình hyperbolic Vì vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đềtài cho luận văn thạc sĩ của mình là:

“Bài toán Cauchy cho phương trình

đạo hàm riêng tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả lý thuyết nghiệm yếu đối với bài toán Cauchy cho lớp phươngtrình hyperbolic tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy

• Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy

• Lớp phương trình hyperbolic

• Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu bài toán Cauchy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn chủ yếu được trình bày dựa trên chương

4 của tài liệu [5] trong mục tài liệu tham khảo

• Chương 1 Phát biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàmriêng tuyến tính với hệ số hằng Trình bày khái niệm nghiệm yếucủa bài toán Cauchy Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiệncần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy

• Chương 2 Trình bày một lớp con bao gồm các phương trình bolic theo biến t mà bài toán Cauchy tương ứng trong nửa khônggian t > 0 luôn có nghiệm yếu duy nhất

hyper-5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu đối vớibài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

6 Giả thuyết khoa học

Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phươngtrình hyperbolic tuyến tính

sẽ trình bày về điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy có nghiệm yếu.

1.1 Đặt bài toán Cauchy

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng

trong đó

x = (x1, , xn) ∈ Rn, t ∈ R

P (Dx, Dt) = X

|µ|+k≤m

aµ,kDxµDkt (1.2)trong đó

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.1) trong Ω là tìm một hàmu(x, t) ∈ Cm(Ω), sao cho

P (Dx, Dt)u = f (x, t) trong Ω (1.3)và

Dtku(x, 0) = gk(x), 0 ≤ k < m, (x, 0) ∈ ∂0Ω (1.4)trong đó ∂0Ω = ∂Ω0 = {(x, t) ∈ Rn × R, t = 0} với f là một hàm chotrước trên Ω còn gk là các hàm cho trước trên ∂0Ω

Ta sẽ nói rằng bài toán Cauchy (1.3) và (1.4) là đặt chỉnh nếu nó cónghiệm duy nhất với mỗi cách chọn f, g0, g1, , gn−1 đủ trơn và nghiệmnày phụ thuộc liên tục vào các hàm nói trên

Ta cần có một nhận xét trước khi nghiên cứu bài toán này Để cácphương trình (1.3) và (1.4) không mâu thuẫn nhau thì điều quan trọng

Do đó chúng ta phải thu hẹp lớp các hàm số gk Vì ta muốn có nghiệmcho mọi sự lựa chọn của gk (thỏa mãn điều kiện khả vi) nên cần tránhđược tình huống này Do đó ta giả sử rằng

a(0, ,0),m 6= 0 (1.6)Chúng ta mô tả điều này bằng cách nói rằng siêu phẳng t = 0 không

là mặt đặc trưng của toán tử (1.2)

1.2 Nghiệm yếu của bài toán Cauchy

Trước hết chúng ta có khái niệm nghiệm yếu được xuất phát từcông thức tích phân từng phần

Định nghĩa 1.1 Một hàm u ∈ L2(Ω) được gọi là một nghiệm yếucủa phương trình 1.1 nếu nó thỏa mãn

0 (Ω) Do đó, bài toán của chúng

ta bây giờ có dạng như sau

trong Ω và

Dktu(x, 0) = 0, 0 ≤ k < m (1.9)trên ∂0Ω

Ta có một nhận xét đơn giản Vì f ∈ C∞

0 (Ω) nên ta có thể mở rộng

là f triệt tiêu trong Ω0\Ω (phần của Ω0 nằm trong nửa không gian

t ≤ 0.) Hàm mở rộng f1 này rõ ràng thuộc C∞

0 (Ω0) Bây giờ giả sử

u ∈ C∞(Ω) là một nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) Để ýrằng nếu ta mở rộng hàm u triệt tiêu trên Ω0\Ω khi đó hàm mở rộng

u1 thuộc Cm(Ω0) Ta khẳng định như vậy vì mọi đạo hàm Dtku với

0 ≤ k < m liên tục trên ∂0Ω Hơn nữa, vì

a(0, ,0),m 6= 0 (1.11)

ta thấy rằng Dm

t u(x, 0) = 0 trên ∂0Ω (nhắc lại rằng f cũng triệt tiêu

ở đây) Vì cả f1 và u1 đều triệt tiêu trong Ω0\Ω, ta suy ra rằng u1 lànghiệm của

(v, w) =

Z

Ω

Tóm lại, chúng ta thấy rằng, mọi nghiệm của bài toán (1.8) và (1.9)thỏa mãn phương trình (1.14) Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại.Nếu u ∈ Cm(Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) thì nó là một nghiệmcủa các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) Để làm được điều đó chúng tacần nhắc lại công thức tính tích phân từng phần, vì hàm ϕ ∈ C∞

0 (Ω0)không nhất thiết triệt tiêu trên ∂0Ω

Với kí hiệu đang sử dụng thì công thức tích phân từng phần củachúng ta có dạng

trong đó γk là cosin của góc giữa trục xk với hướng ngoài chuẩn của

∂Ω Kí hiệu ∂1Ω là phần của ∂Ω không nằm trong siêu phẳng t = 0.Nếu h triệt tiêu gần ∂1Ω thì phương trình (1.16) trở thành

với w ∈ Ck(Ω) và ϕ ∈ C0∞(Ω0) Bây giờ chúng ta áp dụng các côngthức này vào biểu thức (P (D)u, ϕ) với u ∈ Cm(Ω) và ϕ ∈ C0∞(Ω0) Tađược

Nmu = au

a 6= 0 (theo (1.11)), Nmu = 0 trên ∂0Ω suy ra u = 0 trên ∂0Ω và ngượclại, Nm−1u = 0 suy ra Dtu = 0, Do đó, ta đã chứng minh được định

lí sau đây

Định lý 1.1 Một hàm u ∈ Cm(Ω) là một nghiệm của các bài toánCauchy (1.8) và (1.9) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn phương trình (1.14)

Ta có thể thấy rằng Định lí 1.1 đúng với mọi f ∈ C(Ω) Thật vậy, nếu

u là một nghiệm của phương trình (1.8) thì theo phương trình (1.22)

Mà trong phương trình (1.23) ta thấy rằng Dm

t u không xuất hiện trongcác Nju Do đó, nếu u thỏa mãn phương trình (1.9) thì Nju = 0 trên

∂0Ω với mỗi j, chứng tỏ rằng phương trình (1.14) đúng Ngược lại, nếuphương trình (1.14) đúng thì phương trình (1.24) cũng đúng và do đóphương trình (1.9) đúng

Ta có định nghĩa nghiệm yếu

Định nghĩa 1.2 Giả sử f(x) ∈ L2(Ω) Ta gọi hàm số u(x) ∈ L2(Ω)

là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) nếu đẳng thức(1.14) được thỏa mãn với mọi ϕ(x) ∈ C∞

Bổ đề 1.1 Nếu w1(x), , wm(x) là các hàm liên tục trên ∂0Ω và

Chứng minh Giả sử với j nào đó và với x0 ∈ ∂0Ω nào đó wj(x0) 6= 0

Ta có thể giả sử rằng Re wj(x0) > 0 Do tính liên tục nên tồn tại lâncận N của x0 sao cho Re wj(x) > 0 với x ∈ N Khi đó, tồn tại các hằng

số dương r, b sao cho khối trụ

0 ≤ ψ(x) ≤ 1 x ∈ ∂0Ω

và lấy ρ(t) là một hàm trong C∞

0 (R1) thỏa mãnρ(t) = 1 |t| ≤ bρ(t) = 0 |t| ≥ 2bĐặt

chứng tỏ rằng hàm này là dương trong |x − x0| < r, không âm trong

N và triệt tiêu bên ngoài N Do đó, ta phải có

ReZ

∂ 0 Ω

wj(x)Dj−1t ϕ(x, 0)dx > 0 (1.28)

Nhưng điều này là không thể vì vế trái của (1.28) bằng phần thực của

vế trái của (1.27) với cách chọn ϕ như vậy Bổ để được chứng minh

1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

yếu

Trong mục này chúng ta sẽ làm sáng tỏ hơn về các nghiệm yếu củacác bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) Cụ thể, chúng ta sẽ nói về điều kiệncần và đủ để bài toán Cauchy có nghiệm yếu Và chính vì điều kiệnnày nên lớp phương trình mà chúng ta đang xét bị thu hẹp, chỉ baogồm các phương trình hyperbolic

Trước hết, chúng ta có các định lí

Định lý 1.2 Với mỗi hàm f ∈ L2(Ω), điều kiện cần và đủ để các bàitoán Cauchy (1.8) và (1.9) có nghiệm yếu là tồn tại C > 0 sao cho

|(f, ϕ)| ≤ C P (D)ϕ ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0) (1.29)Thêm nữa, ta có

Định lý 1.3 Điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và(1.9) có nghiệm yếu với mọi f ∈ L2(Ω) là tồn tại C > 0 sao cho

Chứng minh Điều kiện đủ là rõ ràng, vì từ (1.30), với mỗi f ∈ L2(Ω),

|(f, ϕ)| ≤ kf k kϕk ≤ kf k C P (D)ϕtheo bất đẳng thức Schwarz Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử bấtđẳng thức (1.29) đúng với mỗi f ∈ L2(Ω) Nếu (1.30) không đúng, khi

đó sẽ tồn tại một dãy hàm {ϕk} trong C∞

sup

k

|Fk(f )| < ∞Theo định lí Banach-Steinhaus, sẽ tồn tại một hằng số C sao cho

Đặc biệt, ta biết rằng với mỗi miền Ω0 ⊂ Rn+1 các bài toán Cauchy(1.8) và (1.9) có một nghiệm yếu với mỗi f ∈ L2(Ω) nếu và chỉ nếu bấtđẳng thức (1.30) đúng Một câu hỏi tự nhiên là phải có điều kiện gì đểtoán tử P (D) thỏa mãn (1.30)? Định lí sau đây sẽ cho chúng ta câutrả lời

Định lý 1.4 Nếu Ω chứa một dải có dạng 0 < t < 2b, b > 0 và P (D)thỏa mãn (1.30), thì tồn tại một hằng số K, sao cho

ρ(t) = 0 |t| ≥ 2bvà

0 ≤ ρ(t) ≤ 1 |t| ≤ 2bĐặt

ϕε(x, t) = ψ(εx)ρ(t)ei(x,ξ)+itτ (1.33)

Ta có thể lấy Ω0 chứa dải |t| ≤ 2b Trong trường hợp này ϕε ∈ C0∞(Ω0)

và do đó bất đẳng thức (1.30) được giả thiết là đúng với nó Như vậy,

P (D)ϕε= P

µ+k>0

1µ!k!P

(µ,k)

(ξ, τ )Dxµψ(εx)Dktρ(t),trong đó,

P

1 − e2b Im τ ≤ C5(1 + |ξ| + |τ |)2m(e2b Im τ − e4b Im τ)chứng tỏ

1 ≤ C6(1 + |ξ| + |τ |)2me2b Im τ

Do đó,

| Im τ | ≤ 1

2b[ln C6 + 2m ln(1 + |ξ| + |τ |)] (1.35)

Vì τ phụ thuộc đại số vào ξ nên Im τ phụ thuộc đại số vào ξ và Re τ

Do đó, nếu Im τ không bị chặn khi |ξ|2

+ (Re τ )2 → ∞, nó sẽ dần tới vôcùng như một lũy thừa của |ξ|2

+ (Re τ )2 Khả năng này bị loại trừ nhờ(1.35) Do đó, (1.32) được chứng minh với Im τ ≤ 0 Để chứng minh

nó với Im τ > 0 ta phải viết P (ξ, τ) dưới dạng

P (ξ, τ ) = aτm + a1(ξ)τm−1+ + am(ξ) (1.36)trong đó aj(ξ) là đa thức biến ξ và có bậc không lớn hơn j Khi đó,theo định lí cơ bản của đại số, với mỗi ξ có m nghiệm τ1, , τm của

Im a1(ξ)

a = C8

Vì vậy, với mỗi k

Im τk = C8 −X

j6=k

Im τj ≤ C8 + (m − 1)K

Chúng ta hoàn thành chứng minh

Chúng ta kết thúc mục này với khái niệm toán tử hyperbolic

Định nghĩa 1.3 Toán tử P (D) thỏa mãn điều kiện (1.32) được gọi làtoán tử hyperbolic theo trục t

Chương 2

Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic

2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất

Xuất phát từ Định nghĩa 1.3 ta thấy ngay bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Toán tử P (D) là hyperbolic khi và chỉ khi P (D) là bolic

Chứng minh Phát biểu cuối cùng suy ra từ định nghĩa toán tử bolic Để chứng minh p(ξ, τ) chỉ có nghiệm thực ta giả sử ξ thực vàp(ξ, τ ) = 0 với Im τ = c > 0 Khi đó

với z nằm trên Γ Theo định lí Rouché’s và phương trình (2.2) chúng

ta thấy rằng P (λξ, λz)/λm có ít nhất một nghiệm bên trong Γ Gọinghiệm này là σ Theo định nghĩa của tính hyperbolic, ta có

|Im λσ| ≤ Khay

|Im σ| ≤ K

λMặt khác, vì σ nằm trong đường tròn nên

Cho λ → ∞ ta nhận được mâu thuẫn, chứng tỏ rằng không thể có

Im τ > 0 Lập luận tương tự với trường hợp Im τ < 0 ta cũng dẫn đếnmâu thuẫn Định lí hoàn toàn được chứng minh

Từ định lí này ta suy ra một cách trực tiếp hệ quả sau

Hệ quả 2.1 Một đa thức thuần nhất P (D) là hyperbolic theo t nếu vàchỉ nếu điều kiện (1.11) được thỏa mãn và phương trình P (ξ, τ) = 0chỉ có các nghiệm thực theo τ khi ξ thực

Tiếp theo, chúng ta có một tiêu chuẩn hữu ích cho bởi định líĐịnh lý 2.2 Nếu phần chính p(D) của P (D) là hyperbolic và P (D) −p(D) là yếu hơn p(D) thì P (D) là hyperbolic

Trước khi chứng minh Định lí 2.2 chúng ta trình bày một ứng dụngquan trọng Chúng ta bắt đầu với các khái niệm sau

Định nghĩa 2.1 Một đa thức Q(ξ) được gọi là yếu hơn một đa thức

P (ξ) nếu tồn tại một hằng số C sao cho

|Q(ξ)| ≤ C X

µ

P

(µ)(ξ)

Định nghĩa 2.2 Một toán tử thuần nhất p(D) bậc m được gọi làhyperbolic tổng thể nếu p(ξ, τ) có m nghiệm thực riêng biệt τ với mỗi

ξ 6= 0 thực

Sự quan trọng của khái niệm xuất phát từ định lí

Định lý 2.3 Nếu p(D) là hyperbolic tổng thể bậc m và Q(D) là mộttoán tử nào đó có bậc nhỏ hơn m, thì P (D) = p(D) + Q(D) là mộttoán tử hyperbolic

X

1

vì p(µ)(ξ) là thuần nhất Điều này chứng tỏ rằng Qj(ξ) yếu hơn p(ξ).Bây giờ chúng ta đã chuẩn bị xong cho việc chứng minh Định lí 2.2,Chứng minh (Chứng minh của Định lí 2.2) Ở đây chúng ta chỉ cần chỉ

ra rằng tồn tại một số δ > 0 sao cho

ξ, η ∈ Rn ζ, τ ∈ C |ζ| + |τ | < δ (2.18)suy ra

p(ξ + ζ, η + i + τ ) 6= 0Với giả thiết (2.18) đúng Khi đó, theo bổ đề 2.2

|p(ξ + ζ, η + i + τ )| ≤ 2m|p(ξ, η + i)| |ζ| + |τ | < δ (2.19)Khi đó, tồn tại một tập hữu hạn các véc-tơ thực (ζ(k), τ(k)), thỏa mãn

|pk(ξ, η + i)| ≤ C |p(ξ, η + i)| 0 ≤ k < m (2.21)Khi đó, nếu λ thực

≤ |λ|kC

|P (ξ, τ ) − p(ξ, τ )| ≤ mC |p(ξ, τ )|

|Im τ | |Im τ | ≥ 1Đặc biệt,

Phần còn lại chúng ta chỉ cần chứng minh (2.18) Trong chứng minhnày chúng ta sẽ sử dụng kết quả quan trọng sau

Chúng ta tạm thời sử dụng bổ đề này và phần chứng minh sẽ đượctrình bày phía sau Trước tiên chú ý rằng, nếu gộp Re ζ và ξ và Re τvào η, (2.18) được suy ra từ



trong đó ξ, η, θ, λ thực và |θ| + |λ| < δ không có nghiệm thực z với

Im τ > 0 Hơn nữa, hệ số của zm trong (2.29) là p θ, λ + 1

ta mong muốn.

Để chỉ ra rằng, tồn tại τ nào đó thỏa mãn Im τ > 0 sao cho mọinghiệm của (2.29) đều có phần ảo âm, ta đặt τ = iρ và giả sử z là mộtnghiệm nào đó của phương trình (2.29)

Nếu ta đặt σ = z/ρ, khi đó σ là một nghiệm của



= 0Khi đó, phương trình này dần tới



khi ρ → ∞ và do đó σ dần tới một nghiệm của phương trình (2.30) khi

ρ → ∞ (Bổ đề 2.5) Nhưng σ nào đó thỏa mãn (2.30) thì thỏa mãn



= 0

Do đó i/σ phải âm vì (2.28) chỉ có nghiệm âm Điều này chứng tỏ rằng

Im z → −∞ khi ρ → ∞ với τ = iρ Vì z là nghiệm của (2.29), ta suy

ra rằng nó có phần ảo âm với τ = iρ và ρ đủ lớn Như vậy, định lí hoàntoàn được chứng minh

Như đã nói ở trên, bây giờ chúng ta còn phải chứng minh Bổ đề2.5

Chứng minh (Chứng minh của Bổ đề 2.5) Giả sử P (ξ0, z(ξ0)) = 0 Lấy

ε > 0 sao cho P (ξ0, z) 6= 0 với |z − z(ξ0)| = ε (vì có nhiều nhất m − 1nghiệm khác nên điều này đúng với mọi ε > 0 trừ tại nhiều nhất m − 1giá trị) Lấy Γ là một đường tròn với tâm là z(ξ0) và bán kính ε Vì

P (ξ0, z) 6= 0 trên Γ nên tồn tại δ > 0 sao cho |P (ξ0, z)| ≥ δ trên Γ Đặt

M = max

z∈Γ |z|

... 2

Bài tốn Cauchy cho phương trình hyperbolic

2.1 Tốn tử hyperbolic tính chất

Xuất phát từ Định nghĩa 1.3 ta thấy bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Toán tử P (D)... thỏa mãn Im τ > cho mọinghiệm (2.29) có phần ảo âm, ta đặt τ = iρ giả sử z mộtnghiệm phương trình (2.29)

Nếu ta đặt σ = z/ρ, σ nghiệm



= 0Khi đó, phương trình dần tới

... cuối suy từ định nghĩa toán tử bolic Để chứng minh p(ξ, τ) có nghiệm thực ta giả sử ξ thực vàp(ξ, τ ) = với Im τ = c > Khi đó

với z nằm Γ Theo định lí Rouché’s phương trình (2.2) chúng

ta