trình hyperbolic
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm
Sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu trong định lí sau đây
Định lý 2.4. Giả sử P(D) là hyperbolic và cho f là một hàm thuộc
S(Ω). Khi đó tồn tại một hàm u ∈ S(Ω) là nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9).
Chứng minh. Gọi F là biến đổi Fourier theo các biến x1, ..., xn. Giả sử các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có một nghiệm u ∈ S(Ω). Khi đó
u(x, t) ∈ S(Rn) với mỗi t cố định. Đặt
h(ξ, t) =F u(ξ, t) ta có
P(ξ, Dt)h(ξ, t) = F f(ξ, t) t≥ 0 ξ ∈ Rn (2.57)
Với mỗi ξ cố định, đây là bài toán về phương trình vi phân thường mà chúng ta đã nghiên cứu trong mục trước. Chú ý rằng hệ số của Dm t
trong P(D) là một hằng số không triệt tiêu độc lập với ξ. Ta có thể lấy nó bằng 1. Theo các kết quả đã trình bày trong mục 2.2 thì một nghiệm của (2.57) và (2.58) được cho bởi
h(ξ, t) = i t Z 0 F f(ξ, t)w(ξ, t−s)ds (2.59) trong đó w(ξ, t) = 1 2πi I Γ eitz P(ξ, z)dz (2.60) và Γ là đường cong đóng đơn trong mặt phẳng phức chứa các nghiệm của P(ξ, z) bên trong. Nếu ta có thể chứng tỏ rằng h(ξ, z) ∈ S(Ω) thì sẽ suy ra u(x, t) cũng thuộc S(Ω). Hơn nữa, một ứng dụng của dạng biến đổi Fourier ngược của các phương trình (2.57) và (2.58) sẽ cho thấy rằng u là một nghiệm của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9).
Do đó, ta chỉ còn phải chứng minh h ∈ S(Ω). Ta lấy Γ là đường tròn đã được mô tả trong mục 2.2. Vì
Dktw(ξ, t) = 1 2πi I Γ zkeitz P(ξ, z)dz theo phương trình (2.46), ta có Dktw(ξ, t) ≤ C(1 +|ξ|)2ket(K+1) theo phương trình (2.52).
Ta biết rằng hệ số của zm−j trong P(ξ, z) là một đa thức biến ξ có bậc không lớn hơn j. Do đó, nó bị chặn bởi một hằng số nhân với (1 +|ξ|)j. Như vậy, sẽ dễ dàng thấy rằng
Dµξ 1 P(ξ, z) = Qµ(ξ, z) P(ξ, z)|µ|+1 (2.61)
trong đó Qµ là một đa thức bậc không lớn hơn (m−1)|µ|. Do đó, mỗi đạo hàm DξµDk tw(ξ, t) là tổng của các số hạng có dạng Cξν I Γ zj+keitz P(ξ, z)|µ|+1dz
trong đó |ν|+j ≤(m−1)|µ|. Như vậy, P(ξ, z)r thỏa mãn mọi giả thiết củaP(ξ, t). Do đó, ta có thể áp dụng phương trình (2.52) để nhận được biểu thức trên. Điều này dẫn tới
DµξDtkw(ξ, t)
≤ C(1 +|ξ|)2(m−1)|µ|+2ket(K+1) (2.62) Vìf ∈ S(Ω)nênF f cũng đúng. Do đó, với mỗi j, k, µ tồn tại một hằng số C sao cho DξµDtkF f(ξ, t) ≤ C (1 +|ξ|)j. Từ phương trình (2.55), ta có DξµDtkh(ξ, t) = k P j=m Dµξ Dtk−jF f(ξ, t)Dtj−1w(ξ,0)+ +iDξµ t R 0 F f(ξ, t)Dktw(ξ, t−s)ds
Áp dụng hai bất đẳng thức cuối cùng ta được
DµξDkth(ξ, t)
≤ C
(1 +|ξ|)j
với mỗi j, k và µ. Điều này chứng tỏ rằng h ∈ S(Ω)
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh một định lí liên quan đến các nghiệm yếu
Định lý 2.5. Nếu P(D) là toán tử hyperbolic thì các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có một nghiệm yếu với mỗi f ∈ L2(Ω).
Chứng minh của định lí (2.5) cần sử dụng bổ đề sau
Bổ đề 2.6. Không gian C0∞(Ω) trù mật trong L2(Ω).
Chúng ta tạm thời sử dụng bổ đề này để chứng minh định lí (2.5). Chứng minh. Giả sử f là một hàm nào đó trong L2(Ω). Khi đó, tồn tại một dãy {fk} các hàm trong C0∞(Ω) hội tụ về f thuộc L2(Ω). Theo định lí (2.4), với mỗifk, tồn tại một nghiệmuk của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) thỏa mãn
kukk ≤ C kfkk k = 1,2, ... (2.63) Đặc biệt, uk là một nghiệm yếu và thỏa mãn
(uk, P(D)ϕ) = (fk, ϕ) ϕ∈ C0∞(Ω0) (2.64) Vì fk hội tụ tới f nên kfkk bị chặn và do đó, theo (2.63) thì kukk cũng bị chặn. Như vậy, sẽ tồn tại một dãy con (cũng kí hiệu bởi {uk}) hội tụ yếu đến một hàm u ∈ L2(Ω). Trong phương trình (1.11), cho k → ∞
ta được
(u, P(D)ϕ) = (f, ϕ) ϕ ∈ C0∞(Ω0) (2.65) chứng tỏ rằng u là một nghiệm yếu của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9).
Bây giờ chúng ta có thể phát biểu định lí đảo của Định lí 1.4.
Định lý 2.6. Nếu P(D) là hyperbolic thì bất đẳng thức (1.30) đúng khi
kϕk ≤ C kP(D)ϕk ϕ ∈ C0∞(Ω0) (2.66) trong đó, hằng số C chỉ phụ thuộc vào P(D) và b.
Chứng minh. Theo Định lí 2.5, các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có một nghiệm yếu với mỗi f ∈ L2(Ω). Do đó, (1.30) đúng theo Định lí 1.3. Bất đẳng thức (2.66) suy ra bằng lập luận tương tự áp dụng cho
P(D), vì P(D) cũng là hyperbolic theo Bổ đề 2.1. Bây giờ chúng ta trở lại chứng minh Bổ đề 2.6.
Chứng minh. (Chứng minh của Bổ đề 2.6) Giả sử Ω là một miền nào đó trong Rn và giả sử u là một hàm nào đó thuộc L2(Ω). Định nghĩa
u đồng nhất 0 bên ngoài Ω. Do đó, u ∈ L2(Rn). Với ε > 0 bất kì ta có thể tìm một hàm w ∈ C0∞(Rn)∩L2(Rn), sao cho
ku−wk< ε
2 (2.67)
Như vậy, sẽ tồn tại một miền bị chặn Ω1 với Ω1 ⊂ Ω sao cho
Z
Ω−Ω1
|w|2dx < ε
2
4 (2.68)
Hơn nữa, tồn tại một ψ ∈ C∞
0 sao cho 0≤ ψ(x) ≤1 x ∈ Ω (2.69) và ψ(x) = 1 với x ∈ Ω1. Khi đó, ϕ = ψw ∈ C0∞(Ω) và ku−ϕk ≤ ku−wk+kw −ϕk < ε 2 + Z Ω−Ω1 |(1−ψ)w|2dx 1 2 < ε Bổ đề được chứng minh.
Trước khi kết thúc tiểu mục này chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện giải được bài toàn
trong Ω.
Dtku(x,0) =gk(x) 0≤ k < m (2.71) trên ∂0Ω.
Định lý 2.7. Giả sử P(D) là hyperbolic. Khi đó, với mỗi f ∈ S(Rn+1) và mỗi tập các hàm g0, ..., gm−1 ∈ S(Rn) tồn tại một nghiệm u ∈
C∞(Ω)∩L2(Ω) của các phương trình (2.70),(2.71) thỏa mãn (2.57). Chứng minh. Định lí 2.7 suy ra từ Định lí 2.4 và nhận xét đơn giản rằng có thể tìm được một w ∈ S(Rn+1), sao cho
Dtkw(x,0) = gk(x) 0≤ k < m (2.72) trên ∂0Ω.
Có w, chúng ta chỉ đơn thuần giải bài toán
P(D)v = f −P(D)w (2.73) trong Ω.
Dtkv(x,0) = 0 0 ≤k < m (2.74) trên ∂0Ω
Điều này thực hiện được nhờ Định lí 2.4. Rất đơn giản để kiểm tra rằng u = v +w là một nghiệm của các phương trình (2.70) và (2.71).
Để tìm được một w thỏa mãn phương trình (2.72), lấy ρ(t) là một hàm thuộc C0∞(R1) với ρ(t) = 1 trong một lân cận của t = 0. Khi đó, đặt w(x, t) = ρ(t) m−1 X k=0 1 k!t k gk(x). (2.75) Đây chính là hàm mà có các tính chất như chúng ta mong muốn.