Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

B G I O D C V O TO TR NG I HC s P H M H NI PH M TH HNG BI TON CAUCHY CHO H PHNG TRèNH HYPERBOLIC CP MT LUN VN THC s TON HC H NI, 2015 B G I O D C V O TO T R N G I HC s P H M H NI P H M TH H N G BI TON CAUCHY CHO H PHNG TRèNH HYPERBOLIC CP MT Chuyờn ngnh : Toỏn gii tớch Mó so : 60 46 01 02 LU N VN TH C s T O N HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS H TIEN NGON H N I , 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS TS H Tin Ngon, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó c v, ng viờn tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi P hm Th Hng Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PGS TS H Tin Ngon, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti: " B i to ỏ n C a u c h y cho h p h n g t r ỡ n h hyperbolic cp m t " c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi P hm Th Hng M c lc M u 1 Cỏc kin th c chun b 1.1 Mt s khng gian hm 1.1.1 Khng gian L 1.1.2 Khng gian 1.1.3 Khng gian Sobolev w 2m 1.1.4 Khng gian cm(\a,b] ,E) 1.1.5 Khng gian s? v y 1.2 Bin i Fourier 1.2.1 Bin i Fourier khng gian Schwartz ? 1.2.2 Bin i Fourier khng gian L 1.2.3 Bin i Fourier khng gian y 1.3 Toỏn t lm t r n 1.4 Toỏn t gi vi phõn v toỏn t tớch phõn kỡ d 1.5 Khỏi nim na n h ú m 1.5.1 Na nhúm 1.5.2 Toỏn t sinh ca, na n h ú m 1.5.3 Phng trỡnh vi phõn khụng gian Banach 1.5.4 nh lý Hille-Yosida 3 3 4 5 7 10 10 10 11 11 H phng trỡnh hyperbolic vi h s bin th iờn v khụng ph thu c thi gian 2.1 H phng trỡnh hyperbolic tuyn tớnh cp mt 2.1.1 inh ngha 2.1.2 iu kin cn cho tớnh hyperbolic mnh 2.1.3 Cỏc iu kin cho tớnh hyperbolic mnh 2.2 Bt ng thc nng lng L i vi h i xng 15 15 15 17 19 23 2.2.1 Trng hp o hm theo t ca nghim l bỡnh _ I I 2.3 2.4 ? phng kh tớch 2.2.2 Trng hp o lm theo t ca nghim khng bỡnh phng kh tớch Bi toỏn Cach cho h phng trỡnh i xng vi o hm theo t ca nghim thc c ([0, T] , L2) 2.3.1 Cỏc tớnh cht ca toỏn t A 2.3.2 Bt ng thc nng lng j_ 2.3.3 nh l tn ti d nht nghim vi o hm theo t ca nghim thc c([0,T\ , L 2) Bi toỏn Cachy cho h phng trỡnh i xng vi o hm theo t ca nghim thc c ([0, T] , Wg) 2.4.1 Cỏc tớnh cht ca toỏn t ỡ 2.4.2 Bt ng thc nng lng 2.4.3 nh l tn ti d nht nghim vi o hm theo t ca nghim thuc c ([0, T] , W j) 23 25 28 28 31 31 32 32 36 37 K t lun 39 Ti liu tham kho 40 M u Lớ chn t i H phng trỡnh hyperbolic tuyn tớnh cp mt l mt cỏc h phng trỡnh c bn ca lý thuyt phng trỡnh o hm riờng vỡ nú mụ t cỏc quỏ trỡnh truyn súng khỏc Song bi toỏn Cauchy i vi h phng trỡnh loi ny thng ch c xột trng hp vi hai bin c lp Trng hp vi s bin bt k, bi toỏn Cauchy thng c xột vi gi thit h l i xng v cỏc h s ca h phng trỡnh l hng s hoc khụng ph thuc bin thi gian t Vic tng quan lý thuyt trờn l cn thit cú th cú cỏch tip cn thng nht gia cỏc trng hp khỏc B cc lun gm hai chng Trong chng trỡnh by mt s kin thc chun b: mt s khụng gian hm, bin i Fourier, toỏn t lm trn, toỏn t tớch phõn kỡ d, khỏi nim na nhúm v toỏn t sinh ca nú, bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh vi phõn khụng gian Banach Trong chng trỡnh by cỏc ni dung ch yu l: h phng trỡnh hyperbolic i xng vi h s bin thiờn v khụng ph thuc thi gian, bi toỏn Cauchy cho h ny, cỏc bt ng thc nng lng, phỏt biu v chng minh cỏc nh lý tn ti v nht nghim Ti liu tham kho chớnh ca lun l ti liu [2] M c ớch n gh iờn cu Trỡnh by mt cỏch h thng lý thuyt bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh hyperbolic tuyn tớnh cp mt bng phng phỏp bin i Fourier v cụng c toỏn t gi vi phõn Trờn c s ú nhn c cụng thc biu din nghim tng minh ca bi toỏn Cauchy cỏc h s l hng s N h im v n gh iờn cu Nờu c cỏc bc gii bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh hyperư bolic tuyn tớnh cp mt trng hp h i xng i t n g v p h m vi n gh iờn cu H phng trỡnh hyperbolic tuyn tớnh cp mt trng hp i xng vi h s bin thiờn v khụng ph thuc thi gian P h n g phỏp n gh iờn cu Cỏc phng phỏp ca Gii tớch hm tuyn tớnh Cỏc phng phỏp nh lng ca Lý thuyt phng trỡnh o hm riờng ú n g gúp m i Lun l mt ti liu tng quan v bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh hyperbolic tuyn tớnh cp mt trng hp h i xng v hyperbolic mnh Chng Cỏc kin th c chun b 1.1 1.1.1 M t s k h ụn g gian hm K hụng gian L nh ngha 1.1 Khụng gian L (hay L (M71)) l khụng gian gm cỏc hm u o c v cú chun: '2 \ u \ L 2( H") ( u{x)2dx) < + 00 IX khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng N hn x ột 1.1 Khụng gian LT22 l {u ( x ) , V {x))L2 {Rn) = u { x ) v (x)dx Mn 1.1.2 K hụng gian m nh ngha 1.2 Khụng gian m (hay m (Mn)) l khụng gian bao gm t t c cỏc hm u(x) tha Du(x), |qớ| < m liờn tc v b chn trờn Mn vi chun u ix ) L = ú a; = (q!i , ô 2, a n) l kớ hiu a ch s vi (Xj l cỏc s nguyờn khụng n Q\a\ õm, |dớI = CLj v D au = - j=l Cp a X a u c gi l o hm suy rng Xn 1.1.3 K hụng gian Sobolev nh ngha 1.3 Khụng gian (hay w 2(M71)) l khụng gian bao gm t t c cỏc hm u (z) G L2, cho D au (a:) G L vi mi |a| < m v c trang b bi chun \ \ / IMIlV2m(Kn) = \au{x)\2 d x \ \\a\g (z - y ) } dy = 9y: Vỡ vy ta cú th vit Q / {( (z) - a {y)) )g {x - y)} {u {y) - u {x)) dy Q Q - {y) V (z - y) (u {y) - u {x)) dy - j ( a ( x ) - a (y)) ^ (z - y) (u (y) - u (z)) dy = $ (z) + $2 (z) Ta cú II (ớe)II > > T ht vy, chng hn ta xột \2 { x ) \ < \ a { x ) \ ógl \x y\g (z - y) \ u{y) - u{ x ) \ d y dx, 27 Mt khỏc ta cú \x\ / d>5 dx < c, dxj HO ú c c lp vi Vy theo nh lý 1.3 ta suy kt lun (2) ca b H qu 2.1 Vi cựng iu kin ó t cho b trờn, nu U G W2 thỡ: (1) IlCU^ < Cl lililớ! (2) Cu >0 w nh lý 2.5 (Friedrichs) Cho u ( t ) l mt nghim ca (|2.l) cho u { t ) G c ([0, T ] , L 2) v u { t ) G c1([0,T] , [w]') Khi ú ta cú bt ng thc nng lng (2.19) ỳng Chng minh Ta xột tps (ổ) u (t) Khi ú ta thy rng us (ớ) = (fis * u (ớ) G c ([0, T] , w) (x) Ta cú d dt d { V) = dt Kớ \V ,\ du * u V) ) = Vs (x) * ^7(x) dt T (2.16D ta thu c mt phng trỡnh c tha bi Us nh sau u tiờn xột tps* t v trỏi ca (2.16), d_ dt * B u + ips * f, ( A kXrk uJi + >5 (rỡ (x) = * (x) v ú dt u5 = ^ A kTĂU5 + Bus + fs + c su, k OX~ ú k d d u ) - A k (ớps * -u dxi ) dxk + Do ú ta chng minh c bt ng thc (2.19), tc l t Iu ( ớ) II < e7i ||it (0)11 + A k (x , t ) G (Mn) ,t > ^ĂQAk (x , t ) G (Mn) liờn tc, tc l ^ (x,t), ^/ qx 4j^ (x,t), (/dt) 4j^ tc v (X b chn v liờn 4f}Oc c (ổ*') hi t u n t' >t (fc ) t) - T gi thit ny v (2.18) ta cú A k G 1, B G S (2.27) d A = A k (s) + B { x ) xk (2.28) Ta vit Khi ú nh lý Hille-Yosida c ỏp dng nh sau: Ta chn & (A) = {; U G L 2, Au e L 2} (2.29) l mt xỏc nh ca A Chỳ ý rng U G L 2, vỡ vy Au G [ w ^ Cho A l mt s thc v cho U G W ( c & (A)) Trong trng hp ny ta cú: II( / - XA) u\\2 = ((/ - XA) u, - XA) u) = Hull2 A {{Au, u) + (u, Au)} + A2 IIA-ul2 Xột s i xng ca A k v (2.20) ta cú K Au) = ^ A k~0~ u) + (u >B u) k ( d {Ak {x)u) , u ) + ( u ,B u ) dx Vỡ vy luụn tn ti mt hng s ò dng vi \ \ { I - X A ) u \ \ > { l - ò \ X \ ) \ \ u \ \ Vi mi Ê0 nh ta cú 1 (7 -AA)W|| > {I ò IAI) ||w|| , IAI < Êq (2.30) 30 Tip theo ta chng minh rng (2.30) ỳng vi mi u G (A) bt kỡ, s dng toỏn t lm trn ớps, ta cú (I AA) u (ips * u) = ips * AA) u X {A (>s * u) ips * (A-u)} Theo B 2.1 thu c: CU = (tps * u) ips * (Alt) >0 ụ >0+ Vỡ Lps * u e W ta cú: II( / - AA) {ớpa * li)II > (1 - /3 |A|) \\(ps * It|| Nu >0+ thỡ c hai v ca bt ng thc u ln lt tin n hai v ca (2.30) Cui cựng ta kt lun rng (2.30) ỳng vi u G ( A ) T õy ta cú: n h lý 2.6 ( / XA), X 0) |A| < Ê, vi Ê l mt s dng nh thu c mt song ỏnh t @{A) lờn L Chng minh (1) Chỳ ý rng (I AA) (A) úng L T ú cng thy rng A l úng T ht vy, t un > suy A u n > [W2] v nu A un >Vo L thỡ Vo = vỡ n ỏnh t L lờn [ w ^ l mt song ỏnh Bõy gi, cho ( / AA) un >v0 Khi ú theo (2.30), {itn} l dóy Cauchy Do ú, un >Uo G L Nhng {A un} cng l mt dóy Cauchy T ú ta thy rng A l mt toỏn t úng Ta cú It0 Ê (A) v A u n >Au0, tc l v0 = ( / AA) U q (2) Im ((I AA)u0) trự mt L2, hoc nu khụng ú tn ti 4> (e Ê 2) v { XA) li, >) = 0, u G @ (A) iu ny ỳng vi mi u G h Do ú (/ XA') i/, = 0, A i = - Ê A t ^il> - Ê + B-* Mt khỏc, A*i) G L 2, t = - ^ A fc ^ -^ Xk Xk + B ta cú 4> G S1(A*) Cho (I AA*) thỡ ta thu c bt ng thc tng t vi (2.30) cú th thu c |A| < e' Vỡ vy '0 = 0; iu ny l mõu thun Do ú nu ta t Ê = (Ê0, Ê') nh lý 2.6 thỡ t kt qu phn (1) v (2) s kộo theo (I AA) St(A) = L 31 2.3.2 B t ng thc nng lng tron g L Phn ny ó c nghiờn cu mt cỏch chi tit mc 2.2, õy ta ch nhc li kt qu chớnh, ú l ni dung nh lý sau nh lý 2.7 (Friedrichs) Cho u ( t ) l mt nghim ca (j2.1|) cho u{t) G c ([0 , T ] , L 2) v u { t ) G c1([0,T] , [w ]') Khi ú ta cú bt ng thc nng lng (2.19D ỳng, tc l t ||u(ớ)|| < e7i ||ii(0)|| + / II/(s)| | ds 2.3.3 nh lý t n ti nht nghim vi o hm th eo t ca nghim th u c c ([0,T] , L2) n h lý 2.8 Gi s cho h (2.16), vi A k (:r) l Hermitan v tha (2.27) Cho Uo G L 2, f (t) G c ([0,T] , L2) Khi ú tn ti nht nghim ca h phng trỡnh (2.16) cho u ( t ) G c ([0,T] , L2) v u (ớ) e c ([0, T] ,[W ]') Chng minh T bt ng thc (2.30) v nh lý 2.6, ỏp dng nh lớ Hille-Yosida, ta thy rng cho U q G L 2, f (t ) G C ([0,T] , L2) Khi ú tn ti mt nghim nht u (t ) G C ([0, T ] , L2) Gi s rng U q G L 2, f (t) G C ([0, T ] , L2) Vi Uq v / (t ) bt kỡ tha gi thit ca nh lớ ta cú th xột vi toỏn t lm trn ĂPs cú u = (ps * U o v f ( t ) = >s * f (t) Vỡ vy tn X ti mt nghim u (t) G c ^[0, T ] , [W j] ^ Khi ú ta ỏp dng bt ng thc nng lng (2.19) i vi ta cú max ||w5 (t) 0< t < T Uò' ( t)^ < c (T ) Uò (t ) Uò' (t) thỡ vi T c nh (T > 0), u0 - u0 L + 10 I I / {t) ' ( O l l i dt Do ú, ^ cv, {us (t)} l mt dóy Cauchy c ([0, T] , L2) Mt khỏc nu chỳng ta ỏp dng chuyn qua gii hn cho: t Uò (t ) = u,õ) + J {A u5 (s) + fò (s)}di ú hm tớch phõn c thc hin di tụ pụ ca w T ú J U (ớ) = Au (ớ) + / (ớ) ỳng tụ pụ ca w 2.4 B i to ỏ n C auchy cho h phng trỡn h i x n g vi o hm th e o t c a n gh im th u c ([0, T ] , c 2.4.1 w) Cỏc tớn h cht ca toỏn t A Bi toỏn khụng gian w Ta chn mt xỏc nh ca A: @(A) = u ; u e w, Au e w} (2.31) Mt khỏc, vi tớnh trn ca cỏc h s, ta gi s : A k G 1+, > v B G \ (2.32) ú l+ l mt hm thuc v o hm cp mt ca nú cú dng liờn tc ng nht Holder bc Trong trng hp ny, theo B 2.1 (ging vi trng hp L 2) vi mi u @ (A) ta cú \\ - AA) u-L > ( è - A I A D I M I ^ A >0, | A| < Êl (2.33) i vi chun w Ta chng minh phn ny tng t vi nh lý 2.6 Ta thy (I AA) S1(A) úng W j| ta cn chng minh tớnh trự mt chi tit hn B 2.2 Gi s a E l+, > v cho A l toỏn t tớch phõn kỡ d c nh ngha theo cụng thc (1.13) Khi ú toỏn t Cu vi a(x) v , Cu = ( (s) A Aa (s)) u l mt toỏn t b chn ca L 33 Chng minh Ta ch cn chng minh trng hp u b Vi toỏn t Riesz c nh ngha theo (1.16), ta cú th vit {Cu) {x) = a (X)R Q = te te) R i ~ U - R ú q , ( te) u ) R ia te ))^ w ~ R i ~ u - Hng t cui cựng l mt toỏn t b chn, vỡ vy ta ỏnh giỏ hng t u tiờn Ta cú Nu ta cho Ê > 0+ thỡ hng t u tiờn hi t n hm c ỏnh giỏ bi c |a Iu (s)| Do ú chun L ca hng t u tiờn cú th ỏnh giỏ bng c Ia ||w|| Tip theo, ta ỏnh giỏ hng t th hai Ta cú th vit nh v.p.Rj (s) *ax (s) u (s) Vỡ vy ta cng ỏnh giỏ c hng t th hai Cui cựng ta ỏnh giỏ hng t th ba, ta tỏch hng t th ba thnh hai tớch phõn sau y, ú hm ly tớch phõn th hai khụng th vt quỏ |a ( z ) |0 * Iu (s)| 34 giỏ tr tuyt i Mt khỏc (X) = o ( |x | ' ) Vè vy nú kh tớch Ta t a(x) - a (y ) = ^ ax ( X - Vi) + b (x, y ) T |ũ (x, y)\ < |o|1+ \x - y\l+, ta cú E (z) ôX, i / {Xi - yỡ) ^ (x - y ) u {y) y ei S hng th hai l mt hm gii hn ca Ê Mt khỏc s hng th nht b chn bi vỡ F {r)K(x)} 35 l mt hm b chn, l bin i Fourier ca hm L Do vy 2ợùiầj x F [a (r) K (ổ)] , j = 1,2, , n b chn Cui cựng ta thy nú b chn |Ê| > Bõy gi quay li chớnh, ta s ch rng cng cú mt kt qu tng t nh lý 2.6 thu c w n h lý 2.9 Cho xỏc nh ca A l fl2.3ip, ta gi thit rng hn (2.32) Kh ú, (I AA), IAI < E l l mt song ỏnh t @ (A) lờn W Chng minh Ta cú th chng minh c rng nh ca (I AA) (A) l úng, nh ó ch nh lý 2.6 Vỡ vy chỳng ta ch tớnh trự mt ca nú Nu khụng trự mt thỡ chc chn tn ti pi Ê W vi ((A + 1) ( / AA) u, (A + 1) l}1) = 0, tớ G ^ (-A) Ta vit (A + 1) ij)i = l} L 2, vỡ th l} 0- T ú, ( / - AA*)(A + )^ = Mi liờn h ny c vit li l: d (A + l) + A{C i)~ B* (x ) A i '}) = 0, d C = J q (A A k (*) - (đ) A ) tc l +A (2.34) (A k (x ) vo + ú K = (A + l ) [C - B* (x) (A + 1)]; v ((A + l ) - 1ô ) ( = (1^1 + ) - ^ (0 Chỳ ý rng K l mt toỏn t b chn t: L T ht vy, (A + 1)~l c b chn vỡ (A + l ) -1 d / d x k, (AAfc (ổ) A k (ổ) A) l mt toỏn t b chn hon ton Cho U, V G L 2, ta cú : ! u, V / A , H \ - / (A + 1) B * Au^ / = I A A ^B (A / A + 1) U, < 1 - (rr) I ( A + l ) - < lililớ \v\ L2 : < A u B \v\ (A + 1)" u Av 36 ú IIB (2;)II l mt chun ca toỏn t B (x) t Iu, lờn w Vỡ vy (A + l ) -1 B*AyS j cng b chn T ú v (2.34) ta cú th ỏp dng bt ng thc (2.30) s hng v trỏi ca (2.34) chun L ln hn { l - ' \ \ \ ) \ m - \ \ \ \ \ K \ \ \ m = { l - { ' + \\K \\)\\\}\m Do ú, nu IAI < (/3' + II-TII) thỡ = 0) iu ny l mõu thun Vy nh lý c chng minh 2.4.2 B t ng thc nng lng Tip theo ta s ch rng vi gi thit u G c ([0,T] , W j) v u G c ([0, T] , L2) cú th thu c c mt bt ng thc nng lng theo chun w , ú ta ỏp dng iu kin mnh hn: B (x,t) : t ằB (ớr, t ) G (Kn) liờn tc Trc tiờn, ta thu c iu kin mnh hn u (t) G u e c ( [ ,r ] ,w j) ó Nờu ta xột vi = D trờn: dxi c ([0,T] , W j) v ^ ( ) = A.u {t) + f { t ) , ta cú c ^ D U (t ) = A (DU) + {DA) u + Df, i = 1, 2, , n, (2.35) ú DA = (DAk) f DB Nu / G c ([0,T] , Ơ 2), ta cú th ỏp dng nh lý 2.4 vi Du(t) Bõy gi ta cú I I u,Dớ)||2 ( < 7' U ,D \ 0(||2 + II (011 (II (011 + c IIô (0110 Vi kt qu ó xột: J t ||ii (ớ)||2 < i ||ii (ớ )||2 + ||i (ớ)|| II/ (ớ)|| 37 v ||it ( ) I I = ||it ( ) | | + ^ \\DiU (t)||2 Ta cú J t ||ii (ớ)ll < 271 \\u (ớ)ll + \\u (011! II/ (ớ)11! T ú, cho < t < T ta cú bt ng thc nng lng sau w^: t ||u ( ) II! < exp (71ớ ) ||u (0)11! + J exp {71 (t s)} II/ (s)llids, (2 ) ú 71 ph thuc theo T 2.4.3 nh lý tn t i nht nghim vi o hm th eo t ca nghim thu c c ([0,T] , Wj) nh lý 2.10 Gi s cho h (2.16), vi A k (z) l Hermitian v tha (2.32) Cho u0 G MV v / (t) G c ([0, T] , w Khi ú tn ti nht nghim ca (2.16) cho tha u (t ) G c ([0,T] , Wa) v u G c1([0,T] , L 2) Khi ú bt ng thc nng lng (|2.36) ỳng Chng minh T bt ng thc (2.33) v nh lý 2.9, ỏp dng nh lớ Hille-Yosida (ta cú E = w ) Ta thy rng cho u0 G @ (A) ( c W) v / (t ), A f (t ) G c ([0, T] , Khi ú tn ti mt nghim nht ô (t) ố ( [ ũ ,r ] , W ) Gi s rng u0 G w | v / (t ) G c ([0,T] , w |) - õy, cỏc gi thit ca nh lý 2.10 phự hp Bõy gi vi bt kỡ u0 v / (t ) tha gi thit ca nh lớ ta cú th xột vi toỏn t lm trn ips cú u5'1 = * Uq v f (t ) = / (t) Vỡ X vy tn ti mt nghim U (t ) G cl ([0,T] , VV2) Nhng nu ta ỏp dng (2.36) vi U (t) U (t ) thỡ vi T c nh (T > 0), ta cú max ||wj (t) (t) 11! u (5) - u,(S1) < c (T) + s \\fừ{t) - fụ' (Olli dt 0 Do ú, > 0+ ,{rij(t)} l dóy Cauchy c ([0,T] ,W 2)- Mt khỏc nu chỳng ta ỏp dng chuyn qua gii hn cho t 0[...]... khi r > +oo iu ny cho thy iu kin ca Hadamard khụng tha món Do ú (2.1) khụng phi l mt h hyperbolic Vy nh lý c chng minh 2.1.3 Cỏc iu kin cho tớn h hyperbolic m nh nh lý sau õy cho ta iu kin i vi tớnh hyperbolic mnh ca h phng trỡnh i xng nh lý 2.2 Cho A k l cỏc ma trn Hermitian, khi ú h phng trỡnh (2.3) l h hyperbolic mnh 20 Chng minh Cho Ak l mt ma trn Hermitian t / = 0 trong (2.1) Cho mt h c bn ca... Banach Ta xột bi toỏn Cauchy sau du (t ) = Au (t) ,t > 0, dt (1.19) u (0) = u0 (1 20) trong ú u0 e E , A l toỏn t sinh ca na nhúm T no ú trờn E nh lý 1.6 Bi toỏn Cauchy (1.19D, fll.20|) cú nghim duy nht u ( t ) c cho bi cụng thc u (t) = Ttu0, (1.21) trong ú T l na nhúm cú A l toỏn t sinh 1.5.4 nh lý H ille-Y osida Gi s A l toỏn t úng trong khụng gian Banach E nh lý HilleYosida cho ta iu kin toỏn... ta nhc li cỏc khỏi nim sau: Cho A l toỏn t tuyn tớnh úng trong khụng gian Banach E Tp cỏc A e c sao cho (XI A)~l khụng tn ti v b chn c gi l ph ca toỏn t A Phn bự ca tp ph c gi l tp chớnh guy ca toỏn t A Nu A thuc tp chớnh quy ca toỏn t A thỡ (XI A)~l c gi l gii thc ca A nh lý 1.7 (Hille-Yosida) Cho A l toỏn t úng v cú min xỏc nh trự mt trong E Gi s tn ti s thc ò sao cho vi mi X > ò, tn ti gii thc... h hyperbolic du n nu ta cng thờm hng t B bt kỡ vo toỏn t M [it] = Z A ut fc=i thỡ h vn l hyperbolic mnh u k 0 (1.23) Mt khỏc, nu ta cú th chng minh tn ti mt na nhúm S cú toỏn t sinh l A, v nu IIằSi II < c , khi ú T = e^St tha món iu kin ca nh lý Do ú, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s /3 = 0 trong (1.22), tc l |(A/ - A)_II < T ; A > 0,m = 1, 2, (1.24) Cho ( * = 7 AV1 A > 0 ' (1.25) Khi ú ta cú: (1 ) 11^11 < m = 1 , 2, (2) Cho X @ (... (2.6) l h hyperbolic V ớ d 2.2 Xột h phng trỡnh d U dt1_ u2 vi A-I = Ta cú 1 1 -1 0 1 - 1 0 r d U dxi _ u2 _ (2.7) 17 P { A,Êi) = det [AI - i & A i A - 6 til -zÊi A A2 iÊiA + z2Ê? = 0 1 Phng trỡnh cú nghim Ai 2 (Êi) = -zÊi _ 2 2 ^/3 Ta cú |ReAi 2 (Êi)| = |Êi | Do ú khụng tha món iu kin Hadamard Li (2,5) Vy h phng trỡnh (2.7) khụng l h hyperbolic nh ngha 2 2 H phng trỡnh (2.3D c gi l h hyperbolic. .. õy l dóy Cauchy trong L 2 Do ú {Uj (s)} hi t n mt hm no ú thuc L 2 , kớ hiu hm ny l u (s) v c gi l phộp bin i Fourier ngc ca hm u(Ê) Cỏc tớnh cht ca bin i Fourier trong L 2 tng t nh cỏc tớnh cht ca bin i Fourier trong ? 7 1.2.3 B in i Fourier trong khụng gian y nh ngha 1.9 Cho u G y Bin i Fourier ca hm u, kớ hiu l hay (Ê), l hm c xỏc nh bi (&u,ip) = (u, y ) , Vip G y nh ngha 1.10 Cho u G y... ửm 1.5.1 Ntfa nhửm D inh nghla 1.11 Cho E la mot khửng gian Banach, Tt, (t > 0) la ho cac toan tut tuyen tinh bi chan tren E Khi dử ho Tt dufửc goi la ntia nhửm neu: i) T0 = I, vửi I la toọn tut dửng nhat tren E ỹ) Tt+S = TtT3, t , s > 0 iii) Tap hửp D= {eÊ;3 Jhp L} 0+ (A) lọ tap hửp... R xi (t) = & [vj (Ê, ớ)] v cho Uj w do ú N u { x ,t ) = (*) * ui (x ) 7= 1 l mt nghim ca (2.1 ) sao cho u ( t ) = u ( x , t ) cl ([a,] , L2) , t > 0 (trong trng hp / = 0) Vy nh lý c chng minh i vi h phng trỡnh khụng i xng ta cú nh lớ sau: nh lý 2.3 Nu tt c cỏc nghim X (Ê), 7 = 1,2, , N ca (|2.4) u l nghim thc v phõn bit, tc l A (Ê) ^7 (0 ; * 3 0 thỡ h (2.3) l h hyperbolic mnh 21 Chng minh