Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân mơ hình mơ tả tốt q trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, cịn nhiều tốn cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm phương pháp hữu hiệu bảo đảm hội tụ, tính ổn định tính xác cao Để làm điều này, người ta thường tổ hợp phương pháp đa bước để nhận phương pháp có bậc hội tụ, tính ổn định cấp xác cao Phương pháp khơng cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc bậc hai M V Bulatov (và Berghe) đề xuất vòng năm năm trở lại nằm hướng Luận văn Về phương pháp khơng cổ điển giải số phương trình vi phân bậc bậc hai có mục đích trình bày phương pháp Bulatov Berghe theo tài liệu [4] (2009) [9]-[11] (2003-2008) Luận văn gồm ba Chương Chương trình bày số khái niệm phương pháp giải số phương trình vi phân Trong mục 1.2 Chương, chúng tơi trình bày phương pháp số cổ điển theo quan điểm quán xuất phát từ Quy tắc cầu phương Chương trình bày phương pháp khơng cổ điển (do Bulatov đề xuất vào năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến tuyến tính, theo tài liệu [9]-[11] Chương trình bày phương pháp khơng cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính phi tuyến, theo báo M V Bulatov G V Berghe ([4], 2009) Thơng qua việc tính tốn đạo hàm, phân tích hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor phép biến đổi chi tiết, cố gắng trình bày kết M V Bulatov G V Berghe cách rõ ràng chi tiết Để minh họa kiểm chứng lý thuyết, chúng tơi lập trình MATLAB tính tốn máy ví dụ M V Bulatov G V Berghe Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Tốn học) Xin tỏ lịng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , Thày Cô cán khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học Cao học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo cán bộ, giáo viên Học viện Quân y tạo điều kiện để tác giả hồn thành tốt khóa học Cao học Và cuối cùng, xin cám ơn Gia đình, bạn bè thơng cảm, sẻ chia, hy sinh tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học Cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong Chương nhắc lại khái niệm giải số phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày mục sau 1.1 Bài tốn Cauchy giải hệ phương trình vi phân Xét tốn Cauchy tìm nghiệm hệ phương trình x′(t ) = f ( x(t ), t ), t ∈ [ 0,1] (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 , (1.2) f ( x, t ) , x ( t ) hàm vectơ n - chiều, hàm f xác định hình hộp vơ hạn D :=[0, 1] ×R n Ở ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển địa phương, tức nghiệm (1.1)-(1.2) hàm khả vi x(t ) [ 0, α ) , α ≤ cho x′(t ) ≡ f ( x(t ), t ) [ 0, α ) x(0) = x0 Cùng với toán (1.1), ta xét trường hợp hàm f ( x, t ) tuyến tính, tức f ( x, t ) = B(t ) x + g (t ) , B (t ) ma trận cấp n × n , g (t ) vectơ n -chiều, tức hệ tuyến tính x′(t ) = B (t ) x + g (t ), t ∈ [ 0,1] (1.3) Ta giả thiết phần tử ma trận B(t ) , vectơ f ( x, t ) , g (t ) đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết tính tốn) Khi theo định lí PicardLindelưf, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm x(t ) toàn đoạn [ 0,1] (nghiệm kéo dài tồn khoảng xác định, hay tồn nghiệm toàn cục, xem [8], trang 467) Lưu ý quan trọng giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2) 1.2 Giải số toán Cauchy Để chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm toán (1.1)-(1.2) khoảng tồn nghiệm Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích phương pháp số kết cho dạng bảng, phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước, Dưới trình bày cách xây dựng cơng thức Euler, Runge-Kutta, xuất phát từ qui tắc cầu phương (xem, thí dụ, [2]) 1.2.1 Quy tắc cầu phương giải số phương trình vi phân Quy tắc cầu phương (basic quadrature rules) coi phương pháp quan trọng để tính tích phân Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân t x(t ) = x0 + ∫ f ( x( s ), s )ds (1.4) t0 nên ta sử dụng quy tắc cầu phương việc giải số phương trình vi phân Trong mục ta rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân suy từ quy tắc cầu phương Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương (xem, thí dụ, [1]) b Nội dung quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ∫ f (t )dt ta thay f (t ) a đa thức nội suy (interpolating polynomial) Tích phân hàm f (t ) xấp xỉ tích phân hàm đa thức (tính xác) Giả sử ta có s điểm nội suy khác c1 , c2 , , cs khoảng [ a, b ] Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ s có dạng (xem [1]): s ϕ (t ) = ∑ f (c j ) L j (t ) , j =1 L j (t ) = (t − c ) ∏ j (c − ci ) Khi i =1,i ≠ j i s b ∫ a s f (t ) dt ≈ ∑ ω j f (c j ) j =1 b Các trọng số ω j tính theo cơng thức ω j = ∫ L j (t )dt a Nếu s = đa thức nội suy ϕ (t ) ≡ f (c1 ) ta có: b ∫ f (t )dt ≈ (b − a) f (c1 ) a Ta nói độ xác (precision) quy tắc cầu phương p quy tắc xác cho đa thức bậc nhỏ p , tức với đa thức Pk (t ) bậc nhỏ p ta có: b s a j =1 ∫ Pk (t )dt = ∑ ω j f (c j ) Nếu b − a = 0(h) sai số quy tắc cầu phương độ xác p 0(h p +1 ) Ta xét số trường hợp đặc biệt • Nếu chọn s = c1 = a ta có cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABCD (Hình 1.1): b ∫ f (t )dt ≈ (b − a) f (a) (1.5) a Nếu x(t ) nghiệm phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm phương trình tích phân (1.4)) thì: x(t + h) − x(t ) = t +h ∫ f ( x( s), s) ds (1.6) t Kết hợp với công thức (1.5) ta đến công thức: x(t + h) − x(t ) = h f ( x(t ), t ) (1.7) Gọi h độ dài bước (stepsize) biến độc lập t ( h dương âm, h dương nghiệm xây dựng bên phải điểm t0 ngược lại, h âm nghiệm xây dựng bên trái t0 ) Dưới ta coi h > , trường hợp h < xét tương tự f Từ cơng thức (1.7) ta có D O C a A b B x x1 = x0 + h f ( x0 , t0 ) ; x2 = x1 + h f ( x1 , t1 ) ; .; xn +1 = xn + h f ( xn , tn ) Đây cơng thức Euler tiến quen thuộc Hình 1.1 • Nếu chọn s = c1 = b ta có cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2): f F E O a A b B b ∫ f (t )dt ≈ (b − a) f (b) a Từ ta có: x(t + h) − x(t ) = h f ( x(t + h), t + h) x Suy công thức Euler lùi: xn +1 = xn + h f ( xn +1 , tn +1 ) Hình 1.2 Hai phương pháp Euler tiến Euler lùi phương pháp Runge-Kutta bậc (có độ xấp xỉ bậc nhất) f a+b • Nếu chọn s = c1 = ta có N M a A b B cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3): t +h ∫ t O h h f ( x ( s), s)ds = h f ( x(t + ), t + ) 2 Từ ta có: a+ b Hình 1.3 h h x(t + h) − x (t ) = h f ( x (t + ), t + ) 2 Từ cơng thức ta có h h xn +1 = xn + h[ f ( x(tn + ), tn + ] 2 Đây phương pháp trung điểm (midpoind method) x • Nếu chọn s = c1 = a, c2 = b L1 (t ) = t −b t−a L2 (t ) = ( a − b) (b − a ) Suy b b t −b (t − b) ω1 = ∫ L1 (t )dt = ∫ dt = ( a − b) ( a − b) a a b = b−a = b−a a b b t−a (t − a ) ω2 = ∫ L2 (t ) dt = ∫ dt = (b − a ) (b − a ) a a a b Chứng tỏ b ∫ f (t )dt ≈ a b−a [ f (a) + f (b)] t +h Như xấp xỉ tích phân ∫ f ( x ( s), s )ds công thức (bởi diện tích hình t thang ABED, Hình 1.4) ta được: t +h ∫ t f h f ( x ( s), s )ds ≈ [ f ( x (t + h), t + h) + f ( x(t ), t )] E D Từ ta có cơng thức hình thang: h xn +1 = xn + [ f ( xn , tn ) + f ( xn +1 , tn +1 )] O b B a A Phương pháp điểm phương pháp hình thang hai phương pháp ẩn, Hình 1.4 chúng có độ xác p = • Nếu chọn s = c1 = a, c2 = a+b , c3 = b thì, đặt h = b − a , ta có: a+b )(t − b) a+b L1 (t ) = = (t − )(t − b), a+b h (a − )( a − b) (t − x L2 (t ) = (t − a )(t − b) −4 = (t − a)(t − b), a+b a+b ( − a )( − b) h 2 a+b ) a+b L3 (t ) = = (t − a )(t − ) a+b h (b − a )(b − ) (t − a )(t − Suy b b b a+b a−b ω1 = ∫ L1 (t )dt = ∫ (t − )(t − b)dt = ∫ (t − b − )(t − b)dt 2 h a h a a b b a−b (t − b)3 a − b (t − b) = ∫ [(t − b) − ( )(t − b)]dt = [ −( ) ] 2 h a h a = (b − a )3 h = h 12 b b b −4 −4 ω2 = ∫ L2 (t )dt = ∫ (t − a)(t − b)dt = ∫ (t − a )(t − a + (a − b))dt h a h a a b −4 (t − a ) ( t − a ) 4h = 2[ + (a − b)] = h a Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có ω3 = ω1 = h Từ tính tốn ta đến công thức Simpson: b h ∫ f (t )dt ≈ [ f (a) + f ( a a+b ) + f (b)] Suy cơng thức xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân h h h x(t + h) − x(t ) = [ f ( x(t ), t ) + f ( x(t + ), t + ) + f ( x(t + h), t + h)] 2 công thức sai phân h h h xn +1 − xn = [ f ( xn , tn ) + f ( x(tn + ), tn + ) + f ( xn +1 , t n +1 )] 2 Đây công thức ẩn phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical fourth-order Runge-Kutta method) 1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 1.2.2.1 Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta Vì phương pháp ẩn địi hỏi bước phải giải phương trình phi tuyến, điều không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng cơng thức Runge-Kutta hiển từ cơng thức hình thang ẩn, công thức điểm ẩn công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn ẩn tương ứng sau • Trong cơng thức hình thang ẩn: h xn +1 = xn + [ f ( xn , tn ) + f ( xn+1 , t n+1 )] , ta thay giá trị xn+1 vế phải công thức Euler tiến: ˆ xn +1 = xn + hf ( xn , tn ) Khi ta công thức: h ˆ xn +1 = xn + [f ( xn , tn ) + f ( xn +1 , t n +1 )] Công thức gọi phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal method) h • Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc x(tn + ) theo phương pháp Euler tiến: ˆ x n+ = xn + h f ( xn , t n ) thay vào công thức phương pháp trung điểm ẩn h h xn +1 = xn + hf ( x(tn + , t n + ) 2 ta nhận phương pháp trung điểm hiển (explicit midpoint method): ˆ xn +1 = xn + hf ( x n+ h , tn + ) • Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển h h h , xn +1 − xn = [ f ( xn , tn ) + f ( x(tn + ), tn + ) + f ( xn +1 , t n +1 )] 2 ta có cơng thức Runge-Kutta hiển bậc bốn kinh điển sau: h xn +1 = xn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), n = 0,1, 2, đó: k1 = f ( xn , t n ); hk1 h , tn + ); 2 hk h k3 = f ( xn + , tn + ); 2 k4 = f ( xn + hk3 , tn ) k2 = f ( xn + 1.2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Nội dung phương pháp Runge-Kutta tổng quát sau Chia đoạn [ 0,1] thành lưới ti = ih , i = 0,1, 2, , N , h = , N kí hiệu xi giá trị xấp xỉ x ( ti ) , Bi = B(ti ) , gi = g ( ti ) Phương pháp Runge-Kutta cho toán (1.1)-(1.2) có dạng (xem, [2], [4]-[7]) s xi +1 = xi + h∑ bi X i , (1.8) i =1 X i vectơ n -chiều nghiệm hệ phương trình phi tuyến s   X i = f  x i + h∑ a i j X j , t i + c i h    j =1   (1.9) Các tham số aij , ci , bi xác định bậc xấp xỉ phương pháp, s gọi số nấc Nếu aij = với j ≥ i ta có phương pháp Runge-Kutta hiển Khi tính tốn đơn giản ( X i tính theo cơng thức truy hồi) Nếu aij ≠ với j ≥ i ta có phương pháp Runge-Kutta ẩn Khi bước ta phải giải hệ ns 10  E − h β A   2E + h β A  = LM  ; P= L   ;  E − h β A   2E + h β A    21 − E+ hβ2Ai−1 2Ψ i 1= LQ ii ++ ; gi1= Li++ 1h  3.(9)  − E + h 2β A   Φ µ   2µ   21 21 i+ 1 i i1 i++ ii +1 0µ 1µ Khi điều kiện (3.3) (3.5) thỏa mãn cơng thức (3.2) (3.6) có cấp xác một, (3.8) có cấp xác với giá trị tham số {β }, j i i = 1, 2; j = 0,1, thoả mãn điều kiện (3.3), (3.5) với giá trị d Điều có nghĩa (3.8) có tất năm tham số tự do, chúng định cấp xác công thức Công thức (3.8) viết lại sau 59 (  E − hβ A   iμ + ) ( ( ) +i E − β d h A )( )( )  x   +1 = ( )( )( ) 1  =  E − hβ A i +1 + β A iμ + E − β μ E h d h A E h 2 x i2 + β A   1 2 +  E − hβ A i +1 − + β A iμ + E − β μA i − + β E h 2 − d h E h A  x   1 + h  E + hβ A i +1 β i +1 + i + iμ + μE − β f t  f β β − d f f h A   ( ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) −1 hay [ ( + d ) E + h ( − β A − dβ A + h ( ( β ) A + d ( β ) A ) ] x = ( i+ µ 12 i+ ) 22 µ i+  ( + 2d ) E + h β 11 Ai − 2β 01 Ai+ + dβ 12 Aµ − 2dβ 02 Aµ +  =  11  xi 2  + h − β β Ai+ Ai − dβ β Aµ   ( − − d ) E + h β 12 Ai− + β 01 Ai+ + dβ 22 Aµ + dβ 02 Aµ +  + 1  xi − 2  + h − β β Ai+ Ai − dβ β Aµ  + h β 01 f i+ + β 11 f i + β 21 f i− + df ( t µ ) + ( ( ( [ + h [− β A (β f ) 1 i+ i+ ) ) ] ) + β 11 f i + β 21 f i− − dβ 02 Aµ f ( t µ ) Khai triển ] ( ′ ) Taylor t i − ta được: 4h 8h3 f i′′1 + f i′′′ + O h − −1 h2 h3 fi = f ( ti ) = f ( ti −1 + h ) = f i −1 + hf i′ + f i′′1 + fi ′′′ + O h − − −1 B 2h2 B 3h3 f µ = f ( t µ ) = f ( ti −1 + Bh ) = f i −1 + Bhfi ′ + f i′′1 + f i′′′ + O h − − −1 h2 h3 h ( ) h5 ( ) yi = y ( ti ) = y ( ti −1 + h ) = yi −1 + hyi′−1 + yi′′1 + yi′′′1 + yi −1 + yi −1 + O h6 − − 24 120 ( ) fi +1 = f ( ti +1 ) = f ( ti −1 + 2h ) = f i −1 + 2hf i′ + − ( ) ( ) ( ) 60 4h 8h ′′1 + Ai +1 = A ( ti +1 ) Ai − Ai′′′ + O h −1 B 2h2 B h3 Aµ = A ( tµ ) = A ( ti −1 + Bh ) = Ai −1 + BhAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ + O h − −1 h2 h3 ′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ + O h Ai = A ( ti ) = A ( ti −1 + h ) = Ai −1 + hAi − −1 ( ) = A ( ti −1 + 2h ) = Ai −1 + 2hAi′−1 + ( ) ( ) Thay vào (3.8’) ta được:       4h 8h3 B 2h2 B 3h3  Ai′′1 + Ai′′′1 ÷ ( + d ) E + h  −2β 01  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′1 ÷−2d β 02  Ai −1 + BhAi′−1 +  − − − − 6          4h 8h 2 + h  β  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ + d β 02 − −1     ( ) ( ) 2    B h2 B h3  Ai′′1 + Ai′′′ ÷   Ai −1 + BhAi′−1 + − −1      h2 h3 h ( 4) h5 ( )  ×  xi −1 + hxi′−1 + xi′′−1 + xi′′′1 + xi −1 + xi −1 ÷ − 24 120       4h 8h 4h 8h 1 = ( + 2d ) E + h  β11  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷− β  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ − −1 − −1 6      2 3   B h Bh + d β12 − 2d β 02  Ai −1 + BhAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ − −1   ( )  1   4h 8h3 h2 h3 ′−1 + ′′1 + ′′′ ÷ Ai −1 + hAi′−1 + ′′1 + Ai′′′ ÷− + h  − β β1  Ai −1 + 2hAi Ai − Ai −1 Ai − −1 6        B2h2 B 3h3  −d β β  Ai −1 + BhAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷   − −1     2  4h 8h 16h ( 4) 32h5 ( 5)  ×  xi −1 + 2hxi′−1 + xi′′−1 + xi′′′1 + xi −1 + xi −1 ÷ − 24 120   61    4h 8h  1 + ( −1 − d ) E + h  β12 Ai −1 + β  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ − −1        B2h2 B 3h3 2  Ai′′1 + Ai′′′ ÷  + d β + d β  Ai −1 + BhAi′−1 + − −1     ( )  1   4h 8h3 h2 h3 + h  − β β  Ai −1 + 2hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ Ai −1 + hAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ − −1 − −1 6       B2h2 B 3h3 2 −d β β  Ai −1 + BhAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷  xi −1 − −1      1    h2 h3 h2 h3  + h  β  fi −1 + hfi′ + fi′′1 + f i ′′′ ÷+ β11  f i −1 + hf i′ + f i′′1 + fi′′′ ÷+ − − −1 − − −1 6       +β f i −1   B2h2 B h3  ′1 + ′′1 + + d  f i −1 + Bhf i − fi − fi ′′′ ÷ −1     1  1  h2 h3 h2 h3  ′−1 + ′′1 + Ai′′′ ÷ β  f i −1 + hfi′ + ′′1 + + h − β  Ai −1 + hAi Ai − fi − fi ′′′ ÷+ −1 − −1 6         h2 h3 1 + β1  f i −1 + hfi′ + fi ′′1 + f i′′′ ÷+ β fi −1  − − −1       B2h2 B 3h3 B 2h2 B 3h3  −d β 02  Ai −1 + BhAi′−1 + Ai′′1 + Ai′′′ ÷ f i −1 + Bhf i′ + fi′′1 + fi ′′′ ÷ − −1 − − −1 6     • Hệ số h0 ( + d ) xi −1 − ( − 2d ) xi −1 − ( −1 − d ) xi −1 = với d • Hệ số h1 : ( + d ) xi′−1 − ( − 2d ) xi′−1 = với d • Hệ số h : ( + d ) xi′′−1 + ( −2β 01 − 2d β 02 ) Ai −1 xi −1 − ( + 2d ) ( ) ( ) +d(β 1 xi′′−1 − β11 − β + d β12 − 2d β 02 Ai −1 xi −1 − ( ) ) 1 1 − β + β + d β + d β 02 Ai −1 xi −1 − β + β11 + β + d f i −1 ( 1 = ( + d ) xi′′−1 −  β + β11 + β  ) ( ) 1 + β12 + β 22  Ai −1 xi −1 − β + β11 + β + d f i −1  62 Nếu điều kiện (3.3) (3.5) thoả mãn hệ số h 0, suy cơng thức (3.8) có cấp xác • Hệ số h : 1 xi′′′1 + −2β Ai −1 − 2d β 02 Ai −1 xi′−1 + −2 β Ai′−1 − d β 02 BAi′−1 xi −1 − − 1 − ( − 2d ) xi′′′1 − β11 − β + d β12 − 2d β 02 Ai −1 xi′−1 − β11 − β + d β12 − 2d β 02 B Ai′−1 xi −1 − − β + dB β + dB β 02 Ai′−1 xi −1 − 2β + β11 + dB f i′ − ( 1+ d ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ) ( ) ( ) = ( + d ) xi′′′1 + −2β − 2d β 02 Ai −1 xi′−1 − β11 + d β12 Ai −1 xi′−1 − β11 + dB β12 Ai′−1 xi −1 − − ( ) ( ) 1 − β + dB β 22 + dB β 02 Ai′−1 xi −1 − 2β + β11 + dB fi′ − ( ) = ( + d ) xi′′′1 − β + 2d β 02 + β11 + d β12 Ai −1 xi′−1 − − ( ) ( ) 1 − β11 + dB β12 + 2β + dBβ 22 + dBβ 02 Ai′−1 xi −1 − 2β + β1 + dB f i′ − ( ) = ( + d ) xi′′′1 − β + β11 + dB ( Ai −1 xi′−1 + Ai′−1 xi −1 + f i′ ) − − Từ (3.1) suy x ′′′( t ) = A( t ) x ′( t ) + A′( t ) x( t ) + f ′( t ) ( *) nên hệ số h3 viết lại sau: ( + d ) xi′′′1 − ( 2β01 + β11 + dB ) xi′′′1 − − Vậy hệ số h3 1 + d = 2β + β11 + dB; • Hệ số h : 63 B = β12 + 2β 02 (3.10) 16 ( ) 1 xi −1 + −2 β − 2d β 02 Ai −1.2 xi′′−1 + −4 β − 2dB β02 Ai′−1.2 xi′−1 + 24 2 ( 4) 1 + −4 β − dB β02 Ai′′1 xi −1 + β + d β02 Ai2−1 xi −1 − ( + d ) xi −1 − − 24 1 1 − β11 − β + d β12 − 2d β 02 Ai −1 xi′′−1 − β1 − β + dBβ − 2dBβ 02 Ai′−1 xi′−1 − 1  1 −  β11 − β + dB β12 − dB β 02 ÷ Ai′′1 xi −1 − − β β11 − d β 02 β12 Ai2−1 xi −1 − − 2   1  1 −  β + dB β + dB β 02 ÷ Ai′′1 xi −1 − − β β − d β 02 β Ai2 xi −1 − − − 2    1  −  β + β11 + dB ÷ f i′′1 − − β − d β 02 Ai −1 fi −1 − 2   ( 1+ d ) ( ( ) (( ) ( ( ) ( ) ) ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) Từ (*) suy x( ) ( t ) = A′ ( t ) x′ ( t ) + A ( t ) x′′ ( t ) + A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) x′ ( t ) + f ′′ ( t ) = A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) x′ ( t ) + A ( t ) ( A ( t ) x ( t ) + f ( t ) ) + f ′′ ( t ) = A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) x′ ( t ) + A2 ( t ) x ( t ) + A ( t ) f ( t ) + f ′′ ( t ) ( **) Vậy hệ số h viết lại sau 14 ′ ( d + 1) Ai′−1 x i −1 + 14 ( d + 1) Ai′−1 xi′−1 + 14 ( d + 1) Ai2−1 x i −1 + 14 ( d + 1) Ai −1 f i −1 + 24 24 24 24 14 + ( d + 1) f i′−′1 + − 4β 01 − 4dβ 02 Ai2−1 x i −1 + − 4β 01 − 4dβ 02 Ai −1 f i −1 + 24 ( + − 8β − 4dBβ 02 ( ) A′ i −1 ) ( ( ) (( ) 1 ′ x i′−1 + − 4β − dB β 02 Ai′−1 x i −1 + β ) ( ) + d β 02 )A i −1 x i −1 − 1 1  1  1 −  β11 − β + dβ12 − dβ 02  Ai2−1 x i −1 −  β11 − β + dβ12 − dβ 02  Ai −1 f i −1 − 2 2  2  1  ′ 1 − β11 − 4β + dBβ − 2dBβ 02 Ai′−1 x i′−1 −  β11 − β + dB − dB β 02  Ai′−1 x i −1 − 2    1  1 − − β β11 − dβ 02 β12 − β β11 − dβ 02 β12 Ai2−1 x i −1 −  β + β11 + dB  f i′′ −1 2   ( ( ) ) 64 1 7  1 =  ( + d ) − β − dBβ 02 − ( β11 − 2β + dB − dBβ 02 )  Ai′′1 xi −1 + − 2  12  7  7 1 +  ( + d ) − 8β − 4dBβ 02 − ( β11 − 4β + dBβ12 − 2dB β 02 )  Ai′−1 xi′−1 +  ( + d ) − 4β − 4d β 02 6   12 2 1  1 1 + β + d β 02 −  β11 − β + d β12 − d β 02 − β β11 − d β 02 β12 − β β − d β 02 β 22 ÷ Ai2−1 xi −1 2  ( ) ( ) 7 1  1 +  ( + d ) − 4β − 4d β 02 −  β11 − β + d β12 − d β 02 − β − d β 02 ÷ Ai −1 fi −1 + 2   12 7 1  +  ( + d ) −  β11 + β + dB ÷ fi′′1 − 2   12 7  =  ( + d ) − 4β + β11 + dB  ( Ai′′1 xi −1 + Ai′−1 xi′−1 + Ai −1 fi −1 + f i′′1 ) + − − 5  7  1  +  ( + d ) −  2β + 2d β 02 + β11 + ÷ Ai −1 xi −1 2d β12    12    ( ) 7 1  ( + d ) = β + β1 + dB ;  Hệ số h   ( + d ) = β + 2d β + β + d β 0 1 12  2 Từ điều kiện (1.10) ta có 2β = (1 + d ) − β11 − dB Thay vào hệ ta 5  ( 1+ d ) = β − dB + 2dB   ( + d ) = β + dβ  1 ( 3.11) • Hệ số h : 65 32 ( 5) 1 xi −1 − β + d β 02 Ai −1 xi′′′1 − 2 β + dB β 02 Ai′−1.2 xi′′−1 + − 120 1 − 4β + dB β 02 Ai′′1.2 xi′−1 + β + d β02 Ai2−1.2 xi′−1 − 8β + dB β 02 Ai′′′ xi −1 + − −1 2 ( 5) 1 +2 β + dB β 02 Ai −1 Ai′−1 xi −1 − ( + d ) xi −1 − β11 − β0 + d β12 − 2d β 02 Ai −1 xi′′′1 − 120 1 1 − β11 − β + dBβ12 − 2dBβ 02 Ai′−1 xi′′−1 − β1 − 8β + dB β12 − 2dB β 02 Ai′′1 xi′−1 − − 2 1 + β β11 + d β 02 β12 Ai2−1 xi′−1 − β11 − 16β + 6d β12 − 2dB β 02 Ai′′′ xi −1 − −1 1 + 3β β11 + 2dBβ 02 β12 Ai −1 Ai′−1 xi −1 − 8β + dB β 22 + dB β 02 Ai′′′ xi −1 − −1 1 1 + 3β β + 2dBβ 02 β 22 Ai −1 Ai′−1 xi −1 − 8β + β11 + dB f i′′′ − −1 ( ( 1+ d ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( (( ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ( ) + β0 ) ) ( ( ( ) (( 1 + β β11 Ai −1 f i′ + β − ) ) ) ) + β β11 Ai′−1 fi −1 + dB β 02 ( Ai −1 f i′ + Ai′−1 f i −1 ) − Từ (*) (**) suy x( 5) ( t ) = A′′′ ( t ) x ( t ) + A′′ ( t ) x′ ( t ) + A′′ ( t ) x′ ( t ) + A′ ( t ) x′′ ( t ) + + A ( t ) x′′′ ( t ) + f ′′′ ( t ) = A′′′ ( t ) x ( t ) + A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) x′′ ( t ) + A ( t ) x′′′ ( t ) + f ′′′ ( t ) = A′′′ ( t ) x ( t ) + A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) ( A ( t ) x ( t ) + f ( t ) ) + A ( t ) ( A′ ( t ) x ( t ) + A ( t ) x′ ( t ) + f ′ ( t ) ) + f ′′′ ( t ) = A′′′ ( t ) x ( t ) + A′′ ( t ) x ( t ) + A′ ( t ) A ( t ) x ( t ) + A2 ( t ) x′ ( t ) + A′ ( t ) f ( t ) + + A ( t ) f ′ ( t ) + f ′′′ ( t ) Hệ số h viết lại sau: ( d + 1) Ai′′′1xi −1 + ( d + 1) Ai′′1 xi′−1 + ( d + 1) Ai′−1 Ai −1xi −1 + ( d + 1) Ai2−1 xi′−1 + ( d + 1) Ai′−1 fi −1 − − 4 4 1 + ( d + 1) Ai −1 fi′ + ( d + 1) f i′′′ − β + d β 02 Ai −1 ( Ai′−1 xi −1 + Ai −1 xi′−1 + fi ′ ) + − −1 − 4 ( ( ) ) ( (( ) 1 −4 2β + dBβ 02 Ai′−1 ( Ai −1 xi −1 + fi −1 ) − 4β + dB β 02 Ai′′1 xi′−1 + β − ( )A ) ( ) + d β 02 )A x′ i −1 i −1 − 1 8β + dB β 02 Ai′′′ xi −1 + 2 β0 −1 − 1 β1 − 2β0 + d β12 − 2d β02 Ai −1 ( Ai′−1 xi −1 + Ai −1 xi′−1 + fi′ ) − − − 1 1 β1 − β + dB β12 − 2dBβ 02 Ai′−1 ( Ai −1 xi −1 + f i −1 ) − β11 − 8β + dB β12 − 2dB β 02 Ai′′1 xi′−1 − 2 ( ( ( ) ( ) ( ) + dB β 02 A′ x i −1 i −1 i −1 ) ) ( 66 ) ( ) + β β11 + d β 02 β12 Ai2−1 xi′−1 − ( 3β β 1 ) ( ) 1 8β + dB β 22 + dB3 β 02 Ai′′′ xi −1 − −1 1 Ai −1 Ai′−1 xi −1 − 8β + β11 + dB f i′′′ − −1 ( + 2dBβ 02 β12 Ai −1 Ai′−1 xi −1 − ( 1 + 3β β + 2dBβ 02 β 22 ( 1 β1 − 16β + 6d β12 − 2dB β 02 Ai′′′ xi −1 − −1 ( ) + β0 ) ) ( ) ( ) ( ) 1 + β β11 + dBβ 02 Ai −1 fi ′ + β − ) 2β β11 + dB β 02 Ai′−1 fi −1 1 1 1  1 =  ( d + 1) − 8β + dB β 02 − β1 − 16β + d β12 − 2dB3 β 02 − 8β + dB3 β 22 + dB3 β 02  Ai′′′ xi −1 −1 6 4  3  1 +  ( d + 1) − 4β + dB β 02 − β11 − 8β + dB β12 − 2dB β 02  Ai′′1 xi′−1 + − 4  ( ) ( ( ) ) ( ( ) (  1 + ( d + 1) − β + d β 02 − β + dB β 02 + 2 β + dB β02  1 1 − β1 − β + 2dB β12 − dB β 02 − β11 − 2β + d β12 − 2d β 02 1 2 1 − 3β β1 + 2dB β β1 + 3β β + 2dBβ02 β 22  Ai′−1 Ai −1 xi −1 +  ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) 67 )− ) (( ) 2 1 1 1 +  ( d + 1) − β + d β 02 + β + d β 02 − β11 − 2β + d β12 − 2d β 02 4 3 1  1 1 + β β1 d β 02 β12  Ai2−1 xi −1 +  ( d + 1) − β + dB β 02 −  β1 − 2β + dBβ12 − dBβ 02 ÷  2  4 ( ( ) ) ( ) ) (( ) ( ( ) ) ) + β β11 + dBβ 02  Ai′−1 fi −1 +   1 1 1 +  ( d + 1) − β + d β 02 − β11 − 2β + d β12 − 2d β 02 + β  +2 β ( ) ( ) ( ( ) )  β β11dB β 02  Ai −1 fi′ + −  1  1 +  ( d + 1) − 8β + β1 + dB  fi′′′ −1 4  ( ) 1 8 1 1  =  ( d + 1) −  β + β1 + dB ÷ ( Ai′′′ xi −1 + Ai′′1 xi′−1 + fi ′′′ ) + −1 − −1 6 6  4 1 7 1  1 +  ( d + 1) − −  β + β1 + d β 02 − β − β β11 + d β12 − dBβ 02 ÷ Ai2−1 xi′−1 + Ai −1 f i′ − 6 3  4 ( ) (  1  16  + ( d + 1) −  β + β1 + d β 02 − β + d β12 + d β12 + dBβ 02 ÷ Ai′−1 Ai −1 xi −1 + 3    3  1  +  ( d + 1) −  6β + β11 + d β 02 − β − β β11 + dBβ12 + 2dBβ 02 ÷ Ai −1 fi ′ −   4 ( ) ( ) Hệ số h5 1 1 1  ( d + 1) = β + β1 + dB ;   ( d + 1) = β + β + d β − β − β 1β + d β − dBβ ; 0 1 4 6  ( d + 1) = 16 β + β + d β − β + d β + d β + dBβ ; 0 1  3 3 1 1  ( d + 1) = β + β11 + d β 02 − β − 2β β11 + dBβ12 + 2dBβ 02 4 ( ) ( ) ( ) Từ (3.10) (3.11) ta có 68 ) ( d + 1) + dB − 2dB; 1 1 1 1 β = (d + 1) − β11 − dB = (d + 1) − ( d + 1) − dB + dB − dB 2 2 12 2 = ( d + 1) − dB + dB; 12 2 d β1 = −dB + 2dB ⇒ dB β12 = −dB + 2dB ; β11 = β 02 = B − β12 ⇒ 2dB β 02 = dB − dB β12 = dB − dB Suy hệ số h5  Bd ( − + 3B − B ) =    3  d ( d + 1)  12 + 12 B − B + B  =    ( 3.12) Nếu tham số thoả mãn điều kiện (3.3), (3.5), (3.10) (3.11) sai số địa phương cơng thức (3.8) O( h ), lúc hệ số nghiệm hệ phương trình: 1 β + β11 + β = 1; β 02 + β12 + β 22 = 1; d + = β11 + β + dB; ( d + 1) = β11 + d β12 ; ( d + 1) = β11 − dB + 2dB Nghiệm hệ • Hoặc d = 0, 1 1 β11 = , β = , β = 12 12 với tham số β12 , β 02 , β 22 , B tuú ý; • Hoặc 69 (3.13) ( d + 1) + dB − 2dB; β12 = − B + B; β11 = 1 ( d + 1) − dB + dB; 12 2 11 1 β = − d + − dB + dB; 12 12 2 β 02 = B − ; 2B β 22 = B − B + 2 β0 = (3.14) với tham số B tuỳ ý, d ≠ Nhận xét 3.1 Khi tham số thoả mãn điều kiện (3.13) cơng thức (3.8) trở thành: 5   1  Ri2+1 xi +1 − Ri +1 (2E + h Ai ) xi − Ri +1  − E + h Ai −1 ÷ xi −1 = h Ri +1  f i +1 + f i + f i −1 ÷ (3.15) 12 12    12  Ri +1 = E − h Ai +1 12 Sau chia hai vế cơng thức (3.15) cho Ri +1 ta thu cơng thức tiếng Numerov có sai số địa phương O( h6 ) Nhớ lại tµ = ti −1 + hB Đặt 1 1  S i +1 = E − h  ( d + 1) − dB + dB  Ai +1 ; 2 12   1 U i +1 = E − h  B − B  Aµ  2 Điều kiện (1.14) hai tham số tự ta có phương trình sai phân sau: (S i+1 + dU i2+1 ) yi+1    5   =  Si +1  E + h2  ( d + 1) + dB − 2dB ÷ Ai ÷ − dU i +1 E + h ( − B + B ) Aµ  yi − 6      (3.16)      −  Si+1 (− E + h ( ( − 11d ) − 6dB + 18dB ) Ai+1 − dU i+1  − E + h B B + 1ữ Aà ữ yi 12 2     ( + h ( Si +1ξ [ fi ] + dU i +1 + f µ ) , 70 ) hệ số tốn tử ξ1 [ f i ] xác định công thức (3.14) Sai số địa phương công thức (3.16) O( h5 ) Bởi cịn hai tham số tự B d , nên cịn có ý nghĩa xét phương trình (3.12) Nghiệm hệ mở rộng là: • Hoặc 1 1 d = 0, β11 = , β = , β = 12 β12 , β 02 , β 22 , B tuỳ ý Với nghiệm ta lại thu cơng thức Numerov • Hoặc 1 d = −1, B = 0, β11 = 0, β = 0, β = 1, β12 = 0, β 02 = 0, β 22 = • Hoặc 1 d = −1, B = 2, β1 = 0, β = 1, β = 0, β12 = 0, β 02 = 1, β 22 = Hai trường hợp cho M i +1 = Pi = Qi −1 = gi +1 ≡ nên khơng có ý nghĩa • Hoặc 1 1 − d , β = ( d + 1) , β = ( d + 1) , 6 12 12 2 β1 = 1, β = 0, β = d ≠ −1, B = 1, β11 = (3.17) Khi hệ số thoả mãn điều kiện (3.17) cơng thức (3.8) có sai số địa phương O( h ) Không thể chọn giá trị tương ứng d để tăng độ xác cao 3.1.3 Tính chất ổn định Với phương trình thử x′′ = −k x ta có ( ) xi +1 − Rmm υ xi + xi −1 = , υ = hk , hàm phân thức Rmm gọi hàm ổn định phương pháp • Khoảng hội tụ phương pháp ( 0,υ0 ) ( ) Rmm υ ≤ ∀0 ≤ υ ≤ υ0 71 • Phương pháp ổn định - P Rmm ( υ ) ≤ với số thực υ Lưu ý phương pháp Numerov có bậc hội tụ cao lược đồ sai phân hai bước, nhiên khoảng hội tụ hẹp, ( 0, ) Trong mục ta nghiên cứu tính chất ổn định phương pháp (3.8) với hệ số (3.17) đem lại lược đồ phụ thuộc vào tham số d ≠ có bậc bốn Vi +1 = E − h2 ( d + 1) Ai +1 ; ξ [ fi ] = 12 ( d + 1) fi +1 + ( 10 − 2d ) fi + ( d + 1) fi −1 12 Ta có ( ) t µ = ti −1 + β12 + β 02 h = ti −1 + h = ti ⇒ Aµ = Ai ,   h ( d + 1) f µ = fi , Li +1 =  E − Ai +1 dE ÷ = ( Vi +1 dE )  ÷ 12   Và với điều kiện (3.17) (3.8) viết lại thành (V i +1    h2 + dE xi +1 − Vi +1  E + ( 10 − 2d ) Ai ÷ + d E + h Ai 12    ) (      h2 − E + ( d + 1) Ai −1 ÷ − dE  xi −1 i +1  12     )  x − V = h ( Vi +1ξ [ fi ] + dfi )  i ( 1.18) Áp dụng cơng thức (3.18) cho phương trình thử y′′ = −k y ta  υ d + 1)  E + (  12     υ d + 1) ÷xi +1 −  E + ( ÷ + dE ÷  ÷ 12      υ ( d + 1) −  E +  12     υ2 ÷ E − ( 10 − 2d ) ÷+ d 2E − υ ÷ 12   (    υ2 − E − ( d + 1) ÷− dE  xi −1 = ÷ ÷ 12     Hay   υ ( d + 1)  υ ( 10 − 2d )   E + ÷ E − ÷+ d E − υ   ÷ ÷ 12 12       x +x =0 xi +1 − × i i −1 2  υ ( d + 1)  E + ÷ + dE  ÷ 12   ( ) với υ = hk Như cơng thức (3.18) có hàm ổn định tương ứng 72  )x −   i   υ ( d + 1)    υ (10 − 2d )    2E −  + d 2E − υ   E +   12   12     R22 = R22 υ =  2  υ ( d + 1)  E+  + dE  12    υ υ 1− − (5 − d) 144 = υ υ4 + + ( d + 1) 144 ( ( ) ( ) R22 υ ≤ ) Ta có ( 3.19) ∀υ ∈ R 4 − 2d < υ4 υ2 ⇔d≥ ( − 2d ) + − ≤ ∀υ ∈ R ⇔   ( − 2d ) 144 + ≤0 ∆ = 36 144  & & Như công thức ứng với d ≥ ổn định - P Với d < phương pháp 4 có khoảng hội tụ mở rộng so với công thức Numerov Bảng đưa số ví dụ để so sánh Nhận xét với d = ta nhận phương pháp Numerov d ν2 d ν2 0,5 −4 + ≈ 6,58 d d d ν2 ν2 −6 + ≈ 7, 41 1,5 −12 + 12 ≈ 8, 78 ν2 12 Một số đồ thị R22 (ν ) với d ≥ 2,5 Hình 3.1 Đồ thị phù hợp với lý thuyết trình bày 73 ... cho hệ sai phân 19 CHƯƠNG Về phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp Chương trình bày phương pháp Bulatov đề xuất giải số toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp (xem... tốt phương pháp cổ điển Phương pháp họ phương pháp bước, bậc hai, có phương pháp L-ổn định Nội dung Chương gồm hai mục Trong 2.1 chúng tơi trình bày phương pháp không cổ điển Bulatov đề xuất giải. .. đề xuất giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp Phương pháp không cổ điển Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp trình bày 2.2 Để làm sáng tỏ phương pháp, chúng tơi