sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Đoàn Hồng Ngọc SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Đoàn Hồng Ngọc

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCChuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đặng Đình Châu

Hà Nội-2011

Mục lục

1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov 6

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 6

1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó 8

1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán tử 8

1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra 9 1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 14

1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15

1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 16

1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov 18

1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov 19

2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình truyền sóng 27 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach 27

2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh 27

2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh 29

2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 31

2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh 31

2.2.2 Tính chất của toán tử sinh 32

2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm 33

2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35

2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu 42

2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 42 2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn 42

2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh 47

2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng 51

2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân 51

2.5.2 Phương trình truyền sóng 54

Lời mở đầu

Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trongnhững bài toán cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân Ngoài cácphương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng mộtvai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính vàdáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert

Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phươngpháp nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngoàicác ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết toán học, nó còn góp phần quan trọng trong việcnghiên cứu các mô hình ứng dụng trong vật lý học, hoá học và môi trường sinh thái.Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:

Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị vàcác kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gianHilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Chúng tôixin lưu ý rằng các toán tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phântrong chương này đều thuộc lớp các toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đócác nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổđiển

Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổngquát hơn, trong chương hai chúng tôi đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ

ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm củacác phương trình vi phân trong không gian Hilbert Nội dung chính của chương nàybao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm

có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh củaphương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với toán tử ở vế phải là toán

tử tuyến tính không giới nội Phần cuối của luận văn này, chúng tôi trình bày tóm tắt

về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhómcác toán tử tuyến tính

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác

giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn nàyđược hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đặng Đình Châu, người

đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua Mặc dù bận rất nhiều công việcnhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tôi hoànthành luận văn Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt chương trình cao học

và hoàn thành xong luận văn này Và tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính định chuẩn)

Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức

C, X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một

số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau:

• ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;

• ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X;

• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian đầy đủ)

Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ, tức là {xn}∞

n=1

là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0(n→ ∞)

Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach)

Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) gọi

là không gian Banach

Ví dụ 1.1.1 (Không gian Euclide n-chiều)

Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn (K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng

Ví dụ 1.1.2 (Không gian các hàm liên tục)

Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với phép cộng các hàm vànhân một hàm với một số được hiểu theo nghĩa thông thường Bởi vì mọi hàm liên tụctrên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định

||x|| = max

a≤t≤b|x(t)|, x∈ C[a, b]

Dễ thấy hàm x 7→ ||x|| xác định như trên là một chuẩn trên C[a, b] Như vậy C[a, b]

là một không gian tuyến tính định chuẩn Ta có thể chứng minh C[a, b] là một khônggian Banach, xem [1] trang 7

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tiền Hilbert)

Không gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K là R hoặc C) được gọi là khônggian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x

và y thỏa mãn các tiên đề

• (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ X Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0

• (x, y) = (y, x) với mọi x, y ∈ X.

• (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với mọi α, β ∈ K và với mọi x, y, z ∈ X

Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert)

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vô hướng

kxk =p(x, x), x∈ X

1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó

1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán

tử

Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính)

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử A : X → Yđược gọi là tuyến tính nếu:

A(αx + βy) = αAx + βAy với mọi x, y ∈ X và với mọi α, β ∈ K

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọidãy xn hội tụ đến x0, ta đều có Axn → Ax0 (n→ ∞)

Định lý 1.2.1 (Xem [1], trang 22)

Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X.Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian)

ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại x = 0

Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội)

Giả sử X, Y là các không gian Banach Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyếntính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giớinội

Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tínhgiới nội trên X

Định lý 1.2.2 (Xem [1], trang 22)

Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội

Định lý 1.2.3 (Xem [1], trang 22)

Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính Điều kiệncần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho:

kAxk 6 c kxk với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y là các không gian Banach Chuẩn kAk của toán tửtuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:

kAk = sup

kxk61kAxk = sup

x6=0

kAxkkxk .Định nghĩa 1.2.5 (Toán tử đóng)

Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X Toán tửtuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {xn}∞n=1 ⊂ D(A)

mà xn → x, Axn → y thì x ∈ D(A) và Ax = y hay nói cách khác đồ thị G(A) ={(x, Ax) : x ∈ D(A)} ⊂ X × Y là tập đóng trong X × Y

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơcon của X Nếu A : D(A) → Y là toán tử bị chặn thì A là toán tử đóng khi và chỉ khiD(A) là không gian vectơ con đóng

Chứng minh Thật vậy, vì A bị chặn nên A liên tục Giả sử {xn}∞n=1 ⊂ D(A) : xn→ x,

Axn → y Khi đó x ∈ D(A) khi và chỉ khi D(A) đóng Ax = y do A liên tục và giớihạn là duy nhất

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử X, Y là các không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y Khi

đó B : D(B) ⊂ X → Y gọi là mở rộng của A nếu D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi

x∈ D(A)

Toán tử A gọi là có bao đóng nếu B là mở rộng của A và B là toán tử đóng

1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử

Volterra

Giả sử X là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.7 Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A),trong đó D(A) là không gian vectơ con của X

(i) Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữaD(A) và X đồng thời (λI− A)−1 ∈ L(X)

(ii) Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.

(iii) Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử A(kí hiệu là σ(A)) Ta có σ(A) = C \ ρ(A)

(iv) Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán

tử A

Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục) Do đónếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng Suy ra nếu (λI − A) là song ánh giữaD(A), A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục Vậy đốivới toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A) Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X);

B : X → D(A) Giả sử {xn}n⊂ D(A): xn→ x, Axn→ y

Đặt hn = (λI−A)xn.Suy ra lim

n↓∞hn = λx−y Vì B liên tục nên B(λx−y) = lim

n↓∞Bhn=lim

n↓∞xn = x Suy ra x∈ D(A) Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y Suy

ra Ax = y

Vậy A là toán tử đóng

Định lý 1.2.5 (Phương trình giải thức Hilbert)

Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau:

R(λ, A)− R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A)

Chứng minh Ta có: λR(λ, A) − AR(λ, A) = I = µR(µ, A) − AR(µ, A)

Suy ra

[λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A)

R(λ, A)[µR(µ, A)− AR(µ, A)] = R(λ, A)

Do A, R(λ, A) giao hoán nên

R(λ, A)− R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A)

Hệ quả 1.2.1 Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), R(λ, A), R(µ, A) giao hoán và:

dn

dλnR(λ, A) = (−1)nn!R(λ, A)n+1 ∀n ∈ N (1.1)(iii) Giả sử dãy số {λn}n ⊂ ρ(A) và lim

n→∞λn= λ0.Khi đó λ0 ∈ σ(A) ⇔ lim

n→∞kR(λn, A)k = +∞

Chứng minh xem [6], chương V, mệnh đề 1.3

B Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach

Phổ của toán tử sẽ phụ thuộc vào loại không gian mà toán tử xác định trên đó và loạitoán tử mà ta xét đến Sau đây ta xét toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gianBanach phức X

Định lý 1.2.7 Cho T ∈ L(X) trong đó X là không gian Banach Nếu kTk < 1 thì(I− T )−1 tồn tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X và

(I− T )(I + T + + Tn) = (I + T + + Tn)(I − T ) = I − Tn+1

Cho n → ∞ Khi đó Tn+1 → 0 vì kT k < 1 Ta suy ra (I − T )Sn = Sn(I− T ) → I.Chứng tỏ S = (I − T )−1

λ∈ ρ(T ) Khi đó phổ σ(T ) = C\ρ(T ) phải nằm trong hình tròn 1.3 Vậy σ(T ) bị chặn

được gọi là bán kính phổ của toán tử T

Định lý 1.2.11 (Công thức tính bán kính phổ, xem [6] trang 158)

Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach X Khi đó bán kính phổr(T ) của toán tử T được tính bởi công thức sau

D Ví dụ về phổ của toán tử Volterra

Cho k(t, s) là một hàm liên tục hai biến trên tập

D := { (t, s) : a 6 t 6 b, a 6 s 6 t} Với một hàm f cho trước trên đoạn [a, b], phương trình sau đây được gọi là phươngtrình tích phân Volterra loại 2

Với mọi t ∈ [a, b], ta có:

kAnxk 6 K

n(b− a)nn! kxk Suy ra

Vậy r(A) = 0 Theo định lý 1.2.9, σ(A) 6= ∅ nên λ = 0 ∈ σ(A) Vậy σ(A) = { 0}.Một trong những ý nghĩa của việc xác định được phổ của toán tử Volterra ở trên

là toán tử I − A khả nghịch và do đó phương trình tích phân Volterra 1.7 có nghiệmduy nhất x = (I − A)−1f

1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi

phân trong không gian Hilbert

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn địnhcủa phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo hai phương phápcủa Lyapunov, đó là phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhấtLyapunov Trước hết, ta cần nhắc lại khái niệm phương trình vi phân trong không gianHilbert cũng như nghiệm của nó và một số định lý cơ bản về sự có nghiệm của phươngtrình này

1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert Trong H ta xét phương trình vi phân

dx(t)

dt = f (t, x(t)) với mọi t ∈ I,trong đó dx(t)

dt là đạo hàm được hiểu theo nghĩa Fretche

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.9) thỏa mãn điềukiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0)∈ I × H cho trước

Tương ứng với phương trình (1.9), người ta thường xét phương trình dạng tíchphân:

Khi đó tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận đó (1.9) có duy nhất nghiệm x = x(t)thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0

Chứng minh xem [2], định lý 2.1 trang 187

Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t0|| ≤ ǫ , ||x − x0|| ≤ η với ǫ, η

đủ nhỏ Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b]

Định lý 1.3.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏamãn điều kiện Lipschitz (1.11) Khi đó với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H, bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b]

Chứng minh xem [2], định lý 2.2 trang 188

Định lý 1.3.3 (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện

||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

Z r

r 0

drL(r) → ∞ khi r → ∞

Khi ấy mọi nghiệm của phương trình (1.9) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vôhạn t0 ≤ t < ∞

Chứng minh xem [2], định lý 2.3 trang 189

1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân

trong không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert tách được;

Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu :

∀ǫ > 0, t0 ∈ R+; ∃δ = δ(t0, ǫ) > 0 :∀x0 ∈ G; ||x0|| < δ → ||x(t, t0, x0)|| < ǫ; ∀t ≥ t0.Định nghĩa 1.3.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi nếu số δ trong định nghĩa (1.3.2) không phụthuộc vào t0

Định nghĩa 1.3.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) đượcgọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu :

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định;

(ii) Tồn tại △ = △(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < △ thì

lim

t→+∞||x(t, t0, x0)|| = 0

Định nghĩa 1.3.5 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) đượcgọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều;

(ii) Tồn tại △ > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn

||x(t, t0, x0)|| ≤ B||x0||e−α(t−t 0 )

trong đó B, α là hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0, x0)

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ta thường dùng hai phươngpháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov và phương pháp thứ haiLyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov

Trước hết tôi sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản về tính ổn định của nghiệmtầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàmLyapunov

1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp

hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.3.7 (Phiếm hàm Lyapunov)

Ta nói phiếm hàm V : R+× H → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ haị

Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.12), kí hiệu là V (t, x) được xác định.bởi

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định đềụ

Định lý 1.3.6 (Định lý ổn định tiệm cận đều, xem [9].)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàmặ), b(.), c(.)∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:

(i) ă||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);

(ii) V (t, x). ≤ −c(||x||)

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định tiệm cận đềụPhương pháp hàm Lyapunov được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tínhcác hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến Tuy nhiên việc xác định hàm Lyapunov nóichung là khó Vì vậy để nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình vi phân người

ta còn sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ramột số định lý về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính cónhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov

1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến

tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov

A Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính thuầnnhất trong không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert Trong H, xét phương trình

.

trong đó U(t) là hàm toán tử lấy giá trị trong L(H) Giả sử U(t) là nghiệm của phươngtrình 1.14 thoả mãn điều kiện U(0) = I, ta chứng tỏ tồn tại toán tử ngược U−1(t).Thật vậy, ký hiệu V (t) là nghiệm của phương trình V =. −V A(t) thoả mãn điều kiện

Đặt W (t, t0) = U(t)U−1(t0) thì W (t, t0) được gọi là toán tử Cauchy của phươngtrình 1.13 W (t, t0) có tính chất W (t, t1)W (t1, t0) = W (t, t0) Dễ thấy, nghiệm củaphương trình 1.13 thoả mãn điều kiện x(t0) = x0 có thể viết dưới dạng x(t) =

W (t, t0)x0

Trong trường hợp đặc biệt, khi A(t) = A, A ∈ L(H), ta sẽ chỉ ra U(t) = eAt Toán

tử mũ eAt được xác định như sau

Định nghĩa 1.3.8 Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, tađịnh nghĩa

tnkAknn! với mọi t > 0

và chuỗi số P∞

n=0

tnkAknn! hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert Do đó chuỗi P∞

n=0

(tA)nn! hội tụtrong L(X) Vì vậy etA hoàn toàn được xác định

Bây giờ, xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert H

.

x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t > 0; (1.16)với A : H → H là toán tử tuyến tính giới nội Ta sẽ chứng minh etAx0 là nghiệm củaphương trình 1.16 thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Trước hết ta cần có mệnh

đề sau

Mệnh đề 1.3.1 Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xácđịnh etA bởi 1.15 Khi đó, ánh xạ

R+ t 7→ T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)liên tục và thoả mãn

T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ 0,

e0A = I

(Ký hiệu R+ là tập các số thực không âm.)

Chứng minh Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi luỹ thừa:

! ∞X

n=0

(sA)nn!

cn= 1n!

n.Vậy

Khi đó, ta có

e(t+h)A− etA = etA(ehA− I)với mọi t, h ∈ R Do đó, để chứng minh T (T ) liên tục, ta chỉ cần chỉ ra

|h|·kAk

− 1

Vậy mệnh đề được chứng minh

Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng etAx0 là nghiệm của phương trình 1.16 thoả mãnđiều kiện ban đầu x(0) = x0

Định lý 1.3.7 Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xácđịnh etA bởi 1.15 Khi đó, ánh xạ

R+ t 7→ T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)khả vi và thoả mãn

với mọi t, h ∈ R Do đó, để chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra

6kAk (e|h|·kAk− 1) → 0 khi h → 0

Vậy định lý được chứng minh

Kết quả sau đây được trích dẫn từ tài liệu [4]

Định lý 1.3.8 (Định lý Lyapunov về ổn định mũ của phương trình vi phân)

Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình 1.16 ổn định mũ nếu một trong các mệnh

đề sau được thoả mãn

(i) r(eA) < 1, ở đây r(eA) là bán kính phổ của toán tử eA

(ii) σ(A) ⊂ {z ∈ C : Rez < 0}

B Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong khônggian Hilbert

Trong phần này ta xét mối liên hệ về sự ổn định của nghiệm tầm thường củaphương trình thuần nhất và không thuần nhất Giả sử W (t, t0) = U(t)U−1(t0) là toán

tử Cauchy của phương trình 1.13 Dễ thấy, nếu có bất đẳng thức

||W (t, t0)|| ≤ Be−α(t−t0 ) (1.18)trong đó B, α là hằng số dương nào đó, không phụ thuộc vào t0 thì đây là điều kiện

để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.13) ổn định theo số mũ

Tương ứng với phương trình thuần nhất 1.13, ta xét phương trình không thuầnnhất

dx

dt = A(t)x + u(t),trong đó u(t) là hàm lấy giá trị trong H Nghiệm của phương trình này có thể nhậnđược theo công thức Cauchy:

Để xét sự ổn định của phương trình 1.19 ta cần tới các bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề Gronwall, xem [3]) Giả sử u, m : R+ → R+ \{ 0} là các hàmliên tục Khi đó nếu

Định lý 1.3.9 (Về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất)

Nếu điều kiện (1.20) và (1.18) được thỏa mãn và ngoài ra nếu các hằng số α, B, Lthỏa mãn bất đẳng thức

thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.19) sẽ ổn định mũ

Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương trình(1.13)

x(t) = W (t, t0)x0+

Z t

t 0

W (t, τ )R(τ, x(τ ))dτ (1.22)

Từ các điều kiện(1.20) và (1.18) ta có đánh giá

Vì BL − α < 0 nên ta có sự ổn định theo số mũ cần chứng minh

Cùng với toán tử tuyến tính A(t) bây giờ ta xét toán tử tuyến tính F (t) khác

Hệ quả 1.3.1 Giả sử bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn và có bất đẳng thức

Chứng minh Giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình 1.26 thoả mãn điều kiệnban đầu x(t0) = x0 ta có

kx(t)k → 0 (t → +∞).Vậy x(t) = 0 ổn định tiệm cận

nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trongkhông gian Hilbert Cuối chương là phần trình bày tóm tắt một ứng dụng thực tế của

lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền sóng

2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian

Ba-nach

Để tổng quát, chúng ta đi tìm hiểu tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh trongkhông gian Banach, các tính chất này sẽ vẫn còn đúng trong không gian Hilbert

2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 2.1.1 Một họ (T (t))t≥0 của toán tử tuyến tính bị chặn trên không gianBanach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm ) nếu nó thoảmãn phương trình hàm

và liên tục mạnh theo nghĩa như sau Với mọi x ∈ X, ánh xạ quỹ đạo

(SC) ξx : t7→ ξx(t) = T (t)xliên tục từ R+ 7→ X

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tậpcompact K ∈ R vào L(X) Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(i) F là toán tử tôpô liên tục mạnh, tức là ánh xạ K  t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục vớimọi x ∈ X

(ii) F là bị chặn đều trên K và ánh xạ K  t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục với mọi

x∈ D ⊂ X, D trù mật trong X

(iii) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập compact của X, tức là ánh xạ

K× C  (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X

Chứng minh xem [6], I.1.2

Mệnh đề 2.1.2 Cho một nửa nhóm T (t)t≥0 trên một không gian Banach X Khi đócác tính chất sau là tương đương

(i) T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 2.1.3 Cho f : R → C và t ≥ 0 Ta gọi (Tl(t)f )(s) = f (s + t), với s∈ R

là phép tịnh tiến trái của f bởi t và (Tr(t)f )(s) = f (s− t), với s ∈ R là phép tịnh tiếnphải của f bởi t

Ví dụ 2.1.1 (Nửa nhóm tịnh tiến)

Xét trong không gian Lp(R) (không gian các hàm khả tích bậc p trên R, 1≤ p < +∞)các phép tịnh tiến trái

T (t)f (s) = f (t + s) ∀s ∈ R, ∀t ≥ 0

Khi đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

Chứng minh • Ta chứng minh T(t) là toán tử tuyến tính Thật vậy, với mọi t, h ≥ 0

và với mọi f1, f2 ∈ Lp(R) ta có:

T (t)(f1+ f2)(s) = (f1+ f2)(t + s) = f1(t + s) + f2(t + s) = T (t)f1(s) + T (t)f2(s).Suy ra T (t)(f1+ f2) = T (t)f1+ T (t)f2 Ngoài ra, với mọi f ∈ Lp(R) và k ∈ C tacó

Suy ra ||T (t)|| = 1 với mọi t ≥ 0

• Ta chứng minh (T (t))t≥0 là nửa nhóm Thật vậy, với mọi t1, t2, s≥ 0 và với mọi

f ∈ Lp(R), ta có:

T (t1+ t2)f (s) = f (t1+ t2+ s);

[T (t1)T (t2)f ](s) = [T (t1)(T (t2)f )](s) = T (t2)f (t1+ s) = f (t2+ t1+ s).Suy ra T (t1+ t2) = T (t1)T (t2) Ngoài ra, với mọi f ∈ Lp(R) ta có

T (0)f (s) = f (0 + s) = f (s)nên T (0)f = f Suy ra T (0) = I