tính chính quy lyapunov trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Huyền Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Huyền Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Toán tử unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Phương pháp trực giao hóa Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.7 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 5 2.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Cách đưa bài toán về trường hợp tam giác trên . . . . . . . . . 8 2.4 Đặc trưng của tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 17 3.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Cách đưa bài toán về trường hợp tam giác trên . . . . . . . . . 19 3.4 Hệ số chính quy và hệ số Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Đặc trưng của tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 Một số đánh giá cho hệ số chính quy và hệ số Perron . . . . . . 32 ii 4 Tính ổn định của phương trình không ôtônôm trong không gian Hilbert 35 4.1 Một số điều kiện của phương trình vi phân không ôtônôm . . . 35 4.2 Các kết quả về tính ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và môi trường học. Vì vậy, lý thuyết ổn định của phương trình vi phân đang được phát triển mạnh mẽ. Có hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân là phương pháp sử dụng số mũ đặc trưng Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp thứ nhất Lyapunov), phương pháp hàm Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp thứ hai Lyapunov). Luận văn tập trung vào phương pháp thứ nhất. Cơ sở của phương pháp này là khái niệm số mũ Lyapunov. Với trường hợp phương trình vi phân ôtônôm v  = Av trong không gian hữu hạn chiều, giá trị riêng được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Một kết quả chúng ta đã biết cho trường hợp này là: Định lý 0.0.1. Phương trình vi phân ôtônôm thuần nhất v  = Av, v ∈ R n ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực không dương, và các giá trị riêng có phần thực bằng 0 đều có ước cơ bản đơn. Nó là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm. Còn trong trường hợp phương trình vi phân không ôtônôm thuần nhất v  = A(t)v, số mũ Lyapunov được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Chúng ta cũng đã biết điều kiện đủ của tính ổn định nghiệm của phương trình này như sau: Định lý 0.0.2. Phương trình v  = A(t)v ổn định tiệm cận khi số mũ Lyapunov lớn nhất của nó là âm. Trong trường hợp phương trình ôtônôm hữu hạn chiều, với giả thiết thích hợp, một nguyên lý cơ bản là từ sự ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất Lời nói đầu v v  = Av sẽ kéo theo sự ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính với nhiễu nhỏ v  = Av+f(v). Còn trong trường hợp không ôtônôm, điều này không đúng nữa. Vậy bài toán đặt ra là với điều kiện nào thì phương trình vi phân nửa tuyến tính v  = A(t)v + f(t, v) ổn định tiệm cận. Để giải quyết bài toán này, ngoài dùng số mũ Lyapunov, chúng ta còn cần một công cụ khác là hệ số chính quy. Luận văn hệ thống lại các kết quả về tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều sau đó suy rộng cho trường hợp không gian Hilbert. Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị " trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian Hilbert, toán tử liên hợp, toán tử unita, các khái niệm về ổn định nghiệm, bổ đề Gronwall-Bellman, phương pháp trực giao hóa Schmidt, nguyên lý điểm bất động. Chương 2: "Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều" trình bày khái niệm số mũ Lyapunov, tính chính quy và đặc trưng của tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều. Chương 3: "Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert" trình bày nội dung chính của luận văn. Có ba kết quả chính trong chương này. Thứ nhất, khái niệm số mũ Lyapunov và tính chính quy Lyapunov cho phương trình vi phân không ôtônôm trong không gian Hilbert được thiết lập. Thứ hai, hai đặc trưng của tính chính quy Lyapunov (sử dụng hệ số chính quy và hệ số Perron) được trình bày trong nội dung định lý 3.4.1 và định lý 3.4.2. Thứ ba, các ước lượng cho hệ số chính quy và hệ số Perron được trình bày trong mục 3.5. Chương 4: "Tính ổn định của phương trình không ôtônôm trong không gian Hilbert" trình bày các ứng dụng của hệ số chính quy để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của phương trình vi phân nửa tuyến tính v  = A(t)v + f(t, v) trong không gian Hilbert. Hà nội, ngày 22 tháng 05 năm 2012 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert Không gian đủ: Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ tới một phần tử của X được gọi là một không gian metric đủ. (Dãy {x n } ⊂ X là dãy cơ bản nếu lim n,m→+∞ ||x n − x m || = 0). Không gian tiền Hilbert: Không gian vectơ thực X được gọi là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó xác định một hàm hai biến x, y gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y thỏa mãn các tính chất sau: (i) tính đối xứng: x, y = y, x; (ii) song tuyến tính: αx + βy, z = α x, z + β y, z với mọi α, β ∈ R; (iii) thuần nhất dương: x, x > 0 nếu x = 0 và x, x = 0 nếu x = 0. Không gian Hilbert H là không gian tiền Hilbert, đầy đủ, trong đó khoảng cách giữa các phần tử x, y ∈ H được xác định bởi ||x − y|| =  x − y, x − y . 1.2 Toán tử liên hợp Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H. Do (Ax, y) là phiếm hàm song tuyến tính liên tục nên tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A ∗ thỏa mãn Ax, y = x, A ∗ y. Toán tử A ∗ xác định như vậy được gọi là toán tử liên hợp của A. Toán tử liên hợp A ∗ của toán tử A có các tính chất sau: 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2 (i) ||A ∗ || = ||A||; (ii) (A ∗ ) ∗ = A; (iii) (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ , (αA) ∗ = αA ∗ ; (iv) (AB) ∗ = B ∗ A ∗ . 1.3 Toán tử unita Cho H là không gian Hilbert. Toán tử unita là toán tử tuyến tính bị chặn U : H → H thỏa mãn U ∗ U = UU ∗ = I, trong đó U ∗ là toán tử liên hợp của U và I : H → H là toán tử đồng nhất. Toán tử unita U có các tính chất sau: (i) U bảo toàn tích vô hướng của không gian Hilbert H; (ii) U là toàn ánh; (iii) Miền giá trị của U là trù mật và nghịch đảo U −1 của nó là bị chặn, U −1 = U ∗ . 1.4 Nguyên lý điểm bất động Cho X là không gian định chuẩn đầy đủ. Ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số θ thỏa mãn 0 < θ < 1, sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X thì ||f(x 1 ) − f(x 2 )|| ≤ θ||x 1 − x 2 ||. x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x) = x. Nguyên lý ánh xạ co: Mọi ánh xạ co f : X → X đều có duy nhất một điểm bất động. 1.5 Phương pháp trực giao hóa Schmidt a) Xét không gian R n : Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ n vectơ độc lập tuyến tính {u 1 , . . . , u n } sang hệ n vectơ {v 1 , . . . , v n } không chứa vectơ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 θ, trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ của hệ {v 1 , . . . , v n } biểu diễn tuyến tính qua hệ {u 1 , . . . , u n }. b) Xét không gian Hilbert H: Hệ {u n } các phần tử của không gian Hilbert H được gọi là hệ trực giao nếu u i , u j  = 0 với mọi i = j. Cho hệ {u n } các phần tử của không gian Hilbert H sao cho với mọi n hệ {u 1 , . . . , u n } độc lập tuyến tính. Khi đó tồn tại một hệ trực giao {v n } cùng lực lượng với {u n } sao cho với mọi n, hai hệ vectơ u 1 , . . . , u n và v 1 , . . . , v n có cùng bao tuyến tính. Mọi không gian Hilbert tách được có một hệ trực chuẩn đầy đủ đếm được hoặc hữu hạn. 1.6 Bổ đề Gronwall-Bellman Cho λ(t) là hàm thực liên tục và µ(t) là hàm liên tục không âm trên khoảng [a, b]. Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn tính chất y(t) ≤ λ(t) + t  a µ(s)y(s)ds với mọi t ∈ [a, b], thì cũng trên khoảng đó ta có y(t) ≤ λ(t) + t  a λ(s)µ(s)e t  s µ(τ)dτ ds. Nếu λ(t) = λ là một hằng số thì y(t) ≤ λe t  a µ(s)ds . 1.7 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét phương trình vi phân tuyến tính sau v  = A(t)v + f(t, v), f(t, 0) = 0 (1.1) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1. Nghiệm u = u(t), a < t < ∞ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định theo Lyapunov (hay ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi  > 0 và t 0 ∈ (a, ∞), tồn tại số δ = δ(, t 0 ) > 0 sao cho: (i) Tất cả các nghiệm v = v(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ||v(t 0 ) − u(t 0 )|| < δ thì xác định trong khoảng t 0 < t < ∞; (ii) Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn ||v(t) − u(t)|| <  khi t 0 ≤ t < ∞. Trường hợp đặc biệt, nghiệm không (nghiệm tầm thường) u(t) = 0, (a < t < ∞) ổn định nếu với mọi  > 0 và t 0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(, t 0 ) sao cho bất đẳng thức ||v(t 0 )|| < δ kéo theo bất đẳng thức ||v(t)|| <  khi t 0 < t < ∞. 2. Trong định nghĩa trên, nếu số δ > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t 0 ∈ G (G = (a, ∞)), tức là δ = δ() thì ổn định được gọi là ổn định đều. 3. Nghiệm u = u(t) (a < t < ∞) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞, nếu: (i) Nghiệm u = u(t) ổn định theo Lyapunov; (ii) Với mọi t 0 ∈ (a, ∞) tồn tại ∆ = ∆(t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm v(t) (t 0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện ||v(t 0 ) − u(t 0 )|| < ∆ sẽ có tính chất lim t→∞ ||v(t) − u(t)|| = 0. Trường hợp đặc biệt, nghiệm không u(t) = 0 ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và lim t→∞ v(t) = 0 khi ||v(t 0 )|| < ∆. 4. Nghiệm u(t) = 0 được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số γ > 0 sao cho với mọi t 0 , tồn tại số N = N(t 0 ) mà ||v(t)|| ≤ Ne −γ(t−t 0 ) , trong đó v(t) là nghiệm với điều kiện ban đầu ||v(t 0 )|| đủ bé. [...]... suy ra γ(λ, µ) = 0 Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert Trong phần này, chúng ta sẽ suy rộng khái niệm tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 3.1 Số mũ Lyapunov Giả sử H là không gian Hilbert thực tách được Xét bài toán giá trị ban đầu v = A(t)v, v(0) = v0 , (3.1) trong đó v0 ∈ H và A : R0 + → B(H), với B(H) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên H, thỏa mãn... chính quy của λ và µ là γ(λ, µ) = sup{γn (λ, µ) : n ∈ N} 2 Hệ số Perron của λ và µ trong không gian hữu hạn chiều (không gian Hn ) là πn (λ, µ) = max{λi,n + µi,n : i = 1, , n} Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 23 3 Hệ số chính quy của λ và µ trong không gian hữu hạn chiều (không gian Hn ) là γn (λ, µ) = min max{λ(vi ) + µ(wi ) : 1 ≤ i ≤ n} với giá trị nhỏ nhất lấy trên tất... ứng trong (3.5) và (3.10) là E1,n ⊂ · · · ⊂ Epn ,n = Hn và Fqn ,n ⊂ · · · ⊂ F1,n = Hn Mệnh đề 3.5.1 Luôn tồn tại các cơ sở chuẩn tắc đối ngẫu v1 , , vn và w1 , , wn của không gian Hn Chúng ta đi tới một định lý dùng hệ số Perron và hệ số chính quy để đặc trưng cho tính chính quy Theo nội dung của định lý này, tính chính quy của phương trình (3.1) trong không gian Hilbert H được quy về tính chính. .. nhận thấy việc nghiên cứu tính chính quy Lyapunov của bài toán (2.1) được quy về việc nghiên cứu tính chính quy của bài toán (2.12) Điều đó được thể hiện trong định lý dưới đây Định lý 2.3.2 Phương trình v = A(t)v là chính quy Lyapunov khi và chỉ khi phương trình x = B(t)x là chính quy Lyapunov Chứng minh Theo Định lý 2.3.1, bài toán (2.1) tương đương với bài toán (2.12), trong đó nghiệm v(t) của (2.1)... về tính chính quy của dãy các không gian hữu hạn chiều Hn Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 27 Định lý 3.5.1 Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Phương trình (3.1) là chính quy Lyapunov, tức là γ(λ, µ) = 0; (ii) γn (λ, µ) = 0 với mọi n ∈ N; (iii) πn (λ, µ) = 0 với mọi n ∈ N; (iv) Với mọi n ∈ N và cơ sở chuẩn tắc đối ngẫu v1 , , vn và w1 , , wn của không gian Hn , ta có... nghĩa 3.1.1 Số mũ Lyapunov λ : H → R ∪ {−∞} của phương trình (3.1) được định nghĩa như sau 1 log ||v(t)||, t→+∞ t λ(v0 ) = lim trong đó v(t) là nghiệm của (3.1) (ta quy ước log 0 = −∞) (3.3) Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 18 Nhận xét Chúng ta cố định một dãy các không gian con H1 ⊂ H2 ⊂ · · · sao cho dim Hn = n với mọi n ∈ N, và ∪ Hi = H Do Hn là không gian vectơ hữu i hạn... ≤ lim γn Vì vậy, dãy (γn )n hội tụ Các bất đẳng thức trong (3.21) n→∞ n→∞ được suy từ (3.19) bằng cách cho n → ∞ trong (3.19) 3.5 Đặc trưng của tính chính quy Cũng giống như trong không gian hữu hạn chiều, hệ số chính quy và hệ số Perron được dùng để đặc trưng cho tính chính quy của (3.1) Điều đó được thể hiện trong định lý đặc trưng dưới đây Trong phần này, hai cơ sở đối ngẫu v1 , , vn và w1 ,... (3.24) trong đó giá trị nhỏ nhất đầu tiên lấy trên tất cả các cơ sở đối ngẫu v1 , , vn+m và w1 , , wn+m của không gian Hn+m ; và giá trị nhỏ nhất thứ hai được lấy trên tất cả các cơ sở đối ngẫu v1 , , vn+m và w1 , , wn+m của không gian Hn+m sao cho v1 , , vn = w1 , , wn = Hn Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 26 Một cách tương tự như dãy (πn )n , theo tính đơn... Ei,n = {v ∈ Hn : λ(v) ≤ λi,n } (3.5) là không gian con tuyến tính của Hn Chúng ta cũng xét các giá trị λ1,n ≤ · · · ≤ λn,n (3.6) của số mũ Lyapunov λ trên Hn \{0} được tạo thành bằng cách lặp lại mỗi giá trị λi,n với số lần bằng dim Ei,n − dim Ei−1,n (trong đó E0,n = {0}) 3.2 Tính chính quy Tương tự như trong không gian Rn , trước khi định nghĩa tính chính quy, chúng ta xét bài toán liên hợp với (3.1)... Chương 3 Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 19 là không gian con tuyến tính của Hn Tương tự, chúng ta cũng xét các giá trị µ1,n ≥ · · · ≥ µn,n (3.11) của số mũ µ trên Hn \{0} được tạo thành bằng cách lặp lại mỗi giá trị µi,n với số lần bằng dim Fi,n − dim Fi+1,n (trong đó Fn+1,n = {0}) Trong chương này, chúng ta luôn giả sử rằng các số mũ λ và µ chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị trong . động. Chương 2: " ;Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều" trình bày khái niệm số mũ Lyapunov, tính chính quy và đặc trưng của tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn. " ;Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert& quot; trình bày nội dung chính của luận văn. Có ba kết quả chính trong chương này. Thứ nhất, khái niệm số mũ Lyapunov và tính chính quy Lyapunov. Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Huyền Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV