Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Đồn Hồng Ngọc SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đặng Đình Châu Hà Nội-2011 Mục lục Lời mở đầu Không gian Hilbert ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert theo hai phương pháp Lyapunov 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.2 Tốn tử tuyến tính phổ 1.2.1 Tốn tử tuyến tính, tốn tử đóng bao đóng tốn tử 1.2.2 Phổ tốn tử tuyến tính ví dụ phổ tốn tử Volterra 1.3 Sự ổn định theo Lyapunov phương trình vi phân không gian Hilbert 14 1.3.1 Phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 1.3.2 Các khái niệm ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert 1.3.3 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov 1.3.4 16 18 Sự ổn định phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính có nhiễu khơng gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov 19 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu ứng dụng phương trình truyền sóng 27 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach 27 2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh 27 2.1.2 Ví dụ nửa nhóm liên tục mạnh 29 2.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 31 2.2.1 Định nghĩa toán tử sinh 31 2.2.2 Tính chất tốn tử sinh 32 2.2.3 Ví dụ tốn tử sinh nửa nhóm 33 2.2.4 Các định lý tốn tử sinh nửa nhóm co liên tục mạnh 35 2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu 42 2.3.1 Khái niệm nhiễu tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 42 2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn 42 2.4 Phương trình tiến hố đặt chỉnh 47 2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng 51 2.5.1 Khơng gian hàm tốn tử vi phân 51 2.5.2 Phương trình truyền sóng 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Lời mở đầu Nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân tốn lý thuyết định tính phương trình vi phân Ngồi phương pháp Lyapunov (1857-1918), gần phương pháp nửa nhóm đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất hệ động lực tuyến tính dáng điệu nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert Mặc dù trải qua thời gian dài hình thành phát triển, phương pháp nghiên cứu nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu ngồi ý nghĩa sâu sắc lý thuyết tốn học, cịn góp phần quan trọng việc nghiên cứu mơ hình ứng dụng vật lý học, hố học mơi trường sinh thái Nội dung luận văn gồm hai chương: Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày số khái niệm chuẩn bị kết tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ Chúng xin lưu ý tốn tử tuyến tính xét vế phải phương trình vi phân chương thuộc lớp toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) nghiệm phương trình vi phân tương ứng hiểu theo nghĩa nghiệm cổ điển Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ cho toán tổng quát hơn, chương hai tiệm cận với phương pháp nửa nhóm khả ứng dụng việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert Nội dung chương bao gồm lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tốn tử sinh nửa nhóm, nửa nhóm có nhiễu, đặc biệt ứng dụng lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính có nhiễu với tốn tử vế phải tốn tử tuyến tính khơng giới nội Phần cuối luận văn này, chúng tơi trình bày tóm tắt tốn truyền sóng để khả ứng dụng thực tế lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính Mặc dù cố gắng, song khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót, tác giả mong nhận bảo, góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đặng Đình Châu, người tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian qua Mặc dù bận nhiều công việc Thầy bảo ban, dẫn đưa ý kiến sâu sắc để giúp tơi hồn thành luận văn Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt chương trình cao học hồn thành xong luận văn Và xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tơi suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Chương Không gian Hilbert ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert theo hai phương pháp Lyapunov Trong chương này, nhắc lại số kiến thức không gian Banach, không gian Hilbert, tốn tử tuyến tính phổ ví dụ phổ tốn tử Volterra Phần chương phần trình bày kết ổn định phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính có nhiễu theo phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov Chú ý tốn tử tuyến tính vế phải phương trình vi phân xét phần tốn tử giới nội 1.1 Khơng gian Banach không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính định chuẩn) Giả sử X khơng gian vectơ trường vô hướng K số thực R hay số phức C, X gọi không gian tuyến tính định chuẩn với x ∈ X có xác định số khơng âm ||x|| (gọi chuẩn x ) thoả mãn điều kiện sau: • ||x|| ≥ với x ∈ X, • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = ⇔ x = 0; với λ ∈ K với x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 (Không gian đầy đủ) Không gian X đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ, tức {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞) Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach) Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) khơng gian đầy đủ (X, ||.||) gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1.1 (Khơng gian Euclide n-chiều) Với số tự nhiên n, ký hiệu Kn (K R C) tích n lần trường vơ hướng K Kn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : Ta xác định chuẩn · x1 , x2 , , xn ∈ K} K n ||x||2 = i=1 |x2i |, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Kn Khi Kn không gian định chuẩn với chuẩn · Không gian gọi không gian Euclide n-chiều Ta chứng minh Kn khơng gian Banach, xem [1] trang Ví dụ 1.1.2 (Khơng gian hàm liên tục) Ký hiệu C[a, b] không gian hàm liên tục [a, b] với phép cộng hàm nhân hàm với số hiểu theo nghĩa thơng thường Bởi hàm liên tục đoạn bị chặn nên ta xác định ||x|| = max |x(t)|, a≤t≤b x ∈ C[a, b] Dễ thấy hàm x → ||x|| xác định chuẩn C[a, b] Như C[a, b] khơng gian tuyến tính định chuẩn Ta chứng minh C[a, b] không gian Banach, xem [1] trang Định nghĩa 1.1.4 (Khơng gian tiền Hilbert) Khơng gian tuyến tính X xác định trường số K (K R C) gọi không gian tiền Hilbert x, y ∈ X, xác định số (x, y) gọi tích vơ hướng x y thỏa mãn tiên đề • (x, x) ≥ với x ∈ X Đẳng thức xảy x = • (x, y) = (y, x) với x, y ∈ X • (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với α, β ∈ K với x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh tích vơ hướng x = 1.2 1.2.1 (x, x), x ∈ X Tốn tử tuyến tính phổ Tốn tử tuyến tính, tốn tử đóng bao đóng tốn tử Định nghĩa 1.2.1 (Tốn tử tuyến tính) Giả sử X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K, tốn tử A : X → Y gọi tuyến tính nếu: A(αx + βy) = αAx + βAy với x, y ∈ X với α, β ∈ K Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử tuyến tính A gọi liên tục x0 ∈ X với dãy xn hội tụ đến x0 , ta có Axn → Ax0 (n → ∞) Định lý 1.2.1 (Xem [1], trang 22) Nếu tốn tử tuyến tính A liên tục điểm x0 ∈ X A liên tục điểm x ∈ X Như để kiểm tra tính liên tục tốn tử tuyến tính A (trong tồn khơng gian) ta cần kiểm tra tính liên tục x = Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y khơng gian Banach Tốn tử A : X → Y gọi tốn tử tuyến tính giới nội (bị chặn) A tốn tử tuyến tính đưa tập giới nội vào tập giới nội Xuyên suốt khố luận ta kí hiệu L(X) khơng gian tốn tử tuyến tính giới nội X Định lý 1.2.2 (Xem [1], trang 22) Toán tử tuyến tính A liên tục giới nội Định lý 1.2.3 (Xem [1], trang 22) Giả sử X, Y không gian Banach A : X → Y tốn tử tuyến tính Điều kiện cần đủ để toán tử A giới nội tồn số c > cho: Ax với x ∈ X c x Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y không gian Banach Chuẩn A tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y đại lượng: A = sup Ax = sup x x=0 Ax x Định nghĩa 1.2.5 (Tốn tử đóng) Giả sử X, Y không gian Banach, D(A) không gian vectơ X Tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi tốn tử đóng với dãy {xn }∞ n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y x ∈ D(A) Ax = y hay nói cách khác đồ thị G(A) = {(x, Ax) : x ∈ D(A)} ⊂ X × Y tập đóng X × Y Mệnh đề 1.2.1 Giả sử X, Y không gian Banach, D(A) không gian vectơ X Nếu A : D(A) → Y tốn tử bị chặn A tốn tử đóng D(A) khơng gian vectơ đóng Chứng minh Thật vậy, A bị chặn nên A liên tục Giả sử {xn }∞ n=1 ⊂ D(A) : xn → x, Axn → y Khi x ∈ D(A) D(A) đóng Ax = y A liên tục giới hạn Định nghĩa 1.2.6 Giả sử X, Y không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y Khi B : D(B) ⊂ X → Y gọi mở rộng A D(A) ⊂ D(B) Ax = Bx với x ∈ D(A) Tốn tử A gọi có bao đóng B mở rộng A B tốn tử đóng 1.2.2 Phổ tốn tử tuyến tính ví dụ phổ tốn tử Volterra Giả sử X không gian Banach Định nghĩa 1.2.7 Xét tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), D(A) không gian vectơ X (i) Điểm λ ∈ C gọi giá trị quy A (λI − A) song ánh D(A) X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X) (ii) Tập giá trị quy, ký hiệu ρ(A) gọi tập giải toán tử A (iii) Tập hợp điểm giá trị quy A gọi phổ tốn tử A (kí hiệu σ(A)) Ta có σ(A) = C \ ρ(A) (iv) Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1 gọi toán tử giải giải thức toán tử A Nếu A toán tử đóng (λI − A) tốn tử đóng (do λI liên tục) Do (λI − A)−1 tồn tốn tử đóng Suy (λI − A) song ánh D(A), A tốn tử đóng theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 liên tục Vậy tốn tử đóng định nghĩa phổ phát biểu lại là: ρ(A) = λ ∈ C : λI − A song ánh D(A) X σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không song ánh} A Một số tính chất phổ Định lý 1.2.4 Nếu tốn tử A khơng có phổ tồn mặt phẳng phức C A tốn tử đóng (Nếu A khơng đóng phổ C.) Chứng minh Theo giả thiết, tồn λ ∈ / σ(A) Khi B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A) Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y Đặt hn = (λI −A)xn Suy lim hn = λx−y Vì B liên tục nên B(λx−y) = lim Bhn = n↓∞ n↓∞ lim xn = x Suy x ∈ D(A) Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y Suy n↓∞ Ax = y Vậy A toán tử đóng Định lý 1.2.5 (Phương trình giải thức Hilbert) Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau: R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) Chứng minh Ta có: λR(λ, A) − AR(λ, A) = I = µR(µ, A) − AR(µ, A) Suy [λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A) R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A) Do A, R(λ, A) giao hoán nên R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) 10 Xét chuẩn với t |x| := sup T (t)x t X Ta có |x| := sup T (t)x T (0)x = x t |x| := sup T (t)x M x t (Vì T (t)x M x với x ∈ X với t ≥ 0.) Từ ta có x M x với x ∈ X Vậy |.| hai chuẩn tương đương X |x| Với chuẩn mới, (T (t))t≥0 nửa nhóm co vì: |T (t)x| = sup T (s)T (t)x = sup T (s + t)x s sup T (t)x = |x| s t Theo chứng minh (C, D(C)), C = A + B sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thoả mãn: |S(t)| e với t |B| t Ta có |Bx| M Bx M B S(t)x |S(t)x| x M B với x ∈ X |x| Vì với x ∈ X với t e |B| t Suy S(t) |x| MeM eM B t B t M x với t Định lý chứng minh Hệ 2.3.1 Xét hai nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A (S(t))t≥0 với toán tử sinh C không gian Banach X Giả sử C = A+B, B ∈ L(X) Khi t T (t − s)BS(s)xds S(t)x = T (t)x + với t với x ∈ X Chứng minh Lấy x ∈ D(A), xét hàm ξx [0, t] xác định ξx (s) := T (t − s)S(s)x Ta có D(A) = D(C) d ξx (s) = T (t − s)CS(s)x − T (t − s)AS(s)x = T (t − s)BS(s)x ds 44 Lấy tích phân [0, t] ta có: t t d ξx (s)ds = ds T (t − s)BS(s)xds Suy S(s)x − T (t)x = t 0 T (t − s)BS(s)xds ∀x ∈ D(A) Do D(A) = X, T, B, S toán tử bị chặn nên đẳng thức với x ∈ X Chú ý: Nếu thay ξx ηx (s) := S(s)T (t − s)x lập luận tương tự ta có: t S(t)x = T (t)x + S(s)BT (t − s)xds với t với x ∈ X Để mô tả cấu trúc nửa nhóm nhiễu thuận tiện q trình sử dụng kỹ thuật nửa nhóm, sau chúng tơi trình bày khái niệm tốn tử Volterra trừu tượng phương pháp tính gần nửa nhóm có nhiễu Trước hết ta cần nhắc tới khơng gian hàm có giá trị tốn tử χt0 := C([0, t0 ], Ls (X)) gồm hàm liên tục từ [0, t0 ] vào Ls (X), tức F ∈ χt0 F (t) ∈ Ls (X) t → F (t)x liên tục với x ∈ X Không gian không gian Banach với chuẩn F ∞ := sup F (s) , s∈[0,t0 ] F ∈ χt0 (xem [6] trang 225) Bây định nghĩa toán tử "kiểu-Volterra" (Volterratype) không gian C([0, t0 ], Ls (X)) Định nghĩa 2.3.1 (Toán tử Volterra) Cho T (t)t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X B ∈ L(X) Với t0 > 0, ta xác định: t T (t − s)BF (s)xds V F (t)x := với x ∈ X, F ∈ C([0, 1], Ls (X)) t t0 Toán tử V gọi toán tử Volterra trừu tượng Bổ đề 2.3.1 Tốn tử Volterra ứng với nửa nhóm liên tục mạnh T (t)t≥0 toán tử bị chặn B ∈ L(X) toán tử bị chặn C([0, 1], Ls (X)) thoả mãn (M B t0 )n ∀n ∈ N (2.12) n! T (s) Đặc biệt r(V ) = 0, r(V ) bán kính phổ V Vn M := sup s∈[0,t0 ] 45 Đây hệ trực tiếp ví dụ phổ toán tử Volterra chương Chú ý: Từ 2.12 suy chuỗi ∞ n=0 V n hội tụ Suy ∈ ρ(V ) ∞ R(1, V ) = (I − V )−1 = V n n=0 t Khi phương trình tích phân S(t)x = T (t)x + T (t − s)BS(s)xds trở thành T (.) = (I − V )S(.) với T (.), S(.) ∈ C([0, 1], Ls (X)) ∞ V n T (.) Do S(.) = R(1, V )T (.) = n=0 Chuỗi hội tụ không gian Banach C([0, 1], Ls (X)) Định lý 2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh S(t)t≥0 sinh C := A + B A tốn tử sinh T (t)t≥0 B ∈ L(X) biểu diễn sau: ∞ S(t) = (2.13) Sn (t) n=0 S0 (t) := T (t) Sn+1 (t) := V Sn (t) = t T (t − s)BSn (s)ds chuỗi 2.13 hội tụ theo chuẩn toán tử L(X) Chứng minh xem [6] 199-221 Hệ 2.3.2 (T (t))t≥0 (S(t))t≥0 hai nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh (S(t))t≥0 nhận từ toán tử sinh (T (t))t≥0 nhiễu bị chặn Khi T (t) − S(t) Mt với t ∈ [0, 1] M số dương Chứng minh Áp dụng hệ 2.3.1, ta có: t T (t − s)BS(s) ds T (t)x − S(t)x t sup T (r) r∈[0,1] sup S(s) B x s∈[0,1] với x ∈ X với t ∈ [0, 1] Suy T (t) − S(t) 46 Mt với t ∈ [0, 1] 2.4 Phương trình tiến hố đặt chỉnh Trong phần 1.3.4, sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov việc nghiên cứu phương trình vi phân có nhiễu Chúng ta biết tốn tử tuyến tính vế phải phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu đóng vai trị quan trọng nghiệm phương trình Để mở rộng kết mục 1.3.4 cho phương trình vi phân trừu tượng khơng gian Banach (phương trình tiến hố), cần xét phương trình tiến hố đặt chỉnh Xét toán Cauchy trừu tượng  u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, (ACP ) u(0) = x t biến độc lập, biểu diễn cho thời gian, u(.) hàm nhận giá trị không gian Banach X, A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính, x ∈ X giá trị ban đầu Định nghĩa 2.4.1 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm cổ điển (classical solution) toán (ACP ) u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với t ≥ thoả mãn (ACP ) Mệnh đề 2.4.1 (Xem [6], trang 110.) Cho A, D(A) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh T (t)t≥0 Khi với x ∈ D(A), hàm u : t → T (t)x nghiệm toán (ACP ) Định nghĩa 2.4.2 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm suy rộng (mild solution) toán (ACP ) t u(s)ds ∈ D(A) với t ≥ t u(t) = A u(s)ds + x Định lý 2.4.1 Cho (A, D(A)) tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi đó, với x ∈ X, ánh xạ quỹ đạo u : t → T (t)x nghiệm suy rộng toán (ACP ) ứng với A Chứng minh Áp dụng mệnh đề 2.2.2, ta có t t T (s)xds ∈ D(A) với x ∈ X T (t)x − x = A T (s)xds với x ∈ X Suy u(t) = T (t)x nghiệm suy rộng 47 toán (ACP ) Ta cần chứng minh tính nghiệm khơng với điều kiện ban đầu x = Thật vậy, giả sử u nghiệm suy rộng (ACP ) với điều kiện ban đầu x = Lấy t > 0, với s ∈ (0, t), ta có: d (T (t − s) ds s dT (t − s) u(r)dr) = T (t − s)u(s) + ds s u(r)dr s = T (t − s)(u(s) − A u(r)dr) = 0 Lấy tích phân từ đến t ta có s T (t − s) u(r)dr s=t s=0 = 0 Suy t u(r)dr = Lấy đạo hàm theo t ta có u(t) = với t > Mà u(0) = 0 nên u = với t ≥ Trước trình bày định lý mối liên hệ tính chất nghiệm u(., x) tốn tử A, D(A), ta cần có định nghĩa mệnh đề sau Định nghĩa 2.4.3 (Lõi tốn tử) Khơng gian D miền xác định D(A) toán tử A : D(A) ⊂ X → X gọi lõi A D trù mật D(A) với chuẩn đồ thị sau: ||x||A := ||x|| + ||Ax|| với x ∈ D(A) Mệnh đề 2.4.2 (Xem [6], trang 39.) Giả sử (B, D(B)) tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X Không gian D ⊂ D(B) trù mật X chuẩn cho X bất biến tác động (T (t))t≥0 lõi B Định lý 2.4.2 (Định lý mối liên hệ tính chất nghiệm toán (ACP) toán tử (A,D(A))) Cho A : D(A) ⊂ X → X  toán tử đóng u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, Xét tốn (ACP ) u(0) = x Khi tính chất sau tương đương (i) A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (ii) Với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(., x) toán (ACP ) ρ(A) = ∅ 48 (iii) Với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(., x) tốn (ACP ), A có miền xác định trù mật với dãy { xn } +∞ n=1 ⊂ D(A) : lim xn = tồn nghiệm n↓+∞ u(t, xn ) cho: lim u(t, xn ) = [0, t0 ] n↓+∞ Chứng minh (i) ⇒ (ii): hiển nhiên (ii) ⇒ (iii) Đầu tiên ta với x ∈ X tồn nghiệm suy rộng tốn (ACP ) Vì ρ(A) = ∅ nên tồn λ ∈ ρ(A) Đặt y := R(λ, A)x suy y ∈ D(A) Theo giả thiết, tồn nghiệm u(., y) với giá trị ban đầu u(0) = y Đặt v(t) := (λ − A)u(t, y) ∈ D(A) Suy v(t) nghiệm suy rộng toán (ACP ) với giá trị ban đầu x = (λ − A)y Chứng minh tính Giả sử u(.) nghiệm suy rộng toán (ACP ) với giá trị ban đầu x = Đặt t v(t) = t u(s)ds Suy v(t) = u(t) = A u(s)ds = Av(t) v(0) = Vậy v(t) 0 nghiệm toán (ACP ) với giá trị ban đầu x = Nên v(t) = với t ≥ Suy u(t) = với t ≥ Chứng minh A xác định trù mật Với x ∈ X tồn nghiệm suy rộng u(t, x) toán (ACP ) Suy t u(s, x)ds ∈ D(A) Ta có lim 1t t↓0 t u(s, x)ds = u(0, x) = x Vậy D(A) = X Để chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu ta xét: Φ: X → C([0, t0 ], X), t0 cố định, t0 ≥ x → u(., x) nghiệm suy rộng toán (ACP) Chứng minh Φ đóng Giả sử xn → x, Φ(xn ) → y ∈ C([0, t0 ], X) Với t ∈ [0, t0 ] ta có: t t D(A) u(s, xn )ds n→+∞ → 0 y(s)ds t A u(s, xn )ds = u(t, xn ) − xn 49 n→+∞ → y(t) − x Mà A đóng nên t y(s)ds ∈ D(A) y(t) − x = A t y(s)ds Vậy y(t) = A t y(s)ds + x với t ∈ [0, t0 ] Suy y(.) nghiệm suy rộng toán (ACP ) với điều kiện ban đầu x với t > t0 ta đặt y(t) := u(t − t0 , y(t0 )) Suy y(t) = u(t, x) với t ∈ [0, t0 ] Vậy Φ(x) = y hay Φ đóng Theo định lý đồ thị đóng Φ liên tục Vậy xn → Φ(xn ) → hay u(t, xn ) → C([0, t0 ], X) Suy u(t, xn ) → theo t [0, t0 ] Chứng minh (iii) ⇒ (i) Giả sử có (iii), tồn tốn tử T (t) ∈ L(X) xác định bởi: T (t)x := u(t, x) với x ∈ D(A), với t ≥ Ta giả sử sup T (t) < ∞ Vì khơng, giả sử tồn t {tn }n∈N ⊂ [0, t0 ] cho lim n↓+∞ lim xn = T (tn )xn n↓+∞ T (tn ) = ∞ Ta chọn xn ∈ D(A) cho Điều mâu thuẫn với (iii) u(tn , xn ) = T (tn )xn Vậy ||T (t)|| bị chặn với t ∈ [0, 1] Ta có t → T (t)x liên tục với x ∈ D(A), D(A) = X nên t → T (t)x liên tục với x ∈ X, theo bổ đề 2.1.1 Với x ∈ D(A) ta có T (t + s)x = u(t + s, x) T (t)T (s)x = u(t, T (s)x) = u(t, u(s, x)) Suy T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ Vậy (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh X Chứng minh A toán tử sinh (T (t))t≥0 Gọi (B, D(B)) toán tử sinh (T (t))t≥0 Hiển nhiên A ⊂ B D(A) T (t)−bất biến, D(A) = X Suy D(A) lõi B, theo mệnh đề 2.4.2 Suy D(A) = D(B) theo chuẩn đồ thị ||.||B Mà A đóng nên A = B Để thuận tiện cho việc sử dụng mơ hình ứng dụng, chúng tơi xin trình bày tóm tắt số khái niệm kết liên quan đến toán Cauchy đặt chỉnh Các kết trình bày cụ thể [6], trang 113 Định nghĩa 2.4.4 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh) Bài toán Cosi trừu tượng (ACP )  u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x với tốn tử đóng A : D(A) ⊂ X → X gọi đặt chỉnh với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(., x) (ACP ), A có miền xác định trù mật, đồng thời với dãy {xn }∞ n=0 ⊂ D(A) : lim xn = 0, ta có: lim u(t, xn ) = [0, t0 ] n↓+∞ n↓+∞ 50 Mệnh đề 2.4.3 Bài toán (ACP ) giải A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh X Trong trường hợp nghiệm toán (ACP ) cho u(t) = T (t)x, t ≥ Nhận xét 1: Mệnh đề hệ trực tiếp định lý 2.4.2 Nhận xét 2: Xét toán  u(t) = Au(t) + Bu(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x, (2.14) A tốn tử tuyến tính khơng giới nội, B tốn tử tuyến tính giới nội Nếu A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh theo định lý 2.3.1 (định lý nhiễu bị chặn), toán tử A + B sinh nửa nhóm liên tục mạnh toán 2.14 đặt chỉnh Để khả ứng dụng lý thuyết nửa nhóm vào việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.4.4 Xét phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach X x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t 0; (2.15) với A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi ta có tính chất sau (i) Nếu ||T (t)|| M với t ≥ nghiệm tầm thường 2.15 ổn định (ii) Nếu lim T (t) = nghiệm tầm thường 2.15 ổn định mũ t↓+∞ Như để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính với tốn tử vi phân tốn tử khơng giới nội, ta đưa nghiên cứu tính ổn định nửa nhóm liên tục mạnh sinh tốn tử Điều nghiên cứu cụ thể [7], V.3 Sau đây, đưa ứng dụng phương pháp nửa nhóm vào phương trình truyền sóng.Tồn phần trích dẫn từ tài liệu [8], chương 2.5 2.5.1 Ứng dụng với phương trình truyền sóng Khơng gian hàm tốn tử vi phân Nhiều mơ hình ứng dụng nảy sinh từ hệ thống tự nhiên (như hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu ) thường dẫn đến việc xét toán giá trị ban đầu 51    ∂u(t, x) = Au(t, x) ∀t ≥ 0, ∂t  u(0, x) = u0 (x) (2.16) Bài toán thường xét miền trù mật không gian Banach X Liên quan đến toán này, cần số khái niệm sau A Không gian hàm Trong phần này, ta mô tả không gian Banach cụ thể mà dùng ứng dụng vào phương trình sóng phần sau Giả sử x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử không gian Euclide Rn Với hai phần tử x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ), ta xác định tích vơ hướng n x·y = |x|2 = x · x xi yi i=1 Giả sử α = (α1 , α2 , , αn ) vectơ n chiều, α1 , α2 , , αn số ngun khơng âm Khi đó, α gọi đa số Số n |α| = αi i=1 gọi cấp đa số α Ký hiệu xα = xα1 xα2 xαnn với x = (x1 , x2 , , xn ) Ký hiệu Dk = ∂ D = (D1 , D2 , , Dn ) ta có ∂xk D α = D1α1 D2α2 Dnαn = ∂ αn ∂ α1 ∂ α2 ∂xα1 ∂xα2 ∂xαnn Lấy Ω miền cố định Rn với biên ∂Ω bao đóng Ω Ta thường xuyên sử dụng giả thiết ∂Ω trơn, tức ∂Ω lớp C k với k ≥ Nhắc lại ∂Ω lớp C k điểm x ∈ ∂Ω có hình cầu B tâm x cho ∂Ω ∩ B biểu diễn dạng xi = ϕ(x1 , , xi−1 , xi+1 , , xn ) với i ϕ khả vi liên tục cấp k Ký hiệu C m (Ω) (C m (Ω)) tập hàm khả vi liên tục cấp m, nhận giá trị thực (hoặc có phức) Ω (Ω) Ký hiệu C0m (Ω) không gian C m (Ω) gồm hàm thuộc C m (Ω) có giá compact Ω Với u ∈ C m (Ω) p < ∞, ta đặt  u m,p = Ω |α| m 52 1/p |D α u|p dx (2.17) Nếu p = u, v ∈ C m (Ω) ta đặt (2.18) D α uD α vdx (u, v)m = Ω |α| m p Ký hiệu Cm (Ω) tập C m (Ω) bao gồm hàm u thuộc C m (Ω) cho u m,p < ∞ p m Xét không gian đầy đủ Wm,p (Ω) Wm,p (Ω) tương ứng với Cm (Ω) C0 (Ω) mà chuẩn khơng gian xác định 2.17 Có thể Wm,p (Ω) m,p m,p Wm,p (Ω) Với p = 2, ta ký hiệu (Ω) không gian Banach W0 (Ω) ⊂ W m m m Wm,2 (Ω) = H m (Ω) Wm,p (Ω) = H0 (Ω) Không gian H (Ω) H0 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ( , )m cho 2.18 Không gian Wm,p (Ω) xác định bao gồm hàm u ∈ Lp (Ω) mà đạo hàm D α u cấp k ≤ m chúng thuộc Lp (Ω) B Toán tử vi phân Cho Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω trơn Xét toán tử vi phân vấp 2m, aα (x)D α , A(x, D) = |α| 2m số aα (x) hàm giá trị phức đủ trơn x Ω Phần A′ (x, D) A(x, D) toán tử A′ (x, D) = aα (x)D α |α|=2m Định nghĩa 2.5.1 Toán tử A(x, D) elliptic mạnh tồn số c > cho Re (−1)m A′ (x, ξ) c|ξ|2m với x ∈ Ω ξ ∈ Rn Toán tử elliptic mạnh có tính chất quan trọng sau Định lý 2.5.1 (Bất đẳng thức Garding) Nếu A(x, D) tốn tử elliptic mạnh cấp 2m tồn số c0 > λ0 ≥ cho với u ∈ H 2m (Ω) ∩ H0m (Ω) ta có Re (Au, u)0 c0 u 53 m,2 − λ0 u 0,2 (2.19) Chứng minh xem [8], trang 209 Trong luận văn này, xét toán tử vi phân A(x, D) dạng đơn giản ∆ cho n ∆u = i=1 ∂2u ∂x2i Theo định nghĩa ∆ elliptic mạnh với u ∈ C0∞ (Ω) ta có đẳng thức sau (−∆u, u)0 = − Ω 2.5.2 ∇u · ∇udx = u u∆udx = 1,2 − u 0,2 (2.20) Ω Phương trình truyền sóng Trong phần xét toán giá trị ban đầu cho phương trình truyền sóng Rn , tức toán    ∂ u(t, x) = ∆u, với x ∈ Rn , t > ∂t  u(0, x) = u1 (x), ∂u (0, x) = u2 (x), với x ∈ Rn ∂t (2.21) Bài toán tương đương với hệ cấp một: ∂ ∂t u1 = u2 I u1 ∆ u2 với x ∈ Rn , t > (2.22) u1 (0, x) u2 (0, x) = u1 (x) u2 (x) với x ∈ Rn Trong không gian Hilbert H = H (Rn ) × L2 (Rn ), ta xác định toán tử A liên quan I với toán tử vi phân sau: ∆ Định nghĩa 2.5.2 Cho D(A) = H (Rn ) × H (Rn ) (2.23) với U = [u1 , u2 ] ∈ D(A), đặt AU = A[u1 , u2 ] = [u2 , ∆u1 ] (2.24) Để toán tử A xác định 2.23 2.24 tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh H ta cần số bổ đề sau 54 Bổ đề 2.5.1 (Xem [8], trang 220) Nếu v > f ∈ H k (Rn ), k ≥ có hàm u ∈ H k+2 (Rn ) thoả mãn (2.25) u − v∆u = f Cho trước vectơ U = [u1 , u2] ∈ C0∞ (Rn ) × C0∞ (Rn ), ta xác định chuẩn sau:  |U| = |[u1 , u2 ]| =  Rn Bổ đề 2.5.2 (Xem [8], trang 221) 1/2 |u1|2 + |∇u1 |2 + |u2 |2 dx ∞ n n Với F = [f1 ,f2 ] ∈ C∞ (R ) × C0 (R ) số thực λ = 0, phương trình (2.26) U − λAU = F có nghiệm U = [u1 ,u2 ] ∈ H k (Rn ) × H k−2 (Rn ) với k ≥ Hơn nữa, |U| (1 − |λ|)−1 |F | với < |λ| < (2.27) Từ bổ đề 2.5.1 ta có hệ sau Hệ 2.5.1 (Xem [8] trang 221) Với F ∈ H (Rn ) × L2 (Rn ) số thực λ thoả mãn < |λ| < U − λAU = F phương trình (2.28) có nghiệm U ∈ H (Rn ) × H (Rn ) (1 − |λ|)−1 |F | |U| Từ hệ ta nhận kết sau Định lý 2.5.2 (Xem [8], trang 222) Toán tử A xác định định nghĩa 2.5.2 toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh H = H (Rn ) × L2 (Rn ), thoả mãn T (t) e2t với t ≥ Cuối cùng, tồn nghiệm phương trình truyền sóng suy từ hệ sau 55 Hệ 2.5.2 (Xem [8], trang 222) Với f1 ∈ H (Rn ), f2 ∈ H 1(Rn ) tồn u(t, x) ∈ C ([0,∞); H 2(Rn )) thoả mãn toán ban đầu  ∂ u    = ∆u   ∂t2 u(0, x) = f1 x     u′ (0, x) = f2 (x) t (2.29) Nhận xét 1: Trong trường hợp ∆ tốn tử giới nội, người ta xây dựng công thức biểu diễn cụ thể nửa nhóm T (t), xem trang 76 Nhận xét 2: Trong thực tế, thay co toán 2.21, ta xét tốn truyền sóng có nhiễu tương ứng Bằng cách sử dụng nửa nhóm bị nhiễu, ta đưa việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Lược đồ nghiên cứu hoàn toàn tương tự phương pháp xấp xỉ thứ theo Lyapunov xét chương Do điều kiện thời gian bị hạn chế, xin tiếp tục nghiên cứu vấn đề thời gian 56 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kiến thức nửa nhóm liên tục mạnh, tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm có nhiễu ứng dụng vào việc xét tính đặt chỉnh phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính có nhiễu khơng gian Hilbert Ngồi ra, chương một, chúng tơi trình bày việc nghiên cứu ổn định phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính có nhiễu theo phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov 57 Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Kh, Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Hà [1] Nội (2006) [2] E A Barbasin, Mở đầu lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên tiếng Nga), NXB Khoa Học Kỹ Thuật [3] W A Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D C Health and Company Boston (1965) [4] Ju L Daleckii and M G Krein, Stability of solution of Differential Equa- tions in Banach space, D C Health and Company Boston (1974) [5] Klaus - Jochen Engel, Rainer Nagel, One - Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer - Verlag New York, Inc (2000) [6] Klaus - Jochen Engel, Rainer Nagel, A Short Course on Operator Semi- groups, Springer Science + Business Media, LLC (2006) [7] S G Krein, Linear differential equations in Banach space), American Math- ematical Society (1971) [8] A Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differ- ential equations, Springer Verlag, New York Inc (1983) [9] R S Philips, Perturbation theory forsemi-groups of linear operators, Trans Amer Math Soc 74 (1953) [10] Taro Yosizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Mathemat- ical Society of Japan (1966) 58