SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH SINH THÁI HỌC QUẦN THỂ

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

ĐẠT HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRINH TUAN ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRINH VI PHAN TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH

SINH THÁI HỌC QUẦN THỂ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 1.01.02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Trang 2

Luận án được hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC

KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐHQG HÀ NỘỊ

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS TRAN VAN NHUNG Phan bién 1: PGS TS PHAM HUY DIEN

Phan bién 2: GS PTS VU TUAN

Phan bién 3: GS PTS NGUYEN DINH TRI

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp

nhà nước họp tại: Testi 8 HRM TÁC, PHE & be) tư?

vào hồi /7 giờ ¿ï© ngày ¿ 3 tháng È năm 1999

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia hoặc

Trang 3

Mở đầu

Lý thuyết định tính các phương trình vi phần cũng như

các hệ động lực được khởi xướng từ cuối thế kỷ trước bởi các nhà toán học lỗi lạc Ạ M Liapunov (Nga), H Poincaré (Pháp) và tiếp sau bởi G D Birkhof (Mỹ) Đó là sự chuyển biến toàn diện cả về chất và lượng trong nghiên cứu các

phương trình vi phân - chuyển từ nghiên cứu định lượng

(tính toán) sang nghiên cứu định tính (dáng điệu) Bước

chuyển biến quan trọng này tạo ra khả năng ứng dụng sau

này của các công cụ mới của toán học hiện đại: giải tích hàm, lý thuyết kỳ đị, tôpô vi phân v.v để nghiên cứu các

phương trình vi phân; và ngày nay lý thuyết này đã trở thành một trong các lĩnh vực toán học hiện đại phát triển

nhất Hơn nữa, nó còn mở ra một khả năng tng dụng rộng

rãi trong các linh vực khác: vật lý học, cơ học, kinh tế học,

hoá học, sinh thái học v.v

Nội dung của bản luận án là nghiên cứu định tính một

Số phương trình vi phân có ý nghĩa trong sinh thái học quần

thể

4 0.2 22 Vấn đề sinh thái học lần đầu tiên được đề cập đến bởi VO “T hà kinh tế học T Malthus (1798) như một bức thông điệp Am dam: dân số khi không kiểm soát được sẽ tăng theo cấp số nhân Của cải làm ra tăng theo cấp số cộng Do vậy điếun một lúc nào đó dân số sẽ tăng nhanh hơn so với sự tăng trưởng kinh tế và sẽ dẫn đến các nạn đóị Tuy rằng

giải pháp cho thảm họa trên của Malthus là tiêu cực - dùng

chiến tranh để kiềm chế sự tăng dân số, nhưng Malthus đã nhắc nhở chúng ta về vấn đề bùng nổ dân số Đến đầu thế kỷ 20 lần đầu tiên một mơ hình tốn học của động học quần thể được thiết lập - mô hình thú-mồi Lotka-Volterrạ

Trang 4

Mô hình được thiết lập một cách độc lập bởi Ạ J Lotka (1920) trong quá trình nghiên cứu bài toán các phản ứng

hoá học cũng như bài toán các loài cạnh tranh và sau đó bởi V Volterra (1931) trong một nỗ lực cố gắng giải thích hiện tượng thay đổi theo chu trình của lượng cá đánh bắt được ở,biển Adriatic Và từ đó đến nay đã có rất nhiều mơ hình

tốn học của các hệ sinh thái học quần thể được các nhà

khoa học đề xuất (xem [43], [49] và các tài liệu tham khảo

cuối luận án)

Mục đích của luận án này là nghiên cứu tính ổn định (theo các nghĩa khác nhau) của một số mô hình động học quần thể Chủ yếu chúng tôi xét trường hợp không ôtõnôm tức là mô hình được mô tả bởi hệ các phương trình vi phân

không ôtõnôm - tổng quát của trường hợp ôtônôm Các vấn

đề mà chúng tôi quan tâm là các nghiệm dương bị chan,

nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn dương, tính duy nhất của chúng cùng với các đặc trưng ổn định của nó: ổn định

tiệm cận toàn cục (theo nghĩa Liapunov), tính hút toàn cục

và tính phát triển bền vững (permanence) của hệ

Bản luận án này tổng hợp các kết quả nghiên cứu chính

trong các công trình [1], [2], [3], |4], [6], gồm bốn chương, tổng cộng 82 trang Trong mỗi chương (trừ Chương 2 gồm 2 phần chính mà mỗi phần tương tự như một chương khác) được bố cục như sau: Phần đầu giới thiệu về mô hình, tiếp

theo là các kết quả nghiên cứu chính của chúng tôi, sau đó là các chứng minh chỉ tiết và cuối cùng chúng tôi nêu những lời nhận xét của bản thân để độc giả dễ so sánh với những nghiền cứu trước đây của các tác giả khác

- Chương 1: Chủ yếu nghiên cứu phương trình Logistic

- phương trình mô tả sự phát triển của quần thể đơn loài

~ ae ` Z

sống trong môi trường hạn chế

Trang 5

dang Lotka- Volterra (Lotka-Volterra competition equations)

- hệ phương trình mô tả su canh tranh cia n loaị

- Chương 3: Chúng tôi xét mồ hình động học di cư qua

lại của quần thể đơn loài sống trong môi trường gồm các

vùng cách biệt Mô hình này có ý nghĩa quan trọng trong việc quản lý động vật hoang dã sống trên các quần đảo hoặc

các vùng đất bị ngăn cách bởi các con sông hay các giải núị - Chương 4: Chúng tôi nghiên cứu mô hình thú- mồi với ảnh hưởng của vật ký sinh Mô hình này thể biện mối quan hệ qua lại giữa một loài thú và một loài mồi mà trong

nhiều trường hợp vật ký sinh có vai trò trợ giúp quan trọng

cho sự tồn tại của loài thú Ví dụ như vật ký sinh làm chậm bước chạy của những con mồi bị nhiễm nó, do đó thú mới có nhiều cơ hội bắt được mồi và do vậy mới tồn tại được

Nội dung của luận án đã được trình bày chỉ tiết qua nhiều buổi tại Xêmina Phương trình vi phân của liên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN và Khoa Toán - Tin

học, Trường ĐHSP, ĐHQG Hà nộị Một số phần được trình

bay tai Xémina Các phương pháp giải số phương trình vi phân của Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường ĐHKHTN

Trong quá trình làm và hoàn thành luận án tác giả đã

nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các cá nhân

và tập thể, do vậy nhân đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc của mình đến các cá nhân và các tập thể đó

Trước hết tôi xin cảm ơn G5 TS Trần Văn Nhung, thầy hướng dẫn, đã dành nhiều tình cảm và nhiều công sức dạy dỗ hướng dẫn tôi làm bản luận án nàỵ

Trong khi làm luận án tôi học hỏi được rất nhiều kiến thức bổ ích cũng như nhận được nhiều tình cảm sâu sắc từ

tập thể các thầy cô, thành viên của Xêmina Phương trình vi phân của liên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN và Khoa Toán - Tin học, Trường ĐHSP, ĐHQG Hà nộị Tôi

Trang 6

xin cảm ơn các chủ trì Xêmina GS PTS Vũ Tuấn, PGS PTS Nguyễn Thế Hoàn, ŒGS T8 Trần Văn Nhung cùng toàn thể các thầy cô, thành viên của nhóm Xêminạ

Xin cảm ơn các thầy cô thành viên của Xêmina Các phương pháp giải số phương trình vi phần của Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà nội, dưới sự

chủ trì của PGS T8 Phạm Kỳ Anh, đã dành cho tôi nhiều

sự giúp đơ quý báụ

Xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ mơn Tốn Sinh thái -

Mơi trường, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà nội, đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện

thuận lợi cho tơi hồn thành bản luận án nàỵ

Xin cảm ơn các Ban Chủ nhiệm các Khoa Toán của hai

Trường: Trường Đại học KHẨN và Trường Đại học SP, ĐHQG Hà nội cùng các thầy cô trong hai Khoa đã giúp đỡ tác giả suốt những năm làm nghiên cứu sinh vừa quạ

Xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Khoa

học Công nghệ và Đào tạo sau đại học, Trường ĐHKHTN,

ĐHQG Hà nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh của mình

Xin cảm ơn G5 Abdus Salam, người được giải thưởng

Nobel về Vật lý (1967) và nguyên Giám đốc Trung tâm Vật

ly Ly thuyét (ICTP, Trieste, Italy), đã cấp cho tác giả một năm học bổng học sau đại học tại Trung tâm (1993-1994)

Xin cảm ơn các chủ đề tài KT-04-1.3.3 GS TS Trần

Văn Nhung; dé thi KT-04-1.3.5, KT-04-1.3.6 và KT-04-1.3.7

PGS PTS Nguyễn Thé Hoan; va dé tai QT-96-02 PGS

TS Phạm Kỳ Anh đã tài trợ cho tác giả một phần kinh phí nghiên cứu khoa học khi hoàn thành luận an

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè tác giả đã cổ

vũ động viên chia sẻ khó khăn và tạo mọi điều kiện để tác

Trang 7

Chuong 1

Phuong trinh Logistic

1.1 Phuong trinh Logistic

Ching ta xét phueng trinh Logistic sau

# = z|ăt) — b()z|, (13)

trong đó a,b: R — (0,+00) lién tuc; z € Ry := 0, +oe)

Phương trình (1.1) mô tả sự phát triển của quần thể

đơn lồi trong mơi trường hạn chế z là mật độ của quần

thể; ø - tốc độ phát triển riêng nội tại của quần thể (the

intrinsic specific growth rate); b - đại lượng đo cường độ

cạnh tranh trong loài (the intensity of intraspecifc compe- tition) do cé sự hạn chế của môi trường Đại lượng a — br được gọi là tốc độ phát triển riêng của quần thể (the spe-

cific growth rate) Các nhà sinh thái học thường quan tâm

đến đại lượng K(f) := ă9)/b() bởi nó thể hiện sức chứa tối

đa của môi trường tại thời điểm ỉ

Thực chất chúng tôi xét dạng tổng quát hơn:

+ = xg(,#), (1.3)

trong đó g:x R, — R là hàm liên tục và thoả mãn:

(91) infrerg(t,0) > 0, supe g(é,0) < +00

(g2) Ton tai eo >0 sao cho g(é,x) liên tục đều trên Rx [0,c0], ho&c 1a lipsit theo z € [0,eo]} đều theo ¿€ R,

(g3) Tén tai a>O0O sao cho D,g(t,2)<-—a@ với mọi (4,7) €E Rx R,, trong dé D, ki hiéu mét dao ham Dini nao đó (trong bốn loại) theo biến z

Trang 8

1.2 Các kết quả

Định lý 1.1 Nếu (m), (92), (g3) thoả mãn thì phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm zÐ(Ð) xác định trên

toàn R và bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương Hơn

nữa, ta có lim ,+e„ |#(Ð — z?()| =0, trong do x(t) IA nghiệm bất kỳ của (1.3) thoả mãn điều kiện ban đầu z(fa) = zo >0

Dinh ly 1.2 Giá sử (g) thoả mãn và

(971) g(Œ.z) là hầu tuần hoàn theo t đều theo +,

(ˆạ) limp seo & fy g(t, 0)dt > 0

hi đó các khẳng định trong Định lý 1.1 van còn hiệu lực và nghiệm z?(‡) là hầu tuần hoàn

Nếu, hơn nữa g(t,+) là T-tuần hoàn (T > 0) theo t, thì z?(£) cũng là T-tuần hoàn

Chú ý:

() Đối với (1.1) ta chỉ cần giả thiết ẳ), b(t) bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương là các điều kiện (0i), (Ø2), (gs) thoả mãn, tức là có các kbằng định của Định

lý 1.1

(@) Nếu (ø) (hoặc (øs)) bị vi phạm thì Định lý 1.1 nói chung không còn đúng (xem các phản ví dụ trong luận án) Chúng tôi còn chứng minh một bổ đề về sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn trong phương trình vi phân

Xét phương trình vi phần sau đây:

y= f(t), (1.5)

Trang 9

Với mỗi r€l, ta ký hiệu ƒ#,(t,9):=ƒ( +7, (ty) € Rx Q Bao (hull) của ƒ, H(ƒ), được định nghĩa bởi

H(ƒ) = cHƒ; :r € R},

trong đó bao đóng lấy theo tơpư hội tụ đều trên các tập

con compact cla Rx Vé khdi niém hàm hầu tuần hoàn chúng ta có thể xem tiêu chuẩn Bochner sau đây như là định nghĩa: Hàm liên tục ƒ: lì <x Q —¬ R*” là hầu tuần hoàn theo t đều với € Ô khi và chỉ khi với mọi dãy số {Tm}t_-\ tồn tại dây con {Tm„}fE¡ sao cho dãy các dịch chuyển {ƒr„ }>ị hội tu đều trên mọi tập dạng Rx 8 với § là tập con compact

của © khi k—rcọ Trong trường hợp đặc biệt khi ƒ không

phụ thuộc vào ta gọi ƒ là hàm hầu tuần hoàn

Bổ đề 1.3 Giả sử S là tập con compact của Q và với mỗi f* € H(ƒ) phương trình

y= f*(ty) (1.6)

có duy nhất nghiệm xác định trên toàn R và nằm hoàn toàn

trong S, Khi đó nghiệm duy nhất trong Š của (1.5) là hầu

tuần hoàn

Kết luận

Chúng tôi đã thiết lập được các điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm (nghiệm hầu tuần hoàn) có tính chất: xác định trên toàn trục số, bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương, và hút toàn cục các nghiệm khác mà có điều kiện ban đầu dương của phương trình Logistic tổng quát Ngoài ra chúng tôi còn chỉ ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn trong phương trình vi

Trang 10

Chương 2

Hệ phương trình cạnh tranh Lotka-Volterra

2.1 Hệ phương trình cạnh tranh Lotka - Volterra

Xét hệ ® phương trình cạnh tranh Lotka-Volterra mô tả

sự cạnh tranh của quần thể + gồm m loài uy, ug, ,Un:

n

ti; = uilbs(t) — Daj (tyuj], 1 <i <n, (2.1)

=A

trong dé n> 2; ai3,0;: R— R la liên tục, bị chặn trên và dưới

bởi các hằng số dương; u¿ € Ry IA mat độ của loài 7

Hệ số ð¡ là tốc độ phát triển riêng nội tại của loài i; ay

- cường độ cạnh tranh trong bản thân loài t; va ai; (i # 7) - cường độ cạnh tranh (ảnh hưởng) của loài 7 đối với loài í

Trang 11

Dinh ly 2.1 Giả sử (i) Tén tai ¢; > 0 sae cho n b(Q)> Š” au(D?()+a, 1Si<m te (2.3) j=l, jf (ii) Tồn tại các số dương ca, œI,da, ,„ sao cho n aau(t)> X” aji(thayteo, 1<icn, tER (2.4) 2=L, đi

Khi dé hé (2.1) có duy nhất nghiệm tuÐ(f) = (u†(Ð, uộ(t)) với các thành phần bị chặn trên và đưới bởi các hằng

số dương Hơn nữa, ta có lìm ,+ee |u(Ð) — tộ(Đ| = 0 với mọi

nghiệm u(£) = (u1(Đ, , tăÐ) : (Ea) = tại >0, 1<? <n

Ngoài ra nếu aj,ÙÐ;¡ (L<i,j <S n) là hầu tuần hoàn, thì nghiệm ủ(£) đó cũng là hầu tuần hoàn

Với g: R—: ïR ta ký hiệu ør = inf¿snø(), gx = sup¿eg9(0- Hệ quả 2.2 Nếu n bin > ») aizm(bjm/azjt), 1<i<n, (2.5) £=L đưi thì khẳng định trong Định lý 2.1 vẫn đúng 2.3 Bài toán ba loài cạnh tranh

Xét một trường hợp đặc biệt của hệ (2.1), đó là 4, = 2(1 — 2; — ăt)x2 — 8)33],

đa = #2[l — 8()#: — #2 — ăt)z3},

£3 = +ă1T— ă#\ — 8()+a — Z3], (2.21)

Trang 12

voia,8:R— R la cdc ham liên tục không âm

2.3.1 Két qua chinh Dinh ly 2.9

(i) (2.21) 6 it nhadt một nghiệm 2°(t) = (x, (t), zăt), x3(t)) mà các thành phần của nó bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương Đặc biệt, nếu œ, 8 là T-tuần hoàn (hầu tuần hoàn) thì (2.21) có ít nhất một nghiệm T-tuần hoàn (hầu tuần hoàn) mà mỗi thành phần của nó bị chặn dưới bởi các

hằng số dương () Nếu

sup{ăt) + 8()} < 2 teR

thì nghiệm 2°(t) lA duy nhat va limẹ + ||z(t) — 2°(t)|| = 0 với bất kỳ nghiệm dương z(t) của (3.21)

() Nếu

inf +

inf făt) + B(0} > 2,

thi d(x(t), OR) 0 với bất kỳ nghiệm z(t) của (2.21) có điều kiện ban đầu x(t} = xu € HỆ \ {x € HỖ : 3ì = xq = 2a}

Kết luận

Chúng tôi nghiên cứu hệ + phương trình cạnh tranh

Lotka-Volterra và đã thiết lập được một điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm xác định trên toàn trục số (và nghiệm hầu tuần hoàn) với các thành phần bị chặn trên

và dưới bởi các hằng số dương, và hút toàn cục các nghiệm

khác mà có các điều kiện ban đầu dương Hơn nữa, chúng

tôi còn nghiên cứu chỉ tiết một trường hợp đặc biệt của bài

toán 3 loài cạnh tranh

Trang 13

Chuong 3

Su ốn định tồn cục trong mơ hình

động học di cư của quần thể đơn loài

trong môi trường gồm các vùng cách biệt

3.1 Mõ hình

Xét một hệ phương trình vi phân mô tả động học quần

thể đơn loài sống trong môi trường gồm n (n > 1) vùng,

trong đó các vùng của môi trường có quan hệ với nhau bởi

sự đi cư qua lại của các cá thể trong quần thể: #ị =ig¡(t, #;) — 6¡()h¿(k ¿)

n (3 1)

+ 3` dy(thes(t)hs(t,23), 1<i<n, ` j=l, i3

trong đó g¡, hị : R x |0, +oo) — ñ, sĩ, đụ (¡# j): R— R là liên

tục và 7-tuần hoan theo t (T > 0); z¡ € J, là mật độ của loài

trên vùng thứ ¿

Đối với (3.1) chúng ta giả thiết như sau:

Hàm ø,(tz;¡) là tốc độ phát triển riêng của quần thể ở

mảnh í Do nguồn thức ăn có hạn, tốc độ phát triển đó

dương nếu mật độ quần thể nhỏ, và âm nếu mật độ quá lớn: hơn nữa chúng ta giả thiết tốc độ phát triển giảm khi mật độ quần thể ở vùng đó tăng Cụ thể `

(A) gilt, 0) > 0, gi ) | và 3K; >0 : 1) <0, VEE

|0, 7]

Hàm ;(f,z¡) mô tả áp lực hay sự mong muốn của các cá thể sống trong vùng ‡ rời khỏi đó và tìm đến các vùng

khác Rõ ràng áp lực rời khỏi vùng đang sống của các cá

thể tăng khi mật độ quần thể tại vùng đó tăng Do vậy

Trang 14

(I2) hy (t,0) =0, hy (t,.) 7, ve € (0, TỊ

Hàm #;(f) mô tả sức cản ngược (the inverse barrier strength) tại thời điểm £ và được giả thiết:

(Hạ) c;(t) >0, Vi e [0, TỊ

Hàm đ;;(), (1 ?,7 ŠS nị ¡# 7) thể biện tỉ lệ các (hay xác sưất để mỗi) cá thể rời vùng j và đến vùng ¿ một cách an

toàn; do vậy:

(Ha) 0< d0), 3 izz¡ du) <1, VỆ € [0,7] Giả thiết sau là cần thiết vì lý do toán học

(Hs) øiÚ,z2), hít) (1<Si<Sn) là Lipsít địa phương

theo x, € Rỵ

3.2 Két qua

Dinh ly 3.1 Néu

(He) — infrejorj{9e(t, 0) — x(t) DF hi(t,0)} > 0, 1<i<n,

trong đó Dz, là đạo hàm Dini phải dưới theo z¡, thì

hệ (3.1) có ít nhất một nghiệm T-tuần hoàn đương #Ð() Hơn nữa, nếu nghiệm như vậy là duy nhất thì lim¿„+œ ||2°(¢) — z(Đ|| =0, với mọi nghiệm x(t): x(0) = zo > 0

Trang 15

Dinh ly 3.3 Nếu hệ (3.2) có duy nhất nghiệm

T-tuần hoàn dương, thì nghiệm đó là ổn định tiệm cận toàn cục (theo nghĩa Liapunov) trong int(H?†)

Sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 3.1, 3.2 và 3.3 Hệ quả 3.4 Nếu

(H) ø(,0) — ¢:(t)k;(t) > 0, Vt € [0,T], 2 = 12, ,0,

thì hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm T-tuần hoàn dương Hơn nữa, nghiệm đó là ổn định tiệm cận toàn cục (theo nghĩa Liapunov) trong imt(R†)

Khi m = 1 (3.2) chinh là (1.3), do vậy ta có:

Hệ quả 3.5 Giá sử g: RxR, — R là hàm liên tục,

T-tuần hoàn theo biến thứ nhất (T > 0), giảm thực sự theo

biến thứ hai, [` g(t,0)át > 0, và 3K >0: g(t, K) <0, Vi € [0,7]

Khí đó phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm T-tuần

hoàn dương ổn định tiệm cận toàn cục trong (0,+oo)

Kết luận

Trang 16

Chương 4

Su phat trién bén virng

trong mô hình động học của quần thể

thú-mồi chịu ảnh hưởng của ký sinh trùng

4.1 Mô hình

Chúng ta xét một mô hình của quần thể thú- mồi trong đó mỗi cá thể của loài mồi có thể bị nhiễm bởi một loài ký sinh hoặc không, nhưng tất cả loài thú đều bị nhiễm: SPX) bộ) Sh(t,X)Y 8= B(t (t,.X) - — Wo() +a@)Y]S — x ’ i= ott) +ăovis— PEA) _ G0" SB\(t, X) + IPalt,X), ———#

trong dé SJ,X=S+1,Y tương Ứng là các mật độ của mồi chưa bị nhiễm, mồi bị nhiễm, mồi tổng cộng và thú;

B,D,Pị\,P,D: R x [0,+oo) — ñR là liên tục, T-tuần hoàn theo ‡ và khả vi Hiên tục theo biến thứ 2; và 6ù, 81,¢: R — (0, +00)

là liên tục và T-tuần hoàn

(41) Ÿ =Y|_-r,Y) + e()

Sau đây ta cần thêm một số giả thiết khác nữa đối với

hệ (4.1) Ky hiéu Bx, Dx, Pix, Pox vaTy la dao ham riéng của các hàm tương ứng theo biến thứ 2 của chúng

Hàm B(t,X) là tốc độ sinh của quần thể mồi tại thời điểm f và được giả thiết là không bị ảnh hưởng bởi kí sinh trùng Hơn nữa, ta giả thiết rằng tốc độ sinh tăng khi cỡ của quần thể tăng, do vậy

(Hi) B(t,0) =0, Bx(t,X) >0, Ví, X) e [0,7] x Rỵ

Ham D(t,X) là tốc độ chết tự nhiên của quần thể mồi

Trang 17

Ta cũng giả thiết rằng tốc độ chết tăng theo cỡ của quần thể; tức là: (Hạ) D(t,0) =0, Dx (t,X) 20, V(t,X) € 0,7] x Rạ Néu khong cé tha, sy phat trién ca quan thé mdi duge mô tả bởi X = Xqg(t,X), (4.2) trong đó gí, X) = |B(,X)T— DỤ, X)]/X là tốc độ phát triển riêng của quần thể mồi và được giả thiết (xem giả thiết (Et) ở Chương 3): (Hs) g(t,X) liên tục tren Rx Ry; g(t,0) > 0, g(t,.) 4, AK > 0: g(t, K) <0, Vt € [0,7]

Hàm Đ,((,X), ? = 1,2, tương ứng đo mức độ bắt mồi của thủ đối với mồi chưa bị nhiễm và mồi bị nhiễm Do ảnh hưởng của vật kí sinh, mồi bị nhiễm dé bi thé An thịt hơn

nên ta giả thiết

(H,) P,(t,0)=0, Pox(t,X) > Pix(t,X), Vee 0,7], Xe Rỵ

Ham P(t, ¥) thé hién téc d6 chét (theo mat đ) của thú khi vắng mồi, và được giả thiết là tăng theo cỡ của quần

thể Do vậy

(He) T(t,0) >0, PyŒ,Y) >0, Vt€ [0,7], ¥ € |0, +oo)

Giả thiết sau là cần thiết vì lý do toán học

(la) Bài toán Cauchy của (4.1) với các giá trị ban đầu không âm có nghiệm duy nhất theo chiều tăng thời gian

Ham f(t) biéu diễn tốc độ nhiễm kí sinh của mồi chưa nhiễm khi không có thú; @-(£) đo mức độ nhiễm kí sinh của mồi do thú Hàm c{f) mô tả tỷ lệ mồi bị thú ăn thịt được

chuyển thành sinh khối của thú

Vấn đề mà chúng ta quan tâm nghiên cứu là sự phát

Trang 18

Dinh nghĩa 4.1 Hệ (4.1) là phát triển bền vững nếu

3A/>0:

limsup ||(SŒ), 1), Y(Ð)|| < M, t—++

lim inf d((S(£), I(t), Y(t), OR}) > 0

với mợi nghiệm của (4.1) có (S(to), I(ta), Y (tạ)) € int(RB) Chú ý: Đòi hỏi trong Định nghĩa 4.1 nhằm loại trừ hai khả năng: quần thể bùng nổ và quần thể diệt vong

Định nghĩa 4.2 Hệ (4.1) là phát triển bền vững đều nếu lim sụp (Sứ), I@), YM) SM, liminf d((S(Â), 1(), Ơ(Q), ORY) 2 6 voi M,6>0 khéng phu thuéc vao cdc điều kiện ban đầu dương 4.2 Kết quả

Trước hết là kết quả về mối Hiên quan giữa sự phát triển

bền vững của hệ phương trình vi phân tuần hoàn và các hệ động lực rời rạc tương ứng Xét phương trình vi phân sau f= f(t,2), (4.3) trong đó ƒ: Rx R$ ¬ R# là liên tục, T-tuần hoàn theo tf sao cho:

(f;) Bài toán Cauchy của (4.3) với điều kiện ban đầu #(fq) = zo € R$ có duy nhất nghiém x(t) € R4 vei moi t > fọ

(f2) Hệ (4.3) là tiên hao (dissipative), tire JA tn tại tập

compact A sao cho méi nghiém z(t) : x(to) = 20 € Rt ton tai

Trang 19

Do (f,), todn tte Cauchy G(t,t) (¢ > to) hoan toan xdc định - biến dữ kiện ban đầu zo tại fe thành nghiệm z(t) tai t Với mỗi r € |0, T], đặt H{(r) = G(T+r,r) Ta có (bán) hệ động lực rời rạc (discrete sermi-dynamical system) NxR$ 3(nz) > H"(r)z c R$ (4.4) Định nghĩa 4.3 (i) Hứ) (hoặc (44;) là phát triển bền vững nếu dM >0: limsup |#f"(r)z|| < M, liminf d(H” (r)2, ari) > 0, "co Va € int(R4)

() Hứ) là phát triển bền vững đều nếu 3M,e > 0:

lim sup ||f®(r)z|| < M, lminf đ(H?(r)+,ôR$) >¿,

Lm n—oo

Va € int(R4)

Định lý 4.1 Hệ (4.3) phát triển bền vững (đều) khi và chỉ khi H(T) phát triển bền vững (đều) với mọi r € |0,T} COZ Định lý 4.2 Hệ phương trình (4.1) khi không có thú $= B(t,x) - 52%) _ gays, ; me x) (45) T= B(t)S a aan —

có duy nhất một nghiêm T-tuần hoàn dương, ký hiệu

(SŒ) J()) ổn định tiệm cận toàn cục (theo Liapunov) trong

Trang 20

Sau day la két qua vé sự phát triển bền vững của hệ (41) Định lý 4.3 Nếu [re L Xin di>0 (46) trong đó Ä(Ð = Š(Ð + Ï(), thì hệ (4.1) phát triển bền vững đềụ

Tiếp theo là một hệ quả của Định lý 4.3

Hé qua 4.4 Nếu (4.6) thoả mãn thì (4.1) có ít nhất mét nghiệm T-tuần hoàn dương

Cuối cùng là điều kiện dẫn đến sự diệt vong của thú Định lý 4.5 Nếu

| —Í(t,0) + c(t)[Pi(t, XQ) + Păt, X (tat < 0 (4.7)

a

thi limj4o0 Y(t) = 0, trong dé Y(t) 4 thành phần thứ 3 của nghiệm của (4.1) với điều kiện ban đầu không âm

†ết luận

Chúng tôi nghiên cứu mô hình thú-möi với ảnh hưởng của ký sinh trùng và đã đưa ra một điều kiện đủ cho sự phát

triển bền vững của hệ Hơn nữa điều kiện đó còn đảm bảo sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn với các thành phần dương

Trang 21

Một số hướng nghiên cứu sau này

Sau đây là một số vấn đề mà chúng téi du định sẽ tiếp

tục nghiên cứu trong thời gian tới:

1 Tiếp tục nghiên cứu trường hợp khơng ưtơnơm của một số mỗõ hình sinh thái khác Đồng thời xét thêm các mặt khác (rất quan trọng trong thực tế và lý thuyết) của các mô hình đã nghiên cứu trong luận án này, ví dụ như sự khuyếch tán, sự ảnh hưởng của thời gian trễ v.v trong các mô hình Tuy rằng vấn đề này đã có một số tác giả đề cập đến nhưng các kết quả thu được còn hạn chế (xem [11],

[31], [48], {59], [69], [70] & cuối luận án )

2 Đối với hệ (2.1), điều kién (i) trong Dinh lý 2.1 là dạng điều kiện chủ yếu dựa vào các thông tin của hệ ở trên biên của lèt Vậy phải chăng có dạng điều kiện kiểu khác

tổng quát hơn không? Và chúng tôi nghĩ rằng có thể tổng

quát kết quả trong Định lý 2.1, vì trong trường hợp đặc biệt, hệ (2.21), Định lý 2.9 (2) thực sự tổng quát hơn

3 Đối với hệ (3.1) (cũng như hệ (3.2)) các nghiên cứu của chúng tôi chưa có kết quả trong trường hợp hầu tuần hoàn IKhó khăn chính là ý tưởng chứng minh trong Định lý 3.2 chỉ áp dụng được cho trường hợp tuần hồn Ngồi ra, chúng tơi sẽ nghiên cứu trường hợp quần thể gồm nhiều loài hơn

4 Đối với mô hình (4.1) ở Chương 4, khi quần thể thú không bị nhiễm toàn bộ bởi ký sinh trùng, tức là quần thể thú được chia làm hai loại: loại chưa bị nhiễm và loại đã bị nhiễm, trong trường hợp không õtônôm cũng chưa được nghiên cứu (trường hợp mô hình ở dạng ôtônôm chúng tôi đã nghiên cứu trong |8]) Chúng tôi nghĩ rằng trong trường hợp này chúng ta hoàn toàn có thể nghiên cứu được và đạt được kết quả

Trang 22

Kết luận chung

Luận án giải quyết được các vấn đề như đã đặt ra trong đš cương nghiên cứu sinh của tác giả

Thứ nhất, đã nghiên cứu chỉ tiết phương trình Logistic và đựa ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm có tính chất: xác định trên toàn trục số, bị chặn

trên và dưới bởi các hằng số dương và hút toàn cục các nghiệm khác mà có điều kiện ban đầu dương, cũng như chỉ

ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm dương tuần hoàn và hầu tuần hoàn

Thứ hai, nghiên cứn hệ œ® phương trình cạnh tranh

Lotka- Volterra và đã thiết lập được một điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm xác định trên toàn trục số (và nghiệm hầu tuần hoàn) mà có các thành phần bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương, và hút tất cả các nghiệm

khác với các điều kiện ban đầu dương Hơn nữa, chúng tôi còn nghiên cứu chỉ tiết một trường hợp đặc biệt của bài toán 3 loài cạnh tranh, và trong trường hợp này chúng tôi

đã thu được các kết quả sâu sắc hơn

Thứ ba, nghiên cứu hệ phương trình vi phân mô tả động

học di cư của quần thể đơn lồi trong mơi trường gồm một

số (hữu hạn) vùng cách biệt Chúng tôi đã thiết lập được một điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn ổn định tiệm cận toàn cục (theo nghĩa Liapunov) với

các thành phần dương

Thư tư, nghiên cứu mô hình thú-mồi với ảnh hưởng của

ky sinh trùng Chúng tôi đã chứng minh một điều kiện đủ

cho sự phát triển bền vững của hệ Hơn nữa, điều kiện đó còn đảm bảo sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn với các thành phần dương

Trang 23

Các công trình khoa học có liên quan

trực tiếp đến luận án và có sự đóng góp cơ bản của tác giả luận án

1 Trinh T Anh and Tran V Nhung, Two species com- petition in almost periodic environment, Vietnam J Math

25 (1997) 229- 240

2 Trinh T Anh and Tran V Nhung, Three species com-

petition in periodic environment, Acta Math Vietnamica

22 (1997) 395-405

3 Trinh T Anh, On the almost periodic n-competing species problem, Acta Math Vietnamica 23 (1998) 35-48

4 Trinh T Anh, Global stability in a model of single- species population dynamics in a periodic patchy environ-

ment, Acta Math Vietnamica 23 (1998) 185-193

5 Trinh T Anh and Le H Lan, On the nonautonomous Lotka-Volterra equation, (đa được nhận đăng ở tạp chí

Acta Math Vietnamica (S6 24 - 1999))

6 Trinh T Anh and Tran V Nhung, Persistence in

a model of predator-prey population with the action of a parasite in periodic environment, (da dugc nhan dang &

tạp chí Vietnam J Math.)

7 Trinh T Anh, Tran V Nhung and Le H Lan, On the bounded solutions of the nonautonomous Lotka- Volterra competition equations, (da gửi đăng báo)

8 Tran V Nhung and Trinh T Anh, An extension of Freedman’s results on a model of predator-prey dynamics as modified by the action of parasite, Preprint IC/93/391

(1993), ICTP Trieste, Italỵ