Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện (LV01209)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGHIÊM THỊ BÌNH ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới phòng sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tốt nghiệp. Tôi đặc biệt muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng, ngƣời đã định hƣớng cho tôi chọn về tài này, và tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp trong thời gian qua. Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm thực tế còn nhiều hạn chế nên trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cũng nhƣ của các bạn bè, đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Nghiêm Thị Bình LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “Ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, luận văn này không giống hoàn toàn bất cứ luận văn hoặc các công trình đã có trƣớc đó. Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Nghiêm Thị Bình MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Phƣơng trình vi phân 3 1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp một 3 1.1.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao 4 1.1.3. Phƣơng trình vi phân hai 6 1.1.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. 6 1.1.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số. 8 1.1.6. Nguyên lý chồng chất nghiệm. 10 1.2. Mạch điện và mô hình mạch điện 11 1.2.1. Định nghĩa mạch điện: 11 1.2.2. Cấu trúc của mạch điện. 11 1.2.3. Các hiện tƣợng điện từ. 12 1.2.4. Mô hình mạch điện 12 1.2.5. Các khái niệm cơ bản trong mạch điện 13 1.3. Các định luật cơ bản trong mạch điện. 15 1.3.1. Định nghĩa dòng điện một chiều 15 1.3.2. Định luật omh 15 1.3.4. Định luật Kirchhoff: 16 Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 17 2.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện. 17 2.1.1. Điều kiện đầu của mạch điện. 17 2.1.2. Điều kiện cuối của mạch điện 18 2.2. Phƣơng trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa nguồn ngoài. 19 2.2.1. Mạch RC không chứa nguồn ngoài. 20 2.2.2. Mạch RL không chứa nguồn ngoài. 24 2.3. Một số bài toán khác. 29 Chƣơng 3. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 30 3.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện. 30 3.2. Đáp ứng, tính chất và ý nghĩa vật lý của các đáp ứng của mạch điện. 32 3.2.1. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện. 32 3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33 3.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai – mạch điện với hai phần tử tích trữ năng lƣợng 34 3.3.1. Phƣơng trình vi phân cấp hai đối với các đáp ứng. 34 3.3.2. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện. 35 3.3.3. Đáp ứng ép của mạch điện bậc 2. 39 3.3.4. Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 41 3.3.5. Phƣơng trình vi phân cấp 2 với Mạch RLC khi đóng vào nguồn điện áp không đổi……………………………………………………… 43 3.4. Ứng dụng Matlab vào bài toán mạch điện. 46 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phƣơng trình vi phân không còn là vấn đề mới mẻ, nhƣng chúng luôn thu hút đƣợc sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học, các nhà ứng dụng học, chúng đƣợc khai thác rất sâu và rộng. Ngƣời ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh tế, hay của kỹ thuật đều đƣợc phát biểu dƣới dạng các phƣơng trình vi phân. Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nƣớc ngoài đã bắt tay vào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật một cách mạnh mẽ. Đặc biệt những kiến thức về phƣơng trình vi phân đã đƣợc ứng dụng vào ngành kỹ thuật điện. Thật vậy, cuộc sống con ngƣời hiện nay đã gắn liền với ánh sáng của điện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xây dựng và hoạt động của nó nhƣ thế nào? Một phần đƣợc giải thích nhờ những kiến thức của phƣơng trình vi phân. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các cơ chế hoạt động của dòng điện nhờ phƣơng trình vi phân, nhờ sự gợi ý, giúp đỡ và hƣớng dẫn của Thầy giáo, T.S Nguyễn Văn Hùng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong một số bài toán mạch điện”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ phƣơng trình vi phân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều, và cụ thể là quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện. Sử dụng phƣơng trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về 2 mạch điện. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào các mạch điện. Phạm vi nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân, và ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào các bài toán mạch điện. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu của phƣơng trình vi phân. Phƣơng pháp nghiên cứu của kỹ thuật điện. 3 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phƣơng trình vi phân 1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1 Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là ( , , ') 0F x y y  (1.1) trong đó hàm F xác định trong miền 3 RD Nếu trong miền D, từ phƣơng trình (1.1) ta có thể giải đƣợc y  ' ( , )y f x y (1.2) thì ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm. Hàm ()yx   xác định và khả vi trên khoảng ( , )I a b đƣợc gọi là nghiệm của phƣơng trình (1.2) nếu: 1. ( , ( ), '( )) Dx x x   với mọi xD 2. ( , ( ), '( )) 0F x x x   trên I Bài toán Cauchy: Nghiệm của phƣơng trình vi phân cấp 1 là vô số, cho nên ngƣời ta thƣờng quan tâm đến nghiệm thỏa mãn những điều kiện nào đấy. Chẳng hạn tìm nghiệm của phƣơng trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện: 00 ()y x y (1.3) trong đó 00 ,xy là các số cho trƣớc. Điều kiện (1.3) đƣợc gọi là điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình (1.1) hoặc phƣơng trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) đƣợc gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện Lipschizz: Trong miền D hàm ( , )f x y thỏa mãn điều kiện Lipschizz biến y nếu tồn tại hằng số 0L  sao cho: 1 2 1 2 ( , ) ( , )f x y f x y L y y   Với 12 ( , ) ; ( , )x y D x y D    4 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Giả sử hàm ( , )f x y thỏa mãn điều kiện i, Hàm ( , )f x y liên tục trong miền D ii, Hàm ( , )f x y thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong D Khi đó ứng với mỗi điểm 00 ( , ) Dxy tồn tại duy nhất nghiệm ()y y x của phƣơng trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu 00 ()y x y Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm ( , )y x C   (1.4) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.2) trong miền G nếu: Từ hệ thức 00 ( , )y x C   (1.5) ta có thể giải ra đƣợc: 00 ( , )C x y   với 00 ,x y G (1.6) Hệ thức (1.4) là nghiệm của (1.2) với mỗi hằng số C đƣợc xác định từ (1.6). Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đƣợc đảm bảo, đƣợc gọi là nghiệm riêng. Nghiệm kì dị: Nghiệm của phƣơng trình (1.2) mà tại mỗi điểm tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, đƣợc gọi là nghiệm kì dị. 1.1.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân cấp n có dạng tổng quát là: () ( , , ', '', ,y ) 0 n F x y y y  (1.7) Hàm F đƣợc xác định trong miền G nào đấy của không gian n R . Trong phƣơng trình (1.7) có thể vắng mặt một trong các biến x, y, y  , …,   n1 y  nhƣng   n y nhất thiết phải có mặt. Nếu từ (1.7) ta giải ra đƣợc đạo hàm cấp cao nhất, tức là phƣơng trình (1.7) có dạng: (n) ( 1) ( , , ', ,y ) n y f x y y   (1.8) thì ta đƣợc PTVP cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất. 5 Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm ()y y x của phƣơng trình (1.7) hoặc (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu: ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 ( ) , '( ) ' , , ( ) nn y x y y x y y x y     (1.9) trong đó ( 1) 0 0 0 0 , , ', ,y n x y y  là các giá trị cho trƣớc. Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền thỏa mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình (1.8), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm ( 1) 0 0 0 0 ( , , ', ,y ) n x y y  . Hàm 12 ( , , , , ) n y x C C C   có các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.8) trong miền G nếu từ hệ phƣơng trình: 0 0 1 0 0 1 ( 1) ( 1) 0 0 1 ( , , , ' '( , , , ( , , , n xn nn xn y x C C y x C C y x C C               Ta có thể xác định đƣợc: 0 ( 1) 1 1 0 0 0 0 0 ( 1) 2 2 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( , , ', ,y ) ( , , ', ,y ) ( , , ', ,y ) n n n nn C x y y C x y y C x y y                 (1.10) Và hàm 0 0 0 12 ( , , , , ) n y x C C C   là nghiệm của phƣơng trình (1.8) ứng với mỗi hệ số 0 0 0 1 2 n C ,C , ,C đƣợc xác định từ (1.10) khi ( 1) 0 0 0 0 , , ', ,y n x y y  biến thiên trong G. Nghiệm riêng: Nghiệm của phƣơng trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đƣợc đảm bảo gọi là nghiệm riêng của phƣơng trình (1.8). [...]... động và dòng điện nào có chiều trùng với chiều đi của vòng sẽ mang dấu dƣơng, ngƣợc lại (Hình 1.10) I1 + e1 R2 R1 I3 I R3 II - I2 + e2 - Hình 1 10 17 Chƣơng 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 2.1.1 Điều kiện đầu của mạch điện Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng số tích phân dựa vào... cho khả năng của nguồn điện tạo nên và duy trì một dòng điện cung cấp cho mạch ngoài 1.3 Các định luật cơ bản trong mạch điện 1.3.1 Định nghĩa dòng điện một chiều Dòng điện một chiều là dòng điện có chiều và độ lớn không đổi theo thời gian 1.3.2 Định luật Omh Cƣờng độ dòng điện trong một đoạn mạch tỷ lệ thuận với hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch, và tỷ lệ nghịch với điện trở của đoạn mạch I A U (... những hàm của 8 Vậy nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất là: y Y  y 1.1.5 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số là phƣơng trình có dạng: y '' p y ' q y  f ( x) (1.15) trong đó: p , q là các hằng số, f ( x) là hàm liên tục Nếu f ( x)  0 thì (1.15) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến... là một nghiệm riêng của phƣơng trình (1.18) 11 1.2 Mạch điện và mô hình mạch điện 1.2.1 Định nghĩa mạch điện: Mạch điện là một tập hợp các thiết bị điện, điện tử trong đó có sự biến đổi năng lƣợng điện sang các dạng năng lƣợng khác Cấu tạo mạch điện gồm nguồn điện, phụ tải, dây dẫn ngoài ra còn có các phần tử phụ trợ khác I + Nguồn Tải E - Hình 1.1 Nguồn điện: Là nguồn dùng để cung cấp năng lƣợng điện. .. thực của mạch điện có thể đƣợc mô tả gần đúng bởi một hay nhiều phần tử lý tƣởng đƣợc ghép với nhau theo một cách nào đó 1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện Dòng điện và quy ƣớc chiều dòng điện Dòng điện là dòng chuyển dời có hƣớng của các điện tích Cƣờng độ dòng điện (gọi tắt là dòng điện) là lƣợng điện tích chuyển qua một bề mặt nào đó (tiết diện ngang của dây dẫn, nếu là dòng điện chảy trong. .. trị bằng 0 2.3 Một số bài toán khác Bài 1 Cho mạch điện hình 2.9 K R E C Hình 2.9 Mạch này là mạch nạp điện cho điện dung C  20 F , dùng nguồn một chiều E  100V qua điện trở R  5 bằng cách đóng cầu dao K tại thời điểm Tìm uC (t ), uR (t ), i(t ) và vẽ đồ thị của chúng? Lập và giải phƣơng trình vi phân Tại sao phải nạp cho C qua R ? (Thay R bằng dây dẫn có đƣợc không?) Bài 2 Cho mạch điện hình 2.10,... t e  uL  L diL  0 (mạch nối tắt) dt Do đó, ở trạng thái thƣờng trực DC, tụ điện đƣợc thay bằng một mạch hở và cuộn dây đƣợc thay bằng một mạch nối tắt Kết luận: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia Bài toán 2.1: Xác định hiệu điện thế v (t ) trong mạch (Hình 2.1a) Biết rằng mạch đạt trạng thái thƣờng... Nghiệm của phƣơng trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ đƣợc gọi là nghiệm kì dị của phƣơng trình (1.8) 1.1.3 Phƣơng trình vi phân 2 Định nghĩa Phƣơng phân trình vi cấp 2 có dạng tổng quát là: F ( x , y , y ', y '')  0 (1.11) Nếu từ (1.11) giải đƣợc đối với y '' , thì phƣơng trình (1.11) có dạng: y ''  f ( x , y , y ') (1.12) Bài toán Cauchy: Là bài toán. .. giữa điện áp trong một vòng kín, đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, tổng đại số điện áp rơi trên các phần tử bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng n m  U    e k 1 k j 1 j Định luật Kirchhoff II phát biểu lại nhƣ sau: Các điện áp đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, và tổng đại số các điện áp rơi trên các nhánh bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng trong đó các suất điện. .. nối tiếp với điện trở R  1(k ) và đƣợc đóng vào nguồn điện áp không đổi u(t )  U  100(V ) tại thời điểm t  0 Tính điện áp quá độ uC (t ) và dòng điện quá độ i (t ) Tính giá trị của uC (t ) và i (t ) với t   , 2 , 3 , 5 , 10 , trong đó  là hằng số thời gian của mạch Vẽ đƣờng cong của uC (t ) và i (t ) Giải Phƣơng trình vi phân của quá trình quá độ đối với điện áp quá độ trên điện dung là: . ra trong mạch điện. Sử dụng phƣơng trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về 2 mạch điện. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng của phƣơng trình vi. nghĩa vật lý của các đáp ứng của mạch điện. 32 3.2.1. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện. 32 3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33 3.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai – mạch điện với hai phần. nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ phƣơng trình vi phân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều, và cụ thể là quá trình quá